Secuencia sobre la introducción al álgebra

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ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS ECUACIONES DE 
PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA REAL A PARTIR DE LA 
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS1 
 
CRISTIAN ANDRÉS HURTADO MORENO 
LIGIA AMPARO TORRES RENGIFO 
Autores 
 
1. ENFOQUE O PERSPECTIVA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LA ENSEÑANZA DEL 
ÁLGEBRA ESCOLAR 
Una perspectiva de introducción al álgebra y al estudio de las ecuaciones refiere a la 
propuesta de hacerlo a través de la resolución de problemas, la cual se nutre de una mirada 
a la historia de las ideas algebraicas para determinar la importancia que ha tenido en su 
desarrollo y valorarla en los procesos de enseñanza. El centro de interés en esta perspectiva 
es el planteamiento y resolución de una ecuación, que parte de un enunciado en lengua 
natural y por el cual es necesario el reconocimiento de las cantidades conocidas y 
desconocidas, su designación, establecer las relaciones entre ellas; para encontrar así, 
comúnmente, el valor que soluciona el problema planteado (Bednarz, Kieran & Lee, 1996). 
De la agenda de investigación en álgebra escolar que plantean Wagner y Kieran (1989) Puig 
y Cerdán (1988), Puig (1996) toman algunas preguntas y problemáticas de investigación 
expuesta en esta y realizan varios estudios en los cuales a partir del estudio de método de 
análisis y síntesis en los griegos y el método de análisis en Descartes analizan el proceso de 
resolución de problemas verbales aritméticos y algebraicos, utilizando estos métodos en 
ámbitos escolares. De esta manera prueban como el método de análisis y síntesis puede 
usarse como herramienta metodológica para obtener una representación de la estructura 
de un problema aritmético en lengua natural de una y varias operaciones combinadas, de 
igual forma, cómo estos tratamientos puede permitir una transición a problemas 
 
1 Secuencia didáctica realizada en el marco de la tesis de maestría Análisis didáctico de las ecuaciones de 
primer grado con una incógnita real y su impacto en la educación básica. Maestría en Educación énfasis en 
Educación Matemática, Universidad del Valle, Santiago de Cali, Colombia. 
propiamente algebraicos, apoyando así la transición a partir de la resolución de problemas 
al pensamiento algebraico propiamente. 
El trabajo de Rojano (1996) sobre el papel de los problemas y la resolución de problemas en 
el desarrollo del álgebra, se plantea en una dirección, sobre la intervención de la historia en 
los problemas didácticos, distinta a lo trazado por Puig y Cerdán sobre este asunto. En este 
sentido, la muy conocida separación que los estudiantes tienden hacer entre la manipulación 
algebraica y su uso en la modelación y la resolución de problemas tiene su origen en una 
aproximación educativa basada en una visión simplificada del álgebra, que oculta el aspecto 
semántico de su gramática. 
En este trabajo, en particular en la Unidad Didáctica, se ponen de manifiesto algunos 
factores decisivos en la evolución de la constitución del álgebra simbólica para obtener 
enseñanzas de la historia que tienen influencias hoy en la enseñanza de este simbolismo. 
Mientras que desde un punto de vista didáctico es importante preservar una apreciación del 
álgebra como un vehículo para “describir” la semántica de un problema de palabras, y por 
tanto permitiendo la resolución del problema, tal apreciación tiende a perder de vista los 
principales hechos en la constitución histórica del simbolismo algebraico. 
2. SOBRE LAS HABILIDADES Y SUS DESEMPEÑOS ASOCIADOS QUE SE MOVILIZAN EN LA 
SECUENCIA DIDÁCTICA 
De acuerdo con el Análisis y resultados de las pruebas de matemáticas del Tercer Estudio 
Internacional de Matemáticas y Ciencias [TIMSS] realizado por Álvarez, Torres & Guacaneme 
(1997), los desempeños o habilidades al menor nivel “atómico” refieren a operaciones 
intelectuales o procesos mentales sobre el quehacer matemático, en este sentido, se 
encuentran estrechamente ligados con los procesos generales anteriormente descritos, 
siendo coherente con la propuesta general del MEN (1998, 2006). 
En el estudio en mención, los autores cristalizan los procesos mentales propios de la actividad 
matemática en cinco grandes grupos de habilidades38, estas son: (1) uso de conocimientos, 
 
