ANUALIDADES

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MATEMÁTICAS FINANCIERAS 
 
 
 
 
 
 
 
TEMA: 
 
A N U A L I D A D E S 
 
● CONTENIDO ● 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AUTOR: 
 
 
 
 
 
Santo Domingo, D. N. 
 Rep. Dom. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tulio A. Mateo Duval 
Tulio A. Mateo Duval Anualidades 
 
 
 
1 
 
MATEMÁTICAS FINANCIERAS 
 
A N U A L I D A D E S 
 
CONTENIDO: 
1. Definición 
2. Elementos de una Anualidad 
3. Clasificación de las Anualidades 
4. Anualidad Vencida Simple 
4.1 Monto de una Anualidad Vencida Simple 
4.1.1 Cálculo de la Renta 
4.1.2 Cálculo del Plazo o Duración 
4.1.3 Cálculo de la Tasa de Interés 
4.2 Valor Actual de las Anualidades Vencidas y Diferidas Simples 
4.2.1 Cálculo de la Renta 
4.2.2 Cálculo del Plazo o Duración 
4.2.3 Cálculo de la Tasa de Interés 
5. Anualidad Vencida General 
5.1 Cálculo del Monto, Valor Actual, Renta, Plazo y Tasa de Interés 
 de una Anualidad Vencida General 
6. Anualidad Anticipada Simple 
6.1 Monto de una Anualidad Anticipada Simple 
6.1.1 Cálculo de la Renta 
6.1.2 Cálculo del Plazo o Duración 
6.1.3 Cálculo de la Tasa de Interés 
6.2 Valor Actual de las Anualidades Anticipadas y Diferidas Simples 
6.2.1 Cálculo de la Renta 
6.2.2 Cálculo del Plazo o Duración 
6.2.3 Cálculo de la Tasa de Interés 
7. Anualidad Anticipada General 
7.1 Cálculo del Monto, Valor Actual, Renta, Plazo y Tasa de Interés 
 de una Anualidad Anticipada General 
8. Anualidad Perpetua o Perpetuidad 
8.1 Anualidad Perpetua Vencida 
8.2 Anualidad Perpetua Anticipada 
9. Amortización y Fondos de Amortización 
9.1 Amortización de Deudas. Tabla de Amortización 
9.1.1 Saldo Insoluto, Derechos Adquiridos por el Deudor y 
 Saldo a Favor del Acreedor 
9.2 Fondo de Amortización. Tabla de un Fondo de Amortización 
9.2.1 Cálculo del Total Acumulado en un Fondo de Amortización y 
 del Saldo Insoluto en Cualquier Fecha 
10. Resumen de Fórmulas Relativas a las Anualidades 
Tulio A. Mateo Duval Anualidades 
 
 
 
2 
 
 
MATEMÁTICAS FINANCIERAS 
 
 
■ A N U A L I D A D E S 
 
1. DEFINICIÓN 
 
En las transacciones comerciales y financieras es común emplear, en vez de un pago único al término de un 
plazo, una anualidad o renta, esto es, un conjunto de abonos fijos a intervalos iguales de tiempo. Ejemplos de 
anualidades: pago de las cuotas mensuales de un préstamo hipotecario, los dividendos trimestrales sobre acciones 
preferidas, pagos bimestrales de la prima del seguro de un vehículo, los pagos mensuales de un contrato de alquiler de 
un apartamento, el cobro quincenal del sueldo, los abonos mensuales efectuados para pagar una nevera comprada a 
crédito, los depósitos semestrales realizados en un fondo de amortización para financiar la sustitución de una 
maquinaria, etc. 
 
Se denomina Anualidad o Renta a una serie de pagos o sumas de dinero, generalmente de igual cuantía, que 
vencen a intervalos iguales de tiempo. Aún cuando el vocablo anualidad sugiere que los pagos son anuales, no 
debemos entenderlo siempre así, pues la frecuencia de los pagos puede ser cualquier otra: semestral, trimestral, 
bimestral, mensual, etc. En resumen, por anualidad no asumiremos pagos anuales, sino pagos fijos que vencen a 
intervalos de tiempo iguales. 
 
 
2. ELEMENTOS DE UNA ANUALIDAD 
 
Una anualidad queda completamente definida mediante sus cuatro (4) elementos, a saber: 
 
a) Renta o pago periódico de la anualidad (R): es el nombre que se da a la cuantía o valor de cada uno de los 
pagos periódicos de la anualidad. 
 
b) Periodo de los pagos o periodo de la anualidad : es el espacio de tiempo fijado entre el vencimiento de 
pagos o capitales sucesivos de la misma (año, semestre, bimestre, cuatrimestre, quincena, etc.). 
 
c) Plazo o duración de la anualidad : es el intervalo comprendido entre el inicio del primer periodo y la 
finalización del último, o sea, el número total de periodos o de pagos de la anualidad (n). 
 
d) Tasa de interés de la anualidad : es la tasa anual de interés compuesto que aplica a los abonos o 
depósitos de la anualidad, con capitalización periódica que puede coincidir o no con el periodo de los 
pagos. 
 
 
▶ Ejemplo 1 
Para financiar la sustitución quinquenal de una maquinaria, una empresa deposita $132,000.00 al término de 
cada año en un fondo que abona el 8.75% compuesto anual. Identifique los elementos y represente gráficamente la 
anualidad. 
 
SOLUCIÓN: 
a) Renta o pago periódico: R = $132,000.00 b) Periodo de los pagos = año 
 
c) Plazo o duración de la anualidad: n = 5 años d) j = 15% m = 1 
0
R = $ 1 3 2 ,0 0 0
1 5 a ñ o s42 3
j = 8 . 7 5 % m = 1
 
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3 
 
 
3. CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES 
 
Bajo el título general de anualidades existe una gran variedad de ellas. Una anualidad puede tener o no sus 
fechas de inicio y término definidas, o pueden sus pagos efectuarse al inicio o al final de cada periodo. Asimismo, la 
frecuencia de sus abonos puede coincidir o no con la frecuencia de capitalización de los intereses, así como el primer 
pago puede realizarse en el primer periodo o algunos periodos después. Dependiendo de éstos y otros factores, para 
fines de estudio, las anualidades se clasifican de acuerdo con los siguientes criterios: 
 
 
CRITERIO TIPO DESCRIPCIÓN 
CIERTAS En éstas los pagos comienzan y terminan en fechas perfectamente determinadas. TIEMPO (se refiere a las 
fechas de 
inicio/término del 
plazo) 
CONTINGENTES 
En éstas la fecha de vencimiento del primer o del último pago, 
o de ambos, depende de algún suceso previsible, pero cuya 
fecha de realización no puede fijarse. 
VENCIDAS Las anualidades vencidas u ordinarias son aquellas en las que los pagos se efectúan al final de cada periodo. 
VENCIMIENTO 
DE LOS PAGOS 
(se refiere al 
momento en que 
se efectúan los 
pagos) 
ANTICIPADAS Las anualidades anticipadas son aquellas en las que los pagos 
se efectúan al inicio de cada periodo. 
SIMPLES En éstas el periodo de los pagos coincide con el periodo de capitalización de los intereses. 
CONCORDANCIA 
O NO DE 
PERIODOS 
(se refiere a la 
coincidencia o no 
del periodo de los 
pagos y del 
periodo de 
capitalización de 
los intereses) 
GENERALES En éstas el periodo de los pagos no coincide con el periodo de capitalización de los intereses. 
INMEDIATAS En éstas el primer pago se efectúa al inicio o al final del primer periodo de la anualidad (anticipada o vencida). 
INICIACIÓN DE 
LOS PAGOS 
(se refiere al 
momento en que 
se comienzan a 
realizar los pagos) 
DIFERIDAS Son aquellas en las que se estipula que el primer pago debe 
efectuarse después de transcurrido cierto número de periodos. 
 
 
Como los criterios de clasificación antes vistos no son mutuamente excluyentes, eligiendo una característica de 
cada criterio se pueden formar diferentes tipos de anualidades, resultando que, en las más usuales, predominan las 
modalidades: ciertas, simples, inmediatas (vencidas y anticipadas) y diferidas. 
 
Cabe mencionar además la anualidad perpetua o perpetuidad, una variante de las anualidades ciertas, la cual se 
caracteriza porque los pagos periódicos se efectúan por tiempo ilimitado. 
 
Abordaremos aquí el estudio de las anualidades ciertas, comenzando con las simples e inmediatas (vencidas y 
anticipadas) por ser las más empleadas en el sistema financiero. También se analizan las anualidades diferidas y las 
generales, tomando en cuenta, que en este último caso, “cualquier anualidad general se puede convertir en simple si se 
emplea la correspondiente tasa de interés equivalente”. 
 
Comencemos efectuando el cálculo del monto acumulado al final del plazo de una anualidad vencida simple. 
 
▶ Ejemplo 2 
¿Qué cantidad se acumulará en 2 años si se depositan$20,000.00 al final de cada semestre en una cuenta de 
inversiones que abona un 10% anual capitalizable semestralmente? 
 
SOLUCIÓN: 
a) Renta o pago periódico: R = $20,000.00 b) Periodo de los pagos = semestre 
c) Plazo duración de la anualidad: n = 4 semestres d) i = 10/2 = 5% semestral e) S = ? 
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4 
 
 
0
R = $20,000
1 4 sem32
i = 5%
n = 3
n = 2
n = 1
S = ?
Si nos ubicamos al final del plazo y efectuamos la sumatoria de los montos de cada
uno de los pagos desde sus respectivos vencimientos, obtendremos a “S”:
 
50.202,86$)05.01(000,20)05.01(000,20)05.01(000,20000,20 321 S 1 
 
 
 
4. ANUALIDAD VENCIDA SIMPLE 
 
Una anualidad vencida simple es aquella cuyos pagos vencen al final de cada uno de los periodos que la 
componen, siempre y cuando éstos coincidan con los periodos de capitalización de los intereses. Ejemplo de este tipo 
de anualidad, además del caso visto en el Ejemplo 2, lo constituye el conjunto de 12 pagos mensuales por valor de 
$28,500.00 c/u, correspondientes al alquiler de un local comercial, si los mismos son depositados en una cuenta 
bancaria que paga intereses a razón del 8% anual convertible mensualmente. 
 
