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CAPÍTULO 3 
 
 
 
 
Matrices y Sistemas de Ecuaciones. 
 
¿Porque serán nuestro objeto de estudio? 
Uno de los objetivos del Algebra es encontrar condiciones para que existan 
soluciones y algoritmos para resolver ecuaciones. En este Capítulo estudiaremos 
los sistemas de ecuaciones lineales que son modelo de muchas situaciones 
problemáticas. 
Los sistemas de ecuaciones lineales aumentaron particularmente su importancia 
con la creación de la Geometría Analítica que permitió reducir el estudio de la 
posición relativa de rectas o planos al estudio de sistemas de ecuaciones lineales. 
Cómo resolvemos la distribución de una herencia entre varios herederos, o cómo 
se distribuyen los alumnos en las aulas para la toma de un examen, etc., si tales 
circunstancias están sujetas a otras condiciones, conducen al planteo de varias 
ecuaciones con varias incógnitas y en algunas situaciones son ecuaciones 
lineales. Puede encontrar información sobre las aplicaciones de los sistemas 
lineales interesantísimas si lo desea, en internet. 
 
Por ejemplo: "El señor González tiene dos hijos para repartir su fortuna de 
2500000$. El mayor recibirá el doble que el menor. Cuánto recibirá cada uno?" 
 
Si indicamos por x: la cantidad de $ que recibirá el mayor. 
por y: la cantidad de $ que recibirá el menor. 
 
Las condiciones descriptas llevan al planteo de: 
 
x + y = 2500000 
 
x = 2 y 
 
 
que es un sistema de ecuaciones, no es otra cosa que una cierta cantidad de 
ecuaciones (en este caso dos) con cierta cantidad de incógnitas (en este ejemplo 
dos). 
 
Una solución para un sistema de ecuaciones es un juego de valores 
numéricos (en el ejemplo un par) de las incógnitas, que resuelve 
simultáneamente todas las ecuaciones. Resolver un sistema de ecuaciones es 
encontrar soluciones del mismo. Puede suceder que no existan soluciones, que 
exista una sola o que haya más de una. 
 
Para encarar el estudio general de los sistemas de ecuaciones lineales haremos 
primeramente el estudio de unos objetos algebraicos, llamados matrices, que 
facilitarán las cosas y que además de aplicarse en los sistemas de ecuaciones sirven 
para representar entre otros distintos fenómenos físicos, económicos y geométricos. 
 
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CAPÍTULO 3 
 
 
PARTE 1 
 Cálculo Matricial 
La teoría de matrices requiere la definición de unos objetos (las matrices) formados 
a su vez con elementos de un conjunto K. De acuerdo qué se elija como K, las 
matrices tendrán distintas posibilidades y propiedades. En este curso 
consideraremos K = ℝ y en aquellas ocasiones que se considere otro conjunto numérico 
se aclarará. También es posible considerar como K algún conjunto donde estén 
definidos una suma y un producto y además con "buenas" propiedades. 
 
La teoría que pretendemos desarrollar se limitará a definir operaciones algebraicas 
(suma entre matrices, multiplicación de matriz por un número y multiplicación 
entre matrices) y estudiar las propiedades de esas operaciones en estos objetos, 
muchas propiedades son similares a las que se verifican sobre los números reales. 
 
1. ¿Qué es una matriz? 
Dado K= ℝ , una matriz de m filas y n columnas es un conjunto de m x n 
elementos dispuestos en un cuadro, formando m filas y n columnas. 
 
Para poder indicar la fila y columna que ocupa un elemento se utilizan dos 
subíndices, el primero indica la fila y el segundo la columna. 
 
Las matrices las designaremos por letras mayúsculas. 
Para indicar que los m x n elementos forman una matriz los encerramos entre 
paréntesis. 
 
Una matriz genérica es la siguiente:
simplemente 
 
A= (
𝑎11 ⋯ 𝑎𝟏𝒏
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 ⋯ 𝑎𝒎𝒏
) o más detallada A= 
(
 
𝑎11 𝑎12……
𝑎21 𝑎22…... .
…
𝑎𝑚1
. .
. .
𝑎𝑚2
 
 𝑎1𝑛
 𝑎2𝑛
… .
. .
.
 𝑎𝑚𝑛
 
)
 
 
 
Donde 𝑎𝑖𝑗 es un elemento genérico, que está en la fila i y en columna j de A. 
 
Como la matriz tiene m filas y n columnas diremos que A es mxn o que A pertenece al conjunto de 
todas las matrices que tienen m filas y n columnas es decir que 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑥𝑛 . 
También es costumbre indicar a los elementos de una matriz con la letra minúscula 
correspondiente a la mayúscula que se utiliza para designar la matriz, seguida de 
dos subíndices. Esto es, si B es la matriz, su elemento genérico lo 
designamos por bi j o bk p . Recuerde que los índices "son mudos" y los pares 
de subíndices indican fila (el primero) y columna (el segundo). 
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CAPÍTULO 3 
 
 
EJEMPLOS 
 
Sean las siguientes matrices: 
 
 
𝐴 = (
2 √2 4
6 1
1
3
0 9 −3
) 
 
 𝐵 = (
0
−19
0
) 
 
 𝐶 = (24 −11) 𝐷 = (
0 0
0 0
 ) 
 
 𝐸 = (
1 0
5 −7
3 34
) 
 
 
 
 
A es una matriz 3 x 3, que por tener igual número de filas que de columnas se 
dice cuadrada. 
 
a11  2 a22  1 a33  3, ellos son los elementos de la diagonal 
principal de A. 
 