38 Nótese la estrecha relación que guardan los procesos mentales aludidos por estos autores con los procesos 
generales descritos por el MEN (1998). De hecho tal relación hace posible establecer una relación uno a uno 
entre ambos grupos de procesos. 
(2) uso de procedimientos, (3) investigación y resolución de problemas, (4) razonamiento 
matemático y (5) comunicación. A su vez, para cada una de estas habilidades describen los 
desempeños que se le asocian, de lo cual, es importante mencionar, carece la propuesta del 
MEN (1998, 2006). A partir de esta información se expone en la tabla 8 las expectativas de 
desempeños asociados a las habilidades que se espera logren los estudiantes al desarrollar 
la Unidad Didáctica. 
HABILIDAD DESEMPEÑO ASOCIADO 
1. Uso de conocimiento 1.1 Reconocer equivalentes: seleccionar o construir objetos matemáticamente equivalentes. 
 
 
 
2. Uso de 
procedimientos de 
rutina 
2.1 Graficar: construir una gráfica de ejes coordinados por medio de una o más 
computaciones, dibujos por puntos o el uso de propiedades conocidas de los objetos que 
están siendo graficados (asignando al menos un punto manualmente). 
2.2 Transformar: transformar por manipulación algebraica (e.g., obteniendo una nueva 
expresión para la ecuación, equivalente a la antigua ecuación). 
2.3.1 Relacionar representaciones: Expresar verbal o algebraicamente una relación expresada 
en una tabla, mapa, gráfica, etc. 
2.3.2 Relacionar representaciones: reconocer o utilizar el conocimiento de la relación entre dos 
representaciones del mismo objeto. 
2.3.3 Relacionar representaciones: encontrar objetos relacionados por transformación (e.g.: 
ecuaciones equivalentes bajo manipulación algebraica). 
2.4 Desarrollar estrategias: establecer cómo un paso de la solución fue seleccionado. 
 
 
 
 
 
3. Investigación y 
resolución problemas 
3.1. Formular y clasificar problemas: seleccionar o construir una representación matemática 
de una situación del mundo real. 
3.2 Desarrollar estrategias: estrategia mediante la transformación de una representación (e.g.: 
solucionar ecuaciones por medio de manipulaciones algebraicas para producir una 
secuencia de ecuaciones equivalentes). 
3.3 Resolver: solucionar mediante la transformación de una representación (e.g., solucionar 
ecuaciones por medio de manipulaciones algebraicas para producir una secuencia de 
ecuaciones equivalentes). 
3.4 Verificar: verificar lo correcto de una solución. 
3.5 Trasladar: trasladar un resultado a una respuesta en términos de la situación del problema 
y valorar lo razonable de la respuesta en términos de la situación. 
 
 
 
4. Razonamiento 
matemático 
4.1.1 Desarrollar algoritmos: desarrollar un procedimiento formal de solución de cierta clase o 
tipo. 
4.1.2 Desarrollar y caracterizar algoritmos: describir y realizar las características de un 
algoritmo formal de un procedimiento de solución. 
4.2 Justificar y probar: identificar la información relevante para verificar o desaprobar una 
conjetura. 
 
 
 
 
 
5. Comunicar 
5.1 Uso de vocabulario y notación: demostración del uso correcto de notación y de 
terminología matemática especializada. 
5.2 Representaciones relacionadas: establecer soluciones de problemas por medio de 
múltiples representaciones. 
5.3.1 Criticar: criticar la solución de un problema y la sensibilidad del resultado. 
5.3.2 criticar una conjetura. 
5.4 Desarrollar notación y vocabulario: desarrollar notación y vocabulario para registrar las 
acciones o resultados que aparezcan en concordancia con una situacióndel mundo real o 
con otras situaciones del problema. 
 
3. ORGANIZACIÓN DE LA SECUENCIA DIDÁCTICA 
La siguiente tabla exhibe algunos elementos estructurales de la secuencia presentada. 
 
SITUACIÓN 
PROBLEMÁTICA 
 
ENFOQUE 
ESTRUCTURA DE 
LA ECUACION 
QUE MOVILIZA 
 
No DE 
TAREAS 
 
DESCRIPCIÓN DE LA 
TAREA 
 
No DE 
ÍTEMS 
 
 
 
1. Poniendo un 
problema en 
ecuaciones 
 
 
 
Resolución de 
problemas 
 
 
 
 
𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐 
 
 
 
 
3 
 
Tarea 1: Comprendiendo el 
enunciado y estableciendo 
relaciones. 
 
