TesisPaz-Corrales

Licenciatura en Matemáticas

•

Teodoro Olivares

Rene torres gonzalez

24/10/2023

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Licenciatura en Matemáticas

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Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del
Instituto Politécnico Nacional
Unidad Zacatenco
Departamento de Matemática Educativa

Estudio socioepistemológico sobre la confrontación
entre La Geometría de Descartes y el discurso
Matemático Escolar

Tesis que presenta
Prof. Luis Miguel Paz Corrales

para obtener el Grado de
Maestro en Ciencias
en la especialidad de
Matemática Educativa

Director de Tesis: Dr. Ricardo Cantoral

Ciudad de México, febrero 2019
II

Agradezco al Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto
Politécnico Nacional (Cinvestav-IPN), una institución emblemática en Latinoamérica y
la primera en investigación y posgrados en México.

Agradezco al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (Conacyt) por
brindarme el apoyo económico para realizar mis estudios de maestría.
Luis Miguel Paz Corrales
Becario No. 776519
III

Agradecimientos

A Dios,
…estoy completamente seguro de que la cristalización de este sueño, sin su
bendición, no sería tal.

A mi mami,
…usted sabe que es la persona más importante en mi vida, no hubo día que no la
extrañase y que pidiese a Dios por su salud. Porque todo este tiempo haya valido la
pena.
A mis hermanos,
…Sarita, Elia, Harold, Felix, Maynor, Nayra, Clereth y Bayron. No sé si dimensionen lo
mucho que los amo, y lo muy agradecido que estoy por su apoyo y cada una de
nuestras vivencias, han sido muchos años viviendo lejos, pero mi corazón siempre ha
estado con ustedes.
A ti Michelle,
…llegaste en un momento y lo cambiaste todo. Te amo, y sé, sin lugar a duda, que
pronto estaremos juntos.

A mi querido asesor el Dr. Ricardo Cantoral,
…por la oportunidad que me dio de venir a México y poder estudiar en el Cinvestav.
Agradezco cada una de nuestras pláticas, algunas cortas otras más duraderas, me
permitieron conocer el ser humano que es.

A mis profesores,
…Gisela Montiel, Claudia Acuña y Rosa María Farfán, por generar los espacios de
discusión y aprendizaje, necesarios para mi formación en cada uno de los seminarios. Y
en especial a Magdalena Alvarado, quien me impulsó a tomar este gran reto, en esta
que también fue su casa de estudios.
IV

A ustedes compañeros,
…mis hermanos académicos Roger, Selvin, Mario, Fofo y a cada uno de los que jueves a
jueves nos reuníamos en nuestro Seminario de Predicción.

A mis compañeros de generación,
… Faby, Bren, Nat SQ y Melvin por brindarme su amistad y apoyo durante estos dos
años. Fueron muchas vivencias, cumpleaños, salir de antro y visitas a muchos lugares
hermosos de este país. Les deseo el mejor de los éxitos y que haya nuevos espacios
donde volvamos a coincidir.

A cinco grandes colegas y amigos,
…Diana Torres-Corrales y Carlos Andrés Ledezma por tantas horas de ayuda prestada
durante la elaboración de mi escrito de tesis. Y por supuesto, no podría dejar de
mencionarte Giaco, fuiste una persona clave durante el segundo año de mi maestría,
gracias por todo lo que te corresponde. Jimy un gran amigo pues sabe lo feliz que me
hace que, junto a Sindi, forme parte de nuestra comunidad.

A todo amigo,
…que, de una u otra manera, contribuyó a que yo estuviese hoy donde estoy. Un
especial agradecimiento a don Silvio, doña Mercedes y a su hijo Luis Fernando, ustedes
saben lo oportuno que fue no solo su apoyo, sino también lo acogido que me sentí en
su familia.

A quienes no están,
…mi Ma’ana y doña Raquel, dos mujeres hermosas que me formaron en carácter y con
quienes pasé parte de los años más significativos de mi vida. Partieron de forma tan
repentina que no tuve tiempo de despedirme. Ruego a Dios que las tenga en su gloria,
mientras yo las llevo en mi corazón.

A todos, muchas gracias.
V

Índice

ÍNDICE ....................................................................................................................................................... V
RESUMEN ................................................................................................................................................. IX
ABSTRACT ................................................................................................................................................. X
INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................................... XII
CAPÍTULO I. ¿CÓMO LLEGAMOS A ESTE PROBLEMA? ............................................................................... 1
1.1 ANTECEDENTES RELEVANTES ...................................................................................................................... 1
1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ................................................................................................................ 5
1.3 OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN ................................................................................................................ 6
CAPÍTULO II. CONSIDERACIONES TEÓRICAS ............................................................................................. 8
2.1 TEORÍA SOCIOEPISTEMOLÓGICA DE LA MATEMÁTICA EDUCATIVA ....................................................................... 9
2.1.1 Principios de la teoría ...................................................................................................................... 11
2.1.2 Modelo de Anidación de Prácticas .................................................................................................. 13
2.1.3 El discurso Matemático Escolar ...................................................................................................... 14
2.2 PENSAMIENTO Y LENGUAJE VARIACIONAL ..................................................................................................... 16
2.2.1 Elementos del PyLV ......................................................................................................................... 19
2.2.2 Tratamiento variacional ................................................................................................................. 22
2.2 OBRA MATEMÁTICA Y LIBRO DE TEXTO .......................................................................................................... 26
2.3 CONSTRUCCIÓN SOCIAL DEL CONOCIMIENTO GEOMÉTRICO ANALÍTICO ............................................................... 26
CAPÍTULO III. CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS ............................................................................. 28
3.1 METODOLOGÍA ....................................................................................................................................... 30
3.1.1 ¿QUÉ HICIMOS AL REVISAR LA GEOMETRÍA? ................................................................................................. 30
Historización: Análisis socioepistemológico .......................................................................................... 30
Análisis de tres problemas ...................................................................................................................... 33
3.1.2 ¿QUÉ HICIMOS EN EL TEXTO GEOMETRÍA ANALÍTICA DE LEHMANN? ............................................................... 34
Dialectización .......................................................................................................................................... 34
Análisis de tres problemas ...................................................................................................................... 36
3.1.3 LA OBRA MATEMÁTICA DE DESCARTES Y LA GEOMETRÍA ANALÍTICA DE LEHMANN: UN BUEN EJEMPLO PARA ESTE
ESTUDIO. ........................................................................................................................................................ 36
CAPÍTULO IV. HISTORIZACIÓN DE LA OBRACARTESIANA ...................................................................... 37
4.1 FORMACIÓN DE DESCARTES ......................................................................................................................... 37
4.2 CONTEXTO DE LA GEOMETRÍA ..................................................................................................................... 38
4.2.1 Religioso .......................................................................................................................................... 38
4.2.2 Social ............................................................................................................................................... 38
4.2.3 Filosófico ......................................................................................................................................... 39
4.3 INTENCIONALIDADES .................................................................................................................................. 39
4.4 REGISTRO EPISTOLAR ................................................................................................................................. 41
4.4.1 Otras cartas .................................................................................................................................... 44
VI

4.5 PUBLICACIÓN DEL MÉTODO Y DE LA GEOMETRÍA ........................................................................................... 44
4.6 OBRAS POSTERIORES ................................................................................................................................. 46
4.6.1 Obras inéditas ................................................................................................................................. 46
4.7 LA GEOMETRÍA. UN BUEN EJEMPLO PARA ESTE ESTUDIO ................................................................................. 46
4.7.2 Sobre el conocimiento a lo largo de la obra .................................................................................. 48
4.7.3 Contenido de La Geometría ........................................................................................................... 49
4.7.4 La sintaxis cartesiana ..................................................................................................................... 50
4.8 ANÁLISIS DE PROBLEMAS: APLICACIÓN DEL MÉTODO CARTESIANO .................................................................. 56
4.8.1 Solución cartesiana al Problema de Pappus .................................................................................. 57
4.8.2 El mesolabio cartesiano ................................................................................................................. 65
4.8.3 ¿De qué género es la curva? ........................................................................................................... 70
4.8.4 Método del círculo ......................................................................................................................... 77
CAPÍTULO V. DIALECTIZACIÓN DE UN TEXTO ESCOLAR ......................................................................... 84
5.1 FASE DESCRIPTIVA ...................................................................................................................................... 84
5.2 FASE DE ANÁLISIS CUALITATIVO ................................................................................................................... 88
5.3 APLICACIÓN DEL MÉTODO EN UN CONTEXTO ESCOLAR ..................................................................................... 92
5.3.1 Hallar la ecuación del lugar geométrico ........................................................................................ 92
5.3.2 Curva de Agnesi .............................................................................................................................. 93
5.3.3 ¿Cuál es la ecuación del lugar geométrico? .................................................................................... 98
5.3.4 Tangente a una curva ................................................................................................................... 100
CAPÍTULO VI. RESULTADOS Y CONCLUSIONES ..................................................................................... 104
CAPÍTULO VII. CONCLUSIONES ............................................................................................................. 108
REFERENCIAS ........................................................................................................................................ 115
ANEXOS ................................................................................................................................................. 122

