02124521v17n3p453

Vista previa del material en texto

INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
453ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1999, 17 (3), 453-461
LA ECUACIÓN LINEAL CON DOS VARIABLES:
ENTRE LA UNICIDAD Y EL INFINITO*
PANIZZA, MABEL1, SADOVSKY, PATRICIA2 y SESSA, CARMEN3
1 Montañeses 1910, 2o.15. 1428 Buenos Aires. Argentina. Ciclo Básico Común.
Universidad de Buenos Aires. E-mail: mpanizza@mail.retina.ar
2 Solier 4869, Villa Domínico. 1874 Provincia de Buenos Aires. Argentina. CEFIEC
(FCEYN). Universidad de Buenos Aires. E-mail: patsadov@mail.retina.ar
3 Ravignani 1156, P.B. A. 1414 Buenos Aires. Argentina. Departamento de Matemática y CEFIEC
(FCEYN). Universidad de Buenos Aires. CONICET. E-mail: pirata@dm.uba.ar
SUMMARY
In this work we show the results of a study we have done on 6 students dealing with two variable linear equations, when
they have previously elaborated a conception –in the context of one variable linear equation– according to which
equations are numerical equalities and letters are numbers to be discovered. The elements on which 5 out of the 6
students ground to uphold unicity of solutions, and those used by the one who can conceive several solutions from the
very beginning, are described. We then report our interpretation of the students’ work throughout the interview in terms
of the notions of variable, infinity of solutions, and also dependence and covariation.
INTRODUCCIÓN
Este trabajo es parte de una investigación que venimos
desarrollando desde 1994 y que busca identificar condi-
ciones de apropiación del álgebra elemental en alumnos
de la escuela media. Inscribimos la misma en el marco
teórico y metodológico de la teoría de situaciones
(Brousseau, 1986) y de la ingeniería didáctica (Artigue,
1988).
Nuestra investigación se ubica en la compleja problemá-
tica del pasaje de la aritmética al álgebra. Como parte de
nuestros análisis previos, hemos considerado los aportes
que diferentes investigadores realizan tanto para carac-
terizar la ruptura que supone este pasaje como para
describir los elementos esenciales de la actividad
algebraica.
Los elementos relativos a la ruptura que hemos tenido en
cuenta fundamentalmente son:
– los sentidos del signo igual (Vergnaud, 1984; Kieran,
1980);
– la atribución de significado para los pasos intermedios
en la resolución de un problema (Vergnaud et al.,
1987);
– la conservación de la traza de las operaciones efectua-
das (Chevallard, 1984).
Como caracterización de la actividad algebraica, hemos
considerado esencialmente:
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
454 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1999, 17 (3)
– la distinción entre sentido y denotación o valor mostra-
tivo y valor designativo (Chevallard, 1985; Drouhard et
al., 1995);
– la estructura multidimensional de análisis de la compe-
tencia algebraica elaborada por Grugeon (1995);
– el rol de la modelización en el razonamiento algebraico
y las consecuencias de la aproximación funcional al
álgebra (Janvier, 1996).
A fin de lograr una caracterización del funcionamiento
del sistema de enseñanza actual con relación a la ense-
ñanza del álgebra, realizamos a lo largo de nuestro
trabajo una serie de acciones utilizando en cada caso una
metodología diferente. Estas acciones consistieron en:
1) Una encuesta exploratoria destinada a indagar sobre
las representaciones de los alumnos acerca de ecuacio-
nes, variables e incógnitas (95 alumnos de 2º a 5º año de
una escuela pública de la ciudad de Buenos Aires).
2) El estudio de una propuesta de enseñanza de introduc-
ción al álgebra, representativa de las prácticas usuales
hoy en nuestro país. Este trabajo consistió en la observa-
ción de las clases en un curso de primer año, entrevistas
al docente, análisis del texto utilizado y entrevistas a
alumnos, en una escuela pública del suburbio de Buenos
Aires. La escuela fue elegida teniendo en cuenta su
prestigio entre las escuelas de la zona.
3) Entrevistas a alumnos de tercer año del mismo esta-
blecimiento, quienes ya habían pasado por el aprendiza-
je de sistemas lineales. El informe correspondiente cons-
tituye el objeto de este artículo.
Si bien los resultados de la encuesta exploratoria fueron
comunicados en diferentes trabajos (Panizza, Sadovsky,
Sessa, 1995a; 1995b), dada la temática que será aborda-
da en este artículo, nos interesa aquí mencionar uno en
particular. A los alumnos de cuarto y quinto año (16-18
años) –que en la Argentina significa que ya han estudia-
do ecuación de la recta y sistemas de ecuaciones linea-
les– se les solicitaba que propusieran una solución de la
ecuación 3 x + 2 y = 7. El 90 % de los alumnos no pudo
obtener ninguna solución de la ecuación. El 10% restan-
te utilizó un procedimiento en ese momento sorprenden-
te para nosotras: agregar otra ecuación lineal y resolver
el sistema resultante.