8 
Tarea 2: resolviendo 
ecuaciones e identificando 
propiedades. 
 
5 
Tarea 3: validando la 
solución de la ecuación. 
 
5 
 
 
 
 
2. Un problema de 
edades en ecuaciones 
 
 
 
 
Resolución de 
problemas 
 
 
 
 
𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐𝑥 + 𝑑 
 
 
 
 
4 
Tarea 1: Reconociendo 
cantidades y relaciones 
entre ellas. 
 
4 
Tarea 2: Construyendo 
expresiones. 
 
5 
Tarea 3: Resolviendo y 
validando ecuaciones. 
 
4 
Tarea 4: Replanteando la 
situación y hallando su 
solución 
 
2 
 
 
 
3. Midiendo 
longitudes y 
obteniendo 
ecuaciones 
 
 
 
Resolución de 
problemas 
 
 
 
𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐 
 
 
 
4 
Tarea 1: Comprendiendo el 
enunciado y estableciendo 
relaciones. 
4 
Tarea 2: poner el problema 
en ecuaciones. 
 
5 
Tarea 3: Resolución de 
ecuación y validación de la 
solución. 
 
6 
Tarea 4: La ecuación lineal 
y el plano cartesiano. 
 
9 
 
4. LA SECUENCIA DIDÁCTICA 
Situación problemática 1: Poniendo un problema en ecuaciones 
Un bolígrafo cuesta $300 más que un lápiz. Un estudiante de octavo grado ha comprado 8 
bolígrafos y 15 lápices. En total le han costado $31.150 ¿Cuánto vale cada lápiz y cada 
bolígrafo? Realice las siguientes tareas de acuerdo con esta información. 
Tarea I: Comprendiendo el enunciado y estableciendo relaciones 
1. Indique las cantidades conocidas y desconocidas en el enunciado del problema. 
2. Si un lápiz cuesta $1.200 ¿Cuánto cuesta un bolígrafo? Explique de qué depende el 
valor de un bolígrafo según el problema. 
3. Si 𝑥 representa el valor de un lápiz, escriba una expresión que represente el valor de 
un bolígrafo. 
4. Complete la siguiente tabla a partir de la información dada en la situación y de las 
respuestas a los puntos anteriores. 
Cantidades Expresiones 
Precio de un lápiz 
Precio de un bolígrafo 
Número de bolígrafos comprados 
Número de lápices comprados 
Costo total de la compra 
5. Teniendo en cuenta la tabla anterior, 
a. escriba una expresión que represente el precio de los 15 lápices. 
b. escriba una expresión que represente el precio de los 8 bolígrafos. 
6. Teniendo en cuenta el punto anterior escriba la expresión que representa el costo 
total pagado por los lápices y bolígrafos. 
7. Si el costo total de los lápices y bolígrafos es de $ 31.150, utilice este dato para 
igualarlo con la expresión obtenida en el punto anterior. 
8. Complete la siguiente tabla que indica el proceso que permite solucionar el 
problema. 
 
Lenguaje verbal Expresiones 
Precio de un lápiz 𝑥 
El precio de un bolígrafo es $300 más que el precio 
de un lápiz 
 
Costo de los lápices es el número de lápices por 
precio de un lápiz 
 
Costo de los bolígrafos es el número de bolígrafos 
por precio de un bolígrafo 
 
Costo total está dado por el costo de los lápices 
más el costo de los bolígrafos 
 
Costo total en pesos de los lápices y bolígrafos 
comprado 
 
 
Tarea II: resolviendo ecuaciones e identificando propiedades 
La expresión 15𝑥 + 8(𝑥 + 300) = 31150 describe el problema dado. Para encontrar el 
valor de 𝑥 (precio de un lápiz) Oscar resuelve la ecuación de la siguiente manera: 
 15𝑥 + 8(𝑥 + 300) = 31.150 (Expresión dada) 
 15𝑥 + 8𝑥 + 2.400 = 31.150 (1) 
 23𝑥 + 2.400 = 31.150 (2) 
 23𝑥 + 2.400 − 2.400 = 31.150 − 2.400 (3) 
 23𝑥 = 28.750 (4) 
 