 
4.1 MONTO DE UNA ANUALIDAD VENCIDA SIMPLE 
 
El monto o valor futuro de una anualidad vencida simple "S" es el valor de dicha anualidad calculado en su fecha 
de terminación. Se obtiene al sumar los montos que acumulan cada uno de los pagos desde sus respectivos 
vencimientos hasta el final de la duración de la anualidad. 
0
R 
1 n2 3 i n-1n-2
S
n = número de periodos
i = tasa de in terés por periodo
R = renta o pago periód ico 
S = m onto de la anualidad
 
Para deducir una fórmula que permita obtener directamente el monto o valor futuro de una anualidad vencida 
simple "S" se ejecuta el mismo proceso seguido en el Ejemplo 2, pero trabajando con pagos “R” invertidos a la tasa 
de interés “i” por periodo de capitalización y por “n” periodos de capitalización: 
 
121 )1()1()1(  niRiRiRRS  (A) 
 
Multiplicando ambos miembros por )1( i se tiene: 
 niRiRiRiRiS )1()1()1()1()1( 321   (B) 
 
1 Esta operación es la que se conoce como monto de una anualidad vencida simple. 
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5 
 
 
Restando miembro a miembro las expresiones “B − A “, se obtiene: 
 
RiRiS n  )1(. 
 
Factorizando se tiene:  1)1(  niRiS 
 
Despejando a “S” de la expresión anterior, se obtiene la fórmula que permite hallar el monto de una anualidad 
vencida simple: 
 
  
i
iRS
n 1)1( 
 MONTO ANUALIDAD VENCIDA SIMPLE [1] 
 
▶ Ejemplo 3 
Resolver el Ejemplo 2 empleando la fórmula [1] encontrada anteriormente. 
 
SOLUCIÓN: 
 
a) Renta o pago periódico: R = $20,000.00 b) Periodo de los pagos = semestre 
 
c) Plazo o duración de la anualidad: n = 4 semestres d) i = 10/2 = 5% semestral e) S = ? 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [1], se obtiene: 
 
 
  50.202,86$
05.0
1)05.01(000,20
4


S 
 
 
▶ Ejemplo 4 
Si una persona deposita $1,450.00 al final de cada trimestre en una cuenta bancaria que abona un 12% 
compuesto trimestralmente, ¿cuánto será el balance de la cuenta al cabo de 9 años? ¿Cuál es el interés total ganado? 
 
SOLUCIÓN: 
 
R = $1,450.00 j = 12% m = 4 i = 0.12/4 = 3% trimestral t = 9 años 
 
trimestresn 3649  S = ? 
 
a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [1], se obtiene el balance de la cuenta al cabo de los 9 años: 
 
  12.750,91$
03.0
1)03.01(450,1
36


S 
 
b) Interés total ganado = S − Depósitos = 91,750.12 − 36 × 1,450 = $39,550.12 
 
 
▶ Ejemplo 5 
Un señor decide ahorrar $15,000.00 al final de cada bimestre durante 5 años en una institución financiera que 
paga el 9% anual capitalizable bimestralmente. 
a) ¿Cuánto será su balance al final del plazo? 
b) Si al finalizar el plazo no se retira ni se deposita nada, ¿cuál será el balance de la cuenta 3 años 
después del último depósito? 
 
SOLUCIÓN: 
 
R = $15,000.00 j = 9% m = 6 i = 0.09/6 = 1.5% bimestral t = 5 años 
 
bimestresn 3065  S = ? 
 
a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [1], se obtiene el balance al final del plazo: 
 
   22.080,563$
015.0
1)015.01(000,15
30


S 
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6 
 
 
b) Como el balance anterior está disponible al término de los 5 años, luego el mismo se quedará capitalizando 
los intereses generados durante 18 periodos (3 años × 6 bim.) adicionales. Por tanto, el balance pedido se obtiene al 
calcular el monto compuesto de los $563,080.22 a la tasa de interés del 1.5% bimestral y al cabo de los 18 bimestres: 
 
65.137,736$)015.01(22.080,563 18 S 
 
 
▶ Ejemplo 6 
Andrés Ramírez efectúa un depósito inicial de $6,000.00 en una cuenta de ahorros que abona el 1% mensual. Si 
acordó depositar $3,000.00 al final de cada mes durante 1½ años y $4,000.00 al final de cada mes durante los 2 años 
siguientes, ¿cuál sería el balance de la cuenta al término de los 3½ años? ¿cuánto se ganaría por concepto de 
intereses? 
 
0
R=$3,000
1 2 18
i =1% 
S
Depósito inicial = $6,000.00
i = tasa de interés por periodo = 1%
S 1 = m onto anualidad con R=$3,000.00
R=$4,000
3 19 42 meses222120… … … … … …
$6,000
S2S 1
n=42
n=24
S 2 = m onto anualidad con R=$4,000.00
S = monto total pedido a los 3½ años
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [1], se obtienen los montos o valores futuros de las 2 
anualidades: 
 
  24.844,58$
01.0
1)01.01(000,3
18
1 

S 
 
 
  86.893,107$
01.0
1)01.01(000,4
24
2 

S 
 
a) Usando la fórmula del monto compuesto, se capitalizan los valores del depósito inicial y del monto de la 
anualidad "S1", sumándosele al valor de "S2", a los fines de obtener el balance pedido "S" : 
 
17.723,191$86.893,107)01.01(24.844,58)01.01(000,6 2442 S 
 
b) Interés total que se ganaría = S − Depósitos = 191,723.17 − 6,000 − 18 × 3,000 − 24 × 4,000 = $35,723.17 
 
 
 
4.1.1 CÁLCULO DE LA RENTA 
 
En ocasiones se requiere obtener el valor de la renta o de los pagos (o depósitos) periódicos "R", partiendo de un 
monto o valor futuro específico de una anualidad vencida simple "S", de una duración "n" y una tasa de interés por 
periodo " i ". En tales casos, el cálculo de la renta se realiza con la expresión que resulta al despejar a "R" de la 
fórmula [1]: 
 
]1)1[(
.

 ni
iSR VALOR DE LA RENTA [2] 
 
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7 
 
 
▶ Ejemplo 7 
¿Cuánto deberá ahorrar una persona al final de cada semestre en una cuenta bancaria que paga el 8% anual 
capitalizable semestralmente para acumular la suma de $120,000.00 al cabo de 6 años? ¿Cuánto se gana por concepto 
de intereses? 
 
SOLUCIÓN: 
 
S = $120,000.00 j = 8% m = 2 i = 8/2 = 4% semestral t = 6 años 
 
n = 6  2 = 12 semestres R = ? I = ? 
 
a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [2], se obtiene: 
 
26.986,7$
]1)04.01[(
04.0000,120
12 

R 
 
b) El interés total que se gana resulta al restar la suma acumulada "S" menos los depósitos efectuados "n.R" : 
 
 RnSI t . [3] 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [3], se tiene: 
 
88.164,24$26.986,712000,120 tI 
 
▶ Ejemplo 8 
Calcular cuánto se debería ahorrar al final de cada mes durante los próximos 7 años si se deseara acumular 
$300,000.00efectuando depósitos en un fondo que paga el 15% compuesto mensualmente. 
 
SOLUCIÓN: 
 
S = $300,000.00 j = 15% m = 12 i = 15/12 = 1.25% mensual t = 7 años 
 
mesesn 84127  R = ? 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [2], se obtiene: 
 
03.039,2$
]1)0125.01[(
0125.0000,300
84 

R 
 
 
▶ Ejemplo 9 
Con un depósito inicial de $5,000.00 y 10 depósitos iguales a efectuarse al final de cada mes se desea llevar el 
balance de una cuenta bancaria que abona el 1.1% mensual a que alcance la suma de $19,766.27. ¿Cuál sería el valor 
de los depósitos para que al cabo de los 10 meses se tenga acumulado dicho monto? 
 
SOLUCIÓN: 
 
0
R=?
1 2
i =1.1% 
S
D epósito in ic ia l = $5,000.00
i = tasa de in terés por periodo = 1.1%
3 10 m eses… … …
$5,000 S1
n= 10
S 1 = m onto de la anualidad con R =?
S = m onto tota l a acumu lar
4
 
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8 
 
 
Como vemos, la suma del monto compuesto del depósito inicial (hasta el final del plazo) más el monto de la 
anualidad deberá alcanzar la suma de $19,766.27. 
 
27.766,19)011.01(000,5 1
10  S 
 
A partir de esta relación, se obtiene el valor del monto que se deberá acumular mediante los depósitos periódicos 
de la anualidad "S1" : 
 
 27.766,1904.578,5 1  S 
 
 04.578,527.766,191 S 
 
 23.188,14$1 S 
 
Conocido el monto de la anualidad "S1" y mediante la fórmula [2], se obtiene el valor de los depósitos: 
 
00.350,1$
]1)011.01[(
011.023.188,14
10 

R 
 
 
4.1.2 CÁLCULO DEL PLAZO O DURACIÓN 
 
Si se conoce el monto "S" de una anualidad vencida simple, la tasa de interés por periodo " i " y el valor de la 
renta "R" , puede calcularse el valor de "n" , o sea, el número total de periodos (o de pagos) de la anualidad, mediante 
la expresión que resulta al despejar a "n" de la fórmula [1]: 
 
)1(log
1log
i
i
R
S
n






 
 VALOR DE LA DURACIÓN [4] 
 
Dado que "n" representa el número total de periodos, por consiguiente si se quisiese el tiempo expresado en 
años 2 se procedería a dividir el valor obtenido con la fórmula [4] entre la frecuencia de los pagos (o de capitalización de 
la tasa de interés) "m", o sea: 
   m
nt años  [5] 
 
 
▶ Ejemplo 10 
Una persona deposita $900 al final de cada mes en una cuenta bancaria que abona el 12% anual capitalizable 
mensualmente con el fin de acumular la suma de $14,487.21. ¿Cuántos depósitos deberá hacer? 
 
SOLUCIÓN: 
 
S = $14,487.21 R = $900.00 j = 12% m = 12 i = 12/12 = 1% mensual ?n 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [4], se obtiene: 
 
depósitosn 15
)01.01(log
101.0
900
21.487,14log







 
 
 
 
 
2 Después que se tiene el tiempo expresado en años puede hacerse la conversión a cualquier otra unidad (meses, quincenas, semanas, etc.). 
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9 
 
 
▶ Ejemplo 11 
Miguel Torres necesita reunir $33,585.00 y con ese propósito realiza depósitos quincenales vencidos de $500.00 
c/u en un fondo que rinde el 9.024% anual convertible quincenalmente. Determine durante qué tiempo (años) deberá 
estar efectuando esos depósitos. 
 
SOLUCIÓN: 
 
S = $33,585.00 R = $500.00 j = 9.024% m = 24 i = 9.024/24 = 0.376% quincenal 
?n ?t 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [4], se obtiene: 
 
quincenasn 60
)00376.01(log
100376.0
500
585,33log







 
 
 
Mediante la fórmula [5] se calcula el tiempo pedido ( en años): 
 
  añosañost años ½25.224
60
 
 
▶ Ejemplo 12 
Para acumular $22,000.00 un señor efectúa depósitos iguales de $2,500.00 al final de cada mes en una 
financiera que abona el 1.25% mensual. Determine cuántos depósitos será preciso hacer para acumular dicha suma y el 
valor de un depósito adicional en caso necesario. 
 