El estudio de la propuesta de enseñanza –actual y usual
en nuestro país– en la cual el álgebra se introduce en el
primer año de la escuela secundaria, a través de las
ecuaciones de primer grado con una incógnita, mostró
que, a partir del conjunto de tareas que los alumnos
realizan, elaboran una concepción según la cual la ecua-
ción es una igualdad numérica y las letras son números
a «develar» (Panizza, Sadovsky y Sessa, 1996). Estos
resultados coinciden, de alguna manera, con lo que ya
había anticipado Carolyn Kieran a propósito de las
ecuaciones: «Presumimos que las concepciones primiti-
vas de los niños de lo que es una ecuación no contienen,
en general, la idea de que tengan términos literales a
ambos lados del signo igual. Las ecuaciones de ese estilo
carecen de sentido a la vista de la presunta concepción
ingenua de los niños de una ecuación como un hecho
numérico ligeramente disfrazado con la falta de algún
componente» (Kieran, Filloy Yagüe, 1989).
¿Cuál sería la influencia de dicha concepción en la
comprensión de otros objetos de enseñanza que apa-
recen más adelante? Anticipamos en ese momento
que los alumnos tendrían dificultades en el trata-
miento de objetos algebraicos con infinitas solucio-
nes o aun con varias soluciones, objetos tales como
ecuaciones con dos o más variables y ecuaciones de
grado mayor que uno.
Para avanzar en el trabajo entrevistamos a alumnos que
acababan de pasar por el aprendizaje de sistemas de
ecuaciones lineales (15-16 años) en la misma escuela
donde habíamos realizado el estudio anterior, relativo a
la propuesta de enseñanza. Centramos nuestra atención
en el objeto una ecuación con dos variables, objeto que
anticipábamos no podría ser tratado sin conflicto desde
la concepción antes elaborada.
El objetivo de este artículo es presentar los resultados
del estudio que realizamos a partir del material de estas
entrevistas.
Nuestro conocimiento del currículo y el análisis de los
libros de texto usuales en nuestro país nos permitían
afirmar que la escuela considera el objeto «ecuación
lineal con dos variables» en dos situaciones específicas:
o bien como ecuación de la recta, donde la misma
aparece entonces como «la etiqueta del dibujo de una
recta» o bien como una de los componentes en los
sistemas lineales.
Nosotros elegimos no indagar directamente sobre estos
últimos porque sospechábamos que el objeto «sistema
de ecuaciones en la escuela» podría haberse visto res-
tringido a una versión que acoplara bien con la concep-
ción de la ecuación y de las letras que se había construido
anteriormente. Es decir, sospechábamos que los siste-
mas lineales podrían haber sido tratados como «dos
igualdades numéricas que se cumplen para un par de
números desconocidos, a develar». Nuestra indagación
confirmó largamente estas sospechas, como podrá verse
a través de nuestro análisis.
¿Podrían concebir los alumnos una ecuación con dos
variables aislada de los sistemas de ecuaciones estudia-
dos en la escuela? ¿Serían capaces de otorgar entidad a
este objeto y al mismo tiempo reconocerlo como «parte»
de un sistema lineal?
¿Podrían los conocimientos aritméticos de los alumnos
ayudarlos ahora tanto como lo habían hecho para una
ecuación con una incógnita?
¿Cómo se las arreglarían con las infinitas soluciones deuna ecuación con dos variables, habida cuenta de la
concepción de las letras como incógnitas que habían
elaborado?
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1999, 17 (3) 455
¿Se utiliza la noción de variable de alguna manera en el
trabajo de los chicos con las ecuaciones, o la misma
queda confinada al campo de las funciones, que en
general se estudian en forma separada?
En nuestro trabajo tomamos estas preguntas de orden
general como orientadoras de la investigación. Sin pre-
tender responderlas acabadamente, nuestro artículo in-
tenta avanzar en estas cuestiones.
LA ENTREVISTA
Diseñamos una entrevista que fue administrada a tres
parejas de alumnos pertenecientes a un mismo curso de
tercer año. Se trata de alumnos que han «entrado» al
mundo algebraico a través de las ecuaciones de primer
grado con una incógnita en el marco de la propuesta que
fue objeto de análisis en el trabajo anteriormente men-
cionado. Los alumnos han trabajado además con funcio-
nes lineales, sistemas de ecuaciones lineales (dos ecua-
ciones con dos variables) y polinomios en una variable
(operaciones, factoreo).
Los estudiantes que participaron de la entrevista fueron
seleccionados por la profesora de la clase respondiendo
a nuestro pedido de elegir alumnos relativamente «bue-
nos», que pudieran disponer con cierta comodidad de los
conceptos trabajados y con suficiente habilidad en las
técnicas de despejar incógnitas. Pensábamos que traba-
jar con alumnos con muchas dificultades –dada la mul-
tiplicidad de factores que influyen en el hecho de que un
alumno sea «flojo» en matemáticas –hubiera obstaculi-
zado el trabajo de interpretación.
La entrevista comenzaría por presentar a los alumnos un
problema de enunciado que describiera una relación
entre los precios de dos tipos de objetos1. Dicha relación
es expresable por una ecuación lineal con dos variables
y los alumnos deberían encontrar valores posibles para
esos precios.
No era nuestra intención indagar sobre las dificultades
que podrían enfrentar los estudiantes para expresar en
una ecuación las relaciones del problema, y estaba pre-
visto ayudarlos en ese aspecto en caso de ser necesario.
La decisión de comenzar con un problema –y no direc-
tamente con una ecuación– respondió al objetivo de
indagar si, en alguna medida, ellos podrían producir la
escritura de una ecuación con dos variables cuando la
misma no forma parte de un sistema de ecuaciones.