23 𝑥
23
=
28.750
23
 (5) 
 1𝑥 =
28750
23
 (6) 
 𝑥 = 1.250 (7) 
1. Explica el procedimiento realizado por Oscar para pasar de la expresión dada a la 
expresión (1) 
2. Señala los términos que suma Oscar en el paso 2. Indica porque se pueden sumar 
estos términos. 
3. Por qué Oscar resta 2400 en ambos miembros de la igualdad en el paso 3. 
4. Describa lo realizado por Oscar en el paso (5). 
5. Explique el proceso usado por Oscar para pasar del paso (6) al paso (7). 
Tarea III: validando la solución de la ecuación 
 Teniendo en cuenta el precio de un lápiz obtenido en la tarea 2, (𝑥 = $1.250), calcule: 
1. El precio de un bolígrafo 
2. El precio de los 15 lápices 
3. El precio de los 8 bolígrafos 
4. El costo total de los lápices y los bolígrafos 
5. De acuerdo con la respuesta del punto anterior, ¿es válido afirmar que el precio de 
un lápiz (𝑥) está bien calculado en la ecuación? Justifica tu respuesta. 
 
Situación problemática 2: un problema de edades en ecuaciones 
Ana ahora tiene el triple de la edad de su hermano David y dentro de dos años tendrá el 
doble de la edad de su hermano ¿Qué edad tiene David y Ana actualmente? Según la 
información dada en la situación problemática, responda a las siguientes tareas: 
Tarea I: Reconociendo cantidades y relaciones entre ellas. 
1. Escriba las cantidades conocidas y desconocidas que encuentra en el enunciado de 
la situación problemática. 
2. ¿Es posible que Ana tenga 36 años y David 12 años? Explique su respuesta. 
3. ¿Es posible que actualmente Ana tenga 20 años y David 10 años? Explique su 
respuesta. 
4. Juan, un amigo de Ana y David, afirma que ella tiene 6 años y que él tan solo 2 años 
¿Es cierta la afirmación de Juan? Explique su respuesta. 
Tarea II: Construyendo expresiones 
Como la edad de David es desconocida, suponga que 𝑥 representa la edad actual de David. 
De acuerdo con esto: 
1. Escriba una expresión que represente la edad actual de Ana. 
2. Escriba una expresión que represente la edad de David dentro de dos años. 
3. Escriba una expresión que represente la edad de Ana dentro de dos años. 
4. Si 2(𝑥 + 2) es la expresión que representa el doble de la edad de David dentro de 2 
años, encuentre una expresión equivalente a esta haciendo uso de la propiedad 
distributiva del producto respecto la suma. 
5. De acuerdo con las respuestas a los puntos anteriores, complete la siguiente tabla: 
Relación entre cantidades Expresión 
Edad actual de David 
Edad de David dentro de dos años 
Edad actual de Ana 3 𝑥 
Edad de Ana dentro de dos años 
Doble de la edad de David dentro de dos años 
La edad de Ana dentro de dos años es igual al doble 
de la edad de David dentro de dos años 
 
 
Tarea III: Resolviendo y validando ecuaciones 
1. Observe la siguiente tabla y complete las casillas en blanco con el procedimiento 
indicado ó con la explicación de lo efectuado en el procedimiento dado. 
 
 
Expresión que permite encontrar la solución a la 
situación problemática 
3𝑥 + 2 = 2(𝑥 + 2) 
Aplique propiedad distributiva en el miembro izquierdo 
de la expresión 
 
 3𝑥 + 2 − 2 = 2𝑥 + 4 − 2 
Realiza las operaciones entre los números naturales en 
ambos lados de la igualdad 
 
 3𝑥 − 2𝑥 = 2𝑥 − 2𝑥 + 2 
Realiza las operaciones correspondientes entre los 
términos semejantes en cada lado de la igualdad 
 
 𝑥 = 2 
 
2. Haciendo uso de la información obtenida en el punto anterior (la edad de David) 
determine la edad actual de Ana. 
3. Compare los resultados obtenidos al resolver la ecuación con los datos dados por 
Juan para las edades de Ana y David en el punto 4 de la tarea 1. ¿Qué se puede 
concluir? 
4. Remplace en la ecuación que representa la situación problemática, el valor de 𝑥 
obtenido al resolverla ¿Cómo son los resultados en cada lado de la igualdad? 
Explique este hecho. 
 
Tarea IV: Replanteando la situación y hallando su solución 
 
1. Si en el problema planteado la edad actual deAna fuera cuatro veces la edad actual 
de David, escriba la expresión (ecuación) que permitiría encontrar la edad actual de 
David y resuélvala. 
2. Suponga que en el problema al pasar cuatro años Ana sigue teniendo el doble de la 
edad de su hermano David, determine la ecuación que representa esta situación y 
resuélvala. 
 
