3 Sucesiones PPT 4 electivo

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SUCESIONES
Electivo de 4°Medio
Procesos de iteración geométrica
◦ Reducir un cuadrado utilizando la siguiente iteración:
Analizar las variaciones de área y perímetro, en la sucesión de cuadrados que se 
obtienen, si el lado del cuadrado inicial mide 4cm.
Iteración Arista Perímetro Área
4 12 16
1 2 8 4
2 1 4 1
3 𝟏
𝟐
2 1
4
4 𝟏
𝟒
1 1
16
5 𝟏
𝟖
1
2
1
64
o Si usted se da cuenta, tanto 
el área como el perímetro van 
disminuyendo en una razón.
oLo que acabas de observar son 
iteraciones geométricas.
Procesos de iteración geométrica
◦ Reducir un cuadrado utilizando la siguiente iteración:
Analizar las variaciones de área y perímetro, en la sucesión de cuadrados que se 
obtiene, si el lado del cuadrado inicial mide “a”cm.
Iteración Arista Perímetro Área
a 4a 𝒂𝟐
1 𝒂
𝟐
2a 𝒂𝟐
4
2 𝒂
𝟒
a 𝒂𝟐
16
3 𝒂
𝟖
𝑎
2
𝒂𝟐
64
… … … …
n 𝒂
𝒏
4𝑎
𝑛
𝒂𝟐
𝒏𝟐
=
𝑎
𝑛
2
o Ahora usted observó para la 
iteración enésima.
Procesos de iteración geométrica
◦ Ejemplo #1: Si 𝑃(𝑛) y 𝐴(𝑛) representan respectivamente, el perímetro y el área de la 
n-ésima, ¿cuánto vale 𝑃 10 ; 𝐴 10 ; 𝑃 100 ; 𝐴(100)?
SOLUCIÓN:
a) 𝑃 10 =
4𝑎
10
=
2𝑎
5
b) 𝐴 10 =
𝑎2
102
=
𝑎2
100
c) 𝑃 100 =
4𝑎
100
=
2𝑎
50
=
𝑎
25
d) 𝐴 100 =
𝑎2
1002
=
𝑎2
10000
Sucesiones (Definición)
◦ Si a cada número natural se le hace corresponder un número real 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑, … , el 
conjunto: 
Se denomina sucesión.
◦ Por lo tanto, toda sucesión es un conjunto de infinitos términos.
𝑨𝒏 = 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑, … , 𝒂𝒏
En el diagrama se 
representa el 
concepto de sucesión 
como una función
Sucesiones (Definición)
◦ En general, podemos decir que una sucesión está definida por una expresión con 
una variable que toma valores naturales de 1 en adelante y en forma sucesiva, 
obteniéndose así los términos de la sucesión.
𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 , … , 𝒂𝒏𝒂𝟐
Término de 
una sucesión
Indica lugar 
que ocupa
𝒂𝒏 Término 
general
Sucesiones (Definición)
◦ Ejemplo #2: Determinar el término general de las siguientes sucesiones, si es que 
existe.
a) 2 , 4 , 6 , 8 , 10,…
b) 1 ,−
1
2
,
1
3
, −
1
4
, …
c) 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 ,…
Término general:
𝑎𝑛 = 2𝑛
𝑛 ∈ ℕ
Término general:
𝑎𝑛 =
−1 𝑛+1
𝑛
𝑛 ∈ ℕ
Aún no se ha podido 
comprobar que no hay una 
regla de formación.
Regla de formación de una sucesión
Una sucesión está bien definida cuando se conocen o es 
posible conocer cada uno y todos sus términos, deduciendo 
previamente su término general.
Regla de formación de una sucesión
◦ Ejemplo #3: Encontremos la regla de formación o término general de las ecuaciones 
siguientes.
a) 𝑎𝑛 =
1
2
,
2
3
,
3
4
, …
Regla de formación de una sucesión
◦ Ejemplo #4: Encontremos la regla de formación o término general de las ecuaciones 
siguientes.
b) 𝑎𝑛 = 3,
9
2
, 6 ,
15
2
, 9 ,
21
2
, 12 , …
Regla de formación de una sucesión
◦ Ejemplo #5: Supongamos que conocemos solo los tres primeros términos 1 , 3 , 5 , … de 
una sucesión.