 
Otros elementos de A son a23  
1
3
; a12  √2 etc. Complete…..
B tiene 3 filas y una columna, por ello se dice matriz columna. 
Tiene un elemento no nulo que es el b21  -19
 
C tiene una fila y 2 columnas, por ello se dice matriz fila. C  ℝ 1x2 
¿Cuál es c11  .... y cual es c12 
 
 
 
D es cuadrada y tiene la particularidad que todos sus elementos son 0, por eso se 
dice matriz nula, como es 2 x 2, es la nula 2 x 2. Entonces D  ℝ?? ? 
Las matices cuadradas (m x m) desplegadas forman un cuadrado, por eso se habla de 
diagonales. Observar que los elementos sobre la diagonal que va del extremo superior 
izquierdo al inferior derecho, tienen igual índice de fila que de columna. A ésta se la llama 
diagonal principal. La otra diagonal es la secundaria. 
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CAPÍTULO 3 
 
 
Esto lo podemos expresar como 
dij  0 para todo i y para todo j tal que1  i  2  1  j  2. 
 
E es 3 x 2, es una matriz rectangular (no cuadrada) pues el número de filas es 
distinto del número de columnas. ¿La matriz E es elemento de qué conjunto?? 
(De la geometría elemental se sabe que los rectángulos tienen diagonales pero no 
se define diagonal para este tipo de matrices). 
¿Cuál es e11 y e32 y e22 
 
 
 
1.1. ¿Qué es la igualdad de matrices? 
 
Para que dos matrices A y B sean iguales se debe verificar: 
 
 
 Que sean de igual tipo. 
 
Esto es el número de filas de A igual al número de filas de B e igualmente para 
columnas. 
 
Esto significa que se habla de la igualdad en ℝ𝑚𝑥𝑛 para m y n fijos. 
 
 
 Que los elementos sean respectivamente iguales. 
 
Esto es que si A  aij 1im 
1 jn 
y B  bij 1im 
1 jn 
aij  bij para todo i, 1  i  m y para todo j,1  i  n 
 
 Si lo imaginamos visualmente significa que al superponer A con B , coincidan. 
Otra forma de indicar que dos matrices cualesquiera 𝐴 ∈ ℝ𝒎𝒙𝒏 y 𝐵 ∈ ℝ 𝒌𝒙𝒑 son 
iguales, sería: 
 A = B si y sólo si m = k y n = p 
 Y además 𝒂𝒊𝒋 = 𝒃𝒊𝒋 para todo i y para todo j. 
 
 
(porque ya se sabe que tienen la misma cantidad de filas y de columnas, por eso de 
m=k y n=p. Y que en el lugar ij tienen el mismo número, por eso de 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗) 
 
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CAPÍTULO 3 
 
 
 
 
2. Suma de matrices 
 
Esta operación se define para matrices de igual orden o tipo. Esto es de igual 
número de filas e igual número de columnas. Fijemos esto en m x n. Es decir 
 
trabajaremos con elementos de ℝ𝑚𝑥𝑛 
 
 ¿Cuál es la pretensión? 
 Que sumando dos matrices de ℝ𝑚𝑥𝑛 se obtenga una matriz de ℝ𝑚𝑥𝑛 . 
 
 Que esa operación tenga "buenas propiedades". Esto es, que llegue a tener las 
propiedades que cumple la suma definida en los conjuntos numéricos: 
ℤ,ℚ 𝑦 ℝ 
 
 
 
 
Observar que se suman los elementos que están en igual posición (fila y columna) 
en ambos sumandos para obtener la matriz suma. 
 
 
"Visualicemos" nuevamente: si superponemos las matrices a sumar, sumamos los 
elementos que "se tocan" y así obtenemos la matrizsuma. 
 
EJEMPLO: 
Sumar las matrices 
 
 
 A= (
1 0
5 −7
3 34
) 𝑦 𝐵 = (
10 0
1 √15
−1 3
) pueden sumarse porque ambas son elementos de ℝ3𝑥2. 
 
 
 La matriz suma de A y B es la matriz dada por A+B =(
1 + 10 0 + 0
5 + 1 −7 + √15
3 + (−1) 34 + 3
) = (
11 0
6 −7 + √15
2 37
) 
 
 
para cada i, 1  i  m  para cada j, 1  j  n ci j  ai j  bi j 
por: 
1 j n 
lo anotam A + B a una matriz C  ci j 1i m cuyo elemento genérico dado 
1 jn 1 j n 
 matr A  ai j 1i m y B  bi j 1im llamam de A y B y 
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CAPÍTULO 3 
 
 
 
 

¿Qué observa?? 
¿Valdrá en general que A+ B = B + A ? 
 
EJEMPLO 
¿Cuáles de las siguientes matrices son sumables (que se puedan sumar)? Halle la 
suma en esos casos: 



(
3 −2
1 4
)𝐵 = (
−6
√3
) 𝐶 = (
0 0 0
0 0 0
0 0 0
) 𝐷 = (
7
19
−2
) 𝐸 = (
6 18 25
1
4
0 8
0 1 −
3
2
) 
 𝐹 = (
−3 2
−1 −4
)𝐺 = (
1 18 25
5
4
0 0
0 1
3
8
)


Para que las matrices se puedan sumar se tiene que verificar que sean de igual 
tipo. 
 
Por lo tanto son sumables: A con F ya que ambas son 2 x 2 y por otra parte C, E 
y G que son 3 x 3. 
Si operamos: 
 
 
𝐶 + 𝐺 = (
0 0 0
0 0 0
0 0 0
) + 
(
 
 
6 18 25
1
4
0 8
0 1 −
3
2)
 
 
 = 
(
 
 
0 + 6 0 + 18 0 + 25
0 +
1
4
0 + 0 0 + 8
0 + 0 0 + 1 0 −
3
2 )
 
 
 =
(
 
 
6 18 25
1
4
0 8
0 1 −
3
2)
 
 
 

 𝐶 + 𝐸 = (
−3 2
−1 −4
) + (
3 −2
1 4
) = (
−3 + 3 2 + (−2)
−1 + 1 −4 + 4
) = (
0 0
0 0
) 
 
 
 
¿Qué le sugieren estos dos ejemplos?? 
 