SOLUCIÓN: 
 
S = $22,000.00 R = $2,500.00 i = 1.25% mensual ?n 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [4], se obtiene: 
 
depósitosn 40.8
)0125.01(log
10125.0
500,2
000,22log







 
 
 
Consideraremos que para reunir los $22,000.00 se requieren 8 depósitos completos de $2,500.00 + un depósito 
adicional que vencerá al final del siguiente mes 3. Veremos a continuación 2 maneras de obtener el valor del depósito 
adicional: 
0
R=$2,500
1 9 mes2 3
i=1.25% 
87
S
x = depósito adicional
La fecha focal se tomará a los 9 meses
S1 = m onto de la anualidad (n=8 dep.)
S = m onto a acum ular = $22,000.00
A) Determinación del depósito ad icional mediante una ecuación de valor
X
S1 n =1
FF
 
 
3 Se efectuará de esa manera a fin de garantizar que el valor de los depósitos nunca exceda la renta originalmente establecida. 
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10 
 
 
Cálculo de "S1" :   22.897,20$
0125.0
1)0125.01(500,2
8
1 

S 
 
 
Luego, a partir de una ecuación de valor con FF: a los 9 meses, se obtendrá el valor del depósito adicional: 
 
00.000,22)0125.01(22.897,20 1  x 
 
00.000,2244.158,21  x 
 
 44.158,2100.000,22 x 
 
 56.841$x 
 
RESP.: Se requieren 8 depósitos completos de $2,500.00 + un depósito adicional de $841.56 
 
 
 B) Cálculo del depósito adicional redondeando el valor de "n" obtenido al entero próximo mayor 
 
Como vimos anteriormente, sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [4], se obtiene: 
 
depósitosn 40.8
)0125.01(log
10125.0
500,2
000,22log







 
 
 
Como es de suponer, con un valor de " n = 9 " resulta un monto acumulado que excede la suma propuesta: 
 
44.658,23$
0125.0
]1)0125.01([500,2
9


S 
 
Finalmente, se determina el valor del exceso, obteniéndose el depósito adicional "x" al restarle dicho exceso a la 
cuantía del último (noveno) depósito: 
 
44.658,1$000,2244.658,23 excesodelValor 
 
 56.841$44.658,1500,2"" xadicionalDepósito 
 
RESP.: Se requieren 8 depósitos completos de $2,500.00 + un depósito adicional de $841.56 
 
 
▶ Ejemplo 13 
Milton Roque realiza depósitos iguales por valor de $1,350.00 al final de cada bimestre en una cuenta bancaria 
que abona el 21% compuesto bimestral con el fin de acumular la suma de $31,900.00. Determine cuántos depósitos 
será preciso efectuar para alcanzar dicho monto y el valor de un depósito adicional en caso necesario. 
 
SOLUCIÓN: 
 
S = $31,900.00 R = $1,350.00 j = 21% m = 6 i = 21/6 = 3.5% bimestral ?n 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [4], se obtiene: 
 
depósitosn 52.17
)035.01(log
1035.0
350,1
900,31log







 
 
 
Tulio A. Mateo Duval Anualidades 
 
 
 
11 
 
 
Con un valor de " n = 18 " resulta un monto acumulado que excede la suma propuesta: 
 
58.074,33$
035.0
]1)035.01([350,1
18


S 
 
Finalmente, se determina el valor del exceso, obteniéndose el depósito adicional "x" al restarle dicho exceso a la 
cuantía del último depósito: 
 
58.174,1$900,3158.074,33 excesodelValor 
 
 42.175$58.174,1350,1"" xadicionalDepósito 
 
RESP.: Se requieren 17 depósitos completos de $1,350.00 + un depósito adicional de $175.42 
 
 
4.1.3 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS 
 
En este acápite trataremos sobre el cálculo de la tasa de interés anual, siempre y cuando sean conocidos el 
monto "S", la duración "n" y el valor de la renta "R" de una anualidad vencida simple. Ante la imposibilidad de despejar 
a " i " de la fórmula [1], se procede a obtener su valor por tanteo o por tanteo e interpolación. Para desarrollar el proceso 
de tanteo, trabajaremos condicha fórmula en el siguiente formato: 
 
  
R
S
i
i n

 1)1( [6] 
 
Después de conseguir la tasa de interés por periodo " i " , se procede a multiplicar dicho valor por la frecuencia 
de capitalización de la tasa de interés "m" , a los fines de obtener la tasa de interés anual " j ", o sea: 
 
mij  [7] 
 
 
▶ Ejemplo 14 
Ramón Suero ha depositado $1,700.00 al final de cada mes en una cuenta de ahorros, acumulando la suma de 
$14,767.52 al cabo de 8 meses. ¿Qué tasa anual convertible mensualmente ha ganado? 
 
SOLUCIÓN: 
 
S = $14,767.52 R = $1,700.00 n = 8 meses i = ? m = 12 ?j 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [6], se tiene: 
 
  6868.8
700,1
52.767,141)1( 8


i
i 
 
 
Veamos a continuación 2 maneras de obtener la tasa de interés pedida. 
 
A) Usando TANTEO e INTERPOLACIÓN 
 
TANTEO 
 
(%)"" i RS / 
1 8.2857 
2 8.5830 
2.3 8.6745 
2.4 8.7052 
 
a) Asignamos valores a " i " sabiendo que lo que se busca es que el 
segundo miembro de la fórmula [6] resulte igual o aproximadamente 
igual a 8.6868. 
 
b) Como la expresión del primer miembro es un factor de capitalización, 
éste depende directamente de la tasa " i " asumida. 
 
c) Como se observa, el valor de 8.6868 se encuentra entre los valores 
8.6745 y 8.7052 lo cual indica que el valor buscado de " i " estaría entre 
las tasas 2.3 y 2.4. Luego, mediante la interpolación se obtiene el valor 
buscado de " i ": 
Tulio A. Mateo Duval Anualidades 
 
 
 
12 
 
 
INTERPOLACIÓN 
 
 
 2.3 8.6745 
 X 0.0123 
 0.1 i 8.6868 0.0307 
 
 2.4 8.7052 
 
 
Estableciendo una proporción con las diferencias (suponiendo una variación lineal de los valores), se calcula el 
valor de “x” y, a partir de éste, se obtiene el valor de " i ". Luego con la fórmula [7] se obtiene la tasa anual pedida. 
 
 04.0
0307.0
0123.01.0
0307.0
0123.0
1.0


 xx 
 
 
 %34.204.03.23.2  xi 
 
 %08.281234.2 j –» Tasa anual convertible mensual pedida 
 
 
 
B) Usando TANTEO 
 
TANTEO 
 
(%)"" i RS / 
1 8.2857 
2 8.5830 
2.3 8.6745 
2.4 8.7052 
2.33 8.6837 
2.34 8.6868 
 
 
 
%34.2i 
 
 %08.281234.2 j –» Tasa anual convertible mensual 
 
 
▶ Ejemplo 15 
Una persona efectuó depósitos trimestrales vencidos por $1,000.00 c/u en una cuenta bancaria. Si al cabo de 
4½ años tiene en su cuenta la suma de $29,398.20, determine qué tasa anual compuesta trimestral le abonó el banco. 
 
SOLUCIÓN: 
 
S = $29,398.20 R = $1,000.00 n = 4.5 × 4=18 trimestres i = ? m = 4 ?j 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [6], se tiene: 
 
  3982.29
000,1
20.398,291)1( 18


i
i 
 
Procederemos a obtener por tanteo la tasa de interés pedida: 
 
a) Asignamos valores a " i " sabiendo que lo que se busca es que el 
segundo miembro de la fórmula [6] resulte igual o aproximadamente 
igual a 8.6868. 
 
b) Como la expresión del primer miembro es un factor de capitalización, 
éste depende directamente de la tasa " i " asumida. 
 
c) Como se observa, el valor de 8.6868 se encuentra entre los valores 
8.6745 y 8.7052 lo cual indica que el valor buscado de " i " estaría entre 
las tasas 2.3 y 2.4. Probando valores entre 2.3 y 2.4, se encuentra el 
valor buscado de " i ", obteniéndose a continuación la tasa anual pedida 
" j " mediante la fórmula [7]: 
Tulio A. Mateo Duval Anualidades 
 
 
 
13 
 
 
TANTEO 
 
(%)"" i RS / 
1 19.6147 
4 25.6454 
5 28.1324 
5.4 29.2055 
5.5 29.4812 
5.49 29.4535 
5.48 29.4258 
5.47 29.3982 
%47.5i 
 
 %88.21447.5 j –» Tasa anual compuesta trimestral 
 
 
 
4.2 VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD VENCIDA SIMPLE 
 
El valor actual de una anualidad vencida simple "A" es el valor de dicha anualidad calculado en el momento 
presente, esto es, en su fecha inicial. Se obtiene al sumar los valores actuales de cada uno de los pagos desde sus 
respectivos vencimientos hasta el inicio del primer periodo de la anualidad. 
0
R 
1 n2 3 i n -1n -2
A
n = núm ero de periodo s
i = ta sa de in te rés por periodo
R = ren ta o pago p erió dico 
A = va lo r ac tua l de la anu alidad
 
Para deducir una fórmula que permita obtener directamente el valor actual de una anualidad vencida simple "A", 
nos ubicamos en la fecha inicial y allí efectuamos la sumatoria de los valores actuales de los "n" pagos de cuantía “R", 
los cuales se descapitalizan en base a la tasa de interés " i " por periodo de capitalización: 
 
niRiRiRiRA   )1()1()1()1( 321  (A) 
 
Multiplicando ambos miembros por )1( i se tiene: 
 121 )1()1()1()1(   niRiRiRRiA  (B) 
 
Restando miembro a miembro las expresiones “B − A “, se obtiene: 
 
 niRRiA  )1(. 
 
Factorizando se tiene:  niRiA  )1(1. 
 
Despejando a “A” de la expresión anterior, se obtiene la fórmula que permite hallar el valor actual de una 
anualidad vencida simple: 
 
  
i
iRA
n

)1(1 VALOR ACTUAL ANUALIDAD VENCIDA SIMPLE [8] 
a) Asignamos valores a " i " sabiendo que lo que se busca es que el 
segundo miembro de la fórmula [6] resulte igual a 29.3982. 
 
b) Como la expresión del primer miembro es un factor de capitalización, 
éste depende directamente de la tasa " i " asumida. 
 
c) Como se observa, el valor de 29.3982 se encuentra entre los valores 
29.2055 y 29.4812 lo cual indica que el valor buscado de " i " estaría 
entre las tasas 5.4 y 5.5. Probando valores entre 5.4 y 5.5, se 
encuentra el valor buscado de " i ", obteniéndose a continuación la tasa 
anual pedida " j " mediante la fórmula [7]: 
: 
Tulio A. Mateo Duval Anualidades 
 
 
 
14 
 
 
▶ Ejemplo 16 
¿Cuál es el valor actual o el valor de una deuda al día de hoy, si la misma se debe saldar mediante pagos 
vencidos de $1,900.00 durante 1½ años, suponiendo una tasa de interés anual del 24% compuesto mensualmente? 
 