Situación problemática 3: midiendo longitudes y obteniendo ecuaciones de primer grado 
El lado mayor de un triángulo escaleno es 4 cm más largo que el lado menor. El tercer lado 
tiene 14 cm menos que el triple de la longitud del lado menor. Si el perímetro del triángulo 
es 30 cm ¿Cuál es la longitud de cada lado? De acuerdo con la información brindada en la 
situación problemática, responda a las siguientes tareas: 
 
Tarea I: Comprendiendo el enunciado y estableciendo relaciones 
 
1. Escriba las cantidades conocidas y desconocidas dadas en el enunciado del 
problema. 
2. Escriba dos posibles longitudes para cada uno de los lados del triángulo, que 
cumplan las condiciones del problema, explica tus conjeturas. 
3. Natalia, una estudiante de octavo grado, afirma que 5 cm, 10 cm, y 15 cm son 
soluciones del problema, es decir que corresponden a las longitudes del lado de 
triángulo. Analice la validez de esta afirmación y explique su repuesta. 
4. a. Escriba de qué depende la longitud del lado mayor del triángulo. 
b. Explique de qué depende la longitud del lado intermedio. 
 
Tarea II: poner el problema en ecuaciones 
 
1. Si 𝑥 representa la longitud del lado menor del triángulo, escriba una expresión que 
represente la longitud del lado mayor del triángulo 
2. Si 𝑥 representa la longitud del lado menor del triángulo, escriba una expresión que 
represente la longitud del lado intermedio. 
3. Complete la siguiente tabla de acuerdo con los puntos 1 y 2. 
 
Relaciones entre cantidades Expresión algebraica 
Longitud del lado menor del triángulo 𝑥 
Longitud del lado mayor del triángulo 
El triple de la longitud del lado menor del triángulo 
Longitud del lado intermedio del triángulo 
 
4. Si el perímetro de un triángulo está dado por la suma de las longitudes de sus tres 
lados, escriba la expresión que representa el perímetro del triángulo descrito en la 
situación problemática. 
5. De acuerdo con el punto anterior, escriba una expresión que represente el siguiente 
enunciado: el perímetro del triángulo es igual a 30 cm. 
 
Tarea III: Resolución de ecuación y validación de la solución 
 
1. La expresión 𝑥 + (𝑥 + 4) + (3𝑥 − 14) = 30 permite encontrar la solución a la 
situación problemática. A partir de esta expresión halle la longitud del lado menor 
del triángulo haciendo uso de un proceso semejante al usado en la tarea 2 de la 
situación 2. 
2. Remplace el valor de 𝑥 obtenido al resolver la expresión que representa la situación 
problemática en dicha expresión ¿Cómo son los resultados en cada lado de la 
igualdad? Explique el hecho encontrado. 
3. Según el valor de 𝑥 encontrado, encuentre las otras dos longitudes de los lados del 
triángulo. 
4. Valide las respuestas obtenidas correspondientes a las longitudes de los lados del 
triángulo de acuerdo con el perímetro dado en la situación problemática. 
5. Si la ecuación 𝑥 + (𝑥 + 4) + (3𝑥 − 14) = 30 da cuenta de las condiciones del 
problema, encuentre otros valores para 𝑥 que hagan verdadera la igualdad. Explique 
su respuesta. 
6. Si el perímetro del triángulo escaleno en la situación problemática fuera 27.5 cm, 
encuentre los valores de los lados del triángulo y compruebe que los lados cumplen 
con las mismas condiciones dadas en el enunciado del problema. Escriba una 
reflexión al respecto. 
 
 
 
