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Números complejos 1 / 21
Números complejos
Rafael Ramírez Ros
Dedicación: 3 horas
Números complejos 2 / 21
Contenidos
1 Motivación
2 Definiciones
3 Operaciones
4 Raíces
Números complejos 3 / 21
Motivación
Índice
1 Motivación
2 Definiciones
3 Operaciones
4 Raíces
Números complejos 4 / 21
Motivación
Ecuaciones cuadráticas
Las soluciones de la ecuación f (x) = ax2 + bx + c = 0 son
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
.
Si b2 − 4ac < 0, no existe ninguna solución real: x 6∈ R,
pues la parábola y = f (x) no corta al eje de abcisas y = 0.
¿Existen “otras” soluciones?
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Motivación
Las “otras” soluciones
Si x = i fuera una solución de x2 + 1 = 0, diríamos que i
es la raíz cuadrada de menos uno: i =
√
−1, x = −i sería
otra solución y i2 = −1.
Con estas convenciones y las reglas aritméticas clásicas,
cualquier ecuación cuadrática tiene dos soluciones.
Ejemplo 1: Las soluciones de x2 + 121 = 0 son
x = ±
√
−121 = ±
√
121(−1) = ±
√
121
√
−1 = ±11i.
Ejemplo 2: Las soluciones de x2 − 2x + 5 = 0 son
x =
2±
√
−16
2
= 1±
√
−4 = 1±
√
4(−1) = 1± 2i.
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Motivación
Ecuaciones cúbicas
Las soluciones de la ecuación f (x) = x3 + px + q = 0 son
x = 3
√
−q/2 +
√
∆+
3
√
−q/2−
√
∆, ∆ = p3/27+q2/4.
Por Bolzano, sabemos que siempre existe al menos una
solución real, puesto que f (x) es continua y
lim
x→−∞
f (x) = −∞, lim
x→+∞
f (x) = +∞.
Ejemplo: Si p = −15 y q = −4, entonces x = 4 es una
solución real. Sin embargo, ∆ = −121, luego
x =
3
√
2 +
√
−121 + 3
√
2−
√
−121 = 3
√
2 + 11i + 3
√
2− 11i.
¿ 3
√
2 + 11i + 3
√
2− 11i = 4? ¿Cómo se calcula n
√
a + bi?
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Definiciones
Índice
1 Motivación
2 Definiciones
3 Operaciones
4 Raíces
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Definiciones
Forma binómica (o cartesiana)
Un número complejo en forma binómica es una expresión de la
forma
z = a + bi, a,b ∈ R,
donde
i =
√
−1 es la unidad imaginaria,
a es la parte real de z,
b es la parte imaginaria de z.
Notación: a = Re z y b = Im z.
z̄ = a− bi es el conjugado de z.
C es el conjunto de todos los números complejos.
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Definiciones
Forma polar (o exponencial)
Un número complejo en forma polar es una expresión de la
forma
z = reϕi, r > 0, ϕ ∈ R,
donde
e = 2.71 . . . es el número de Euler;
i =
√
−1 es la unidad imaginaria;
r es el módulo de z;
ϕ es el argumento de z;
Notación: r = |z| y ϕ = Arg z.
Atención: El argumento ϕ está determinado salvo múltiplos
enteros de 2π radianes (1 vuelta = 360 grados = 2π radianes.)
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Definiciones
Conversión Binómica↔ Polar
Fórmula de Euler: eθi = cos θ + i sin θ.
Si tenemos un número complejo z tal que
a + bi = z = reθi = r(cos θ + i sin θ) = r cos θ + ir sin θ,
entonces:
Polar a binómica: a = r cos θ y b = r sin θ.
Binómica a polar: r =
√
a2 + b2, cos θ = a/r y sin θ = b/r .
Los signos de a y b nos dicen en qué cuadrante está z,
luego podemos determinar θ usando una de las fórmulas:
cos θ = a/r , sin θ = b/r , tan θ = b/a.
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Operaciones
Índice
1 Motivación
2 Definiciones
3 Operaciones
4 Raíces
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Operaciones
Operaciones en forma binómica
Sean z = a + bi y w = c + d i.
Suma: z + w = (a + c) + (b + d)i
Resta: z − w = (a− c) + (b − d)i
Producto: La propiedad distributiva y i2 = −1 implican que
z · w = ac + ad i + bci + bd i2 = (ac − bd) + (ad + bc)i.
Elemento inverso: Si z 6= 0, entonces
1
z
=
1
a + bi
· a− bi
a− bi
=
a− bi
a2 + b2
=
z̄
|z|2
.
Cociente: Si z 6= 0, entonces
w
z
=
c + d i
a + bi
· a− bi
a− bi
=
ac + bd + (ad − bc)i
a2 + b2
.
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Operaciones
Operaciones en forma polar
Sean z = reθi y w = ρeϕi.
Suma/resta: ¡No!
Conjugado: z̄ = re−θi.
Producto: z · w = rρe(θ+ϕ)i.
Cociente: Si z 6= 0, entonces w/z = (ρ/r)e(ϕ−θ)i.
Potencias: Si n ∈ Z, entonces zn = rnenθi.
Moraleja
Para sumar y restar usaremos la forma binómica. Para
multiplicar, dividir y calcular potencias usaremos la forma polar.