SOLUCIÓN: 
 
R = $1,900.00 n = 1.5 × 12=18 meses j = 24% m = 12 i = 24/12 = 2% mensual A = ? 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [8], se tiene: 
 
  86.484,28$
02.0
)02.01(1900,1
18




A 
 
 
 
▶ Ejemplo 17 
Calcular el precio de contado de un artículo que puede adquirirse pagando $30,000.00 de inicial y $2,800.00 al 
final de cada mes durante 2 años, suponiendo una tasa de interés del 21% anual compuesto mensualmente. 
 
SOLUCIÓN: 
 
Inic.= $30,000.00 R = $2,800.00 n = 2 × 12=24 meses j = 21% m = 12 i = 21/12 = 1.75% mensual 
 
PC=? 
 
0
R 
1 24 m es2 3i 
V A A
In ic ia l = $30 ,000 .00
P C = In ic ial + V A A
R = ren ta = $2 ,800 .00 V A A = va lo r ac tua l de la anua lidad
P C
In ic ia l
P C = p rec io de con tado
. . . . . . 2 2 23
 
Para obtener el precio de contado "PC" se deben referir (o descapitalizar) todos los pagos a la fecha inicial. Esto 
es, al pago inicial (se queda igual debido a que vence allí) se le añaden las 24 mensualidades de $2,800.00 
descapitalizadas (las cuales estamos identificando con "VAA"), resultando: 
 
 VAAInicialPC  [9] 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [9], se tiene: 
 
  92.489,84$
0175.0
)0175.01(1800,2000,30
24




PC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tulio A. Mateo Duval Anualidades 
 
 
 
15 
 
 
▶ Ejemplo 18 
Un solar valorado en $850,000.00 se puede adquirir mediante un pago inicial y mensualidades vencidas por 
$13,346.67 durante 5 años. Si la tasa de interésaplicada es de 1% mensual, determine la cuantía del pago inicial. 
 
SOLUCIÓN: 
 
PC= $850,000.00 R = $13,346.67 n = 5 × 12 = 60 meses i = 1% mensual m =12 Inicial = ? 
 
Despejando de la fórmula [9] resulta la expresión con la cual se obtiene la cuantía del pago inicial: 
 
 VAAPCInicial  [10] 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [10], se tiene: 
 
  94.999,249$
01.0
)01.01(167.346,13000,850
60




Inicial 
 
▶ Ejemplo 19 (anualidad diferida simple) 
El valor de una motocicleta se puede saldar mediante un pago inicial de $51,880.00 y 5 abonos mensuales de 
$14,211.10, venciendo el primero dentro de 4 meses. Determine el precio de contado de la motocicleta, suponiendo 
una tasa de interés del 24% anual convertible mensualmente. 
 
SOLUCIÓN: 
 
Inic.= $51,880.00 R = $14,211.10 n = 5 meses j = 24% m = 12 i = 24/12 = 2% mensual 
 
PC=? 
0
R=$14,211.10
1 2 6
PC
Pago inicial = $51,880.00
i = tasa de interés por periodo = 2%
PC = precio de contado
3
Inic = $51,880
A3
A3 = valor actual anualidad vencida simple
con duración igual a 5 periodos
4 5 7 8 mes
n = 5n = 3
i = 2%
R = renta = $14,211.10 
 
Para obtener el precio de contado "PC" se deben referir (o descapitalizar) todos los pagos a la fecha inicial. Esto 
es, al pago inicial (se queda igual debido a que vence allí) se le añaden las 5 mensualidades de $14,211.10 
descapitalizadas. Ahora bien, como los 5 pagos inician en el mes #4, estamos ante una anualidad diferida 4, la cual 
podemos analizar como una anualidad vencida cuyos inicio y final están definidos en el diagrama con los puntos azules. 
Viéndolo así, referimos las 5 mensualidades de $14,211.10 hasta el mes #3 mediante la fórmula [8], resultando "A3" y a 
continuación se descontará dicho valor a interés compuesto hasta la fecha "0" para proceder finalmente a sumárselo al 
pago inicial, obteniéndose así el precio de contado "PC" : 
 
  44.983,66$
02.0
)02.01(110.211,14
5




3A 
 
 99.999,114$)02.01(44.983,66880,51 3  PC 
 
4 Una ANUALIDAD DIFERIDA es aquella en la que se estipula que el primer pago se efectúa después de transcurrido cierto número de periodos. Sus 
elementos (monto, valor actual, plazo, valor de la renta, etc.) se obtienen considerándola como una anualidad inmediata (vencida o anticipada), 
usándose para ello las fórmulas correspondientes a ésta. 
Tulio A. Mateo Duval Anualidades 
 
 
 
16 
 
 
4.2.1 CÁLCULO DE LA RENTA 
 
Esta vez de lo que se trata es de obtener el valor de la renta o de los pagos periódicos "R", partiendo de un valor 
actual específico de una anualidad vencida simple "A", de una duración "n" y de una tasa de interés por periodo " i ". 
En tales casos, el cálculo de la renta se realiza con la expresión que resulta al despejar a "R" de la fórmula [8]: 
 
 
])1(1[
.
ni
iAR 
 VALOR DE LA RENTA [11] 
 
El uso de esta fórmula aplica para la obtención de la cuantía del pago periódico fijo (capital + interés) con el que 
se saldaría una deuda "A", así como para el cálculo del valor de la renta fija que se recibiría al realizar una inversión "A" 
durante un plazo determinado. 
 
 
 
 
▶ Ejemplo 20 
Una persona adquiere una computadora valorada en $29,800.00 y acuerda pagarla mediante 10 mensualidades 
vencidas e iguales. ¿Cuánto tendrá que pagar cada mes si le aplican una tasa de interés del 30% anual capitalizable 
mensualmente y se la entregan sin pago inicial? ¿Qué interés total envuelve dicho financiamiento? 
 
SOLUCIÓN: 
 
PC= A = $29,800.00 j = 30% m = 12 i = 30/12 = 2.5% mensual n = 10 meses R = ? 
 
a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [11], se tiene: 
 
91.404,3$
])025.01(1[
025.0800,29
10 

 R 
 
b) El interés total que envuelve el financiamiento se obtiene al restarle la deuda "A" al total pagado "n.R" : 
 
 ARnI t  . 5 [12] 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [12], se tiene: 
 
10.249,4$800,2991.404,310 tI 
 
 
▶ Ejemplo 21 
Si se invirtieran $180,000.00 en un fondo que abona el 12% compuesto trimestralmente con el fin de retirar 
sumas iguales al final de cada trimestre durante 6 años, determine la cuantía de los retiros. 
 
SOLUCIÓN: 
 
A = $180,000.00 j = 12% m = 4 i = 12/4 = 3% trimestral n = 24 trimestres R=? 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [11], se tiene: 
 
53.628,10$
])03.01(1[
03.0000,180
24 

 R 
 
 
 
 
 
5 Con esta fórmula también se obtiene el interés ganado al realizar una inversión cuya finalidad sea recibir una renta fija. En este caso, el interés total 
vendría dado por la diferencia del total que se proyecta recibir menos la suma invertida. 
Tulio A. Mateo Duval Anualidades 
 
 
 
17 
 
 
▶ Ejemplo 22 
Luis Lugo compra un apartamento valorado en $2,400,000.00, pagando un 60% del valor por concepto de inicial 
y financiando el resto para saldarlo mediante mensualidades vencidas en un plazo de 15 años. Si la tasa de interés 
aplicada es de un 18% anual convertible mensual, determine la cuantía del abono inicial y de la cuota fija mensual a 
pagar. 
 
SOLUCIÓN: 
 
PC = $2,400,000.00 Inicial = 60% PC j = 18% m = 12 i = 18/12 = 1.5% mensual 
 
t = 15 años n = 15 × 12 = 180 meses R=? 
 
a) Cuantía del abono inicial = 0.60 × 2,400,000 = $1,440,000.00 
 
b) Valor a financiar = A = PC − Inicial = 2,400,000 − 1,440,000 = $960,000.00 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [11], se tiene: 
 
 04.460,15$
])015.01(1[
015.0000,960
180 

 R –» Valor de los pagos mensuales 
 
 
▶ Ejemplo 23 
Sobre la compra del apartamento planteada en el Ejemplo 22, determine: 
 
a) ¿Cuál es el balance de la deuda justamente después de efectuado el pago #72? 
 
b) ¿Cuánto se le ha abonado a la deuda hasta ese momento? 
 
c) ¿A cuánto ascenderían los pagos mensuales, si el balance de la deuda obtenido anteriormente se acordara 
saldar en un plazo de 4 años? 
 
 
SOLUCIÓN: 
 
a) Para obtener el balance de la deuda justamente después de efectuado el pago #72, basta con descontar (a 
esa fecha) todos los pagos que faltan por efectuar. Como en total eran 180 mensualidades y se han efectuado 72, 
entonces restan 108 pagos de $15,460.04, los cuales se descapitalizan mediante la fórmula [8], resultando: 
 
  69.232,824$
015.0
)015.01(104.460,15
108




A –» Balance de la deuda justo después del pago #72 
 
b) Aunque hasta ese momento se han efectuado 72 pagos por valor de $15,460.04 c/u, a la deuda sólo se le ha 
abonado una cantidad igual a la diferencia entre el valor del financiamiento menos el balance de deuda ya obtenido: 
 
31.767,135$69.232,824000,960 abonadoValor 
 
c) Sustituyendo: A = $824,232.69 i = 1.5% mensual y n = 4 × 12 = 48 meses en la fórmula [11], se 
obtiene: 
 
83.211,24$
])015.01(1[
015.069.232,824
48 

 R –» Valor de los nuevos pagos mensuales 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tulio A. Mateo Duval Anualidades 
 
 
 
18 
 
 
▶ Ejemplo 24 
Sergio Lorenzo compra un auto nuevo valorado en $645,000.00 y le reciben uno usado por $225,000.00 como 
pago inicial, aceptando saldar la suma restante mediante el pago de 36 mensualidades con intereses al 30% anual 
convertible mensualmente. Determine la cuantía de la mensualidad, si: 
 
a) El primer pago se realiza dentro de un mes (anualidad vencida simple) 
 
b) El primer pago se realiza dentro de 3 meses (anualidad diferida simple) 
 
SOLUCIÓN:PC = $645,000.00 Inicial = $225,000.00 j = 30% m = 12 i = 30/12= 2.5% mensual n = 36 meses 
 
R=? Valor a financiar = A = PC − Inicial = 645,000 − 225,000 = $420,000.00 
 
a) Como este caso corresponde a una anualidad vencida simple, la cuota fija mensual a pagar se obtiene 
directamente mediante la fórmula [11]: 
 
 66.829,17$
])025.01(1[
025.0000,420
36 

 R –» Valor de los pagos mensuales 
 
b) Como este caso corresponde a una anualidad diferida simple, procederemos a analizarla como una anualidad 
vencida cuyos inicio y final están definidos en el diagrama con los puntos azules. Viéndolo de ese modo, capitalizamos 
la deuda hasta el mes #2 (inicio de la anualidad vencida), resultando "A2" (valor de la deuda a los 2 meses): 
0
R = ?
1 2
A = $420,000.00
Deuda inicial = $420,000.00
i = tasa de interés por periodo = 2.5 %
3
A2
A2 = valor actual anualidad vencida simple
con duración igual a 36 periodos
4 5 38 mes
n = 36n = 2
i = 2.5%
j = 36% m = 12
R = renta = ? 
 