Si en una sucesión se conocen solo algunos de sus términos, esto 
puede dar a algunas interpretaciones del término general.
Regla de formación de una sucesión
◦ Podemos ver que para cada uno de los términos generales que hemos definido, los 
tres primeros términos de las respectivas sucesiones coinciden. Sin embargo, difieren 
en el cuarto término; que en la primera es igual a 7 y en la segunda es 6.
◦ Luego, hemos comprobado que para definir el término general de algunas 
sucesiones no es suficiente conocer solo los tres primeros términos.
Sucesiones Recurrentes
◦ Sucesiones recurrentes es aquella que se define considerando su primer término 𝑎1
y una expresión para 𝑎𝑛+1 en función del enésimo término 𝑎𝑛 .
◦ Es decir, se define conocidos los términos 𝒂𝟏 y 𝒂𝒏+𝟏
o Una conocida sucesión definida por recurrencia es la denominada 
Sucesión de Fibonacci.
oSus dos primeros términos son:.
𝑎1 = 1 y 𝑎2 = 1 , y además 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 para 𝑛 ≥ 2
Sucesiones Recurrentes
◦ Ejemplo #6: Encontremos los cinco primeros términos de la sucesión conocidos 𝑎1 = 5
y 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 6 𝑛 ∈ ℕ
Sucesiones Recurrentes
◦ Ejemplo #7: Encontremos los cinco primeros términos de la sucesión conocidos 𝑎1 = 1
y 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛
2 + 2 𝑛 ∈ ℕ
Adición y Sustracción de Sucesiones
◦ La adición o la sustracción de las sucesiones 𝑎𝑛 y 𝑏𝑛, es una operación que nos 
permite encontrar otra sucesión, cuyos términos son la suma o diferencia de los 
términos correspondientes.
◦ Es decir, si tenemos las sucesiones: 
𝑎𝑛 = 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛
𝑏𝑛 = 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 , … , 𝑏𝑛
Entonces, 
𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛 = 𝑎1 ± 𝑏1 , 𝑎2 ± 𝑏2 , 𝑎3 ± 𝑏3 , … , 𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛
Adición y Sustracción de Sucesiones
◦ Ejemplo #8: Sumemos y restemos las sucesiones cuyos términos generales son:
𝑎𝑛 = 4n y 𝑏𝑛 =
𝑛
𝑛+1
𝑛 ∈ ℕ
Multiplicación de Sucesiones
◦ La multiplicación de las sucesiones 𝑎𝑛 y 𝑏𝑛, es una operación que nos permite 
encontrar otra sucesión cuyos términos son el producto de los términos 
correspondientes.
◦ Es decir, si tenemos las sucesiones: 
𝑎𝑛 = 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛
𝑏𝑛 = 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 , … , 𝑏𝑛
Entonces, 
𝑎𝑛 ⋮ 𝑏𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑏1 , 𝑎2 ∙ 𝑏2 , 𝑎3 ∙ 𝑏3 , … , 𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛
Multiplicación de Sucesiones
◦ Ejemplo #9: Multipliquemos las sucesiones 
𝑎𝑛 =
𝑛
𝑛+1
y 𝑏𝑛 =
𝑛+1
𝑛+3
𝑛 ∈ ℕ
División de Sucesiones
◦ La división de las sucesiones 𝑎𝑛 y 𝑏𝑛 con 𝑏𝑛 ≠ 𝑏0, es una operación que nos permite 
encontrar otra sucesión cuyos términos son el cuociente de los términos respectivos.
◦ Es decir, si 
𝑎𝑛 = 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛
𝑏𝑛 = 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 , … , 𝑏𝑛
Entonces, 
𝑎𝑛
𝑏𝑛
=
𝑎1
𝑏1
,
𝑎2
𝑏2
,
𝑎3
𝑏3
, … ,
𝑎𝑛
𝑏𝑛
División de Sucesiones
◦ Ejemplo #10: Dividir las sucesiones 𝑎𝑛 = 𝑛 + 1 y 𝑏𝑛 =
1
𝑛
𝑛 ∈ ℕ
Actividad
◦ Desarrolla la guía #3 
◦ Recuerda que los desarrollos en el cuaderno del electivo, y luego envías las fotos al 
correo del profesor correspondiente.
◦ Ten presente el plazo que se da, de lo contrario no se considerará válida la entrega 
de la actividad.