Una vez lograda la escritura de la ecuación se pediría a
los alumnos hallar las soluciones. En caso de no poder
hallarlas, estaba previsto que la entrevistadora les pro-
pusiera distintos pares entre los cuales habría una solu-
ción. Encontrada una solución (con o sin ayuda) se les
preguntaría sobre la existencia de otras soluciones de la
ecuación. Hicimos la hipótesis de que la concepción de
las letras como incógnitas llevaría a los alumnos a
sostener que la ecuación lineal con dos variables tiene
solución única.
A partir de este supuesto, diseñamos un segundo mo-
mento para los alumnos que sostuvieran la unicidad. Les
recordaríamos el trabajo con sistemas de ecuaciones y
luego les presentaríamos, para resolver, un sistema de
dos ecuaciones una de las cuales sería la tratada en la
primera parte de la entrevista.
Era nuestro objetivo provocar un cierto desequilibrio, al
hacer aparecer –al resolver este sistema– una nueva
solución. En este punto, el diseño se apoyó en otro
supuesto nuestro acerca de los conocimientos de los
alumnos: una ecuación de dos variables en un sistema es
el mismo objeto que esa ecuación fuera del sistema2.
En cada entrevista participamos dos de nosotras: una
conduciendo el diálogo con los alumnos y otra haciendo
un registro escrito. Además, las entrevistas fueron gra-
badas en audio.
Presentamos ahora algunos resultados que provienen de
nuestro análisis de las entrevistas. Para ello, estructura-
mos este trabajo alrededor de dos grandes ejes:
– el tratamiento que hacen los alumnos del objeto una
ecuación con dos variables;
– la relación que ellos establecen entre las soluciones de
la ecuación con dos variables y las soluciones de los
sistemas lineales.
BUSCANDO LAS SOLUCIONES DE UNA
ECUACIÓN LINEAL CON DOS VARIABLES
Casi todos los alumnos entrevistados enfrentan el pro-
blema extendiendo conocimientos producidos sobre otros
objetos: ecuaciones de una variable y sistemas lineales
con dos variables. En muchos de los procedimientos que
utilizan es posible reconocer también fuertes marcas de
su experiencia aritmética.
Uno sólo de los estudiantes entrevistados, se apoya, en
cambio, en el concepto de función.
Viejos conocimientos para un objeto nuevo
Si bien, una vez leído el enunciado, todos los estudiantes
lo traducen sin dificultad a una ecuación distinguiendo
las dos variables, recién toman conciencia de que se trata
de un objeto con el cual nunca habían interactuado
cuando comienzan a manipularlo –infructuosamente–
para obtener soluciones.
La escritura de la ecuación parece responder a que el
problema propuesto tiene un formato similar a los que los
alumnos resolvían a propósito de ecuaciones y sistemas.
Una vez escrita la ecuación con dos variables, los alum-
nos se apoyaron en sus conocimientos de ecuación con
una variable y de sistemas lineales, extendiendo básica-
mente una propiedad y un procedimiento.
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
456 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1999, 17 (3)
Unicidad de la solución: extensión de una propiedad
Casi todos los alumnos anticipan que la ecuación debe
tener solución única. Se basan principalmente en dos
cuestiones:
Las representaciones que tienen los alumnos acerca de
los problemas que se resuelven con ecuaciones, les
hacen ver en el contexto del problema una justificación
a la unicidad de las soluciones. («No tiene sentido buscar
más valores, porque los precios ya los tenés.» Luis).
Las representaciones de las letras como números ya
determinados pero desconocidos contribuyen a que los
alumnos busquen el valor de la x y el valor de la y. («Vos
tenés dos letras, que vendrían a ser tus incógnitas.
Cuando resolviste la ecuación, por cada una de las letras
vas a tener un monto y listo.» Pedro).
Sustitución en sí misma: extensión de un procedimiento
En la búsqueda de soluciones de la ecuación, casi todos
los chicos adaptan al nuevo objeto los procedimientos
aprendidos para un objeto cercano: sistema de ecuacio-
nes. El procedimiento incorrecto que resulta podría
nombrarse como sustitución en sí misma y consiste en
despejar una variable en función de la otra y luego
reemplazar, en la escritura original de la ecuación, la
variable despejada por la expresión obtenida.
Los alumnos no ven, ni a priori ni a posteriori, que eso
los conduce a una identidad. De algún modo, al reempla-
zar una variable por lo que se obtuvo al despejar, tienen
la impresión de haber respetado la relación entre las dos
variables en juego. De hecho han aplicado al objeto
transformaciones que «respetan» la igualdad (aunque no
conservan el conjunto solución).
Todos los alumnos evidencian desconcierto al arribar a
una expresión que no saben interpretar. Frente a esto
reaccionan de diferentes maneras:
– Algunos, al llegar a expresiones como 0 = 0 o y = y,
declaran que la ecuación no tiene solución y, en la
medida en que piensan que el problema sí tiene, invali-
dan la ecuación como modelo del problema. («Para mí
hay soluciones (del problema), pero esta ecuación no
sirve.» Daniel).
– Un alumno, Pedro, aplica también este procedimiento
para resolver la ecuación 2x -3y = 5 –presentada fuera del
contexto de un problema verbal– llegando a la igualdad
5 = 5. Veamos un extracto del protocolo en este
punto:
E: –Y entonces, ¿cuál es la solución?