Lista de Tablas

Tabla 1 Matematización del movimiento .......................................................................................... 2
Tabla 2 Categorías para el análisis de la Dialéctica Exclusión- Inclusión ....................................... 16
Tabla 3 Concepciones de los textos .................................................................................................. 26
Tabla 4 Análisis del Libro I de La Geometría de Descartes ............................................................. 27
Tabla 5 Contraste entre notación moderna y Viète ....................................................................... 51
Tabla 6 Clasificación de soluciones del problema de Pappus ........................................................ 63
Tabla 7 Contenido del libro Geometría Analítica ............................................................................ 85
Tabla 8 Evidencia de aspectos que aluden a la variación ............................................................... 89
Tabla 9 Resumen del discurso de Lehmann alrededor de la variación ............................................. 91
Tabla 10 Anidación de prácticas asociadas al estudio de la variación ......................................... 113

VII

Lista de Figuras

Figura 1 Comparando la longitud de segmentos ................................................................................ 4
Figura 2 Representación gráfica de la descentración del objeto .................................................. 10
Figura 3 Principios fundamentales de la TSME ............................................................................... 12
Figura 4 Modelo de anidación de prácticas ...................................................................................... 13
Figura 5 El discurso Matemático Escolar ........................................................................................ 14
Figura 6 Mapa del dME .................................................................................................................... 15
Figura 7 La abstracción de la variación ........................................................................................... 17
Figura 8 Salto de un motociclista .................................................................................................... 18
Figura 9 Persona cruzando la calle ................................................................................................. 19
Figura 10 Preguntas para identificar el cambio .............................................................................. 21
Figura 11 Anidación de prácticas para el estudio de la variación ................................................... 21
Figura 12 Globo esférico inflable .................................................................................................... 23
Figura 13 Obras confrontadas ......................................................................................................... 28
Figura 14 Análisis epistemológico ................................................................................................... 30
Figura 15 Una obra con historia....................................................................................................... 31
Figura 16 Objeto de difusión ............................................................................................................ 32
Figura 17 Parte de una expresión intelectual más global ............................................................... 32
Figura 18 Método análisis documental ........................................................................................... 34
Figura 19 Estructura de La Geometría ............................................................................................. 50
Figura 20 Sintaxis cartesiana ........................................................................................................... 53
Figura 21 Simbolismo algebraico de Descartes .............................................................................. 55
Figura 22 Análisis histórico-epistemológico ................................................................................... 56
Figura 23 Problema de Pappus -cuatro rectas- .............................................................................. 58
Figura 24 Solución particular al problema de Pappus .................................................................... 62
Figura 25 Importancia del problema de Pappus ............................................................................ 65
Figura 26 Mesolabio cartesiano ...................................................................................................... 65
Figura 27 Proporcionalidad en el Mesolabio .................................................................................. 67
Figura 28 Triángulos semejantes en el mesalabio .......................................................................... 68
Figura 29 Estados que muestran el cambio en el mesolabio ......................................................... 70
Figura 30 Hiperbológrafo de Descartes .......................................................................................... 70
Figura 31 Construcción del hiperbológrafo, fuente Cinderella ...................................................... 74
Figura 32 Normal a la curva CE ........................................................................................................ 77
Figura 33 Círculo con centro en P tangente a la curva CE .............................................................. 78
VIII

Figura 34 Círculo con centro en P, secante a la curva CE ............................................................... 79
Figura 35 Normal a una función algebraica general ....................................................................... 81
Figura 36 Fase descriptiva en Lehmann .......................................................................................... 88
Figura 37 Lugar geométrico: circunferencia ................................................................................... 93
Figura 38 Dooble en honor a la matemática Agnesi ...................................................................... 94
Figura 39 Curva de Agnesi, construcción hecha en GeoGebra ...................................................... 95
Figura 40 Estados que muestran el cambio en la curva de Agnesi ............................................... 97
Figura 41 Gráfica de la hipérbola ..................................................................................................... 98
Figura 42 Tangente a una curva .................................................................................................... 101
Figura 43 Contraste del quehacer geométrico entre Apolonio y Descartes ............................... 104
Figura 44 Contraste del quehacer geométrico ............................................................................ 107
Figura 45 Síntesis de presencia del cambio en ambas obras ....................................................... 114

Resumen

Este trabajo aborda el desarrollo de una investigación documental, donde se
confronta La Geometría de René Descartes con una expresión del discurso
Matemático Escolar, en particular, el libro de texto Geometría Analítica de Charles
Lehmann.
Diversas investigaciones en Matemática Educativa muestran que el estudio de la
variación representa una tarea importante para fomentar un aprendizaje rico en
significados, sin embargo, también la literatura da cuenta que el dME no propicia
el desarrollo de ideas variacionales. En ese sentido, nos cuestionamos de qué
manera las ideas que aluden al cambio y a la variación están presentes en
Geometría analítica.
Asumimos como hipótesis, que el pensamiento variacional está inmerso en la
construcción del conocimiento matemático, aun de aquel del tipo geométrico o
geométrico analítico. Con los elementos del Pensamiento y Lenguaje Variacional
y apoyados en la Teoría Socioepistemológica de la Matemática Educativa, se llevó
acabo el análisis de problemas homólogos, a través de la problematización del
saber: historización y dialectización.
Dicho análisis permitió mostrar que, a medida que se genera una curva, la
variación se observa cuando un punto !(#, %) se mueve y los segmentos cambian
de longitud.

Abstract

This work deals with the development of a documentary investigation, where
Descartes' Geometry is confronted with a part of the Mathematical School
discourse analytical Geometry of Lehmann's textbook.
Diverse investigations in Educational Mathematics show that the study of
variation represents an important task to promote a learning rich in meanings,
however, also the literature realizes that the dME does not favor the
development of variational ideas. In this sense, we question how the ideas that
allude to change, and variation are present in analytical geometry.
We assume as a starting hypothesis that variational thinking is immersed in the
construction of mathematical knowledge, even in the geometric or analytical
geometric type. With the elements of Variational Thinking and Language, and
supported by the Socioepistemological Theory of Mathematics Education, the
analysis of homologous problems was carried out, through three phases:
descriptive, qualitative and confrontation.
This analysis allowed to show that, as a curve is generated, the variation is
observed when a point !(#, %) moves and the segments change in length.

“Leer un libro enseña más que hablar con su autor, porque
el autor sólo ha puesto sus mejores pensamientos en el
libro.”
René Descartes
XII

Introducción

Mientras el álgebra y la Geometría han estado separadas, su
progreso ha sido lento; pero cuando estas dos ciencias han sido
vinculadas, se han prestado su fuerza mutuamente y han caminado
juntas hacia la perfección.

Lagrange

El presente estudio está enmarcado en línea de investigación Pensamiento y Lenguaje
Variacional que está siendo desarrollado en el Área de Educación Superior del
Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav-IPN. Dada su intencionalidad de
significar a los objetos matemáticos a partir de las prácticas propias de la cuantificación
de un fenómeno, esta línea promueve un carácter transversal.

Entendemos el PyLV lo siguiente:
El Pensamiento y Lenguaje Variacional trata del estudio del cambio a través
de su variación, lo hace desde una orientación múltiple que atiende a distintas
dimensiones humanas, la cultural, la individual y la social; lo cual se manifiesta
respectivamente en lo conceptual, lo cognitivo, lo didáctico y lo
socioepistemológico (Cantoral, 1997).

Nos propusimos la búsqueda de ideas variacionales en la Geometría analítica, dado que
el estudio de la variación y el cambio promueve un desarrollo rico en significados dentro
del actual discurso Matemático Escolar. En nuestro caso, centraremos la atención en el
análisis de unaexpresión del dME desde el libro mismo. Y es que, como principal
herramienta didáctica empleada por los docentes, constituye uno de los recursos
primordiales en la actividad educativa y a su vez en ellos se materializa la visión que
fundamenta a la Matemática Escolar.
XIII

La Teoría Socioepistemológica de la Matemática Educativa (TSME) es un enfoque
teórico que nace a fines de los 80´s y estudia la naturaleza conceptual de los objetos
matemáticos (Cantoral, 2013), entendiendo a éste desde el posicionamiento del ser
humano como actor en la construcción de sus sistemas conceptuales. Trataremos la
construcción social del conocimiento matemático, en el sentido que éste se produce a
través de las prácticas, es decir no es preexistente a la experiencia. Además de su
difusión institucional a la vez que se pretende democratizar el aprendizaje de la
matemática, señalando de esta forma el objeto de estudio que persigue esta teoría.