 
Tarea IV: La ecuación lineal y el plano cartesiano 
 
1. Haciendo uso del programa GeoGebra realice la gráfica de la expresión 𝑦 = 𝑥 +
(𝑥 + 4) + (3𝑥 − 14) de la siguiente manera: 
a. Luego de tener abierta la aplicación GeoGebra asegúrate de tener la pantalla en 
cuadrícula, de no ser así, actívala haciendo clic derecho sobre la pantalla en 
blanco en el plano cartesiano y posteriormente clic en cuadrícula. 
b. Digita ahora en el campo Entrada (ubicado en la parte inferior del pantallazo) la 
expresión 𝑦 = 𝑥 + (𝑥 + 4) + (3𝑥 − 14) y da clic en la tecla enter. 
c. Debe aparecer la gráfica la expresión anterior, ahora, sobre el plano cartesiano 
da clic derecho y en el campo EjeX : EjeY selecciona la opción de escala 1 : 10 
haciendo clic en ella. 
d. Finalmente, personaliza la gráfica construida en el programa dándole un color 
particular. Haz clic derecho sobre la recta y clic en el campo “propiedades”, 
posteriormente se hace clic en la pestaña color y selecciona el color que desees. 
e. ¿Cómo es la forma de la gráfica que representa la expresión introducida en el 
programa? 
2. De manera semejante que en el punto anterior, y haciendo uso del campo Entrada 
en el mismo plano cartesiano del programa GeoGebra, realiza la gráfica de la 
expresión 𝑦 = 30. 
3. Determine el punto de intersección (𝑥, 𝑦) de ambas rectas de la siguiente manera: 
a. Se hace clic en el segundo comando de la parte superior izquierda del pantallazo, 
y selecciona la opción intersección de dos objetos haciendo clic. 
b. Posteriormente, haz clic sobre una de las rectas y luego sobre la otra. Lo anterior 
debe hacer que aparezca el punto de intersección de ambas líneas rectas. 
c. Da clic derecho sobre el punto de intersección de ambas rectas y selecciona la 
opción Propiedades. En la ventana desplegada da clic sobre la opción Nombre y 
selecciona la opción Nombre y Valor. Finalmente, cierra la ventana. 
d. Lo anterior ha hecho que aparezcan las coordenadas del punto de intersección 
de ambas gráficas. 
e. ¿Qué significado tiene el punto de intersección de ambas rectas en el contexto 
del triángulo escaleno? 
4. Observe el valor de la coordenada 𝑥 del punto de intersección de ambas gráficas y 
diga qué significado tiene la coordenada en 𝑥, en el contexto de la situación 
problemática. 
5. Fernanda, una estudiante de octavo grado, afirma que es posible que existan otros 
puntos de intersección de ambas rectas. Determina si la afirmación de Fernanda 
puede o no ser cierta. Explica tu respuesta. 
6. De acuerdo con la gráfica de la expresión 𝑦 = 𝑥 + (𝑥 + 4) + (3𝑥 − 14) en el plano 
cartesiano responda: 
a. Sí la longitud del lado menor del triángulo fuera 4 cm. ¿Cuál sería el perímetro 
del triángulo? 
b. Si el perímetro del triángulo escaleno fuera 20 cm. ¿Cuál sería la longitud del 
lado menor del triángulo? 
7. Grafique utilizando el programa GeoGebra las expresiones que se dan en el punto 5 
de la tarea 3, y a partir de estas gráficas determina la longitud del lado menor del 
triángulo escaleno, según las condiciones dadas en ese punto. 
8. De acuerdo con la longitud del lado menor del triángulo obtenido en el punto 
anterior con la ayuda del programa GeoGebra, determina las longitudes faltantes 
del triángulo escaleno y verifica que cumplen todas las condiciones dadas. 
9. Con la ayuda del programa GeoGebra encuentra el valor de 𝑥 que soluciona la 
ecuación 3𝑥 + 2 = 0.5𝑥. Recuerda que en el campo Entrada debes digitar las dos 
expresiones por separado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERENCIAS 
Bednarz, N., Kieran, C. & Lee, L. (1996) (Eds). Approaches to algebra: perspectives for research 
and teaching. Londres: Kluwer Academics Publisher. 
Ministerio de Educación Nacional [MEN] (1998). Lineamientos curriculares para matemáticas. 
Bogotá, Colombia. 
Ministerio de Educación Nacional [MEN] (2006). Estándares básicos de competencias en 
matemáticas. Bogotá, Colombia. 
Puig, L. & Cerdán, F. (1988). Problemas aritméticos escolares. Madrid: Síntsis. 
Puig, L. (1996). Elementos de resolución de problemas. Granada: Comare. 
Rojano, T. (1996). Developing algebraic aspect of problem solving within a spreadsheet 
environment. En N. Bednarz, C. Kieran & Lee, L. (Eds). Approaches to algebra: 
perspectivesfor research and teaching (pp. 137-146). Londres: Kluwer Academics 
Publisher. 
Wagner, S. & Kieran, C. (Eds.) (1989). Research Issues in the Learning and Teaching of Algebra. 
Vol. 4. United States of America. National Council of Teachers of Mathematics.