GUIA_3 _IRRACIONALES_8_

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INSTITUCION EDUCATIVA LA LIBERTAD – BUCARAMANGA 
Carrera 31 No. 101 – 24 B. La Libertad 
 
GESTION ACADEMICA 
 
GA-FTO: 01 
Versión:01 
Fecha: mayo 
2020 
GUIA DE CLASE TALLER EVALUACIÓN 
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HISTORIA DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES 
 
Aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los números irracionales intentando escribir 
la raíz de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometría). Pero en su lugar demostró que no se 
puede escribir como fracción, así que es irracional. 
 
Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque creía que todos los números 
tienen valores perfectos. 
 
Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción - el decimal sigue para siempre 
sin repetirse. 
 
Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es 
 
3,1415926535897932384626433832795 (y más...) 
 
Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi. 
 
Números como 22/7 = 3,1428571428571... Se acercan pero no son correctos. 
 
 
Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o fracción) 
 
 
Racional o irracional 
 
Pero si un número se puede escribir en forma de fracción se le llama número racional: 
 
Ejemplo: 9,5 se puede escribir en forma de fracción así 
 
19/2 = 9,5 así que no es irracional (es un número racional) 
Aquí tienes más ejemplos: 
 
Números En fracción 
¿Racional o 
Irracional? 
5 5/1 Racional 
1,75 7/4 Racional 
.001 1/1000 Racional 
√2 
? ¡Irracional! 
(raíz cuadrada de 2) 
AREA: MATEMATICA ASIGNATURA: 
MATEMATICAS 
DOCENTE: JACKELINE GONZALEZ 
PERIODO: PRIMERO GRADO: 8° FECHA:02/02/2021 Guía Nº 3 
TEMA: NUMEROS IRRACIONALES 
 LOGRO: * Identifico y utilizo números irracionales en la solución de diversas situaciones. 
 Aplico los números irracionales en la solución de ejercicios y problemas. 
INSTRUCCIÓN: 
LEER LA GUIA Y RESPOSNDER LAS PREGUNTAS SUGERIDAS. 
NOMBRE: GRADO Y GRUPO: 
DEBE SER ENTREGADO AL WASAP: 3222290799 FECHA DE ENTREGA:16/04/2021 
http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/pi.html
http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/numeros-racionales.html
 
 
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Carrera 31 No. 101 – 24 B. La Libertad 
 
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Versión:01 
Fecha: mayo 
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Ejemplo: ¿La raíz cuadrada de 2 es un número irracional? 
 
Mi calculadora dice que la raíz de 2 es 1,4142135623730950488016887242097, ¡pero eso no es todo! De 
hecho sigue indefinidamente, sin que los números se repitan. 
 
No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz de 2. 
 
Así que la raíz de 2 es un número irracional 
 
Números irracionales famosos 
 
Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de 
cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos: 
 
3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...) 
 
El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se 
han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. 
Los primeros decimales son: 
 
2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...) 
 
 
La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son: 
 
1,61803398874989484820... (y más...) 
 
 
Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. 
Ejemplos: 
 
√3 1,7320508075688772935274463415059 (etc) 
 
√99 9,9498743710661995473447982100121 (etc) 
 
Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son 
irracionales. 
 
 
CLAVE MATEMATICA 
 
Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto, no se 
pueden expresar en forma de fracción. 
 
El número irracional más conocido es , que se define como la relación entre la longitud de la 
circunferencia y su diámetro. 
 
= 3.141592653589... 
 
 
Otros números irracionales son: 
 
El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la 
catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos. 
http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/pi.html
http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/e-euler-numero.html
http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/razon-oro.html
 
 
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e = 2.718281828459... 
 
El número áureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, 
Dalí,..) en las proporciones de sus obras. (Razón de oro) 
 
 
 
 
 
 
REPRESENTACION GRAFICA DE LOS NUMEROS I 
 
También los números irracionales, las raíces, por ejemplo, se representan en la recta. 
La recta numérica, como hasta ahora la hemos trabajado, es una línea en la cual podemos ubicar los números 
enteros y racionales, estos casi completan la recta numérica, los espacios que quedan se llenan con los números 
irracionales. Para representar los irracionales vamos a utilizar el teorema de Pitágoras. 
 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Formula que en todo triangulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los 
cuadrados de las longitudes de los catetos. 
 
Observa la siguiente figura y dibújala en tu cuaderno. 
Seguimos las siguientes instrucciones: 
 
1. Dibujamos sobre la recta numérica, en la unidad de 0 y 1, un cuadrado cuyo lado mida una unidad. 
2. Trazamos la diagonal del cuadrado que pasa por cero .la medida de esta diagonal la calculamos 
aplicando el Teorema de Pitágoras, donde a y b corresponden a las medidas de los lados más cortos 
del triángulo y c es su hipotenusa: c 2 = a 2 + b 2 , 12 + 12 = C2 
Despejamos y obtenemos que C=√2 
3. Con el compás trasladamos la medida de esa diagonal a la recta numérica, dejando fija la punta del 
compás en cero. El compás marca sobre la recta un número menor pero cercano a 1,5; recordemos que 
√2 = 1.4142 
4. Si queremos ubicar √3 trazamos un segmento perpendicular a la recta pasando por √2 cuya longitud 
sea 1. 
 