50.262,441$)025.01(000,420 2 2A 
 
Finalmente, el valor de la mensualidad "R" de la anualidad vencida simple de 36 meses (que se inicia en el 
mes #2 y termina en el mes #38) se obtiene mediante la fórmula [11]: 
 
29.732,18$
])025.01(1[
025.050.262,441
36 

 R –» Valor de los pagos mensuales 
 
 
 
 
 
 
 
Tulio A. Mateo Duval Anualidades 
 
 
 
19 
 
 
4.2.2 CÁLCULO DEL PLAZO O DURACIÓN 
 
Si se conoce el valor actual "A" de una anualidad vencida simple, la tasa de interés por periodo " i " y el valor 
de la renta "R" , puede calcularse el valor de "n" , o sea, el número total de periodos (o de pagos) de la anualidad, 
mediante la expresión que resulta al despejar a "n" de la fórmula [8]: 
 
)1(log
1log
i
i
R
A
n






 
 VALOR DE LA DURACIÓN [13] 
 
Dado que "n" representa el número total de periodos, por consiguiente si se quisiese el tiempo expresado en 
años 6 se procedería a dividir el valor obtenido entre la frecuencia de los pagos (o de capitalización de la tasa de 
interés) "m", o sea mediante la fórmula [5]: 
   m
nt años  
 
 
▶ Ejemplo 25 
¿Cuántos pagos trimestrales vencidos de $700.00 deberán efectuarse para cancelar una deuda de $7,402.74, si 
la misma se contrajo con intereses a razón del 2% trimestral? 
 
SOLUCIÓN: 
 
A = $7,402.74 R=$700.00 i = 2% trimestral m = 4 n = ? 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [13], se tiene: 
 
pagosn 12
)02.01(log
02.0
700
74.402,71log







 
 
 
 
 
▶ Ejemplo 26 
Una deuda por $43,315.00 contraída hoy se va a liquidar mediante pagos iguales de $3,100.00 a efectuarse al 
final de cada quincena. Si la tasa de interés aplicada es de un 12% anual capitalizable quincenalmente, determine el 
número de pagos completos y el valor de un pago complementario (en caso necesario) requeridos para saldar la deuda. 
 
SOLUCIÓN: 
 
A = $43,315.00 R=$3,100.00 j = 12% m = 24 i = 12/24 = 0.5% quincenal n = ? 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [13], se tiene: 
 
pagosn 52.14
)005.01(log
005.0
100,3
315,431log







 
 
 
Consideraremos que para saldar los $43,315.00 se requieren 14 pagos completos de $3,100.00 + un pago 
complementario adicional que vencerá al final de la siguiente quincena 7. 
 
 
6 Después que se tiene el tiempo expresado en años puede hacerse la conversión a cualquier otra unidad (meses, quincenas, semanas, etc.). 
7 Se efectuará de esa manera a fin de garantizar que el valor de los pagos nunca exceda la renta originalmente establecida. 
Tulio A. Mateo Duval Anualidades 
 
 
 
20 
 
 
Veremos a continuación 2 maneras de obtener el pago complementario: 
 
 
0
R=$3,100
1 152 3 i = 0.5% 14
A
x = pago complementario
La fecha focal se tomará en la fecha “0”
A1 = valor actual anualidad (n=14 pagos)
A = deuda a saldar = $43,315.00
A) Determinación del pago complementario mediante una ecuación de valor
X
A1
n = 15
FF
quinc
 
Calculamos el valor de "A1" descapitalizando los 14 pagos de $3,100.00 hasta la fecha "0” : 
 
  99.814,41$
005.0
)005.01(1100,3
14
1 



A 
 
Luego, se plantea la igualdad entre la deuda "A" y los 15 pagos mediante una ecuación de valor con FF en la 
fecha "0”. A partir de ésta se obtiene el valor del pago complementario: 
 
00.315,43)005.01(99.814,41 15  x 
 
 00.315,43927917.099.814,41  x 
 
 99.814,4100.315,43927917.0 x 
 
 01.500,1927917.0 x 
 
 927917.001.500,1x 
 
 53.616,1$x 
 
RESP.: Se requieren 14 pagos completos de $3,100.00 + un pago complementario de $1,616.53 
 
 
 B) Cálculo del pago complementario redondeando el valor "n" obtenido al entero próximo menor 
 
Como vimos anteriormente, sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [13], se obtiene: 
 
pagosn 52.14
)005.01(log
005.0
100,3
315,431log







 
 
 
Como es de suponer, con un valor " n = 14" resulta un valor actual "A1" que no compensa la deuda contraída: 
 
  99.814,41$
005.0
)005.01(1100,3
14
1 



A 
 
Tulio A. Mateo Duval Anualidades 
 
 
 
21 
 
 
Siendo así, se genera un valor faltante que se obtiene de la diferencia de " A − A1": 
 
01.500,1$99.814,41315,43  faltanteValor 
 
Finalmente, la cuantía del pago complementario se obtiene al capitalizar el valor faltante desde la fecha "0” 
hasta la fecha de vencimiento de éste (" n = 15"): 
 
 53.616,1$)005.01(01.500,1"" 15 xariocomplementPago 
 
RESP.: Se requieren 14 pagos completos de $3,100.00 + un pago complementario de $1,616.53 
 
 
 
▶ Ejemplo 27 
Pilar Moreno invierte $158,000.00 en una cuenta de inversiones que abona el 9% compuesto semestralmente 
con el fin de efectuar retiros iguales de $9,000.00 al final de cada semestre. Determine cuántos retiros completos podrá 
hacer y, si es preciso, el valor de un retiro adicional. 
 
SOLUCIÓN: 
 
A = $158,000.00 R=$9,000.00 j = 9% m = 2 i = 9/2 = 4.5% semestral n = ? 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [13], se tiene: 
 
retirosn 46.35
)045.01(log
045.0
000,9
000,1581log







 
 
 
Consideraremos que podrá efectuar 35 retiros completos de $9,000.00 + un retiro adicional al final del siguiente 
semestre. 
 
Como es de suponer, con un valor " n = 35" resulta un valor actual "A1" menor que la inversión efectuada: 
 
  11.149,157$
045.0
)045.01(1000,9
35
1 



A 
 
Siendo así, se genera un valor faltante que se obtiene de la diferencia de " A − A1": 
 
89.850$11.149,157000,158  faltanteValor 
 
Finalmente, la cuantía del retiro adicional se obtiene al capitalizar el valor faltante desde la fecha "0” hasta la 
fecha de vencimiento de éste (" n = 36" ): 
 
 11.150,4$)045.01(89.850""Re 36 xariocomplementtiro 
 
RESP.: Podrá efectuar 35 retiros completos de $9000.00 + un retiro adicional de $4,150.11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tulio A. Mateo Duval Anualidades 
 
 
 
22 
 
 
4.2.3 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS 
 
Examinaremos a continuación el proceso de cálculo de la tasa de interés anual, siempre y cuando sean 
conocidos el valor actual "A", la duración "n" y el valor de la renta "R" de una anualidad vencida simple. Ante la 
imposibilidad de despejar a " i " de la fórmula [8], se procede a obtener su valor por tanteo o por tanteo e interpolación. 
Para llevar a cabo el tanteo, trabajaremos con dicha fórmula enel siguiente formato: 
 
  
R
A
i
i n

 )1(1 [14] 
 
Después de conseguir la tasa de interés por periodo " i “, se procede a multiplicar dicho valor por la frecuencia de 
capitalización de la tasa de interés "m" a fin de obtener la tasa de interés anual " j ", o sea, mediante la fórmula [7]: 
 
mij  
 
 
 
▶ Ejemplo 28 
Para saldar una deuda de $24,630.00 contraída hoy, se deberán efectuar pagos iguales de $1,873.80 al final de 
cada trimestre durante 5 años. Determine con qué tasa anual convertible trimestralmente se estaría cargando la 
operación. 
 
SOLUCIÓN: 
 
A = $24,630.00 R = $1,873.80 n = 5 × 4 = 20 trimestres i = ? m = 4 ?j 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [14], se tiene: 
 
  1444.13
80.873,1
630,24)1(1 20 

i
i 
 
 
 
 
Veamos a continuación 2 maneras de obtener la tasa de interés pedida. 
 
 
a) Usando TANTEO e INTERPOLACIÓN 
 
TANTEO 
 
(%)"" i RA / 
1 18.0456 
4 13.5903 
4.3 13.2363 
4.4 13.1214 
 
 
 
INTERPOLACIÓN 
 
 
 4.3 13.2363 
 X 0.0919 
 0.1 i 13.1444 0.1149 
 
 4.4 13.1214 
 
 
 
a) Asignamos valores a " i " sabiendo que lo que se busca es que el 
segundo miembro de la fórmula [14] resulte igual o aproximadamente 
igual a 13.1444. 
 
b) Como la expresión del primer miembro es un factor de 
descapitalización, éste depende inversamente de la tasa " i " asumida. 
 
c) Como se observa, el valor de 13.1444 se encuentra entre los valores 
13.2363 y 13.1214 lo cual indica que el valor buscado de " i " estaría 
entre las tasas 4.3 y 4.4. Luego, mediante la interpolación se obtiene el 
valor buscado de " i ": 
Tulio A. Mateo Duval Anualidades 
 
 
 
23 
 
 
Estableciendo una proporción con las diferencias (suponiendo una variación lineal de los valores), se calcula el 
valor de “x” y, a partir de éste, se obtiene el valor de " i ". Luego con la fórmula [7] se obtiene la tasa anual pedida. 
 