 
¿Cómo es C? ¿Qué ocurre cuando se suma con otra matriz?¿Qué propiedad tiene? 
¿Qué nombre le pone con respecto de la operación de suma? 
 
¿Cómo llamaría a F o a A? ¿Qué son una respecto de la otra para la operación de 
suma? ¿Cómo anotaría a F o a A con respecto a la otra? 
 
Queda para que complete las sumas de C con G y de E con G. 
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CAPÍTULO 3 
 
 
2.1. Propiedades de la suma de matrices 
 
 Por la definición dada si 
 
Aℝ𝑚𝑥𝑛 
 
y B ℝ𝑚𝑥𝑛 
 
entonces A  B ℝ𝑚𝑥𝑛 , 
 
esto significa que la suma es cerrada en ℝ𝑚𝑥𝑛 . 
 
 Dadas 
 
A, B y C en ℝ𝑚𝑥𝑛 
 
entonces (A  B)  C  A  (B  C) 
 
luego vale que 
 
la suma es asociativa en ℝ𝑚𝑥𝑛 
 
 Dadas 
 
A y B en ℝ𝑚𝑥𝑛 entonces A  B  B  A 
 
luego vale que la suma es 
 
conmutativa en ℝ𝑚𝑥𝑛 . 
 
 Existe el neutro 0 en 
 
tal que para toda A  ℝ𝑚𝑥𝑛 
 
 
 
ℝ𝑚𝑥𝑛 es la matriz nula de ℝ𝑚𝑥𝑛 que indicaremos por O 
 A  O  A . 
 
 
 Para toda matriz 
 
 
A ℝ𝑚𝑥𝑛 
 
existe una matriz B 
 
 
ℝ𝑚𝑥𝑛 
 
tal que A  B  O
B es la matriz opuesta de A y la indicaremos por -A. 
 






4.2.1.EJERCICIO 
a) Verificar la propiedad asociativa de la suma de matrices para tres matrices (a 
 
elección suya) en ℝ3𝑥2 . 
 
b) Verificar la propiedad conmutativa de la suma de matrices para dos matrices 
 
que Ud. elija en ℝ4𝑥4 . 
 
c) Demostrar las propiedades de la suma de matrices 
en ℝ𝑚𝑥𝑛 . (no se asuste, demostraremos una de las 
propiedades como ejemplo para que si usted lo desea, 
demuestre las otras…) 
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CAPÍTULO 3 
 
 
La propiedad conmutativa: 
 
 
Sean A  ai j 1i m y 
1 jn 
B  bi j 1im 
1 jn 
 
consideremos la suma de A con B 
 
A + B = C  ci j 1im cuyo elemento genérico es dado por: 
1 jn 
ci j  ai j  bi j para cada i, 1  i  m  para cada j, 1  j  n 
Como vemos cada ci j es suma de dos números reales y en los números reales 
vale la propiedad conmutativa de la suma, luego: 
 
ci j  ai j  bi j  bi j  ai j para cada i, 1  i  m  para cada j, 1  j  n 
 
Pero el último miembro de la igualdad indica el elemento genérico de la suma de 
las matrices B y A en ese orden por la definición de la suma dada. 
 
Como dos matrices son iguales si coinciden en sus elementos genéricos resulta 
que 
A + B = B + A. Probamos solo la conmutatividad de la suma. 
 
 
 
3.Producto de escalar por matriz 
 
Se llaman escalares a los elementos de K, en este caso de ℝ. 
 
 
 
 
Cuál es la pretensión? 
 
Que dado un número real (escalar) 
cualquiera y una matriz mxn , al 
multiplicar el escalar por la matriz, el 
resultado sea otra matriz mxn.
De alguna manera las matrices generalizan los conceptos de vectores en el plano y 
el espacio, por eso es que se llaman escalares a los números para diferenciarlos de 
los otros objetos llamados vectores. Además es habitual considerar el achicamiento 
o estiramiento producido al multiplicar un vector por un número, esta operación es 
la que generalizaremos seguidamente. 
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CAPÍTULO 3 
 
 
Formalmente… 
 
 
 
 
OBSERVACIÓN: hay trabajos que definen el producto de escalar por matriz 
como de matriz por escalar esto es 
 
A .  bi j 1im 
1 j n 
donde para cada i, 1  i  m y para cada j, 1 

bi j  ai j .
j  n 
 
Pero por la conmutatividad de ℝ, resulta que  . A  A . 



EJEMPLO: 
Dada la matriz A= (
1 0
5 −7
3 34
) y el escalar  Hallar la matriz A
 
 
A= (
(−3)1 (−3)0
(−3)5 (−3)(−7)
(−3)3 (−3)34
) = (
−3 0
−15 21
−9 −102
)

EJEMPLO: Sea A la matriz 𝐴 = (√7 −5 4
6 0 1
) 𝐴 ∈ ℝ2𝑥3, hallar las matrices 1.A, 2.A, 0.A 

Claramente 1. A= A y 0.A es la matriz nula de ℝ2𝑥3 
 
2𝐴 = (2. √7 2. (−5) 2.4
2.6 2.0 2.1
) = (2√7 −10 8
2 0 2
) 
Además compruebe que 2. A = (1+1). A = A + A
Sea una matriz A m n y un elemento   ℝ , si A  ai j 1i m se define 
1 j n 
 
1 jn 
bi j   .ai j 
Esto es: cada elemento de A se multiplica por  . 
Claro!!! 
Otra observación formal: Para indicar producto de escalar por matriz se ha usado 
también el . que simboliza el producto entre números reales, pero el contexto hará 
comprender de cual producto se trata. 
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CAPÍTULO 3 
 
 
 
3.1. Propiedades del producto escalar por matriz 
 
Por la definición que dimos anteriormente 
Si 𝑨 ∈ ℝ𝒎𝒙𝒏 𝒚 𝜶 ∈ ℝ, 𝒍𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝜶. 𝑨 ∈ ℝ𝒎𝒙𝒏 . 
 