 
 
 
 
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 c 
 1 b 
 
 
 
 
 a 
 
 
Clasificación de los números irracionales 
 
Dentro de la recta real numérica existen varios conjuntos de números, pero dentro de los números 
irracionales hay más tipos para clasificar, estos son: 
 
Número algebraico.- se les llama así a los números irracionales que surgen de resolver alguna ecuación 
algebraica y se escribe con un número finito de radicales libres o anidados. En general, las raíces no exactas 
de cualquier orden se encuentran dentro de este conjunto, es decir las raíces cuadradas, cúbicas, etc. 
 
Número trascendente.- este es un número irracional que no puede ser representado a través de un número 
finito de radicales libres o anidados, estos provienen de otro tipo de operaciones llamadas funciones 
trascendentes utilizadas mucho en trigonometría, logaritmos, exponenciales, etcétera. Aunque también 
pueden surgir de la simple acción de escribir números decimales al azar sin periodicidad y sin un patrón 
determinado, podemos decir que son decimales infinitos. 
 
Este último tipo, se diferencia del anterior porque no puede ser el resultado de una ecuación algebraica, en 
otras palabras, son relevantes a la clasificación porque no tienen una representación con un número radical. 
 
Ejemplos de números irracionales 
 
En primer lugar vamos a anotar los ya mencionados números irracionales algebraicos con ejemplos, ya 
habíamos hablado de √2 o raíz cuadrada dedos que resulta de una ecuación algebraica, pero también 
tenemos otros ejemplos que podrían resultar son: 
 
(1+√3) /2 
(1+√3) / 4 
 
Por otro lado, tenemos a los números irracionales trascendentes, que no pueden representarse mediante 
radicales como se lo ha hecho en el ejemplo anterior, sino que deben ser representados con decimales infinitos 
no periódicos, y con tres puntos suspensivos para denotar que son infinitos, de lo contrario estaríamos 
escribiendo números durante toda la eternidad, así: 
 
0,1961325454898161376813268743781937693498749… 
0,01001000100001000001000000100000001000000001… 
 
 
TALLER 
 
1. Realiza una tabla para colocar los siguientes números N, Q, Z, o I 
 
Coloca cada número al mayor conjunto numérico al que pertenezca: 
, , , , , , , . , - , , 12,5 
 
 
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2. Clasifica como racional o irracional cada número. 
 
 
 
 
 
3. Determina la longitud desconocida en cada caso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. Ubica los siguientes números irracionales sobre la misma recta siguiendo el procedimiento explicado 
(debes encontrar una diagonal cuya medida sea cada uno de ellos). 
 
 
 
Para profundizar el tema referirse al siguiente link: 
 
https://www.youtube.com/watch?v=rV2-jfe2hdE números irracionales 
https://www.youtube.com/watch?v=uLO7I8ULrdU representación en la recta 
https://co.video.search.yahoo.com/yhs/search?fr=yhs-dcola-001&hsimp=yhs-
001&hspart=dcola&p=formula+teorema+de+pitagoras#id=1&vid=f0b1cd1cf51a639a542578264740eb6f&action=click 
Teorema de Pitágoras. 
https://co.video.search.yahoo.com/yhs/search?fr=yhs-dcola-001&hsimp=yhs-
001&hspart=dcola&p=video+area+del+circulo+y+perimetro#id=4&vid=6a5af625db15a0f112d5d76aacf3b1df&action=vie
w área del círculo y perímetro. 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=rV2-jfe2hdE
https://www.youtube.com/watch?v=uLO7I8ULrdU
https://co.video.search.yahoo.com/yhs/search?fr=yhs-dcola-001&hsimp=yhs-001&hspart=dcola&p=formula+teorema+de+pitagoras#id=1&vid=f0b1cd1cf51a639a542578264740eb6f&action=click
https://co.video.search.yahoo.com/yhs/search?fr=yhs-dcola-001&hsimp=yhs-001&hspart=dcola&p=formula+teorema+de+pitagoras#id=1&vid=f0b1cd1cf51a639a542578264740eb6f&action=click
https://co.video.search.yahoo.com/yhs/search?fr=yhs-dcola-001&hsimp=yhs-001&hspart=dcola&p=video+area+del+circulo+y+perimetro#id=4&vid=6a5af625db15a0f112d5d76aacf3b1df&action=view
https://co.video.search.yahoo.com/yhs/search?fr=yhs-dcola-001&hsimp=yhs-001&hspart=dcola&p=video+area+del+circulo+y+perimetro#id=4&vid=6a5af625db15a0f112d5d76aacf3b1df&action=view
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