P: –5 para x y 5 para y.
E: –¿Lo podés verificar?
P: –(Sustituye x e y con estos valores y obtiene -5 = 5).
¡Me equivoqué! La solución es -5 y 5.
Dos tipos diferentes de «conocimientos» parecen co-
mandar el trabajo de Pedro en este tramo:
– Un conocimiento correcto: para decidir si un par es o
no solución, se deben sustituir las letraspor los valores
obtenidos. Si se llega a una igualdad, los valores son
solución de la ecuación.
– Un conocimiento incorrecto: dos números que se
obtienen como consecuencia de operar sobre cada lado
del signo igual son interpretados como solución de la
ecuación (en el próximo párrafo profundizaremos el
análisis de este fenómeno).
Las trazas de la aritmética
La atribución de significados que hace Pedro se inscribe
dentro de un fenómeno ya encontrado por diversos
investigadores, por ejemplo, Vergnaud y otros (1987):
los alumnos piensan que lo que está a cada lado del signo
igual en una ecuación es una cuenta indicada cuyo
resultado debe tener algún significado. El igual es, en
muchos casos, un signo de escritura para separar dos
informaciones o cantidades, como una coma.
En nuestro trabajo, hemos encontrado que este fenóme-
no adquiere las siguientes características: cualquiera sea
el procedimiento utilizado por los sujetos para operar
con la ecuación de dos variables, al llegar a una igualdad
numérica (verdadera o falsa), adjudican a cada uno de
los números involucrados a cada lado de la ecuación
algunos de los siguientes significados:
a) o es el «resultado» de la ecuación, o sea la solución,
como vimos recién en Pedro;
b) o, en caso de estar trabajando en la resolución de un
problema, es alguna otra cantidad que tiene un sentido
preciso en términos del problema.
Analicemos dos episodios relativos a esta asignación de
significados basados en el problema.
Luis y Flora han planteado ya la ecuación 4 c = 3 b + 8
para buscar soluciones del problema de las cartucheras
y las biromes. Como no pueden encontrarlas solos, la
entrevistadora les propone pares de números para que
verifiquen si serán solución de la ecuación. Al proponer-
les c = 5, b = 4, ellos reemplazan y concluyen:
L: –No son los valores.
F: –No, porque no cuestan igual.
La referencia es al problema, ya que, al hacer la cuenta
de cada lado del igual en la ecuación, ellos lo interpretan
como el precio de las cartucheras y de las biromes
respectivamente. Queda claro que el igual que ellos
tienen a la vista, y escrito por ellos mismos al anotar la
ecuación, no tiene el significado de una equivalencia.
Este error es muy persistente: a pesar de que la entrevis-
tadora alerta a los chicos del error y ellos parecen
entender, poco después3 prueban con 10 y con 8:
L: – Me da con 10 y 8 . Vos tenés que a nosotros nos dio
con 5 y 4. Supuestamente, si vos multiplicás por dos, nos
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1999, 17 (3) 457
tiene que dar igual. Fijáte: 4 x 10 = 40 y 3 x 8 = 24,
24 + 8 = 32.
F: –¡Sí, da!
L: –¡32 es 8$ menos que las cuatro cartucheras!
Nuevamente, el igual en la ecuación no significa igual
valor numérico.
El otro episodio en el que aparece el mismo fenómeno
–de asignación de significados ligados al enunciado
del problema– involucra a Rodolfo. Se le ha pro-
puesto también a él el par (5,4) como solución de la
ecuación:
R: –Hay que reemplazar.
E: –¿Y entonces?
R: –El problema es que me tiene que dar mayor.
E: –¿Qué es lo que te tiene que dar mayor?
R: –Las x y las y.
E: –¿Y te da?
R: – Acá sí (Dice señalando la expresión x = 5, y = 4.)
Pero donde me tiene que dar mayor es acá, en el resultado
(Dice señalando la expresión 20 = 20 que obtuvo correc-
tamente al reemplazar en la ecuación 4x = 3y + 8.)
En síntesis, estamos ante una asignación de significa-
dos muy centrada en la formulación del problema,
que ignora la información que provee el signo igual
en la ecuación y provoca, al mismo tiempo, tanto la
aceptación de soluciones incorrectas como el rechazo
de las correctas.
El concepto de función como herramienta para abordar
la ecuación
Hasta aquí nos hemos referido al grupo mayoritario;
analicemos ahora el comportamiento de Ariel, el único
alumno que se apoyó en el concepto de función.
Desde el comienzo, Ariel afirma que la ecuación tiene
infinitas soluciones.
A: –Es complicado
E: –¿Por qué?
A: –Porque tengo dos incógnitas; tendría que hacer una
función.
A continuación, para obtener soluciones de la ecuación,
fija valores a una de las variables y, entonces, obtiene el
correspondiente valor de la otra.
Esta centración en el concepto de función que le permite
operar exitosamente para obtener una solución bloquea,
sin embargo, su acceso a algunos procedimientos útiles.
A todos los grupos, en algún momento de la entrevista,
se les proponen pares de valores para que verifiquen si
son solución de la ecuación. Casi todos los chicos lo
hacen sin dificultad. Ariel, en cambio, rechaza el proce-
dimiento de reemplazar simultáneamente x e y por un par
de números insistiendo en que hay que darle un valor a
una incógnita y luego despejar.