 𝑺𝒊 𝑨 ∈ ℝ𝒎𝒙𝒏 𝟏. 𝑨 =A
 
 Hay dos clases de "distributividad": 
 
 Dados A y B en ℝ𝐦𝐱𝐧 y   ℝ entonces  . (A  B)   . A   . B luego 
vale que el producto por el escalar se distribuye en la suma de matrices. 
 
 Dados A ℝ𝐦𝐱𝐧 𝛼 y  ∈ ℝ entonces (   ) . A   . A   . A luego 
vale que el producto de una matriz por una suma de escalares se distribuye 
en la suma de escalares. 
 
 
Se verifica una especie de asociatividad: 
 
 Dados A ℝ𝐦𝐱𝐧 ,  y  en ℝ entonces (.  ) . A   . ( . A) . 
 
Observar con atención los distintos usos del símbolo "." . 
 
4.3.1.EJERCICIO 
Verificar las propiedades para al menos un caso por propiedad. 
 
 
4.3.2.EJERCICIO 
Realizar los siguientes cálculos: 6. B ; 3. B ; 9. B, (-2)A + 4 B, , 3.(5A), 5.(3A). 
para los casos: 
 
 
 𝐴 = (
−2 √13
4 8
0 1
−14 −1
) 𝑦 𝐵 = (
−7 √13
0 8
0 1
√3 −5
) 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 3 
 
 
3. Una definición importante: La trasposición y la matriz traspuesta 
 
Dada una matriz A se le asocia otra matriz si se intercambian ordenadamente las filas 
con las columnas. 
 
 
 
 
La trasposición de matrices es una función 
 
t : ℝ
𝐦𝐱𝐧
  ℝ
𝐧𝐱𝐦
 
 
 
Lo que hace esta operación es colocar ordenadamente las filas como columnas, 
así se pasa de una matriz m x n a otra n x m 
 

 
 EJEMPLOS : 

Si 𝐴 es la matriz, 𝐴 = (
−2 3
3
5
0 0 −7
) , claramente 𝐴 ∈ ℝ2𝑥3. 

La matriz traspuesta de 𝐴, que llamamos 𝐴𝑡es una matriz de ℝ3𝑥2 y está dada por: 


𝐴𝑡 = (
−2 0
3 0
3
5
−7
)

 Y si observamos la definición formal de matriz traspuesta recuadrada arriba, 
 diceque: “𝑎𝑖𝑗
∗ = 𝑎𝑗𝑖 ". Es por eso que, por ejemplo, el elemento de la matriz A, 𝑎12= 3 y el elemento 
𝑎21
∗ de la matriz 𝐴𝑡 es 𝑎21
∗ = 3 
 
Con lo cual, como era de esperar 𝑎21
∗ = 𝑎12= 3 
 
 
 a i j ji a
* 
1 j m 
donde para cada i, 1  i  n y para cada j, 1  j  m i j 1in t * A  a 
dada por A
t 
traspuesta de A a la matriz de ℝ
 nm 
 
1 j n 
se define como la 1i m i j Precisando, para una matriz A  ℝ
 mn 
, A  a 
12 
CAPÍTULO 3 
 
 
 Si se tiene una matriz diagonal, por ejemplo 𝐵 = (
−4 0 0
0 2 0
0 0 6
) , su traspuesta 𝐵𝑡 = (
−4 0 0
0 2 0
0 0 6
)
 
 
 Ejercicio 4.3.3: Sean las siguientes matrices: 
 𝐴 = (
5
0
−2
) , B=(
√7 9 0
0 1 1
−8 2 4
)𝐶 = (
10 12 1
1 −100 34
3
4
0 −3
) , 𝐷 = ( 
1 2
3 4
12 −8
) 𝐸 = (
1 3 5
2 4 6
) 
 
 
a)Sólo en los casos en que sea posible hallar las siguientes matrices: 𝐴𝑡, ( 𝐷 + 𝐸𝑡), 𝐷 + 𝐷𝑡 . 
c) Compare las siguientes matrices: (3. 𝐸)𝑡con 3. 𝐸𝑡, (𝐵 + 𝐶)𝑡 con (Bt + 𝐶𝑡) y (𝐸𝑡)𝑡con E. 
 
 Se cumplen las siguientes propiedades que generalizan las comparaciones pedidas en el inciso b) 
 
Si A y B son matrices de ℝmxny α ∈ ℝ, se cumple que: 
 
1)(At)t = A, 
 2)(α.A)t= αAt, 
 y 3)(A + B)t = At + Bt 
 
Que puede demostrar en general,si lo desea. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4.Multiplicación entre matrices 
 
 
Otra operación entre matrices es la multiplicación. 
 
La definición que seguidamente se dará pareciera antojadiza pero es debido a las 
aplicaciones que la teoría de matrices tiene, una de las cuales será aprovechada en este 
Curso: la resolución de los sistemas de ecuaciones. 
Históricamente se asigna a Arthur Cayley el haber introducido la multiplicación 
matricial precisamente para esta aplicación a mediados del siglo XIX. 
 