Es decir, modeliza las dinámicas del saber o conocimiento puesto en uso
atendiendo al aporte fundamental que nos brinda con la transición de un conocimiento
estático al estudio del conocimiento en uso (Cantoral, 2016).
El Pensamiento y Lenguaje Variacional (PyLV), ha sido la fuente de inspiración del
programa socioepistemológico, la cual subyace a nuestro interés para el tratamiento del
cambio y la variación en libros de diferentes contextos.

Si bien es cierto que el estudio de la variación es un elemento necesario para
poder significar ideas y conceptos del Cálculo (Caballero, 2012), las investigaciones en
Matemática Educativa han documentado que el actual dME no propicia estas ideas
variacionales. Diversas investigaciones en PyLV se han llevado a cabo en Cálculo, Física y
Álgebra, pero no en Geometría Analítica, por esta razón, una de las motivaciones de la
investigación fue cuestionarnos: ¿están presentes las ideas variacionales en un libro
científico y un texto escolar?, ¿de qué manera? Para evidenciarlo elegimos la obra La
Geometría (Descartes, 1637) y el libro de texto Geometría Analítica (Lehmann, 1942).

Nuestra hipótesis de investigación sostiene que el Pensamiento y Lenguaje
Variacional se encuentra inmerso en la construcción del conocimiento matemático.
Empero, la posibilidad de que se manifieste implícitamente; el tratamiento centrado en
XIV

las prácticas alrededor del objeto permitirá entender qué cambia, cómo cambia y cuanto
cambia eso que está cambiando.

Por ello, en este trabajo nos propusimos como objetivo realizar un estudio
socioepistemológico de la variación a través de la confrontación entre la obra original y
el libro de texto, relativo a las nociones variacionales en Geometría Analítica.
Los resultados de la investigación brindan una propuesta metodológica, para
estudiar el cambio y la variación, así como la forma en que están presentes en libros de
cualquier área. Desde un punto de vista estructural, la investigación se ha escrito en seis
capítulos, en los que se plasma todo aquello que se consideró relevante para nuestros
fines.

En el Capítulo 1 se describe la razón de ser de nuestro trabajo, investigaciones
previas, la problemática que abordaremos a partir de las preguntas de investigación que
guiarán su desarrollo y los objetivos de investigación. En particular se describe toda una
forma de explicitar el estudio de la variación y el cambio en los libros.

En el segundo Capítulo se presentaron los elementos teóricos de la TSME y del
PyLV que permearon en la investigación. Se describieron los fundamentos de la teoría
Sociepistemológica, así como trabajos desarrollados dentro de la línea PyLV que a su vez
nos dieron pautas para asumir una postura convencional sobre lo que entenderemos por
variación y cambio. Además, se muestran resultados que nos dirigen la comprensión y
necesidad de articular estos elementos teóricos con el dME dentro de este enfoque
teórico.

En el Capítulo 3, se describen aquellos elementos metodológicos que guiaron la
investigación. De manera puntual abordamos las pretensiones en cada una de las fases
en que se desarrolla la investigación, y algunos elementos que se consideraron para la
selección de las obras estudiadas.
XV

En el cuarto Capítulo se expone la primera parte de la problematización:
Historización de la obra cartesiana, con el afán de desvelar parte de la construcción del
conocimiento matemático en ese nuevo quehacer geométrico.

Seguidamente, en el Capítulo 5 de desarrolla la segunda parte de dicha
problematización: dialectización de una expresión del dME, en particular, la Geometría
Analítica de Lehmann. Lo anterior con el objeto de confrontarlo con los resultados de la
historización.

Finalmente, en el sexto capítulo se muestran los principales resultados de esta
investigación, así como también se describen las respuestas a nuestros objetivos de
investigación a manera de conclusión.
1

Capítulo I. ¿Cómo llegamos a este problema?

Lo que ha inmortalizado el nombre de Descartes es la aplicación
que ha sabido hacer del Álgebra a la Geometría, una idea de las
más vastas y felices que ha tenido el espíritu humano.
D'Alembert

1.1 Antecedentes relevantes

El estudio del cambio ha cautivado desde tiempos inmemoriales a nuestros
antepasados producto de la gran curiosidad de lo que ocurría a su alrededor. Por
ejemplo, en la serie The Haunting of Hill House se hace mención que el hombre primitivo
llamaba sobrenatural a todo fenómeno de la naturaleza que no podía explicar.
Inexplicables o no observaba, en estos cambios, una serie de regularidades: el día y la
noche, las estaciones del año, las fases de la luna, entre muchas otras. Diversos han sido
los contextos, así como las disciplinas que lo documentan.
Situándonos en México, el pasado 19 de septiembre de 2017, ocurrió nuevamente un
sismo que revivió la pesadilla de 1985. Se ha dicho en numeradas ocasiones que, ante la
imposibilidad de adelantar el tiempo, predecimos (Cantoral y Farfán, 1998), pero ante
estos sucesos, lo que se hace es estudiarlos para comprender mejor cómo es su
comportamiento:
El sueño de los sismólogos es predecir los sismos que pudieran afectar a la
población, por lo que dedican muchos estudios a este fin con el objetivo de
mitigar sus efectos (Espíndola y Pérez, 2018, p.8)
Este interés del que venimos hablando, también se ve reflejado en diversos resultados
de investigaciones llevadas a cabo al seno de la Matemática Educativa, enlistaremos
algunas a continuación:
En la conferencia Socioepistemología de la variación y el cambio: una ruta didáctica, el
Dr. Ricardo Cantoral mencionó que, en los años ´90, diversas investigaciones aceptaron
que las matemáticas del cambio o el estudio del cambio sería identificado como uno de
los hilos conductores que habrían de desarrollarse desde las experiencias informales de
estudiantes, a través de experiencias escolares formales en los niveles de educación
básica, secundaria y media (Cantoral, 2015).
2

• En la tesis doctoral de Cantoral (1990), se desarrolla un estudio sobre la formación
social de la analiticidad. Esta investigación muestra las ideas germinales, no solo del
programa socioepistemológico, sino también de los estudios de la variación. Cantoral
hace un recorrido detallado, al revisar las producciones científicas de matemáticos,
físicos, y filósofos sobresalientes, en el que desvela un estudio sistemático de
situaciones de cambio en ellas:

Tabla 1 Matematización del movimiento
Estudio Científico
Movimiento Galileo (1638)
Gravitación universal Newton (1686)
Hidrodinámica Euler (1749)
Figura de la tierra D´Clairaut (1743),
Movimiento y el equilibrio de los fluidos D´Alambert (1752)
Propagación del calor en cuerpos sólidos Fourier (1822)
(Cantoral, 1990)
Finalmente, en este estudio, el autor caracteriza al prædiciere, como el conjunto
de mecanismos funcionalesque operan la relación dialéctica entre las nociones de
predicción propia de las ciencias físicas y de la ingeniería y de lo analítico peculiar de las
matemáticas.
Por tanto, la prædiciere no es la predicción como tal, sino aquello que nos
permite predecir, es decir, ésta se constituye como una práctica social
(Espinoza, 2009, p.16).
• Dreyfus (1990), a través de este estudio se comprobó que los estudiantes aprenden
los procedimientos del cálculo en un nivel puramente algorítmico. De acuerdo con
los resultados de este trabajo, parece que no interesa mostrarles (a ellos) los
procesos variacionales que se esconden detrás de ese cálculo.

• Un estudio reportado por Cantoral y Farfán (1998), mostró tres ejemplos sobre
Pensamiento y Lenguaje Variacional. En uno de ellos, la tarea consiste en que dada la
gráfica de una función (, se describa las partes de ésta en las que ( , (´, (´´ y (´´´ sean
positivas. Se esperaba que en las respuestas se indicara las estrategias variacionales
usadas. La mencionada tarea demostró que responder dónde (´´´(#) > 0 exige el
uso de estas estrategias como única posibilidad de solución al problema. Se percibió,
además, que el recurso dominante en las respuestas de los estudiantes, resultó ser
la memoria:
3

Naturalmente ello no parece implicar estrategias propiamente variacionales.
La última de las cuestiones ponía en evidencia este hallazgo, pues se trata de
una situación en la cual no es posible recordar algún conocimiento previo,
pues el tema no ha sido tratado en su enseñanza convencional (p.362).
Por lo cual, se evidenció la ausencia de procesos variacionales que dotan de
significados a los objetos matemáticos propios del cálculo.
• Reséndiz (1997), citada por Reséndiz (2004) reporta las dificultades observadas en
los profesores de matemática al momento de abordar situaciones de variación, en
particular, la enseñanza de la segunda derivada. Un hallazgo importante en este
estudio es que se puede ver una preocupación en ellos por emplear procedimientos
meramente algebraicos y que a la vez son caracterizados por dejar de lado aspectos
variacionales asociados a este objeto matemático.