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Operaciones
Propiedades
C es un cuerpo con las operaciones suma y producto. Es
decir, esas operaciones son conmutativas, asociativas,
cumplen la propiedad distributiva, existencia de elemento
neutro de la suma: z = 0 y del producto: z = 1, existencia
de elemento opuesto de la suma: −z y elemento inverso
del producto: 1/z.
|z · w | = |z| · |w |.
z · z̄ = |z|2.
z + w = z̄ + w̄ .
z · w = z̄ · w̄ .
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Operaciones
Las potencias de i
Calculamos las primeras potencias de la unidad imaginaria:
i0 = 1
i1 = i
i2 = −1
i3 = i2i = −i
i4 = (i2)2 = (−1)2 = 1
i5 = i4i = i
i6 = i4i2 = i2 = −1
i7 = i4i3 = i3 = −i
i8 = (i4)2 = 12 = 1
i9 = i8i = i
i10 = i8i2 = i2 = −1
i11 = i8i3 = i3 = −i
En general, si la división entera n/4 tiene cociente c y resto r ,
entonces n = 4c + r y
in = i4c · ir = (i4)c · ir = 1c · ir = ir .
Ejemplo: i2019 = i3 = −i pues 2019 = 2016 + 3 = 4 · 504 + 3.
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Operaciones
Un poco de trigonometría
Si n ∈ N, la fórmula de De Moivre dice que(
cos θ + i sin θ
)n
=
(
eθi
)n
= enθi = cos(nθ) + i sin(nθ).
Esto permite deducir las fórmulas para ángulos dobles y triples:
cos(2θ) + isin(2θ) =
(
cos θ + i sin θ
)2
= cos2 θ + 2 cos θ i sin θ + i2 sin2 θ
= cos2 θ − sin2 θ + i2 cos θ sin θ,
cos(3θ) + isin(3θ) =
(
cos θ + i sin θ
)3
= cos3 θ + 3 cos2 θi sin θ + 3 cos θi2 sin2 θ + i3 sin3 θ
= cos3 θ − 3 cos θ sin2 θ + i
(
3 cos2 θ sin θ − sin3 θ
)
= 4 cos3 θ − 3 cos θ + i
(
3 sin θ − 4 sin3 θ
)
.
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Operaciones
Más trigonometría
También podemos deducir la fórmula para el ángulo suma:
e(α+β)i = cos(α + β) + isin(α + β),
e(α+β)i = eαieβi
= (cosα + i sinα)(cosβ + i sinβ)
= cosα cosβ + i cosα sinβ + i sinα cosβ + i2 sinα sinβ
= cosα cosβ − sinα sinβ + i (cosα sinβ + sinα cosβ) .
Moraleja
La forma más simple de deducir muchas fórmulas
trigonométricas consiste en operar con números complejos.
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Raíces
Índice
1 Motivación
2 Definiciones
3 Operaciones
4 Raíces
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Raíces
Fórmula
Dado z = reθi 6= 0, queremos encontrar todas sus raíces
n-ésimas. Es decir, queremos resolver la ecuación xn = z.
Esta ecuación tiene n soluciones complejas de la forma1
xk =
n
√
reϕk i, ϕk =
θ
n
+
2π
n
k , k = 0,1, . . . ,n − 1.
Estas raíces forman un polígono regular de n lados centrado
en el origen, pues todas tienen el mismo módulo y sus
argumentos difieren en 1/n de vuelta. Además,
Suma raíces = 0, Producto raíces = (−1)n+1z.
1Al imponer que x = ρeϕi cumpla la ecuación, obtenemos que
ρnenϕi = xn = z = reθi ⇒
{
Módulos iguales: ρ = n
√
r
Argumentos congruentes: nϕ = θ + 2πk , k ∈ Z
Números complejos 20 / 21
Raíces
Ejemplo 1: Raíces cuartas de la unidad
En este caso, z = 1 y n = 4. Buscamos cuatro números
complejos x0, x1, x2 y x3 tales que x4 = 1.
1 Fórmula: z = 1 tiene módulo r = 1 y argumento θ = 0,
luego sus raíces cuartas son
xk =
4
√
1eϕk i = eikπ/2 = cos(kπ/2) + i sin(kπ/2).
Es decir, x0 = 1, x1 = i, x2 = −1 y x3 = −i.
2 Geometría: Como 14 = 1, x0 = 1 es la primera raíz cuarta.
Las cuatro raíces forman un cuadrado centrado en el
origen, luego deducimos que x1 = i, x2 = −1 y x3 = −i.
3 Factorizar: x4 − 1 = (x2 + 1)(x + 1)(x − 1).
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Raíces
Ejemplo 2: ¿ 3
√
2 + 11i + 3
√
2− 11i = 4?
Si z± = 2± 11i = re±θi, entonces
r =
√
22 + 112 =
√
125 = 53/2, tan θ = 11/2.
Una pareja de raíces cúbicas x± = 3
√
2± 11i es
x± = 3
√
re±iθ/3 =
√
5 cos(θ/3)± i
√
5 sin(θ/3) = 2± i,
pues mediante una calculadora podemos comprobar que
√
5 cos(θ/3) =
√
5 cos
(
atan(11/2)/3
)
= 2,
√
5 sin(θ/3) =
√
5 sin
(
atan(11/2)/3
)
= 1.
Por tanto, x+ + x− = (2 + i) + (2− i) = 4.
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