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CAPÍTULO 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Este definición quedará mucho mas clara después de los ejemplos…
 
 
 
 
 

EJEMPLO: 𝐴 = (
−1 0
3 4
2 5
) 𝐵 = (
0 −1 6
2 1 −3
) 
 
 



La matriz A ℝ 3 
2 
y B  ℝ
 2 3 
por lo cual es posible calcular C = A.B que es un 
elemento de ℝ 33 
Sean A ℝm n y B  ℝ n p dos matrices tales que (como se destaca) el 
número de columnas de A es igual al número de filas de B. 
Con ellas se define una matriz C ℝ m p , llamada producto de A por B. 
Se anota C = A .B, o simplemente AB. 
CURIOSO!!!: Esta operación es definible entre elementos de distintos conjuntos (muy 
particulares) y el producto resulta en otro conjunto. 
n 
C  (cij )1im tal que el elemento genérico es dado por: 
1 j  p 
 
cij  aik .bk j 
k 1 
 
 
la matriz C =A. B está definida por: 
y Si A  (ai j )1im B  (bi j )1in 
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CAPÍTULO 3 
 
 
 
 Sabemos que formato tiene la matriz C: 
 
 𝐶 = (
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝑐21 𝑐22 𝑐23
𝑐31 𝑐32 𝑐33
) ahora calcularemos todos los 𝑐𝑖𝑗. Por la definición de producto de matrices 
sabemos que el elemento genérico de la matriz C, 𝑐𝑖𝑗 , es el correspondiente a la fila i, columna j. 
 
Consideraremos, como la definición de matriz producto lo indica, la fila i de A y la columna j de B: 
 
 
Empecemos por el elemento 11, de la matriz producto C =A.B 
 
𝑐11 : Se calcula a partir de la fila 1 de A: ( −1 0 ) 𝑦 la columna 1 de B: (
0
2
) y hacemos el 
producto escalar como con los vectores de ℝ2. Con lo cual 𝑐11 = (−1). 0 + 0.2 = 0 
𝒄𝟏𝟏 = 𝟎 
 
 
 𝑐12 : Con la fila 1 de A: (−1 0) 𝑦 la 𝐜𝐨𝐥𝐮𝐦𝐧𝐚 𝟐 de B: (
−1
1
) . Con lo cual, 
𝑐12 = (−1). (−1) + 0.1 = 1 
𝒄𝟏𝟐 = 𝟏 
 
𝑐13 : fila 1 de A: (−1 0) 𝑦 la columna 3 de B: (
6
−3
) . Con lo cual 𝑐13 = (−1). 6 +
0. (−3) = −6 
𝒄𝟏𝟑 = −𝟔 
 
Y ya tenemos la fila 1 de la matriz producto: ( 0 1 -6) 
Faltan 2filas. 
 
 
Vamos a la fila 2 de la matriz producto , se construirá como fila 2 de A por cada una de las columnas de B…sus elementos son : 𝑐21 
𝑐22 y 𝑐23 
 
 
𝑐21 : fila 2 de A: (3 4) 𝑦 la columna 1 de B: (
0
2
) Con lo cual 𝑐21 = 3.0 + 4.2 = 8 
𝒄𝟐 = 𝟖 
 
 
𝑐22 : fila 2 de A: ( 3 4 ) 𝑦 la columna 2 de B: (
−1
1
). Con lo cual 𝑐22 = 3. (−1) + 4.1 = 1 
𝒄𝟐𝟐 = 𝟏 
 
 
𝑐23 : fila 2 de A: ( 3 4) 𝑦 la columna 3 de B: (
6
−3
) . Con lo cual 𝑐23 = 3.6 + 4. (−3) = 6 
𝒄𝟐𝟑 = 𝟔 
 
 Y ya tenemos la fila 2 de la matriz producto: (8 1 6) 
15 
CAPÍTULO 3 
 
 
 
Vamos a la fila 3 de la matriz producto , se construirá como fila 3 de A por las columnas de B…sus elementos son : 𝑐31 𝑐32 𝑐33 
 
𝑐31 : fila 3 de A:( 2 5 ) 𝑦 la columna 1 de B: (
0
2
). Con lo cual 𝑐31 = 2.0 + 5.2 = 10 
𝒄𝟑𝟏 = 𝟏𝟎 
 
𝑐32 : fila 3 de A: ( 2 5 ) 𝑦 la columna 2 de B: (
−1
1
). Con lo cual 𝑐32 = 2. (−1) + 5.1 = 3 
𝒄𝟑𝟐 = 𝟑 
 
 
𝑐33 : fila 3 de A: ( 2 5 ) 𝑦 la columna 3 de B: (
6
−3
) . Con lo cual 𝑐33 = 2.6 + 5. (−3) = −3 
𝒄𝟑𝟑 = −𝟑 
 
 Y ya tenemos la fila 3 de la matriz producto: (10 3 -3). 
 
 Hemos calculado 𝐶 = 𝐴. 𝐵 = (
−1 0
3 4
2 5
) . (
0 −1 6
2 1 −3
) = (
0 1 −6
8 1 3
10 3 −3
). 
 
 
 
 
 
 
 Veamos otro ejemplo: 
 
 
 
 
 Ahora 𝐴 = (
−2
1
0
3
4
1
−7
1
) y B= (
−2 7
0 1
). Nos preguntamos si son multiplicables. 
 
 A es de 4 filas y 2 columnas y B de 2 filas y 2 columnas: 4X2 2X2 pueden multiplicarse 
 y el resultado es una matriz de 4X2. 
 
 Es decir que 𝐴.𝐵 = (
−2
1
0
3
4
1
−7
1
). (
−2 7
0 1
)= C=(
𝑐11 𝑐12
𝑐21 𝑐22
𝑐31
𝑐41
𝑐32
𝑐42
) = (
−2. (−2) + 4.0 −2.7 + 4.1
1. (−2) + 1.0
0. (−2) + (−7). 0
3. (−2) + 1.0
1.7 + 1.1
0.7 + (−7). 1
3.7 + 1.1
)= 
 
 =(
−4 −10
−2 8
0
−6
−7
22
) 
 
 
 
16 
CAPÍTULO 3 
 
 
 







 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¿Es posible multiplicar B por A? Como B ℝ 2 2 y A  ℝ 42 el número de columnas de B 
(2) es distinto del número de filas de A (4), luego no está definida esa multiplicación. 

