2bach-Ciencias-ASP-tema 1-matrices-AP2-20-21

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2º BACHILLERATO ADULTOS SEMIPRESENCIAL– MATEMÁTICAS II– TEMA 1.- MATRICES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES 
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2.- SUMA Y RESTA DE MATRICES. PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ 
 
Suma y resta de matrices: Para poder sumar o restar matrices, deben tener exactamente el mismo 
orden. En tal caso, se suman o restan los elementos que ocupan el mismo lugar en las matrices. 
Ejemplo: 
1 2 4 3 2 0
A y B
2 7 6 5 6 1
    
       
  
1 2 4 3 2 0 4 4 4
A B
2 7 6 5 6 1 7 13 5
1 2 4 3 2 0 2 0 4
A B
2 7 6 5 6 1 3 1 7
       
             
      
              
 
 
 
Matrices opuestas: Son las que tienen opuestos los elementos que ocupan el mismo lugar. 
Por ejemplo, A = 2 7 5
0 1 3
 
 
 
 y – A = 2 7 5
0 1 3
  
 
 
 son matrices opuestas 
 
 
Propiedades de la suma de matrices: 
1) Conmutativa: A + B = B + A 2) Elemento neutro: A + 0 = A 
3) Elemento opuesto: A + (–A) = 0 4) Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C) 
5) (A + B)t = At + Bt 6) (A – B)t = At – Bt 
 
 
Producto de un número por una matriz: Para multiplicar un número por una matriz se multiplica el 
número por cada elemento de la matriz. 
Ejemplos: 
3 2 6 4
2 1 5 2 10
4 7 8 14
    
         
       
 
35 10 107 2 65 3 3
12 0 33 20 0 5
  
       
 
 
Se cumple que (kA)t = kAt , siendo k es un escalar 
 
 
Ejercicio resuelto: Sean las matrices 
1 3 4 3 1 2
A y B
2 1 0 1 0 6
   
       
. Calcula: 
a) –2A + 5B Resolución: 
1 3 4 3 1 2 13 11 2
2 5
2 1 0 1 0 6 1 2 30
      
            
 
 
 
 
b) t t
3 1
B A
2 3
 
  
 
 Resolución: 
1 2 10 5 5
3 1 5
3 3 3 3 23 1 1 2
3 1 3 1 3 1 1
1 0 3 1 1 1 0 0 0
2 3 2 3 2 3 2
2 6 4 0 5 94 10
2 6 0 6
3 3
       
         
          
                            
                              
    
 
 
 
 
2º BACHILLERATO ADULTOS SEMIPRESENCIAL– MATEMÁTICAS II– TEMA 1.- MATRICES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES 
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Ecuaciones matriciales: Son ecuaciones en donde la incógnita que tenemos que despejar es una 
matriz. Veamos algunas reglas útiles para despejar la incógnita en ecuaciones con matrices: 
 
1) ( )            
res to A
X A B X A A B A X B A
 
 
 
 
 
2) ( )         
sumo A
X A B X A A B A X B A
 
 
 
 
1, 1 1 1
3) . . .      k
d ivido en tre k o sea multip lico por
kX A k X A X A
k k k
 
 
4) Si tenemos un sistema de ecuaciones lineales con matrices podemos resolverlo usando las mismas 
 
reglas que conocemos para los sistemas 
Ejercicio resuelto: Dadas las matrices 
1 2 1 1
A y B
0 1 1 0
    
    
   
. 
Calcula X e Y tales que X − Y = At y 2X − Y = B 
 
Resolución 
t
res tando las ecuaciones t 1 1 1 0 2 1X Y A X B A
1 0 2 1 1 12X Y B
2 1 1 1 3 1
Y 2X B 2
1 1 1 0 3 2
         
                   
       
                 
 
 
ACTIVIDADES 
1.- Dadas las matrices 
2 1 3 5 0 0 0 3 2 3 0 1
A 0 1 2 1 , B 2 2 5 1 y C 5 1 4 2
3 0 2 1 3 2 1 1 1 0 0 3
     
                
            
, calcula: 
a) 2A – B + C b) – Ct – (–
3
2
At + Bt) Solución: a) 
6 1 6 8
7 5 3 5
4 2 3 2
 
   
    
 b) 
3
1 3
2
9 5
2
2 2
9
6 2
2
9 1 7
2 2 2
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
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2.- Calcula X e Y tales que 5X + Y = 3At y X − Y = –B, siendo 
0 3
1 2 1
A y B 2 1
0 1 3
1 5
 
        
    
. 
Solución: 
1 51 1
22 2 2
4 1 2 4X Y3 3 3 3
2 2 1 17
3 3 3 3
    
   
    
   
   
   
 
 
 
 
3.- Sean A y B las matrices 
2 3 1 4
A y B
3 5 9 5
    
        
 
Calcula las matrices X e Y para las que 2X − Y = A y X − 3Y = B. 
 
Solución: 
1 1 0 1
X Y
0 2 3 1
   
       