• González (1999), en esta investigación se aborda el problema de ¿cómo hacer
aparecer la noción de derivada sin reducirse únicamente a la definición? Para el cual
se diseñaron actividades que propician el desarrollo de estrategias variacionales. Se
concluyó que nadie tiene una interpretación de la tercera derivada, ni física, ni
geométrica, ni los profesores. Los estudiantes de bachillerato construyen teoremas
factuales (Cantoral y González, 1998). Finalmente, la noción de derivada se construye
solo si se transita entre las variaciones sucesivas, en dirección de y lo que caracteriza
a tales las variaciones. Llevándolo al lenguaje más formal, es decir, donde ( es más
grande, o (´ es más grande. Sin embargo, al ser llevado a la escuela, fracasa, ¿por
qué?, pues los chicos no saben leer (´ > ((´ mayor que), es decir, ellos sabían
fórmulas y/o criterios, pero no (´, por lo cual, el experimento muestra que no
embona.

• La primera vez que se habló de comparar y seriar como estrategias variacionales fue
en la investigación hecha por Salinas (2003). En esta, se evidencia cómo la algoritmia
se ve privilegiada al momento de encontrar los máximos y mínimos de una función,
es decir, lo que se hace en la escuela es utilizar un criterio: (´(#) = 0 y se encuentra
un #- como coordenada del punto máximo o mínimo. Pero, en este trabajo surgen
cuestiones interesantes, en las matemáticas iniciales, ¿qué hacen los niños al
enfrentarse a situaciones de este tipo? Para lo cual, se lleva a cabo un estudio con
niños y niñas, se les daban palitos de diferentes tamaños, la tarea consistía en
determinar cuál era el más grande. Ellos agarraban dos palitos, los paraban y
seleccionaban al más grande y descartaban al más chico (tomaban dos palitos, los
comparaban) y repetían este proceso, lo que les permitía a ellos hacer una seriación.
En la figura 1, se observa el proceso llevado a cabo, para seriar, el o la niña primero
compara.
4

Figura 1 Comparando la longitud de segmentos
Cuando se les consultaba sobre cómo sabían cuál era más grande, ellos
desarrollaban su técnica, ya no hacían el proceso anterior, seleccionaban uno y decía es
este. Se podía observar que habían desarrollado una estrategia mental, para decidirlo,
esto no descartaba que se equivocaran. A la luz de este estudio, se mostró evidencia que,
antes de predecir, la gente siempre estima. En otras palabras, la predicción aparece
como algo más certero.
En el ejemplo de los palitos, está lo variacional, porque es la misma idea, es la base
para los extremos relativos (la variación infinitesimal). Pero, es importante mencionar
que un niño no piensa así, es decir, piensa en discreto. Por lo que resultó natural
preguntarse en ese mismo estudio, ¿sucederá lo mismo con estudiantes más grandes? El
resultado encontrado, es que sí, existe un mismo comportamiento.

• En esa misma época, otro colega, Fernández (2004), estaba muy interesado en un
problema muy parecido al abordado por Salinas (2003), solo que en varias variables.
Si tenemos una función ((#, %), ¿cómo sabemos si tiene o no un máximo o mínimo?
Se consideran las ./
.0
y ./
.1
, se igualan a cero. La idea es el estudio de la optimización, la
técnica es muy parecida, salvo que ésta introducía un factor, un 2. Y dado que a partir
de este proceso se obtienen dos valores, cómo saber cuál de los dos es mayor, al
revisar los libros de texto, parecen no tener un método general. Y es así como
después de evaluarlos, lo que se hace es compararlos. Es justo mencionar hasta este
punto que este y el estudio anterior son los trabajos germinales alrededor de la
variación.
Cabrera (2009), estudia la formación de profesores con respecto a situaciones
variacionales. Al respecto:
Podemos afirmar que el desarrollar el pensamiento variacional y la capacidad
de comunicar tales ideas, se presenta como una competencia de gran
importancia para el estudio de fenómenos y situaciones de cambio en una
multitud de contextos (p.136)
5

Caballero (2012), parte del interés de identificar las causas que originan las dificultades
de los profesores de bachillerato para desarrollar pensamiento variacional. Este estudio
se basa en que los mencionados educadores parecen no haber desarrollado este tipo de
pensamiento, así lo han reportado diversas investigaciones. A la luz de los resultados, se
mostró que las dificultades para desarrollar un pensamiento variacional se encuentran
en la centración en los objetos matemáticos, ya que no permiten ver lo variacional en el
Cálculo.

1.2 Planteamiento del problema

Diversos resultados de investigaciones dentro en la línea Construcción social del
conocimiento matemático (las anteriores, por mencionar algunas) han mostrado que el
estudio de la variación es un elemento necesario para poder significar las ideas y
conceptos matemáticos. Así lo confirma Caballero y Cantoral (2013):
[…] propiciar el estudio de la variación representa una tarea importante para
fomentar un aprendizaje rico en significados, tarea ante la cual se han
desarrollado investigaciones enmarcadas en el Pensamiento y Lenguaje
Variacional (p.1586).
Sin embargo, producto de la transposición, continúan diciendo estos autores, no se
propicia el desarrollo de estas ideas variacionales. Al respecto, Salinas (2003) menciona:
[…] la transposición actual ha hecho que el estudiante privilegie la algoritmia
y deje de lado lo variacional que existe en ellos de forma natural. En este
momento nos dimos cuenta de que la algoritmia y el pensamiento variacional
del alumno toman rutas diferentes, trayendo como consecuencia que no
haya aprendizaje de los conceptos matemáticos en el pensamiento de los
estudiantes (p. 82).
En ese sentido, Reséndiz (2004) explica que el discurso Matemático Escolar inhibeel
desarrollo de ideas relativas al cambio y a la variación, al centrar su atención en fomentar
destrezas algorítmicas que soslayan la naturaleza variacional del Cálculo.
En otras palabras, estas y otras investigaciones demuestran que el origen del problema
comienza desde muy atrás. Tal es el caso, Torrellas y Romano (2009) refieren:
[…] ¿En realidad se usa lo variacional?, Nosotros diríamos que inconsciente y
utilitariamente sí. Pero, no se les da la continuidad en la escuela, entonces lo
variacional está en todas partes menos en la escuela, por ejemplo, cuando se
estudia variable y función en la escuela, el alumno ve las #, las %, las 3 como
6

si éstas tuvieran vida solamente dentro del aula, pero cuando se va fuera del
aula eso se le olvida (p.4-5).
Por lo dicho hasta el momento, existen muchas investigaciones que han reportado el
papel del Pensamiento y Lenguaje Variacional en áreas del conocimiento tales como la
Física y el cálculo (véase Cantoral, Moreno-Durazo y Caballero-Pérez, 2018). Ahora bien,
grosso modo se habló de la importancia del estudio de la variación en la matemática en
general. Es por ello por lo que en esta investigación nos cuestionamos si están presentes
estas ideas variacionales en la Geometría Analítica y, de ser así, de qué manera lo están.
Asumimos como hipótesis de partida, que el pensamiento variacional está inmerso en la
construcción del conocimiento matemático, aun de aquel del tipo geométrico o
geométrico analítico. Por lo cual, nos propusimos los siguientes objetivos:

1.3 Objetivos de la investigación

Específicos:
• Analizar el quehacer geométrico-analítico en la obra cartesiana.
• Analizar el discurso Matemático Escolar expresado en el texto Geometría Analítica de
Lehmann.