 08.0
1149.0
0919.01.0
1149.0
0919.0
1.0


 xx 
 
 %38.408.03.23.4  xi 
 
 %52.17438.4 j –» Tasa anual convertible trimestral pedida 
 
 
b) Usando TANTEO 
 
TANTEO 
 
(%)"" i RA / 
1 18.0456 
4 13.5903 
4.3 13.2363 
4.4 13.1214 
4.39 13.1328 
4.38 13.1443 
 
 
 
%38.4i 
 %52.17438.4 j –» Tasa anual convertible trimestral 
 
 
▶ Ejemplo 29 
¿Qué tasa anual convertible bimestralmente se le cobró a un crédito de $50,000.00 si el mismo fue saldado 
mediante 18 pagos bimestrales vencidos de $3,672.42? 
 
SOLUCIÓN: 
 
A = $50,000.00 R = $3,672.42 n = 18 bimestres i = ? m = 6 ?j 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [14], se tiene: 
 
  6150.13
42.672,3
000,50)1(1 18

 
i
i 
 
Procederemos a obtener por tanteo la tasa de interés pedida: 
 
TANTEO 
 
(%)"" i RA / 
1 16.3983 
2 14.9920 
3 13.7535 
3.1 13.6380 
3.2 13.5238 
3.11 13.6265 
3.12 13.6150 
%47.5i 
 
 %12.3i %72.18612.3 j –» Tasa anual convertible bimestral 
a) Asignamos valores a " i " sabiendo que lo que se busca es que el 
segundo miembro de la fórmula [14] resulte igual o aproximadamente 
igual a 13.1444. 
 
b) Como la expresión del primer miembro es un factor de 
descapitalización, éste depende inversamente de la tasa " i " asumida. 
 
c) Como se observa, el valor de 13.1444 se encuentra entre los valores 
13.2363 y 13.1214 lo cual indica que el valor buscado de " i " estaría 
entre las tasas 4.3 y 4.4. Probando valores entre 4.3 y 4.4, se 
encuentra el valor buscado de " i ", obteniéndose a continuación la tasa 
anual pedida " j " mediante la fórmula [7]: 
a) Asignamos valores a " i " sabiendo que lo que se busca es que el 
segundo miembro de la fórmula [14] resulte igual o aproximadamente 
igual a 13.6150. 
 
b) Como la expresión del primer miembro es un factor de 
descapitalización, éste depende inversamente de la tasa " i " asumida. 
 
c) Como se observa, el valor de 13.6150 se encuentra entre los valores 
13.6380 y 13.5238 lo cual indica que el valor buscado de " i " estaría 
entre las tasas 3.1 y 3.2. Probando valores entre 3.1 y 3.2, se 
encuentra el valor buscado de " i ", obteniéndose a continuación la tasa 
anual pedida " j " mediante la fórmula [7]: 
 
Tulio A. Mateo Duval Anualidades 
 
 
 
24 
 
 
▶ Ejemplo 30 (Elección entre varias opciones de pago) 
Lucía Sánchez resultó ganadora en el sorteo de una lavadora nueva y como no piensa usarla decide venderla, 
recibiendo las siguientes ofertas: 
 
a) 12 mensualidades vencidas de $2,100.00 + una mensualidad adicional (#13) de $1,900.00 
 
b) 18 mensualidades vencidas de $1,525.00 
 
¿Cuál oferta le conviene más, considerando una tasa de interés del 14.4% anual convertible mensualmente? 
 
SOLUCIÓN: 
 
Las 2 opciones de pago no podrían compararse tal como están expresadas, pues los valores envueltos vencen 
en fechas diferentes. Para poder realizar la comparación se referirán los pagos a la fecha inicial (ya que en ésta es que 
se debe tomar la decisión) para obtener los Valores de Contado Equivalentes (VCE) correspondiente a cada opción, 
procediéndose luego a seleccionar la que arroje el mayor importe a recibir. 
 
1) OPCIÓN “a” 
 
0
R =$2,1 00
1 13 m es2 3 i = 1 .2% 12
VC E a
R = $ 2,100.0 0
V C E : va lo r d e co nta do equ iva le n te
A 1 = v a lo r actua l a nua lida d (n =12 pag os)
i = 14 .4 / 12 = 1 .2%
$ 1,900
A 1
n = 13
 
  78.966,24$)012.01(900,1
012.0
)012.01(1100,2 13
12


 

aVCE 
 
A 1 
 
2) OPCIÓN “b” 
 
0
R=$1,525
1 18 mes2 3 i = 1.2% 
VCEb
R = $1,525.00 VCE : valor de contado equivalentei = 14.4 / 12 = 1.2%
 
 
 
  07.556,24$
012.0
)012.01(1525,1
18




bVCE 
 
 
RESPUESTA : Al comparar los valores VCEa y VCEb, se concluye en que se debería elegir la OPCIÓN “a” 
porque arroja el mayor importe a recibir. 
Tulio A. Mateo Duval Anualidades 
 
 
 
25 
 
 
▶ Ejemplo 31 (Elección entre varias opciones de pago) 
Una persona que se dispone a comprar un equipo de música valorado en $38,000.00, puede elegir entre 3 
planes de pago. Diga cuál le conviene más si la tasa de interés del mercado es de un 30% anual capitalizable 
mensualmente: 
 
a) De contado con un 6% de descuento 
 
b) Un pago inicial del 25% del valor y 10 mensualidades vencidas de $2,950.00 
 
 c) Un pago inicial de $13,000.00 y 6 mensualidades de $4,495.00 iniciando a los 4 meses de efectuado el pago 
inicial. 
 
SOLUCIÓN: 
 
Las 3 opciones de pago no podrían compararse tal como están expresadas, pues los valores envueltos vencen 
en fechas diferentes. Se obtiene el Valor de Contado (VC) o Valor de Contado Equivalente (VCE) correspondiente a 
cada opción, procediéndose luego a seleccionar la que arroje la menor erogación. 
 
 
1) OPCIÓN “a” 
 
0 meses
j =30% m=12
VC a
$35,720
 
 VC a = $38,000 (1 − 0.06) = $35,720.00 –» Este sería el valor a pagar de contado. 
 
 
 
2) OPCIÓN “b” 
 
0
R=$2,950
1 10 meses2 3
VCEb
Inicial = 0.25×38,000=$9,500.00
R = renta = $2,950.00 
A1 = valor actual de la anualidad
A1
Inicial
VCE = valor de contado equivalente
. . . . . . i = 2.5%
 
 
  59.318,35$
025.0
)025.01(1950,2500,9
10




bVCE 
 
 A 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tulio A. Mateo Duval Anualidades 
 
 
 
26 
 
 
3) OPCIÓN “c” 
0
R=$4,495
1 9 meses2 4
VCEc
Inicial = $13,000.00
R = renta = $4,495.00 
A1 = valor actual de la anualidad
A1Inicial
VCE = valor de contado equivalente
. . . . . . i = 2.5%53 6
n = 3
 
 
21.991,35$)025.01(
025.0
])025.01(1[495,4000,13 3
6

 

cVCE 
 
 A 1 
 
RESPUESTA : Al comparar los valores VCa, VCEb y VCEc, se concluye en que se debería elegir la OPCIÓN “b” 
por involucrar la erogación de menor cuantía. 
 
 
▶ Ejemplo 32 (Ecuaciones de valores equivalentes) 
Una deuda de $101,000.00 contraída hoy se debe pagar mediante un abono de $30,000 dentro de 4 meses, 
15 abonos mensuales de $7,250.00 iniciando a los 7 meses y un último pago a los 24 meses. ¿Cuál es la cuantía del 
pago final, si la tasa de interés cargada a la operación es de un 3.14% mensual? 
 
SOLUCIÓN: 
0
R=$7,250
1 24 meses
S1
$101,000
. . . . . . 
i = 3.14%
6 21
n = 3
2 3 4 5 7 8 9
X$30,000
FF
n = 20
n = 24
n = 15 pagos
 
Como vemos en el diagrama temporal, la deuda la hemos indicado con una flecha hacia arriba y los pagos con 
flechas hacia abajo. Para plantear la igualdad de los dos conjuntos de capitales, se obtiene el monto o el valor actual de 
la anualidad diferida, es decir, debemos trabajar con una sola suma que la represente (en este caso usaremos el monto 
"S1"). 
Colocando la fecha focal al final, la ecuación de valor resultante será: 
 
X 3
15
2024 )0314.01(
0314.0
]1)0314.01[(
250,7)0314.01(000,30)0314.01(000,101 
 
 S1 
Tulio A. Mateo Duval Anualidades 
 
 
 
27 
 
 
 X 92.955,20251.115,212 
 
 X 92.955,20251.115,212 
 
 59.159,9$X –» Valor del pago final 
 
 
▶ Ejemplo 33 (Ecuaciones de valores equivalentes) 
Víctor Ruiz efectuó los siguientes depósitos: $3,800.00 al momento de la apertura de una cuenta bancaria y 
$700.00 mensuales en los próximos 10 meses. Luego realiza los siguientes retiros: $1,000.00 al cabo de 12 meses y 
6 mensualidades de $500.00 iniciando a los 14 meses de la apertura de la cuenta. Si a continuación la cuenta no 
registra ni depósitos ni retiros, determine su balance a los 26 meses, si la misma abona una tasa del 12% compuesto 
mensual. 
SOLUCIÓN: 
0
R=$500
1 26 meses
S2
$3,800
. . . . . . 
i = 1%
10 19
n = 7
2 11 12 13
X
FF
n = 14
n = 26
n = 6 retiros
14 15
$1,000
R=$700 S1
n = 10 depósitos
. . . . . . 
n = 16
 
 
Como vemos en el diagrama temporal, los depósitos se han indicado con flechas hacia arriba y los retiros con 
flechas hacia abajo (el balance pedido es lo que tiene la cuenta disponible para retirar a los 26 meses). Para plantear la 
igualdad de los dos conjuntos de capitales, se obtiene el monto o el valor actual de las anualidades, es decir, debemos 
trabajar con una sola suma que represente cada anualidad (en este caso usaremos el monto, por tanto tendremos a 
"S1" y "S2" ). 
 
Colocando la fecha focal al final, la ecuación de valor resultante será: 
 
X 7
6
26 )01.01(
01.0
]1)01.01[(
500)01.01(000,1)01.01(
01.0
]1)01.01[(700)01.01(800,3 1416
10
 
 
 S1 S2 
 
 X 37.447,441.509,13 
 
 X 37.447,441.509,13 
 
 04.062,9$X –» Balance de la cuenta a los 26 meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tulio A. Mateo Duval Anualidades 
 
 
 
28 
 
 
5. ANUALIDAD VENCIDA GENERAL 
 
Una anualidad vencida general es aquella cuyos pagos vencen al final de cada uno de los periodos que la 
componen, siendo éstos diferentes de los periodos de capitalización de los intereses. Ejemplo de este tipo de anualidad 
lo constituye el conjunto de 10 depósitos iguales de $11,200.00 c/u a efectuarse al final de cada trimestre en una cuenta 
de ahorros que abona el 10% de interés anual convertible mensualmente. 
 
