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ÁLGEBRA Tema 2: Matrices y Determinantes. Teoría 
 
José Jaime Mas Bonmatí E-Mail: josejaime@ieslaasuncion.org 
IES LA ASUNCIÓN http://www.ieslaasuncion.org 
 
Pág 4
MATEMÁTICAS 
APLICADAS CCSS II
Matrices 
Def: Una matriz de m filas y n columnas es un conjunto (generalmente números reales) dispuestos de la forma: 
• El símbolo  ja1 con mi 1 y nj 1 designa a la matriz completa. 
• ija es el elemento de la matriz que ocupa la fila i y la columna j 
• Se llama dimensión u orden de la matriz al número de filas por el número de columnas y 
se designa por nm . Si nm  , se dice que la matriz es cuadrada de orden n. 
• Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan 
el mismo lugar también son iguales. 
Clasificación de las matrices 
 
 
 
 

















mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A





321
3333231
2232221
1131211
 
 
ÁLGEBRA Tema 2: Matrices y Determinantes. Teoría 
 
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MATEMÁTICAS 
APLICADAS CCSS II
Operaciones con matrices 
Se definen 3 operaciones 
Suma de matrices Propiedades de la suma: 
Producto de un número por una matriz 
 
 
 
 
Propiedades del producto de un nº por una matriz 
Producto de dos matrices Propiedades del producto de dos matrices 
 
 
Matriz inversa 
Def: Dada una matriz cuadrada A de orden n, si existe otra matriz cuadrada B de orden n tal que IABBA  se dice que B es 
la matriz inversa de A, y se designa por 1A . 
Una matriz cuadrada que posee matriz inversa, se dice que as inversible o regular. En caso contrario recibe el nombre de singular. 
Hay varias formas de calcular la inversa de A, en caso de existir: 
 Utilizando la definición y planteando el sistema IAA  1 (Ver ejemplos) 
 Utilizando el método de Gauss. (no lo estudiamos en este curso) 
 Utilizando determinantes (lo veremos cuando conozcamos los determinantes). 
 
» Ejercicio 1 al 15 de los ejercicios resueltos en video (ERV). 
» Para casa: Ejercicios de ANAYA y SM propuestos en las hojas de ejercicios. (Ver en Moodle) 
 
 
 
ÁLGEBRA Tema 2: Matrices y Determinantes. Teoría 
 
José Jaime Mas Bonmatí E-Mail: josejaime@ieslaasuncion.org 
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MATEMÁTICAS 
APLICADAS CCSS II
 
DETERMINANTES 
 
Determinantes de segundo orden 
Def: Dada la matriz cuadrada de segundo orden 






2221
1211
aa
aa
A , se llama determinante de A al número real: 
21122211
2221
1211)det( aaaa
aa
aa
AA  
» Ver ejemplos 
Determinantes de tercer orden 
Def: Dada la matriz cuadrada de tercer orden 











3332311
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A , se llama determinante de A al número real: 
332112322311312213322113312312332211
3332311
232221
131211
)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
AA  
Es fácil recordar el desarrollo del determinante de tercer orden mediante el procedimiento 
conocido como regla de Sarrus. 
» Ver ejemplos. 
Determinantes de orden cualquiera 
Def.: El determinante de una matriz cuadrad de orden n es el resultado de sumar todos los posibles 
productos de n elementos , uno de cada fila y uno de cada columna, con su signo o con el signo cambiado 
según un cierto criterio (criterio que no vamos a ver, pues nunca utilizaremos la definición para 
determinantes de orden superior a tres). 
Def.:Si en una matriz seleccionamos r filas y r columnas, los elementos en los que se cruzan forman una submatriz cuadrada de orden 
r. El determinante de esa submatriz se llama menor de orden r de la matriz inicial. 
Def.: Dada una matriz cuadrada de orden n , se llama menor complementario del elemento ija al determinante de la submatriz 
cuadrada de orden 1n que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j . Se denota ij . 
Def.: Dada una matriz cuadrada de orden n , se llama adjunto del elemento ija al número   ijjiijA  1 , es decir, el adjunto de 
ija coincide con su menor si ji  es par y es de signo cambiado si ji  es impar. 
Prop.: Propiedad 1: Si los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada se multiplican por sus respectivos adjuntos y se 
suman los resultados, se obtiene el determinante de la matriz inicial. Se dice entonces que el determinante está desarrollado por los 
elementos de esa línea. Esta propiedad nos permite hallar determinantes de orden superior a tres. 
» Ejercicio 16 y 17 de los ejercicios resueltos en video (ERV). 
 