General:
• Estudiar cómo están presentes las ideas variacionales en la Geometría Analítica
mediante la confrontación entre La Geometría de Descartes y el discurso Matemático
Escolar

“A la gente no es que no le gusta la matemática, lo que
no le gusta es no entenderla.”
Cantoral

Capítulo II. Consideraciones Teóricas

Observar pronto los pequeños cambios te ayuda a adaptarte a los
grandes cambios por venir.
Spencer Johnson

Estudiar los fenómenos ligados a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas
representa el quehacer de los matemáticos educativos, mismos que han sido estudiados
desde diferentes enfoques teóricos. Al echarse un clavado en el proceso de
consolidación de nuestra disciplina, se puede observar como la comunidad académica ha
expandido y robustecido las diferentes posturas acerca de esta problemática, por
ejemplo, el paso de lo cognitivo a lo didáctico y a lo epistemológico que se ha ido
desarrollando en nuestra comunidad y como hoy ha emergido la dimensión social
asociada a los fenómenos.
Sin embargo, no se puede desconocer que normalmente casi siempre ha existido
una separación entre la ciencia y las humanidades, Fernando Savater presenta en su libro
“El valor de educar” un capítulo con la siguiente interrogante ¿Hacia una humanidad sin
humanidades? en el cual hace un fuerte cuestionamiento sobre la supremacía que está
teniendo últimamente el estudio del saber científico sobre los estudios humanísticos
pero el punto de interés en este caso sería qué hay de aquellas disciplinas híbridas que
buscan trazar puentes de comprensión entre los conocimientos de una disciplina y lo que
los estudiantes pueden y deben aprender para desarrollarse con éxito en una sociedad
cada vez más competitiva. Al respecto, Savater (1997) plantea lo siguiente:
¿Qué son las humanidades? Supongo que nadie sostiene en serio que estudiar
Matemáticas o Física son tareas menos humanistas, no digamos menos
humanas, que dedicarse al griego o a la filosofía. Nicolás de Cusa, Descartes,
Voltaire o Goethe se hubieran quedado pasmados al oír hoy semejante
9

dislate…Pensemos en los grandes matemáticos de la historia si simplemente
se hubieran dedicado a producir conocimiento y a formular teorías incapaces
de entender por las futuras generaciones (p. 51).
De poco nos sirve el conocimiento si no es accesible para todos y aquí es donde
radica la importancia la postura teórica que asumiremos, en cuanto a la democratización
del saber. En la época en la que estamos tenemos la disponibilidad de un sin número de
recursos que nos permiten acceder al conocimiento, pero de qué nos sirven éstos, si el
conocimiento presentado se caracteriza por ser despersonalizado, descontextualizado
y carente de significados.
2.1 Teoría Socioepistemológica de la Matemática Educativa
La Socioepistemología en una teoría emergente en la Matemática Educativa.
Tiene su origen en los años 90´s en México, en los trabajos empíricos, realizados por
Cantoral (1990), Farfán (1993) y Cordero (1994), relativas a tres prácticas específicas:
predicción, estabilidad y acumulación, respectivamente.
Este acercamiento fue presentado por el Doctor Ricardo Cantoral en dos reuniones
académicas, como charla inaugural del Seminario de Investigación en Matemática
Educativa del Área de Educación Superior (conocido ahora como Seminario de los Jueves)
del Cinvestav-IPN en México y como conferencia plenaria en la Conference on Research in
Mathematics en EUA, ambas durante septiembre de 1997 (Cantoral y Farfán, 1998, p.355).
Esta teoría plantea, en sí misma, una metáfora que ubica al saber como
construcción social del conocimiento (Cantoral, 2013). Lo anterior refleja que es muy
importante el contexto en el cual se produce dicho conocimiento, así lo afirma Cantoral
(2007):
Nos dimos cuenta de que las teorías norteamericanas y las europeas no
podían explicar nuestra realidad latinoamericana y poco a poco fuimos
cambiando, hasta que dijimos tenemos que tener un enfoque propio, porque
ninguna de las teorías que hemos utilizado funcionan.
10

De allí que esta aproximación teórica considera a la Matemática como parte
esencial de la cultura, un elemento vivo que se crea fuera del aula, pero se recrea dentro
de ella. No obstante, según Cantoral, Reyes-Gasperini y Montiel (2014), la introducción
de la matemática al sistema educativo tiene un costo:
[…] su difusión hacia y desde el sistema de enseñanza le obliga a una serie de
modificaciones que afectan directamente su estructura y su funcionamiento.
(p.94)
Ante esta situación, y esto es lo que diferencia a la Socioepistemología de otros
enfoques, su primera contribución radica en haber producido una descentración del
objeto matemático (véase figura 2); se trata de un abordaje muy cercano al que vive el
estudiante en su vida en sociedad, de ahí que se le denomine construcción social del
conocimiento matemático, o más sencillamente, matemáticas en uso.

Figura 2 Representación gráfica de la descentración del objeto

Dicha descentración, no implica olvidarse del objeto abstracto, sino que plantea
un paso, del objeto a las prácticas, es decir, la apropiación del objeto matemático precisa
de prácticas que le acompañen en su construcción, tanto al nivel de la cultura como del
uso que viven los saberes matemáticos situados.
Esto es, no se parte del propio objeto matemático, de su definición o enunciación
para la apropiación por parte de los estudiantes, sino que se centra en el uso del
conocimiento en situaciones diversas que dan origen al objeto. Conviene aclarar que,
aunque la noción de práctica se encuentra ligada a las bases de la actividad humana, no
11

toda actividad humana es una práctica, sino aquellas realizadas de manera consiente e
intencional (Caballero-Pérez, 2016, p.19).

En síntesis, los aportes fundamentales de esta teoría son la construcción social del
conocimiento en situaciones contextuales y su difusión institucional (véase Cruz-Márquez,
2018), mismos que responden a la pregunta que se plantearon en la génesis del
programa,¿existe una manera matemática de pensar que pueda ser difundida socialmente?
(Cantoral, 2007). Al respecto, Cordero, Gómez, Silva-Crocci y Soto (2015), mencionan:
El planteamiento que hacemos, desde la construcción social del
conocimiento matemático, es ponernos en el lugar de la gente; es decir, en
los usos de su conocimiento matemático donde vive y se desarrolla: la
escuela, el trabajo y la ciudad (p.19).

2.1.1 Principios de la teoría

La Socioepistemología descansa sobre cuatro principios fundamentales (véase figura
3), éstos a su vez, dan cuenta de sus características principales, y simultáneamente
orientan el desarrollo de las investigaciones. Se explican grosso modo a continuación:

Principio normativo de la práctica social. Se asume que las prácticas sociales son la
base y orientación en los procesos de construcción del conocimiento, en tanto su función
identitaria (produce identidades mediante la auto confirmación del rol del individuo o
grupo en el mundo), su función reflexiva-discursiva (la construcción de argumentos
sobre las prácticas efectuadas) y su función pragmática (orienta y organiza la actividad
humana hasta alcanzar la expertez).

Principio de la racionalidad contextualizada. Enuncia que la racionalidad con la que
se actúa depende del contexto en el que el individuo se encuentre en un momento y
lugar determinado, de modo que la construcción del conocimiento es un producto
12

sociocultural y su validez es relativa a la epistemología de partida, tanto del individuo
como del grupo cultural y su contexto.

Principio del relativismo epistemológico. Sostiene que los puntos de vista no tienen
verdad ni validez universal, sino que poseen una validez subjetiva y relativa a los
diferentes marcos de referencia. De modo que el saber matemático es una multitud de
saberes estructurado a través de verdades relativas.

Principio de la significación progresiva o de la apropiación situada. Establece que
los significados son puestos en funcionamiento en situaciones nuevas y, bajo el mismo
esquema constructivo, se resignifica, produciendo conocimientos. Este saber es el punto
de partida para una nueva etapa de significación, donde se construirán más
argumentaciones, espacios de uso, procedimientos y todo aquello que rodea a un saber.

Sintetizando, cada principio podemos verlo así:

�
Figura 3 Principios fundamentales de la TSME

2.1.2 Modelo de Anidación de Prácticas

Con lo mencionado hasta el momento, se muestra que la Socioepistemología pone
su atención en el saber, visto éste como un conocimiento puesto en uso. En ese sentido,
como un intento de explicar teórica y empíricamente el proceso de construcción social
del conocimiento matemático, surge dicho modelo. Se plantea que el significado del
objeto emerge mediante una anidación de prácticas (véase figura 4):

Figura 4 Modelo de anidación de prácticas

Al ser descrito de abajo hacia arriba, como se hará en esta investigación, todo
individuo desde su quehacer parte de acciones (hacer). Al organizarlas en conjunto
racionalmente se convierten en actividades (saber hacer). Y cuando éstas son
compartidas por un individuo, y el colectivo, se consolidan como prácticas socialmente
compartidas (compartir el saber hacer) donde se alcanza un significado compartido por
una cultura. A su vez, son reguladas por una práctica de referencia que es la expresión
material e ideológica de un paradigma. Posteriormente, la práctica social, además de
normar dichas prácticas, describe una evolución pragmática de la construcción de dicho
conocimiento.
14

2.1.3 El discurso Matemático Escolar
De acuerdo con esta teoría, desde el momento que las investigaciones en
Matemática Educativa se platearon preguntas como: ¿qué significa mejorar los procesos
del aprendizaje de las matemáticas?, ¿cuáles son las condiciones que lo favorecen y
cuáles las que lo obstaculizan?, emerge así la noción de discurso matemático para la
escuela (Ímaz, 1987) y de discurso Matemático Escolar (Cantoral, 1987).
En las líneas precedentes se mencionó que al introducir el saber matemático al
sistema de enseñanza le obliga a una serie de modificaciones. El conjunto de discursos
que determina estas modificaciones recibe el nombre de discurso Matemático Escolar.
Estos discursos validan la introducción del saber matemático en el sistema educativo
(véase figura 5) y legitiman un nuevo sistema de razón. (Cantoral, Montiel y Reyes-
Gasperini, 2015).
Entenderemos al discurso Matemático Escolar como el conjunto de discursos
estructurados producidos por convencionalismos sociales y culturales que surgen ante
la necesidad de la comunicación y difusión masiva de los saberes matemáticos (Cantoral,
Farfán, Lezama y Martínez-Sierra, 2006).