Aparentemente, esta marca funcional en Ariel favorecería
la idea de dependencia en detrimento de la de covariación,
que subyace a la manipulación simultánea de un par
determinado para verificar si se trata o no de una solución.
Otro aspecto que resulta interesante analizar en la mane-
ra en que Ariel aborda las soluciones de la ecuación con
dos variables es la relación que establece entre el proble-
ma y la ecuación. Hemos observado que para él, una vez
establecida la ecuación, es el contexto ofrecido por el
problema el que determina el espectro de posibles solu-
ciones, con todo lo que ello implica: por un lado, se
transforma en la fuente para hallar soluciones, variar los
datos, etc.; y, por el otro, esas variaciones se encuentran
limitadas por la interpretación que hace Ariel de dicho
contexto.
Esto puede verse nuevamente, no sólo a través de sus
producciones, sino también a través de los argumentos
que utiliza para convencer a Pedro de la existencia de
muchas soluciones. Por ejemplo, para encontrar una
primera solución, le dice: «Tendrías que ponerle precio
a las biromes.» Una vez hallada se produce el siguiente
diálogo entre Ariel y su compañero:
E: –(Refiriéndose a las soluciones de la ecuación 4 x =
3 y + 8.) ¿Habrá otra posibilidad?
P: –No, si son dos incógnitas.
E: –¿Qué pasa si son dos incógnitas?
P: –Tienen dos únicas soluciones.
E: –¿Por qué?
P: –Porque si hay dos cosas que no se saben, cuando se
saben, son dos incógnitas. Vos tenés que averiguar x e y,
vos tenés estas dos en un problema. En una ecuación,
tenés que averiguar x e y. Cuando averiguaste ésta y ésta,
¿cuántas soluciones sacaste?
A: –Dos soluciones.
P: –Y bueno, con dos únicas incógnitas, son dos soluciones.
A: –No son únicas porque, si aumenta el precio de las
biromes, ¿qué hacés?
Vemos, entonces, que el argumento que utiliza Ariel
para afirmar que hay más soluciones –el precio de las
biromes– se basa en el contexto del problema.
En cuanto al procedimiento desplegado por él mismo
para obtener soluciones, Ariel despeja x (cantidad de
cartucheras) en función de y (cantidad de biromes) y
resuelve dando un valor «imaginario» para y. Sin embar-
go, este «valor imaginario», lejos de ser un valor positi-
vo arbitrario, se encuentra para él muy ligado a su
significado en el problema: fundamentalmente toma del
contexto un rango razonable para la variabilidad de y.
No quedaba claro para nosotras en ese momento, hasta
qué punto Ariel se apoyaba en el problema durante el
proceso de resolución de la ecuación o recién en el
momento de explicar su razonamiento (teniendo en cuenta
que estaba argumentando para convencer a un compañe-
ro o al entrevistador). Fue por eso que lo «re-entrevista-
mos», unos meses después. En esta segunda entrevista,
Ariel estaba solo. Le presentamos una ecuación de dos
variables sin problema de enunciado. Si no lograba
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
458 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1999, 17 (3)
obtener soluciones, apelaríamos a un problema y luego
le presentaríamos un sistema lineal que incluiría la
ecuación tratada en primer lugar.
Frente a la tarea de tener que encontrar soluciones de una
ecuación de dos variables, Ariel no encuentra soluciones
y sólo, cuando la entrevistadora le formula un problema
que se modeliza mediante la ecuación dada, él puede dar
valores a una de lasvariables y obtener valores de la otra.
A continuación se da el siguiente diálogo:
E: –Esto que vos hiciste te sirve para resolver la ecuación
que te planteamos al principio...
A: –Sí.
E: –¿No podrías haberlo hecho sin el problema?
A: –No, porque la imaginación que me da este problema
no me la dan los números solos.
Concluimos que Ariel utiliza –y necesita– un problema
como referente para el proceso de resolución, en el
siguiente sentido: sólo atribuyendo significado a las
variables puede considerar valores numéricos. A partir
de allí obtiene las soluciones operando algebraicamente.
Este resultado da cuenta de la dificultad de concebir el
concepto de variable de manera independiente de la
variación de una magnitud referida a un objeto. Un texto
de Frege (1974) sobre el concepto de función ofrece un
marco para interpretar esta cuestión:
«[...] ¿son las variables del análisis números variables?
¿Qué tendrían que ser además si, en general, pertenecen
al análisis? Pero, ¿por qué casi nunca se dice número
variable y sí, por el contrario, a menudo longitud varia-
ble? Parece esta expresión más admisible que número
variable. Entonces, crece la duda: ¿Hay números varia-
bles? [...] Cuando algo cambia, tenemos sucesivas, dife-
rentes, cualidades y estados en el mismo objeto. Pero, si
él no fuera el mismo, no tendríamos ningún sujeto del
cual pudiéramos afirmar el cambio. Una vara se dilata
con el calor. Mientras esto sucede, continua siendo la
misma. Si en lugar de ello se la arroja y se la sustituye por
una más larga, no se podría decir que se ha dilatado. Un
hombre envejece, pero, si no lo podemos a pesar de todo
reconocer como él mismo, no tendríamos a nadie
del cual podríamos decir la edad. Apliquemos esto al
número. Si cambiamos un número, ¿qué queda del
mismo? Nada. En consecuencia, no se cambia de ningún
modo un número, pues no tenemos nada respecto de lo
cual podríamos predicar el cambio.