Por esta observación podemos concluir que la multiplicación de matrices NO es 
conmutativa. 
Cuando como en esta situación no es posible realizar la multiplicación entre dos 
matrices se dice que no son multiplicables. 
En el caso que la multiplicación sea posible se dice que son multiplicables. 
18 
CAPÍTULO 3 
 
 
 "El orden de los factores altera el producto" 
 En algunos casos A y B pueden ser matrices multiplicables, es decir que puede efectuarse 
 el producto A.B y también B.A pero puede resultar que A.B sea una matriz distinta de B.A, 
 como ilustra el siguiente ejemplo. 
 
A = (
1 −2
3 3
) , 𝐵 = (
0 2
5 −1
), 
 
 𝐴. 𝐵 = (
1.0 + (−2). 5 1.2 + (−2). (−1)
3.0 + 3.5 3.2 + 3. (−1)
) = (
−𝟏𝟎 𝟒
𝟏𝟓 𝟑
) . 𝐵. 𝐴 = (
0 2
5 −1
) . (
1 −2
3 3
) 
 
 
𝐵. 𝐴 = (
0.1 + 2.3 0. (−2) + 2.3
5.1 + (−1). 3 5. (−2) + (−1). 3
) = (
𝟔 𝟔
𝟐 −𝟏𝟑
) 
4.5.1.EJERCICIO 
 
a) Dadas A y At cualesquiera (arbitrarias y de cualquier orden), es calculable 
A.At ? 
b) Dadas A y At cualesquiera (arbitrarias y de cualquier orden), es calculable At .A? 
c) Verifique lo afirmado en a) y b) para las matrices: 
 
 
 𝐴 = (
−2 4
0 5
3
7
0
) , B = (
−1
0
11
), 𝐶 = (
1 1 −5 7 12
0 0 0 3 √8
) 
 4.5.2.EJERCICIO 
Dadas las matrices: 𝐴 = (
0 −5 17
1 0 0
) , 𝐵 = (
−1 3 25
2
3
0 0
16 −4 3
) 𝑦 
 
 𝐶 = (
−2 0 0
1 −5 2
0 1 −1
) 


 calcular A.(B+C) y A.B + A.C . ¿Qué observa? 
¿Cómo llamaría a lo que observa? 
 
Siempre que las multiplicaciones y las sumas esténdefinidas se satisface: 
 
A.(B+C) = A.B + A.C 
es decir, la multiplicación de matrices es distributiva en la suma de matrices. 
 
(Esta afirmación queda como ejercicio para un día muy especial. .. )
19 
CAPÍTULO 3 
 
 
 
 
 
4.5.3.EJERCICIO 
 
 Dadas las matrices 
𝐴 = (
−1 3 0
2 2 −7
) 𝐵 = (
1 0
12 0
9 −5
) 𝐶 = (
8 0 0
2 2 1
 
−2
−3
 ) 
 
 Verifique que A.(B.C) = A.(B.C) 
 
Esa propiedad que verificó en el ejemplo anterior, vale en general para matrices multiplicables. 
El producto de matrices es asociativo. 
(no lo demostraremos…) 
 
Recordemos una propiedad importante que tiene el producto de números reales: Para 
todos a y b números reales, si a.b = 0 entonces a=0 o b=0 también puede enunciarse 
equivalentemente usando el contrarrecíproco si 𝑎 ≠ 0 y 𝑏 ≠ 0 entonces 𝑎. 𝑏 ≠ 0. 
 
 
Ejemplo muy importante, con respecto al comentario anterior: 
 
Sean 𝐴 = (
2 −1
−6 3
) y 𝐵 = (
2 0
4 0
) ambas matrices no nulas 
 
 𝐴. 𝐵 = (
2 −1
−6 3
) . (
2 0
4 0
) = (
2.2 + (−1). 4 2.0 + (−1). 0
−6.2 + 3.4 −6.0 + 3.0
) = (
0 0
0 0
) 
 
 
Un producto de matrices puede dar la matriz nula sin que los factores lo sean!! 
 
 
 
Veremos otro ejemplo que muestra claramente que el producto de matrices NO se 
comporta como el producto de números reales: 
 
Consideremos las matrices del ejemplo anterior 𝐴 = (
2 −1
−6 3
), 𝐵 = (
2 0
4 0
) 
Y la matriz 𝐶 = (
8 −4
−12 6
), 𝐴.𝐵 = (
0 0
0 0
) y 𝐶. 𝐵 = (
8 −4
−12 6
)(
2 0
4 0
) = 
 
= (
8.2 + (−4). 4 8.0 + (−4). 0
−12.2 + 6.4 −12.0 + 6.0
)=(
0 0
0 0
) 
 
Es decir que 𝐴.𝐵 = 𝐶.𝐵 con B 𝐧𝐨 nula y 𝐴 ≠ 𝐶. (esto no ocurre en el caso de los 
números reales) 
 
 
Aunque el producto se comporta de forma inesperada, para el producto entre matrices 
cuadradas, existe elemento neutro, para las no cuadradas, hay un neutro a izquierda y 
20 
CAPÍTULO 3 
 
 
otro a derecha en contra de la pretensión de que haya un único neutro. Quedará más 
clara esta situación después de hacer el siguiente ejercicio: 
4.5.4 Ejercicio: 
 
Sean las matrices 
 𝐴 = (
0 1 −6
8 1 3
10 3 −3
) , 𝐵 = (
1 2
3 4
12 −8
), 𝐼2 = (
1 0
0 1
) , 𝐼3 = (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) 
 
 
 
a) Calcular 𝐴. 𝐼3 e 𝐼3.A. Qué observa? 
b) Calcular 𝐵. 𝐼2 e 𝐼3.. 𝐵. Qué observa? 
c)Cómo llamaría a las matrices 𝐼2 y 𝐼3? 
 