Figura 5 El discurso Matemático Escolar

Es común, hoy día, escuchar frases como las siguientes, donde su único fin es
buscar un responsable del “fracaso” en las clases de Matemáticas:
15

—El profesor es el culpable
—A los estudiantes no les interesa
—El currículum está lleno de contenidos
No obstante, la teoría postula que la esencia de la problemática de la enseñanza
y aprendizaje de las matemáticas reside en la noción de discurso Matemática Escolar. Así
lo han confirmado diferentes investigaciones inscritas en este programa:
[…]un constructo que permite modelar la génesis de la problemática que
buscan (Cordero, Gómez, Silva-Crocci y Soto, 2015, p.50).
En las investigaciones que han intentado caracterizar al dME, se evidencia una
serie de características que lo hacen ser excluyente (figura 6), es decir, que logra
imponer un conjunto de significaciones, procedimientos y argumentaciones centradas
en los objetos matemáticos, las cuales no permiten que actores del sistema didáctico
construyamos conocimiento matemático (Soto, 2010; Soto, 2014).

Figura 6 Mapa del dME
Ante estas características del dME, se propone trastocarlo, es decir, llevar a cabo
un Rediseño del discurso Matemático Escolar (RdME), en ese sentido, Reyes-Gasperini
(2011) desarrolla una articulación entre el dME, los fundamentos de la teoría
Socioepistemológica y el RdME. En la que se describe acertadamente (ver Tabla 2), varias
dualidades, a saber:
16

Tabla 2 Categorías para el análisis de la Dialéctica Exclusión- Inclusión
El discurso Matemático Escolar
Construcción social del
conocimiento matemático
Hegemónico Pluralidad epistemológica
Utilitario Funcional
Centrado en objetos Centrado en prácticas
Sin marcos de referencia Transversalidad
Continuo y lineal Desarrollo de usos

El carácter utilitario del conocimiento se contrapone con la normativa de la
práctica social, en particular con el carácter funcional. La atomización en los
conceptos se contrapone con la racionalidad contextualizada y se acepta una
diversidad en su conjunto. El carácter hegemónico y la concepción de que el
conocimiento es acabado y lineal es contrario a un relativismo
epistemológico, entendiendo que la validación de los saberes también es
diversa y situacional. Y, por último, la falta de marcos de referencia para la
resignificación se antepone a la resignificación progresiva, la cual reconoce la
pluralidad de prácticas en las que se puede adquirir otras significaciones
(Soto, 2014, p.69).
Consideraciones teóricas particulares
2.2 Pensamiento y Lenguaje Variacional

En el Departamento de Matemática Educativa, específicamente, en el Área de
Educación Superior, de desarrolla una línea de investigación, dentro de la Construcción
Social del Conocimiento Matemático, que descansa al seno de la TSME (Cantoral y
Farfán, 1998), denominada Pensamiento y Lenguaje variacional (en adelante PyLV):
17

El PyLV es tanto una línea de investigación como una forma de pensamiento,
que se caracteriza por proponer el situaciones y fenómenos en los que seve
involucrado el cambio, y donde la necesidad de predecir estados futuros
motivo el estudio y análisis de la variación (Caballero y Cantoral, 2013, p.1197)
Conviene al momento hacer una distinción entre cambio y variación y darnos cuentan de
la relación estrecha que guardan ambos:
Por cambio se entiende a la modificación de estado, apariencia,
comportamiento o condición de un cuerpo, sistema u objeto (posición,
forma, peso, entre otros), en tanto que la variación es entendida como una
cuantificación de ese cambio (Cantoral, Molina y Sánchez, 2005) y a su vez
describe las cualidades del cambio proporcionando elementos para saber
cómo cambia eso que cambia (Cabrera, 2009).
El cambio y la variación están presente en todos los ámbitos de nuestras vidas. Por
ejemplo, se pueden encontrar tanto en situaciones escolares, profesionales y en
experiencias cotidianas. Por mencionar algunos ejemplos, un motociclista saltando un
risco, una persona al cruzar la calle, llenado de recipientes, al regular la temperatura del
agua en la ducha, entre otros.
Sin embargo, a diferencia de la variación, únicamente el cambio puede ser
percibido, dado que la primera es una abstracción de orden superior (Cabrera, 2009).
(véase figura 7)

Figura 7 La abstracción de la variación
18

Esto es confirmado por Caballero-Pérez (2016), cuando menciona que la variación
no se observa, sino que se infiere, se calcula, se mide, y por tanto, se construye; la
variación expresa la dinámica de las variables involucradas en el estudio del fenómeno.
Ejemplifiquemos lo anterior, en los dos primeros ejemplos mencionados:
En el caso del motociclista (figura 8), podemos percibir el cambio a través de las
diferentes posiciones de él en su motocicleta. La única posición en la que éste va sentado
es en el máximo ¿por qué?, ¿qué singularidad tiene el máximo? Esta pregunta se responde
a través del estudio de la variación, porque es en el punto máximo de la trayectoria
donde la variación es mínima, idea fundamental, que desafortunadamente, parece no
estar en las clases de cálculo.

Figura 8 Salto de un motociclista
En el caso de la persona al cruzar la calle (figura 9), Cabrera (2009) nos explica:
[…] si bien nos percatamos del movimiento de las personas, de su cambio de
posición, casi nunca nos cuestionamos por la forma en que se producen
dichos cambios, aun cuando podríamos percatarnos de ellos: si el
movimiento era uniforme, si se presentaban variaciones, es decir, se movían
cada vez más rápido o más lento o si se alternaban este comportamiento.
Menos llegamos a establecer algún sistema de medida para darle valor a esas
variaciones del cambio. Es decir, si bien percibimos y comprendemos lo que
cambia, el analizar los cambios de ese cambio no es tan natural. Se requiere
19

de un segundo nivel de elaboración teórica, de una abstracción de segundo
orden, dando lugar al concepto de variación (p.51).

Figura 9 Persona cruzando la calle
Es importante mencionar que el PyLV ha sido la fuente de inspiración empírica del
programa socioepistemológico, así lo constatan la gran cantidad de investigaciones
realizadas por el grupo que conforman esta línea.

2.2.1 Elementos del PyLV

Se caracterizan elementos que conforman este estudio tales como: estrategias
variacionales (EV), estructuras variacionales (EstV), argumentos variacionales (AV),
códigos variacionales (CV), situación variacional (SV) y tarea variacional (TV). Para
nuestro interés, centraremos la atención en las situaciones y estrategias variacionales
que han sido caracterizadas hasta la fecha por (González, 1999; Salinas, 2003; Caballero,
2012), esto no significa que, por lo dicho anteriormente, solo se preste atención a las SV
y EV, en ese sentido, resulta además de interesante, valioso poder identificar la presencia
de otros elementos, que de forma genérica los denominamos ideas variacionales.
Entendiendo estas últimas, como aquellas ideas que aluden al cambio y a la variación.

Entenderemos por una SV, al conjunto de problemas cuyos tratamientos
demandan la puesta en juego de estrategias variacionales específicas, es decir, aquellos
problemas que requieren establecer puntos de análisis entre diversos estados del
cambio (González, 1999). Una estrategia variacional (o también práctica variacional) es
aquella que permite la explicación de un fenómeno de cambio. En este sentido, la
predicción, la comparación, la aproximación y la estimación son algunos ejemplos
(Aparicio, 2003).

Para fines de esta investigación, se estudiarán las estrategias reportadas por
Caballero (2012) como se explicita a continuación:

Comparación. Está asociada a la acción de establecer diferencias entre estados, uno
anterior y uno posterior, o bien, dos estados de dos fenómenos diferentes, lo que
permite identificar si hubo un cambio y poder analizarlo con base en las características
de esos cambios y la variación en esos estados.

Seriación. Está relacionada con la Comparación, en el sentido que está asociado con
la acción de analizar estados sucesivos y establecer relaciones entre ellos. A diferencia
de la estrategia de Comparación, la Seriación consiste en analizar varios estados y no
únicamente dos, con el objetivo de encontrar una relación o propiedad entre ellos.

Predicción. Está asociada a la acción de poder anticipar un comportamiento, estado
o valor, luego de realizar un análisis de la variación en estados previos, de manera que se
sintetiza y abstrae esta información en modelos predictivos.