En síntesis, la producción de Ariel es significativamente
distinta de la de los otros sujetos: centrado en el objeto
función, y apelando al contexto ofrecido por el proble-
ma, puede encontrar un procedimiento para encontrar
distintas soluciones.
LA RELACIÓN SISTEMA-ECUACIÓN
Como ya dijimos en la introducción de este trabajo,
estábamos interesadas en conocer qué relaciones esta-
blecían los alumnos entre las soluciones de una ecuación
de dos variables y las soluciones de un sistema lineal del
cual la ecuación formaba parte. En particular, queríamos
indagar cómo harían los alumnos para seguir sostenien-
do que una ecuación con dos variables tiene una única
solución, cuando, como producto de la resolución de un
sistema en el que esa ecuación aparecía, entrara en
escena otra solución diferente de aquélla con la que se
había tratado. ¿Reconocerían los estudiantes alguna con-
tradicción por haber anticipado que la primera ecuación
tiene solución única y «encontrarse» ahora con una
nueva solución producto de la resolución del sistema?
De ser así, ¿la asumirían?, ¿cómo la compensarían?
Del análisis realizado surgen dos cuestiones que discu-
tiremos a continuación: a) la relación que establecen los
alumnos entre las soluciones de un sistema y las solucio-
nes de cada ecuación que lo integra; y b) la interpretación
de las infinitas soluciones de una ecuación con dos
variables como soluciones de los infinitos sistemas que
dicha ecuación podría integrar.
La relación que establecen los estudiantes entre las
soluciones de la ecuación lineal y las soluciones del
sistema
Todos los estudiantes entrevistados resolvieron los sis-
temas propuestos correctamente. El primer sistema que
se les presentó fue
4x = 3y + 8
x + y = 2
cuya solución es el par 2,0.
Ellos explicaron que un par de números es la solución del
sistema si verifica cada una de las ecuaciones. Sin
embargo, cuando nosotras preguntamos si la solución
del sistema que ellos habían obtenido era una solución de
la ecuación 4x = 3y + 8 –considerada ésta aislada del
sistema–, ellos dijeron que no.
E: –Este par (el 2,0, solución del sistema), ¿es solución
de esta ecuación?
R: –No, de las dos.
D: –De las dos juntas, porque es un sistema.
E: –Ajá. Y ustedes, antes, ¿cómo habían hecho para
saber que el 5,4 es solución de la de arriba?
R: –Reemplazando.
E: –Y quieren probar si el 2,0 es solución de la de arriba?
D: –No va a dar.
Todo ocurre como si los estudiantes pensaran que, en
tanto el par 2,0 fue una solución obtenida manipulando
las dos ecuaciones, no podría seguir siendo solución
cuando desapareciera una de las ecuaciones que intervi-
no en el proceso de obtención.
Frente a una explicación del entrevistador, Daniel y
Rodolfo parecen aceptar finalmente que el par 2,0 es
solución de la primera ecuación. Sin embargo, esta
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1999, 17 (3) 459
aceptación es sólo transitoria: cuando se los enfrenta a
un nuevo sistema de ecuaciones en el cual sigue apare-
ciendo la ecuación 4x = 3y + 8 y se les pregunta si el par
2,0 es solución de la misma, ellos dicen que no, «porque
ya no está esta ecuación» (x + y = 2, la segunda ecuación
del primer sistema tratado).
Este resultado mostraría que, desde la perspectiva de los
chicos, «la ecuación con dos variables en un sistema» es
un objeto diferente de «una ecuación con dos variables».
Desde ese punto de vista, no tiene por qué haber relación
entre la solución de la ecuación obtenida a partir del
sistema y la solución de la ecuación aislada del mismo.
Evidentemente este hecho refuta el supuesto en el cual
nos habíamos apoyado para pretender provocar desequi-
librio en los alumnos al introducir una nueva solución de
la ecuación «de la mano» de un sistema.
De cómo los estudiantes se encuentran finalmente
con las infinitas soluciones de la ecuación con dos
variables
Durante la interacción con los diferentes sistemas, todos
los cuales contenían la ecuación 4x = 3y + 8, algunos
estudiantes modificaron sus puntos de vista acerca de la
unicidad. Ellos comenzaron a afirmar que esta ecuación
tiene infinitas soluciones, ya que veían como posible
formar infinitos sistemas agregando nuevas ecuaciones
a la dada. Las infinitas soluciones aparecerían, entonces,
como consecuencia de resolver cada uno de los infinitos
sistemas con una sola solución –sin comprometer ningu-
na relación entre las variables dentro de la ecuación.
Destaquemos que esta estrategia permite producir cual-
quier cantidad de soluciones sin pasar por la noción de
variable.
Nuevamente, en la manera de pensar las infinitas solu-
ciones aparecen diferencias esenciales entre los chicos a
los que nos acabamos de referir y Ariel, nuestro único
alumno centrado en el concepto de función.
Como ya señalamos, él dispone de un procedimiento
productor virtual de infinitas soluciones a través de su
estrategia funcional, pero no llega a concebir a todas
ellas simultáneamente como elementos de un conjunto.