 
La matriz identidad de nxn, puede describirse como: 
 
𝐼𝑛 ∈ ℝ
𝑛𝑥𝑛 𝐼𝑛 = (𝑒𝑖𝑗) 
 
 
{
𝑒𝑖𝑗 = 1, 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗
𝑒𝑖𝑗 = 0, 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗
 
 
 
Y no aclaramos que es para todo i desde 1 hasta n, y para todo j desde 1 hasta n porque 
dijimos antes que 𝐼𝑛 ∈ ℝ
𝑛𝑥𝑛. También podemos indicar a esta matriz como: 
 
La matriz identidad de orden n, es una matriz diagonal nxn, tal que sus únicos 
elementos no nulos, son los de la diagonal principal y son todos unos 
 
 
𝐼𝑛 =
(
 
 
1 0 … 0 0
0 1 … 0 0
⋮
0
0
⋮
0
0
⋱ 0 0
⋯ 0 0
… 0 1)
 
 
 
 
 
21 
CAPÍTULO 3 
 
 
Se puede probar que si A es una matriz cuadrada, es decir 
𝑨𝝐ℝ𝒏𝒙𝒏 𝐞𝐧𝐭𝐨𝐧𝐜𝐞𝐬 𝑨. 𝑰𝒏=𝑰𝒏. 𝑨 = 𝑨 (hay neutro…) 
 
Y que si no es cuadrada, m distinto de n, 𝐴𝜖ℝ𝒎𝑥𝑛entonces 𝐴. 𝑰𝒏=𝑰𝒎. 𝐴 = 𝐴 (es lo que 
se puede tener…) 
 
EJERCICIO 4.5.5 (a modo de repaso…) 
 
Consideremos el conjunto ℝ𝑛𝑥𝑛 (cuadradas). 
a) Es posible la suma entre sus elementos? 
b) Qué propiedades tiene esa operación? Haga una lista. 
c) Es posible definir la multiplicación entre dos elementos cualesquiera del 
conjunto? 
d) Qué propiedades tiene esa operación? Haga una lista. 
 
 
Definiremos la potenciación en el conjunto de matrices cuadradas: 
 
Dada una matriz 𝐴𝜖ℝ𝒏𝒙𝒏tal que 𝑨 ≠ 𝟎𝒏𝒙𝒏 y 𝑘𝜖ℕ 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒: 
 
 
𝐴𝑘 = {
𝐼𝑛 𝑠𝑖 𝑘 = 0
𝐴. 𝐴𝑘−1 𝑠𝑖 𝑘 ≥ 1
 
 
Si 𝐴 = 0𝑛𝑥𝑛 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝒌 ≥ 𝟏, 𝐴
𝑘 = 0𝑛𝑥𝑛 
 
 
 (observe que como ocurre con los números, no se define (0𝑛𝑥𝑛)
0, no existe, queda 
indeterminado, como era de esperar…) 
 
Para tener en cuenta: 
El siguiente ejercicio recopila algunas propiedades que no se cumplen en el 
conjunto ℝ𝑛𝑥𝑛. 
 
Ejercicio 4.5.6 
 
 Sean 𝐴 = (
3 0 1
4 −2 8
−2 3 10
) , 𝐵 = (
−1 4 −3
9 −2 5
0 1 3
). Compruebe: 
 
a) 𝐴. 𝐵 ≠ 𝐵. 𝐴 
b) (𝐴 + 𝐵). (𝐴 − 𝐵) ≠ 𝐴2 − 𝐵2 
c) (𝐴. 𝐵)2 ≠ 𝐴2.𝐵2 
d) (𝐴 + 𝐵)2 ≠ 𝐴2 + 2𝐴. 𝐵 + 𝐵2 
 
 
 
Ejercicio 4.5.7 
Observación: este ejercicio permite conjeturar propiedades que sí se cumplen en 
conjunto ℝ𝑛𝑥𝑛. No probaremos que se cumplen en general. 
22 
CAPÍTULO 3 
 
 
 
 
 
Compruebe para las matrices: 𝐴 = (
2 −1
0 5
) , 𝐵 = (
0 7
4 −3
) , 𝐼2 = (
1 0
0 1
) que se 
cumplen las siguientes igualdades. 
a) 𝐴. (3. 𝐵) = 3𝐴. 𝐵 
b) 𝐴. 𝐵2= (AB).B 
c) 𝐴. (𝐵. 𝐴) = (𝐴. 𝐵). 𝐴 
d) 4I.A = 4.A 
e) 𝐼253=? 
 
Otro ejercicio para conjeturar propiedades… 
 
4.5.8. Ejercicio: Compruebe que para las matrices: 
 
𝐴 = (
2 0 1
−3 4 4
0 0 5
) 𝑦 𝐵 = (
3
−7
3
1
1 2
) se cumplen las siguientes igualdades: 
 
a) (𝐴𝑡)2 = (𝐴2)𝑡 y b) (𝐴. 𝐵)𝑡 = 𝐵𝑡 . 𝐴𝑡 Puede realizarse el product𝑜 𝐴𝑡 . 𝐵𝑡? 
Justifique su afirmación. 
 
 
 
Prestemos mucha atención al ejemplo que sigue y pensemos en lo siguiente: Al 
existir una matriz identidad en cada conjunto de matrices cuadradas, por ejemplo la 
identidad n por n, será cierto que para toda matriz no nula n por n, existe otra (nxn 
también) que multiplicada por ella de la identidad?? 
Claramente solo pensamos en matrices cuadradas y recordemos que para estas 
matrices el producto tampoco es conmutativo. 
 