Estimación: A partir de conocer la variación de un fenómeno en estados previos, se
proponen nuevos estados o comportamientos a corto plazo de manera global, a
diferencia de la Predicción, donde los estados propuestos son locales.

Además de las estrategias, como una forma de identificar ideas que aluden al cambio y
a la variación, Cantoral, Moreno-Durazo y Caballero-Pérez (2016), proponen llevar a
cabo las siguientes preguntas (figura 10):

Figura 10 Preguntas para identificar el cambio

A continuación, veremos la evolución pragmática en el estudio del cambio y la
variación propuesta por Caballero-Pérez (2016, p.33), misma que además nos servirá para
analizar esta evolución de la variación en Geometría Analítica (Figura 11).
Práctica PyLV
Acción Ordenar, agrupar,
medir, girar,
mover
Actividad Comparar
Seriar
Práctica
socialmente
compartida
Predicción
Estimación
Práctica de
referencia
Toxicología
Agricultura
Física
Práctica social Prædiciere

Figura 11 Anidación de prácticas para el estudio de la variación
22

2.2.2 Tratamiento variacional

En el capítulo anterior se dijo que el objeto de esta investigación es estudiar la
evolución de la variación en la Geometría Analítica, mediante los elementos del PyLV. Por
lo cual creemos conveniente, a manera de ilustración, dar dos ejemplos para mostrar
donde el PyLV está presente, es decir, un problema matemático que requiere
tratamiento variacional y otro que no:
Un problema que requiere tratamiento variacional es:
Problema del globo esférico inflable, tomado de Cuevas, Moreno y Pluvinage (2005,
p.188-193)
1.1 Al inflar y desinflar el globo esférico observa lo que sucede y responde a las
siguientes preguntas:
1. Al inflar y desinflar el globo: 2. Cuando inflas el globo, qué es lo que
observas que está fijo o permanece
constante:
a) ¿Varía o cambia el radio del recipiente?
b) ¿Varía o cambia el volumen del
recipiente?
c) ¿Varía o cambia el radio del globo?
d) ¿Varía o cambia el volumen del globo?
e) ¿Varía o cambia el nivel (altura) del
agua?
f) ¿Varía o cambia el volumen inicial del
agua?
g) ¿Varía o cambia el volumen del
contenido en el recipiente?

a) El radio del globo
b) El radio del recipiente
c) El volumen del contenido en el
recipiente
d) El volumen inicialde agua
e) El volumen del globo
f) La altura del agua en el recipiente

Estado 1 Estado 2

Estado 3 Estado 4
Figura 12 Globo esférico inflable

Responder a las preguntas anteriores permite identificar lo relativo al cambio y a la
variación (observe también la figura 12).
1.2 Determinar el radio # del globo inflable, de manera tal que éste sea tangente a la
superficie del agua.

Datos:
ℎ-: altura inicial del agua
5: radio del recipiente (cilindro)
ℎ7: altura del agua al inflar el globo completamente.

Momento 1
Estado 1: El volumen del agua en el recipiente cilíndrico está dado por la ecuación:
859ℎ-

Estado 2: Como el globo se agrega, se puede observar el volumen, en el segundo
estado, como una suma de ambos:
859ℎ- +
4
3
8#=
Estado 3: Se observa que el radio del globo va cambiando, es decir, en la ecuación del
estado 2, tanto 5 con ℎ- permanecen fijos.

Momento 2:
Por otro lado, se puede observar que el volumen del estado 4, está dado por la ecuación:
859ℎ7

De lo anterior, se observa que 0 ≤ ℎ7 ≤ 2#
La tangencia del globo sucede cuando ℎ7 → 2#, es decir, cuando la altura del
agua, después de haber inflado completamente el globo, es igual al diámetro del globo
que se modela como una esfera.

Ahora bien, podemos igualar las ecuaciones de ambos momentos, ya que el
volumen observado en el estado 2 es el mismo que en estado 4. ¿Por qué? Pues el
volumen de los fluidos: agua y aire, se conservan:
859ℎ- +
4
3
8#= = 859(2#)
25

Por lo que la ecuación que modela la situación es:
4
3
#= − 259# + 59ℎ- = 0

Estrategias variacionales identificadas:
Comparación: Se estableció la diferencia entre dos estados, por ejemplo, se comparó
el Estado 2 con el Estado 4 y se determinó que ambos volúmenes se podían igualar.
Seriación: Se compararon cuatro estados sucesivos, con el fin de identificar
regularidades producto del cambio efectuado al inflar el globo.
Predicción: Se anticipó el comportamiento del radio # del globo y se concluyó que la
tangencia se da cuando la altura del agua, en el Estado 4, es dos veces dicho radio.
Estimación: A medida se va inflando el globo se observa que la tangencia no solo se
logra en ℎ7 = 2#, sino también en otros momentos. Cabe mencionar que, si este
problema se tratara de optimización, esta solo se logra cuando el globo está inflado
completamente.

Consideramos que requiere tratamiento variacional porque hay cantidades que se
mantienen fijas y otra que está cambiando y la tangencia del globo con la superficie del
agua se logra cuando ℎ7 → 2#. Luego, lo que interesa no se reduce a saber que cambian
o se mantienen constantes, sino al cambio relativo entre ellas.
Un problema que no requiere tratamiento variacional es:
Hallar centro y radio de la circunferencia con ecuación
3#9 + 3%9 − 12# + 18% = 9
En la solución planteada por Swokowski (2012), consideramos que este problema puede
resolverse sin evocar estrategias del PyLV sabiendo que, se divide por 3 para los
coeficientes principales de x y y, sean igual a 1, asimismo, por completación al cuadrado
#9 − 4# = (# − 2)9 y %9 + 6% = (% + 3)9, luego la ecuación se transforma a (# − 2)9 +
(% + 3)9 = 16, de lo cual el radio es 4 y el centro es (2,-3). De lo anterior se observa que
todo puede reducirse a un proceso algorítmico.
26

2.2 Obra matemática y libro de texto
Finalmente, Por otro lado, dado que se analizó una obra original y un texto escolar,
resulta conveniente mencionar en la tabla 3 cómo son vistos ambos.
Tabla 3 Concepciones de los textos
Punto de vista Autor
Como material de consulta Bravo y Cantoral (2012)
Como objeto de difusión escolar y
científica
Espinoza (2009)
Como objeto cultural Cantoral et al. (2015)
Como instrumento de poder Choppin (1980)

2.3 Construcción social del conocimiento geométrico analítico

Apoyada en la Teoría Socioepistemológica de la Matemática Educativa, la investigación
realizada por Fregueiro (2014) es referente respecto a la construcción social del
conocimiento geométrico analítico y el desarrollo del pensamiento matemático
asociado, lo que la convierte en base fundamental de nuestro estudio.

En ella, y fruto del análisis hecho al Libro I de la obra cartesiana, la autora parte
identificando tres situaciones específicas donde se evidencia los usos del número real:
(F7), (F9) y (F=). Relacionando a éstas, caracteriza tres usos en La Geometría: el Uso
Geométrico-Aritmético asociado a F7, las tareas que se identifican en esta situación están
ligadas a la construcción de algoritmos para la multiplicación, la división, la extracción de
la raíz cuadrada y la potenciación de un número en el contexto geométrico; Uso
Geométrico-Algebraico asociado a F9, dónde se identifican tareas como la representación
de expresiones algebraicas y la resolución de ecuaciones en el contexto geométrico; y el
Uso Geométrico-Analítico asociado a F=, la tarea que se evidencia es expresar en lenguaje
algebraico problemas que tienen origen en el contexto geométrico, en la obra de
27

Descartes se evidencia la necesidad de presentar una solución general para el problema
de Pappus.

Tabla 4 Análisis del Libro I de La Geometría de Descartes
Situación Uso Forma Funcionamiento
(F7) Construcción
de algoritmos
geométricos para las
operaciones
aritméticas
Geométrico-
Aritmético
Asociadas a segmentos de
recta que permiten ver el
número como producto,
cociente, potencia, etc.
Segmento unidad. La
multiplicación define la
potencia. Números reales
positivos y construibles.
(F9) Construcción
de algoritmos
geométricos para la
resolución de ciertas
ecuaciones
Geométrico-
Algebraico
Letras asociadas a los
segmentos y las
operaciones. Expresiones
algebraicas.
Asociados a la
construcción geométrica
de soluciones, que pone
en funcionamiento la
estructura aritmética.
(F=) Representación
en lenguaje
algebraico de
problemas que
tienen origen en el
contexto
geométrico.
Geométrico-
analítico
Asociados a segmentos de
recta vinculados por
determinadas relaciones,
letras y expresiones, la
presencia de incipientes
ejes coordenados.
Igualación de
expresiones,
identificación de
relaciones de
proporcionalidad.