Al abordar la ecuación 2x + 3 = 5y + 4, en el marco de la
segunda entrevista, hace variar el valor inicial de x para
ir obteniendo sucesivos valores de y, aclarando: «No son
resultados finales, puntuales. Son resultados que va-
rían.»
Parece que «conviven», estorbándose un tanto, las ideas
de variables e incógnitas. Las infinitas soluciones se
construyen como valores determinados de las incógnitas
que siempre pueden cambiar. La temporalidad aparece
inmersa en la descripción de las soluciones (Frege,
1974).
Ahora bien, al comenzar la segunda entrevista, y como
respuesta a la tarea de resolver la ecuación anteriormente
mencionada, Ariel arriba a la expresión y = 2/5x – 1/5, y
afirma que se trata de una «forma de solución», lo que
podría interpretarse como una representación consisten-
te con la idea de totalidad. Sin embargo, nuevamente la
«totalidad» se encuentra subordinada a un procedimien-
to: ya se hicieron todas las cuentas conocidas y, en ese
sentido, se reconoce la nueva representación de la ecua-
ción como estado final. De todas maneras, este carácter
de «solución» es cuestionado por Ariel por el hecho
de que laexpresión «posee incógnitas». («Es una solu-
ción no del todo, porque hay incógnitas. Se pueden
cambiar las cosas de lugar, pero nunca se va a hallar el
valor de x.»)
Como ya hemos comentado, Ariel sale de esta «forma de
solución», aparentemente acabada (y = 2/5x – 1/5),
recién frente al enunciado de un problema verbal, ani-
mándose al proceso de generar sucesivas soluciones
variando los valores de x. Pero, sólo parece sentirse
tranquilo cuando, más adelante, resolviendo un sistema
de dos ecuaciones llega a una solución.
E: –¿Qué quiere decir que este par es la solución?
A: –Que es la solución del problema, el punto final.
En síntesis, entre «un resultado que no es final, que
puede variar» y «una solución no del todo», Ariel aborda
la infinitud de las soluciones de diversas maneras. Pero
la idea de conjunto solución parece concretarse sola-
mente cuando en el contexto de un sistema compatible
determinado, encuentra la (¡única!) solución.
A MODO DE CONCLUSIÓN
De estos fenómenos podemos concluir que la ecuación
lineal con dos variables no es reconocida por los alum-
nos como un objeto que define un conjunto de infinitos
pares de números. Cuando aparece en el contexto de los
sistemas lineales –pensamos que como producto de que
la mayor parte de los sistemas que los alumnos resuelven
tienen solución única–, éstos adaptan bien la concepción
de la letra como incógnita a la resolución de sistemas con
solución única: antes se trataba de develar la x ahora
habrá que develar la x y la y. La noción de incógnita, en
cambio, no resultaría eficaz para interpretar el rol de las
letras en una ecuación con dos variables, objeto éste que
debería ser comprendido si los sistemas lineales fueran
concebidos como un conjunto de condiciones indepen-
dientes que deben cumplirse simultáneamente.
Por otra parte, cualquiera haya sido el trabajo realizado
alrededor de «ecuación de la recta», éste no parece
suficiente para que los alumnos puedan establecer una
relación entre los puntos de la recta y las soluciones de
la ecuación correspondiente.
La posibilidad de aproximación a la concepción de las
infinitas soluciones parece basarse –en los alumnos
entrevistados– en sus respectivas centraciones en obje-
tos diferentes.
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
460 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1999, 17 (3)
Ariel, por ejemplo, al ubicar el objeto ecuación lineal
con dos variables más cerca de las funciones lineales,
parece estar en mejores condiciones de dotarlo de senti-
do a partir de construir soluciones otorgándole valores a
una de las variables.
Los otros chicos, al concebir las infinitas soluciones de
la ecuación como un «conglomerado de soluciones úni-
cas» provenientes de diferentes sistemas lineales, pare-
cen más lejos de hacer confluir en el nuevo objeto las
nociones de variable y de dependencia para obtener
soluciones. En resumen, atrapados por la concepción de
las letras como incógnitas, estarían más lejos de cons-
truir un sentido para el nuevo objeto.
¿Qué relación existe entre estas diferentes formas de
pensar las infinitas soluciones? ¿Podrían coexistir en un
mismo alumno? ¿Podrían obstaculizarse mutuamente?
¿Qué implicancias didácticas tendría responder estas
preguntas?
Los conocimientos que funcionan como puntos de apoyo
y los que funcionan como puntos de bloqueo que hemos
identificado en este trabajo nos conducen a formular
nuevas preguntas:
¿Es necesaria la noción de incógnita para arribar a la
noción de variable?
Si se pensara en una enseñanza que abordara la noción de
variable sin «pasar» por la noción de incógnita, ¿cuáles
serían los puntos de apoyo para elaborar aquellas cues-
tiones útiles que los alumnos que nosotras observamos
elaboran sobre la base de su experiencia con las incóg-
nitas? ¿Serían evitables los bloqueos4 que identifica-
mos? Los conceptos de incógnita y variable, ¿podrían
nutrirse uno al otro si se construyeran simultáneamente?
¿Habría un espacio de problemas que los abarcara de
manera fructífera?
Avanzar en el conocimiento de la relación que existe
entre el aprendizaje de la noción de incógnita y el de la
noción de variable parece ineludible para desentrañar la
compleja y desafiante relación entre la aritmética y el
álgebra.