 
 
5.1 CÁLCULO DEL MONTO, VALOR ACTUAL, RENTA, PLAZO Y TASA 
 DE INTERÉS DE UNA ANUALIDAD VENCIDA GENERAL 
 
La forma más sencilla de trabajar con una anualidad vencida general es transformarla en una vencida simple, y 
luego utilizar las fórmulas ya conocidas de ésta para determinar los valores deseados. Una manera de realizar dicha 
modificación consiste en utilizar la tasa de interés "" 1j capitalizable "" 1m veces por año, equivalente a la tasa de 
interés anual conocida "" 2j capitalizable "" 2m veces por año 
8: 
 
















 11
1
2
2
2
11
m
m
m
j
mj TASA DE INTERÉS EQUIVALENTE [15] 
 
Si la tasa equivalente deseada fuese una tasa efectiva (ésta se identificaría con "" ej 
9 y "" 1m sería igual a 1), 
entonces se podría trabajar con la expresión simplificada de la fórmula anterior que resulta al sustituir a "" 1m por 1: 
 
11
2
2
2 






m
e m
j
j TASA DE INTERÉS EFECTIVA [16] 
 
 
 
▶ Ejemplo 34 
¿Cuál es el monto y el valor actual de un conjunto de 20 pagos bimestrales vencidos de $3,000.00 si la tasa de 
interés aplicada es de un 20.5% anual compuesto trimestralmente? 
 
SOLUCIÓN: 
 
R = $3,000.00 n = 20 bimestres j = 20.5% m = 4 (trimestral) S = ? A = ? 
 
Como estamos ante una anualidad vencida general, primeramente debemos obtener una tasa de interés 
compuesta bimestralmente que sea equivalente a la tasa de interés dada, a fin de transformar la anualidad en una 
vencida simple: 
 
j2 = 20.5% j1 = ? 
 
m2 = 4 m1 = 6 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [15], se tiene: 
 
%3288.20203288.0
4
205.06 11
)64(
1 













 j 
 
O sea, emplearemos: j = 20.3288% m = 6 i = 20.3288 / 6 = 3.3881% bimestral 
 
8 Si siempre se identifica con “ j2 ” la tasa de interés compuesto conocida, entonces invariablemente se podrá obtener la tasa de interés equivalente 
con la fórmula de “ j1 ” , o sea, con la fórmula [15]. 
9 Al hallar una tasa “ j1” con una frecuencia m1 =1, es decir, una tasa efectiva, se cambia el subíndice “ 1” por “ e ” y se representa con “ je”. 
Tulio A. Mateo Duval Anualidades 
 
 
 
29 
 
 
a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [1], se obtiene el valor del monto de la anualidad: 
 
22.870,83$
033881.0
1)033881.01(
000,3
20




 
S 
 
 
b) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [8], se obtiene el valor actual de la anualidad: 
 
17.072,43$
033881.0
)033881.01(1
000,3
20




 


A 
 
 
 
▶ Ejemplo 35 
Para la compra de un automóvil usado valorado en $350,000.00 se paga un inicial del 40% y el resto con 36 
mensualidades vencidas. ¿A cuánto asciende cada mensualidad si se carga un 27.85% de interés anual convertible 
semanalmente? ¿A cuánto ascienden los intereses? 
 
SOLUCIÓN: 
 
PC = $350,000.00 Inicial = 0.40 PC = $140,000.00 Valor de la deuda = A = PC – Inicial =$210,000.00 
n= 36 meses j = 27.85% m = 52 (semanal) R = ? I = ? 
 
Como estamos ante una anualidad vencida general, primeramente debemos obtener una tasa de interés 
compuesta mensualmente que sea equivalente a la tasa de interés dada, a fin de transformar la anualidad en una 
vencida simple: 
 
j2 = 27.85% j1 = ? 
 
m2 = 52 m1 = 12 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [15], se tiene: 
 
%0996.28280996.0
52
2785.012 11
)12/52(
1 












 j 
 
O sea, emplearemos: j = 28.0996% m = 12 i = 28.0996 / 12 = 2.3416% mensual 
 
a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [11], se obtiene el valor de la renta "R" : 
 
61.697,8$
])023416.01(1[
023416.0000,210
36 

 R 
 
b) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [12], obtenemos la cuantía de los intereses: 
 
96.113,103$000,21061.697,836tI 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tulio A. Mateo Duval Anualidades 
 
 
 
30 
 
 
▶ Ejemplo 36 
Una repostería dispone de las siguientes opciones para vender unos equipos usados: 
 
a) Un cliente le ofrece $110,000.00 de contado y 8 mensualidades de $40,500.00 cada una. 
 
b) Otro le ofrece $90,000.00 de contado y 15 pagos quincenales de $22,800.00 cada uno. 
 
Determine cuál le conviene más si el rendimiento promedio del dinero es del 23% compuesto semestralmente. 
 
 
SOLUCIÓN: 
 
Las 2 opciones de pago no podrían compararse tal como están expresadas, pues los valores envueltos vencen 
en fechas diferentes. Para poder realizar la comparación se referirán los pagos a la fecha inicial (ya que en ésta es que 
se debe tomar la decisión) para obtener los Valores de Contado Equivalentes (VCE) correspondiente a cada opción, 
procediéndose luego a seleccionar la que arroje el mayor importe a recibir. 
 
Como cada opción envuelve una anualidad vencida general, primeramente debemos obtener una tasa de interés 
que sea equivalente a la tasa de interés dada, a fin de transformar la anualidad en una vencida simple: 
 
a) OPCIÓN “a” 
 
Inicial = $110,000.00 R = $40,500.00 n = 8 meses j = 23% m = 2 (semestral) VCEa= ? 
 
Tasa equivalente: 
 
j2 = 23% j1 = ? 
 
m2 = 2 m1 = 12 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [15], se tiene: 
 
%9696.21219696.0
2
23.012 11
)12/2(
1 












 j 
 
O sea, emplearemos: j = 21.9696% m = 12 i = 21.9696 / 12 = 1.8308% mensual 
 
Descontando las 8 mensualidades hasta la fecha inicial ( usando la fórmula [8] ) y sumándoselas al pago inicial, 
obtenemos el Valor de Contado Equivalente de la Opción “a” (VCEa) : 
 
38.857,408$
018308.0
])018308.01(1[500,40000,110
8




aVCE 
 
 
b) OPCIÓN “b” 
 
Inicial = $90,000.00 R = $22,800.00 n = 15 quincenas j = 23% m = 2 (semestral) VCEb= ? 
 
Tasa equivalente: 
 
j2 = 23% j1 = ? 
 
m2 = 2 m1 = 24 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [15], se tiene: 
 
%8699.21218699.0
2
23.024 11
)24/2(
1 












 j 
 
O sea, emplearemos: j = 21.8699% m = 24 i = 21.8699 / 24 = 0.911246% quincenal 
 
Tulio A. Mateo Duval Anualidades 
 
 
 
31 
 
 
Descontando los 15 pagos hasta la fecha inicial ( usando la fórmula [8] ) y sumándoselos al pago inicial, 
obtenemos el Valor de Contado Equivalente de la Opción “b” (VCEb) : 
 
70.304,408$
00911246.0
])00911246.01(1[800,22000,90
15




bVCE 
 
 
RESPUESTA : Al comparar los valores VCEa y VCEb, se concluye en que se debería elegir la OPCIÓN “a” 
porque arroja el mayor importe a recibir. 
 
 
▶ Ejemplo 37 
Si una persona desea acumular $8,500.00 efectuando depósitos trimestrales vencidos de $595.47 en una cuenta 
de ahorros que abona intereses a razón del 30% compuesto mensualmente, ¿cuántos depósitos deberá realizar para 
acumular dicha suma? 
 
SOLUCIÓN: 
 
S = $8,500.00 R = $595.47 (trimestral) j = 30% m = 12 (mensual) n = ? (trimestres) 
 
Como estamos ante una anualidad vencida general, primeramente debemos obtener una tasa de interés 
compuesta trimestralmente que sea equivalente a la tasa de interés dada, a fin de transformar la anualidad en una 
vencida simple: 
 
j2 = 30% j1 = ? 
 
m2 = 12 m1 = 4 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [15], se tiene: 
 
%7562.30307562.0
12
30.04 11
)4/12(
1 












 j 
 
O sea, emplearemos: j = 30.7562% m = 4 i = 30.7562 / 4 = 7.6891% trimestral 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [4], se obtiene: 
 
depósitosn 10
)076891.01(log
1076891.0
47.595
500,8log







 
 
 
 
 
▶ Ejemplo 38 
Una deuda por $1,875,000.00 con intereses al 25% compuesto anual se saldará con pagos mensuales vencidos 
de $125,000.00 cada uno. Determine cuántos pagos completos será preciso hacer para saldar la deuda y obtenga el 
valor de un pago adicional en caso necesario. 
 
SOLUCIÓN: 
 
A = $1,875,000.00 R = $125,000.00 (mensual) j = 25% m = 1 (anual) n = ? (meses) 
 
Como estamos ante una anualidad vencida general, primeramente debemos obtener una tasa de interés 
compuesta mensualmente que sea equivalente a la tasa de interés dada, a fin de transformar la anualidad en una 
vencida simple: 
 
j2 = 25% j1 = ? 
 
m2 = 1 m1 = 12 
 
Tulio A. Mateo Duval Anualidades 
 
 
 
32 
 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [15], se tiene: 
 
%5231.22225231.0
1
25.012 11
)12/1(
1 












 j 
 
O sea, emplearemos: j = 22.5231% m = 12 i = 22.5231 / 12 = 1.8769% mensual 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [13], se obtiene: 
 
depósitosn 78.17
)018769.01(log
018769.0
000,125
000,875,11log







 
 
 
Como es de suponer, con un valor " n = 17" resulta un valor actual "A1" que no compensa la deuda contraída: 
 
  13.003,805,1$
018769.0
)018769.01(1000,125
17
1 



A 
 
Siendo así, se genera un valor faltante que se obtiene de la diferencia de " A − A1": 
 
87.996,69$13.003,805,1000,875,1  faltanteValor 
 
Finalmente, la cuantía del pago complementario se obtiene al capitalizar el valor faltante desde la fecha "0” 
hasta la fecha de vencimiento de éste (" n = 18"): 
 
 14.823,97$)018769.01(87.996,69"" 18 xadicionalPago 
 
RESP.: Se requieren 17 pagos completos de $125,000.00 + un pago adicional de $97,823.14 
 
 
 
▶ Ejemplo 39 
Si un préstamo por $32,000.00 se saldó mediante 24 pagos trimestrales vencidos de $2,251.86 cada uno, ¿qué 
tasa anual capitalizable mensualmente le aplicaron al préstamo? ¿Cuál es la tasa efectiva equivalente a la encontrada 
anteriormente? 
 