Propiedades de los determinantes: 
Ya vimos una propiedad en el párrafo anterior, pero hay más: 
2. El determinante de una matriz es igual que al de su traspuesta. 
3. Si una matriz cuadrada time una línea (fila o columna) de ceros, su determinante es cero. 
4. Si se permutan dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo. 
5. Si multiplicamos por el mismo número todos los elementos de una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada, su 
determinante queda multiplicado por ese número. 
6. Se verifica n
n
n AA   siendo nA una matriz cuadrada de orden n. Es consecuencia de la propiedad anterior. 
nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa





321
3333231
2232221
1131211
 
 
ÁLGEBRA Tema 2: Matrices y Determinantes. Teoría 
 
José Jaime Mas Bonmatí E-Mail: josejaime@ieslaasuncion.org 
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MATEMÁTICAS 
APLICADAS CCSS II
7. Se verifica 
ihg
fed
cba
ihg
fed
cba
ihg
fed
ccbbaa ''''''


. Se igual forma para otra fila o columna y para matrices 
de cualquier orden. 
8. Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante es cero. 
9. Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o dos columnas) proporcionales, su determinante es cero. 
10. Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, entonces su determinante es cero. Y 
recíprocamente: si un determinante es cero, tiene una fila (y una columna) combinación lineal de las demás. 
11. Si a una línea de una matriz le sumamos una combinación lineal de las líneas paralelas, su determinante no varia. Esta 
propiedad nos permite “hacer ceros”. 
12. El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes: BABA  
13. Si los elementos de una fila (o columna) se multiplican por los respectivos adjuntos de otra paralela, el resultado de la suma 
es cero. 
» Ejercicio 18, 19, 20, 21 de los ejercicios resueltos en video (ERV). 
» Para casa: ANAYA Ej del 1 al 5 SM Ej del 23 al 37 
Hallar la matriz inversa utilizando determinantes 
Prop.: Una matriz cuadrada A tiene inversa si y solo si 0A , siendo  tAAdj
A
A
11  o bien   tAAdj
A
A
11  
siendo  AAdj la matriz adjunta de A, es decir, la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento ija por su adjunto ijA 
correspondiente. 
» Ejercicios del 22 al 27 de los ejercicios resueltos en video (ERV). 
» Para casa: Ejercicios de ANAYA y SM propuestos en las hojas de ejercicios. (Ver en Moodle) 
 
Ecuaciones matriciales 
Comentario: Ya resolvimos ecuaciones matriciales en tema 2, matrices, pero ahora sabemos hallar la matriz inversa fácilmente y las 
ecuaciones matriciales pueden ser más complicadas. 
Prop.: Un sistema de ecuaciones lineales puede escribirse como una ecuación matricial 
 BXA
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
nnmnmm
n
n
mnmnmm
nn
nn



























































2
1
2
1
21
22221
11211
2211
22222121
11212111
 
siendo A la matriz de los coeficientes, X la columna de las incógnitas y B la columna de los términos independientes. Llamamos 
matriz ampliada a la matriz de los coeficientes a la que añadimos la columna de los términos independientes,es decir  BAA * 
» Ejercicios del 28 al 34 de los ejercicios resueltos en video (ERV). 
 
Regla de Cramer 
Def.: Un sistema de ecuaciones lineales es un sistema de Cramer si cumple: 
a) Tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. 
b) El determinante de la matriz de los coeficientes del sistema es distinto de cero. 
Prop.: Regla de Cramer: 
Un sistema de Cramer es siempre compatible determinado y la solución es: 
A
A
x 11  , A
A
x 22  , .... , A
A
x nn  siendo iA la matriz que resulta de sustituir en la matriz de los coeficientes A, la columna de 
los coeficientes de ix por la columna de los términos independientes. 
Prop.: Los sistemas de Cramer también se pueden resolver por el método de la inversa ya que si el sistema es BXA  , podemos 
despejar X al ser A inversible y es BAX  1 
» Ejercicios del 35 al 38 de los ejercicios resueltos en video (ERV). 
 
» Hacer los ejercicios de Selectividad correspondientes a este tema.