NOTAS
*Esta investigación se realizó en el marco del proyecto UBA
EX -120, UBA TW89 y PICT 00571.
1 Enunciado del problema propuesto:
Mi hermano me dijo que en la librería de la esquina cuatro
cartucheras cuestan ocho pesos más que tres biromes. ¿Cuáles
podrían ser los precios de las cartucheras y de las biromes?
2 Este segundo supuesto sobre los conocimientos de los chicos
resultó no ser válido en los hechos, situación que está descripta
en este artículo.
3 Cruzados por el supuesto de la proporcionalidad.
4 Janvier et al. (1989) han señalado que la concepción de las
letras como incógnitas podría constituir un obstáculo
epistemológico para el acceso a la noción de variable.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ARTIGUE, M. (1988). Ingénierie didactique. Recherche en
Didactique des Mathématiques, 9(3), pp. 281-308. Grenoble:
La Pensée Sauvage.
ARTIGUE, M. (1990). Epistémologie et Didactique. Recherche
en Didactique des Mathématiques, 10(2), pp. 241-286.
Grenoble: La Pensée Sauvage.
BROUSSEAU, G. (1986). Fondaments et méthodes de la
didactique des mathématiques. Recherche en Didactique
des Mathématiques, 7(2), pp. 33-115. Grenoble: La Pensée
Sauvage.
BROUSSEAU, G. (1989). Les obstacles épistémologiques et la
didactique des Mathématiques. Construction des Savoirs,
obstacles et conflits, pp. 33-40. Montréal: CIRADE,
Universidad de Québec.
CHEVALLARD, Y. (1984). Le passage de l’arithmétique à
l’algébrique dans l’enseignement des mathématiques au
collège. Première partie. Petit X, 5, pp. 51-94. IREM de
Grenoble.
CHEVALLARD, Y. (1989). Le passage de l'arithmétique à
l'algébrique dans l'enseignement des mathématiques au
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1999, 17 (3) 461
collège. Deuxième partie. Petit X, 19, pp. 43-72. IREM de
Grenoble.
DROUHARD, J.P., LEONARD, F., MAUREL, M., PECAL,
M. y SACKUR,C. (1995).Calculateurs aveugles, dénotation
des écritures algébriques et entretiens «faire faux». Journal
de la commission inter-IREM didactique, IREM de Clermont-
Ferrand.
FREGE, G. (1974). ¿Qué es una función? Escritos lógicos
Semánticos, pp. 73-80. Madrid: Tecnos.
GRUGEON, B. (1995). Étude des rapports institutionnels et
des rapports personnels des élèves à l'algèbre élémentaire
dans la transition entre deux cycles d'enseignement: BEP et
Première B. Universidad de París VII.
JANVIER, C. (1996). Modeling and the initiation into Algebra.
Approaches to Algebra, Bednarz et al. (eds.), pp. 225-236.
Holanda: Kluwer Publischers.
JANVIER, C., CHARBONNEAU, L. y COTRET, S. (1989).
Obstacles épistémologiques à la notion de variable: perspectives
historiques. Construction des savoirs, obstacles et conflits,
pp. 64-75. Montréal: CIRADE, Universidad de Québec.
KIERAN, C. (1980). The interpretation of equal sign: Symbol
for equivalence vs an operator symbol. Proceedings of PME,
4, Karplus (ed.). California.
KIERAN, C. (1992). The learning and teaching of school
algebra. Handbook of Research on Mathematics Teaching
and Learning. Douglas A. Grouws (ed.), pp. 390-419.
Nueva York: Macmillan.
KIERAN, C. y FILLOY YAGUE, E. (1989). El aprendizaje del
álgebra escolar desde una perspectiva psicológica. Enseñanza
de las Ciencias 7(3), pp. 229-240. Barcelona.
PANIZZA, M., SADOVSKY, P. y SESSA, C. (1995a.) On
pupil’s representations about some algebraic objets.
Comunicación en Proceedings of PME 19, Recife.
Brasil.
PANIZZA, M., SADOVSKY, P. y SESSA, C. (1995b.) Los
primeros aprendizajes de las herramientas algebraicas.
Cuando las letras entran en la clase de matemática.
Comunicación realizada a la sección REM de la reunión
anual de la Union Matemática Argentina, Córdoba.
PANIZZA, M., SADOVSKY, P. y SESSA, C. (1996). The first
algebraic learning: the failure of success. Proceedings of
PME 20, 4, pp. 107-114. Valencia. España.
VERGNAUD, G. (1984). Understanding mathematicsat the
secondary-school level. Theory, research and practice in
Mathematical Education. Documento de ICME50,
Bell, Low y Kilpatrick (eds.), pp 27-35. Nottingham.
Reino Unido.
VERGNAUD, G., CORTES, A. y FAVRE ARTIGUE, P.
(1987). Introduction de l'algèbre auprès de débutants faibles.
Problèmes épistémologiques et didactiques. Actes du colloque
de Sèvres. Didactique et acquisition des connaissances
scientifiques, pp. 259-279.
VERGNAUD, G. (1990). La théorie des champs conceptuels.
Recherche en Didactique de Mathématiques, 10(2), pp. 133-
170. Grenoble: La Pensée Sauvage.
[Artículo recibido en enero de 1998 y aceptado en febrero de 1999.]