Elaboración propia, basado en Fregueiro (2014)

Así, su estudio tiene como objetivo principal, mostrar que es posible abordar de una
nueva forma didáctica el número, específicamente busca proveer insumos a futuras
investigaciones que fundamenten propuestas de rediseño del discurso Matemático
Escolar asociado a la Geometría Analítica, que a la postre permitan confrontar los usos
aludidos. Para ello, la autora realiza un análisis histórico-epistemológico del
conocimiento geométrico analítico.

Capítulo III. Consideraciones Metodológicas

Descartes mediante un nuevo método hizo pasar de las tinieblas a
la luz cuanto en las Matemáticas había permanecido inaccesible a
los antiguos y todo cuanto los contemporáneos han sido incapaces
de descubrir.
Spinoza

En el presente capítulo se describe la forma en que se llevó a cabo la investigación. Sus
distintas fases, enfatizando sobre los propósitos que persigue cada una de ellas.
Dado que esta investigación se fundamenta en la Socioepistemología, se ha centrado la
atención en los fenómenos específicos relacionados a (1) la construcción y (2) la
transmisión de conocimiento matemático, lo anterior a través del análisis de La
Geometría de Descartes y al examinar una expresión del dME en el texto Geometría
Analítica de Lehmann, respectivamente (Figura 13).

[…] se confronta el libro con el original de otra época y se toma en cuenta
el contexto de la producción de la obra. (Cantoral, 2013)

Figura 13 Obras confrontadas

Para especificar los fenómenos mencionados, se recurrió a la problematización del saber
matemático,

Estaproblematización se reconoce al considerar a la matemática en juego…,
cuestionando su estatus de saber institucional como aquello que ´se debe
aprender´ y, a partir de reconocer que son las prácticas sociales las que
norman la construcción del conocimiento matemático, se hace necesario
reconocer su manifestación a través de sus usos en distintos escenarios (por
ejemplo, el histórico, el escolar, etc.) (Montiel y Buendía, 2012, p.63)

De acuerdo con las autoras anteriores, es mediante esta problematización que se
identifican las significaciones asociadas al saber y que se diluyen, se transforman o se
pierden al configurar un discurso escolar, pero que se ve caracterizado como un saber
funcional en una serie de escenarios específicos.
En ese sentido, desde la Socioepistemología, para el análisis del saber, éste debe
problematizarse: historizarse y dialectizarse (Cantoral, 2013).

Para el caso en esta investigación, particularmente, se procedió a problematizar el
saber matemático en dos aspectos: su naturaleza epistemológica y sus procesos de
transmisión. Situación que nos permitió enmarcar una problemática, es decir, aunque el
estudio de la variación ayuda a significar los objetos matemáticos, el dME no desarrolla
ideas del tipo variacional. Lo cual se documentó en los antecedentes que se consideraron
importantes para la presente investigación, de ahí que planteamos nuestros objetivos
de investigación.

3.1 Metodología

3.1.1 ¿Qué hicimos al revisar La Geometría?

Historización: Análisis socioepistemológico

En la primera parte de nuestra problematización, desarrollamos un análisis de la
naturaleza y constitución de la Geometría Analítica en un escenario histórico, es decir,
una historización. Emprendimos un análisis de corte socioepistemológico (Montiel y
Buendía, 2012. P.68) (véase fig. 14), con el objeto de conocer, comprender y explicar los
procesos de construcción y transmisión de conocimiento matemático. Guiándonos por
preguntas del tipo por qué se hace lo que se hace o por qué se sabe lo que se sabe, al realizar
la revisión de la obra cartesiana.

Figura 14 Análisis epistemológico
De acuerdo con este estudio, esta búsqueda histórica-epistemológica, es más que una
simple relatoría de hechos históricos, pretende identificar las circunstancias
socioculturales asociadas a la construcción de la Geometría Analítica.
Como un intento de comprender la naturaleza sociocultural de la obra de Descartes, La
Geometría, llevamos a cabo el planteamiento metodológico propuesto por Espinoza,
(2009),
De esta manera, para entender la obra como un producto sociocultural,
estudiaremos las condiciones de producción de la obra, sus mecanismos de difusión
y su posición en la producción completa del autor. (p.31)
31

Esto es, la obra debe ser vista bajo los lentes de las siguientes tres perspectivas:
Como una producción con historia

La obra además de ser un libro es una producción con historia. Esto significa, concebir
que la obra pertenece a una época, a un ser humano con sus propias ideas y deseos de
querer contar algo. A través de esta perspectiva, estudiamos del autor: su vida personal
y profesional. También nos interesa el contexto sociopolítico donde se sitúa la obra.
(Figura 15)

Figura 15 Una obra con historia
En síntesis, lo que se pretende es entender las circunstancias en las cual se produjo la
obra y del contexto sociopolítico en el cual se produjo. Todo con la finalidad de tener
elementos que nos permitan caracterizar la racionalidad involucrada y los medios de
significación utilizados por el autor o la época para significar el conocimiento
matemático involucrado.

Un objeto de difusión

Por su intencionalidad, la obra matemática que se publica puede ser vista como un
objeto de difusión. En esta perspectiva, se rescata que el autor intenta difundir algo a
alguien.
32

Esto hace necesario considerar el tipo de obra, los destinatarios de esta, las condiciones
del medio de difusión y la institución que hace la publicación.

Figura 16 Objeto de difusión
Parte de una expresión intelectual más global

Según Espinoza (2009), en esta mirada, se busca entender el encadenamiento, la
evolución y la relevancia de las ideas del autor y la relevancia o causalidad de sus
producciones matemáticas.

Figura 17 Parte de una expresión intelectual más global
33

Es decir, alrededor de la obra estudiada hay otras que guardan una estrecha relación,
conviene en consecuencia, estudiarlas de manera general, para que nos brinden una
panorámica más amplia. Esto también incluye algunos ensayos y si es posible el registro
epistolar del autor con sus colegas (Figura 17).
Por tanto, para nuestro análisis, nos planteamos preguntas de partida, haciendo una
adaptación de Cruz-Márquez y Montiel (2017): ¿quién fue René Descartes?, ¿cuándo y
dónde nació?, ¿quién fue su familia?, ¿cuál fue su formación?, ¿qué antecedentes
filosóficos y matemáticos sustentan La Geometría?, ¿es La Geometría una obra con fines
didácticos o de divulgación científica?, ¿quiénes son sus destinatarios iniciales?, ¿qué
eventos sociales, políticos o económicos son determinantes en su publicación?, ¿en qué
condiciones se difunde originalmente?

Las preguntas anteriores representan el momento inicial del análisis de La Geometría,
como paso previo para adentrarse a la misma. Posteriormente, es importante reconocer
la estructura de la obra, la notación empleada, las prácticas que emergen en el discurso
usado por Descartes en la obra.

Análisis de tres problemas

Finalmente, se seleccionaron tres problemas para hacer un análisis ´cuidadoso´ de cada
uno, y así identificar las acciones y prácticas que lleva a cabo el autor al resolver los
problemas. El resultado de este último análisis fue la identificación de ideas variacionales
presentes en la obra.

3.1.2 ¿Qué hicimos en el texto Geometría Analítica de Lehmann?

Dialectización

En este segundo momento de la investigación, llevamos a cabo la dialectización
para completar la problematización antes mencionada. La cual tuvo como propósito
confrontar los resultados producto de la historización con una expresión del discurso
Matemático Escolar, en particular, un texto escolar Geometría Analítica de Lehmann.
En esta etapa se muestra la presencia de ideas variacionales independientemente del
tipo de obra en cuestión. En este caso se considerarán aquellas condiciones
transversales en las obras relativas a la variación y el cambio, evidenciando así la
presencia de éstas, sin hacer distinción de su naturaleza. En otras palabras, dicha
dialectización nos permitió qué significados de la Geometría Analítica se perdieron o
invisibilizaron producto de la transposición didáctica.

Teniendo esto en mente, decidimos emplear la propuesta metodológica (ver figura 18)
para el análisis de texto de Cantoral, Montiel y Reyes-Gasperini (2015, p.18).

Figura 18 Método análisis documental
35

A continuación, haremos una breve descripción de las fases:

Fase descriptiva

En la primera fase que se define como fase descriptiva, se describen las obras en función
de contextualizar y situar los temas específicos que se abordan en los ejemplos
analizados. Es importante tener en consideración las circunstancias socioculturales que
rodean la construcción del conocimiento, dado que condicionan el uso y significado que
las personas dan al saber (Montiel y Buendía, 2012). Además, se realiza un tratamiento
lingüístico a partir de identificar categorías en aquellas ideas que aluden a la variación en
el texto, apoyadas en las estrategias variacionales caracterizadas por Caballero y
Cantoral (2013).

Fase de análisis cualitativo

Por su parte, en la fase de análisis cualitativo, se hace uso del modelo de anidación de
prácticas que define