SOLUCIÓN: 
 
A = $32,000.00 R = $2,251.86 (trimestral) n = 24 trimestres j = ? m = 12 (mensual) 
 
 j = ? m = 4 (trimestral) 
 
Como estamos ante una anualidad vencida general y la tasa de interés capitalizable mensualmente es la 
incógnita, inicialmente calcularemos la tasa de interés capitalizable trimestralmente para transformar la anualidad 
general en una vencida simple (de modo que coincidan el periodo de los pagos y el de capitalización de los intereses). 
Luego, para responder correctamente la pregunta planteada, obtendremos una tasa de interés equivalente. 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [14], se tiene: 
 
  2105.14
86.251,2
000,32)1(1 24

 
i
i 
 
Procederemos a obtener por tanteo la tasa de interés " i ": 
 
 
 
Tulio A. Mateo Duval Anualidades 
 
 
 
33 
 
 
TANTEO 
 
(%)"" i RA / 
1 21.2434 
4 15.2470 
5 13.7986 
4.5 14.4955 
4.6 14.3519 
4.7 14.2105 
%47.5i 
 
 %7.4i %8.1847.4 j –» Tasa anual capitalizable trimestral 
 
 
a) Para calcular la tasa de interés anual capitalizable mensualmente (tasa pedida) empleamos la fórmula [15] 
que nos permite hallar la tasa equivalente a la obtenida anteriormente: 
 
j2 = 18.8% j1 = ? 
 
m2 = 4 m1 = 12 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [15], se tiene: 
 
 %5129.18185129.0
4
188.012 11
)12/4(
1 












 j –» Tasa anual capitalizable mensual 
 
 
b) Mediante la fórmula [16], se obtiene la tasa efectiva: 
 
j2 = 18.5129% je = ? 
 
m2 = 12%1674.20201674.01
12
185129.01
12





 ej –» Tasa efectiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Asignamos valores a " i " sabiendo que lo que se busca es que el 
segundo miembro de la fórmula [14] resulte igual o aproximadamente 
igual a 14.2105. 
 
b) Como la expresión del primer miembro es un factor de 
descapitalización, éste depende inversamente de la tasa " i " asumida. 
 
c) Como se observa, el valor de 14.2105 se encuentra entre los valores 
15.2470 y 13.7986 lo cual indica que el valor buscado de " i " estaría 
entre las tasas 4 y 5%. Probando valores entre 4 y 5%, se encuentra el 
valor buscado de " i ", obteniéndose a continuación la tasa anual " j " 
mediante la fórmula [7]: 
 
Tulio A. Mateo Duval Anualidades 
 
 
 
34 
 
 
6. ANUALIDAD ANTICIPADA SIMPLE 
 
Una anualidad anticipada simple es aquella cuyos pagos vencen al inicio de cada uno de los periodos que la 
componen, siempre y cuando éstos coincidan con los periodos de capitalización de los intereses. Ejemplo de este tipo 
de anualidad lo constituye el conjunto de 15 depósitos de $3,400.00 a efectuarse a principio de cada mes en una cuenta 
bancaria que paga intereses a razón del 9% anual convertible mensualmente. 
 
0
R=$3,400 
1 15 m es2 3 i = 0.75%
R = renta = $3,400.00 i = j / m = 9 / 12 = 0.75% mensual
. . . . . . 14
 
 
 
 
 
6.1 MONTO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA SIMPLE 
 
El monto o valor futuro de una anualidad anticipada simple "S" es el valor de dicha anualidad calculado en su 
fecha de terminación. Se obtiene al sumar los montos que acumulan cada uno de los pagos desde sus respectivos 
vencimientos hasta el final de la duración de la anualidad. 
0
R 
1 n2 3 i n -1n -2
S
n = número de periodos
i = tasa de interés por periodo
R = renta o pago periódico 
S = monto de la anualidad
………….
 
 
Para deducir una fórmula que permita obtener directamente el monto o valor futuro de una anualidad anticipada 
simple "S" se suman los montos que acumulan cada uno de los depósitos “R” invertidos a la tasa de interés “i”, desde 
sus respectivos vencimientos hasta el final de la duración de la anualidad: 
 
nn iRiRiRiRS )1()1()1()1( 121   (A) 
 
 
Multiplicando ambos miembros por )1( i se tiene: 
 132 )1()1()1()1()1(  nn iRiRiRiRiS ...... (B) 
 
 
Restando miembro a miembro las expresiones “B − A “, se obtiene: 
 
 
)1()1(. 1 iRiRiS n   
 
Factorizando se tiene: ]1)1([. 1   iiRiS n 
 
Tulio A. Mateo Duval Anualidades 
 
 
 
35 
 
 
Despejando a “S” de la expresión anterior, se obtiene la fórmula que permite hallar el monto de una anualidad 
anticipada simple: 
 
  
i
iiRS
n 1)1( 1 


 MONTO ANUALIDAD ANTICIPADA SIMPLE [17] 
 
 
 
▶ Ejemplo 40 
Si en una cuenta bancaria que abona el 10% compuesto trimestralmente se depositan $3,000.00 al inicio de cada 
trimestre, ¿qué suma se acumulará al cabo de 4½ años? 
 
SOLUCIÓN: 
 
R = $3,000.00 j = 10% m = 4 (trimestral) i = 10 / 4 = 2.5% trimestral t = 4½ años 
 
n = 4.5 × 4 =18 trimestres10 S = ? 
 
0
R = $ 3 ,0 0 0 
1 18
t rim
2 3 i= 2 .5% 1716
S
n = 1 8 tr im e s tre s
i = ta s a in te ré s p or p e r io d o = 1 0 / 4 = 2 .5 %
R = re n ta = $ 3 ,0 0 0 .0 0 
S = m o n to d e la a n u a lida d
… … … … .
A n ua lida d A n tic ip a da S im p le 
 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [17], se tiene: 
 
  02.838,68$
025.0
1025.0)025.01(000,3
118




S 
 
 
 
▶ Ejemplo 41 
¿Cuánto se acumula en 7 meses, si se efectúan depósitos quincenales anticipados de $2,300.00, en una cuenta 
de ahorros que paga el 12% anual convertible quincenalmente? 
 
SOLUCIÓN: 
 
R = $2,300.00 j = 12% m = 24 i = 12 / 24 = 0.5% quincenal n = 7 × 2 =14 quincenas 
 
S = ? 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [17], se tiene: 
 
  06.434,33$
005.0
1005.0)005.01(300,2
114




S 
 
 
 
 
 
 
10 Como son 18 pagos y el primero vence en el cero, luego el último, es decir el pago #18, vence en el 17 (un periodo antes del final de la anualidad, 
tal como ocurrirá en todas las anualidades anticipadas). 
Tulio A. Mateo Duval Anualidades 
 
 
 
36 
 
 
6.1.1 CÁLCULO DE LA RENTA 
 
En ocasiones se requiere calcular el valor de la renta o de los depósitos periódicos "R", partiendo de un monto o 
valor futuro específico de una anualidad anticipada simple "S", de una duración "n" y de una tasa de interés por 
periodo " i ". En tales casos, el cálculo de la renta se realiza con la expresión que resulta al despejar a "R" de la 
fórmula [17]: 
 
 
]1)1[(
.
1 
  ii
iSR n VALOR DE LA RENTA [18] 
 
 
 
▶ Ejemplo 42 
¿Cuánto debe invertir una persona, al inicio de cada mes, para acumular la suma de $300,000.00 en un plazo de 
5 años, si su inversión gana un 13.2% anual compuesto mensualmente? 
 
SOLUCIÓN: 
 
S = $300,000.00 j = 13.2% m = 12 i = 13.2 / 12 = 1.1% mensual n = 5 × 12 = 60 meses 
 
R = ? 
 
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [18], se tiene: 
 
98.517,3$
]1011.0)011.01[(
011.0000,300
160





R 
 
 
▶ Ejemplo 43 
¿Qué cantidad se debe depositar al inicio de cada cuatrimestre durante 6 años para acumular $190,000.00, si la 
tasa de interés es del 4% cuatrimestral? ¿Qué cantidad de interés se gana? 
 
SOLUCIÓN: 
 
S = $190,000.00 i = 4% cuatrimestral m = 3 n = 6 × 3 = 18 cuatrimestres R = ? I t = ? 
 
a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [18], se tiene: 
 
78.123,7$
]104.0)04.01[(
04.0000,190
118





R 
 
 
b) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [3], se tiene: 
 
96.771,61$78.123,718000,190 tI 
 
 
 
6.1.2 CÁLCULO DEL PLAZO O DURACIÓN 
 
Si se conoce el monto "S" de una anualidad anticipada simple, la tasa de interés por periodo " i " y el valor de la 
renta "R" , puede calcularse el valor de "n" , o sea, el número total de periodos (o de pagos) de la anualidad, mediante 
la expresión que resulta al despejar a "n" de la fórmula [17]: 
 
1
)1(log
1log







 

i
ii
R
S
n VALOR DE LA DURACIÓN [19] 
 
Tulio A. Mateo Duval Anualidades 
 
 
 
37 
 
 
Dado que "n" representa el número total de periodos, por consiguiente si se quisiese el tiempo expresado en 
años 11 se procedería a dividir el valor obtenido entre la frecuencia de los pagos (o de capitalización de la tasa de 
interés) "m", o sea, mediante la fórmula [5]: 
   m
nt años  
 
 
▶ Ejemplo 44 
José Melo efectúa depósitos anticipados mensuales por valor de $623.57 cada uno en una cuenta de ahorros 
que abona el 35.64% anual convertible mensualmente. Determine: a) el balance de la cuenta justamente antes del 8vo 
depósito, y b) durante qué tiempo (años) deberá realizar dichos depósitos si pretende acumular la suma de $15,000.00. 
 
SOLUCIÓN: 
 
R = $623.57 S = $15,000.00 j = 35.64% m = 12 i = 35.64 / 12 = 2.97% mensual n = ? 
 
t (años) = ? 
 
a) Como el 8vo. depósito vence en el mes #7, interesa el balance en el mes #7 pero sin incluir el depósito 
correspondiente a esa fecha, o sea, se pide el monto de la anualidad anticipada simple con "n=7" : 
0
R = $ 6 2 3 .5 7 
1 7 m e s2 3 i= 2 .9 7 % 65
S
E l 8 v o . d e p ó s i to v e n c e e n e l m e s 7 .
i = ta s a in