Por lo visto hasta ahora, habrá que ir con mucho cuidado con este producto… 
Consideremos las siguientes matrices: 
 
 𝐴 = (
1 2
−3 4
) 𝑦 𝐵 = (
2
5
−
1
5
3
10
1
10
) y calculemos las matrices A.B y B.A 
 
 
𝐴.𝐵 = (
1 2
−3 4
) . (
2
5
−
1
5
3
10
1
10
) = (
1.
2
5
+ 2.
3
10
1. (−
1 
5
) + 2.
1
10
−3.
2
5
+ 4.
3
10
−3. (−
1
5
) + 4.
1
10
) = (
1 0
0 1
) 
 
 
𝐵.𝐴 = (
2
5
−
1
5
3
10
1
10
) . (
1 2
−3 4
) = (
2
5
. 1 + (−
1
5
)(−3)
2
5
. 2 + (−
1 
5
) . 4
3
10
. 1 +
1
10
. (−3)
3
10
. 2 +
1
10
. 4
 ) = (
1 0
0 1
) 
23 
CAPÍTULO 3 
 
 
 
 
Para este par de matrices vale que A.B = B.A=I 
 
Otro ejemplo: 
Sea 𝐴 = (
1 4
0 0
), existirá una matriz B, tal que 𝐴. 𝐵 = 𝐵. 𝐴 = 𝐼? 
Para que ambos productos estén definidos la matriz B tiene que ser de 2 por 2. 
Consideremos la matriz 𝐵 = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) y pretendemos demostrar que A.B = B.A = I 
𝐴. 𝐵 = (
1 4
0 0
) . (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) = (
1. 𝑎 + 4. 𝑐 1. 𝑏 + 4. 𝑐
0 0
)=(
𝑎 + 4𝑐 𝑏 + 4𝑐
0 0
) = (
1 0
0 1
) 
𝐵.𝐴 = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) . (
1 4
0 0
) = (
𝑎. 1 + 𝑏. 0 𝑎. 4 + 𝑏. 0
𝑐. 1 + 𝑑. 0 𝑐. 4 + 𝑑. 0
) = (
𝑎 4𝑎
𝑐 4𝑐
) = (
1 0
0 1
) 
Si pensamos en la igualdad de matrices vemos que hay más de una razón para afirmar 
que es imposible que exista alguna matriz B que cumpla la última igualdad. 
 
 
Definición: 
 
Dada 𝐴 ∈ ℝ𝑛𝑥𝑛 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑨 𝒆𝒔 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒃𝒍𝒆 𝑠𝑖 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
 𝐵 ∈ ℝ𝑛𝑥𝑛 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 
A.B =B.A = I (*) 
Se dice que B es la matriz inversa de A. 
Se demuestra que si dada A, existe B que cumple (*) entonces B es 
única por lo cual se llama a B, la matriz inversa de A y se anota a B 
como 𝐴−1 . 
24 
CAPÍTULO 3 
 
 
El ejemplo anterior prueba que: 
No toda matriz no nula, es invertible. 
Ejercicio 4.5.9 
Demostrar que: 
si 𝐴 ∈ ℝ𝑛𝑥𝑛y existe una matriz B que cumple 𝐴. 𝐵 = 𝐵.𝐴 = 𝐼, entonces 𝐵 𝑒𝑠 única. 
Es decir que la inversa de una matriz, si existe, es única. (Ayuda: Suponga que A tiene 
dos inversas y pruebe que son iguales) 
 
Observación: También es demostrable (con Herramientas del Álgebra lineal y no lo 
haremos en este curso) que dada 𝐴 ∈ ℝ𝑛𝑥𝑛si existe 𝐵 ∈ ℝ𝑛𝑥𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐴. 𝐵 = 𝐼, 
entonces B es la inversa de A. 
Ejercicio 4.6.0 
Demostrar que si A y B son matricesdel conjunto ℝ𝑛𝑥𝑛 y ambas son invertibles 
entonces la inversa de A.B es 𝐵−1. 𝐴−1. O dicho de otra forma: (𝐴. 𝐵)−1 = 𝐵−1. 𝐴−1 
Solución: Como A y B son invertibles, sabemos que existen 𝐴−1 y 𝐵−1que cumplen: 
𝐴. 𝐴−1 = 𝐴−1. 𝐴 = 𝐼 (1) y 𝐵. 𝐵−1 = 𝐵−1. 𝐵 = 𝐼 (2) 
Probaremos que 𝐵−1. 𝐴−1 opera como la inversa de 𝐴. 𝐵. Entonces por la observación 
anterior y el ejercicio habremos demostrado que es su inversa: 
𝐴. 𝐵(𝐵−1. 𝐴−1) =⏟
𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
𝐴. (𝐵. 𝐵−1). 𝐴−1 =⏟
 𝑝𝑜𝑟 (2)
(𝐴. 𝐼)𝐴−1 =⏟
𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝐼 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜
 
= 𝐴. 𝐴−1 =⏟
𝑝𝑜𝑟 (1)
𝐼 
Como justificamos cada una de las igualdades hemos demostrado que 
𝐴. 𝐵(𝐵−1. 𝐴−1) = 𝐼 y esto prueba que 𝐵−1. 𝐴−1 es la inversa de 𝐴. 𝐵 
El resultado probado se extiende a la matriz inversa de un producto finito de matrices 
invertibles, es decir: 
(∏ 𝐴𝑖
𝑛
𝑖=1 )
−1 = ∏ 𝐴𝑛−𝑖+1
−1𝑛
𝑖=1 puede probarlo por inducción…o solamente desarrollar los 
productos de ambos miembros para entender la propiedad. 
 
	Matrices y Sistemas de Ecuaciones.
	¿Porque serán nuestro objeto de estudio?
	Uno de los objetivos del Algebra es encontrar condiciones para que existan soluciones y algoritmos para resolver ecuaciones. En este Capítulo estudiaremos los sistemas de ecuaciones lineales que son modelo de muchas situaciones problemáticas.
	Para encarar el estudio general de los sistemas de ecuaciones lineales haremos primeramente el estudio de unos objetos algebraicos, llamados matrices, que facilitarán las cosas y que además de aplicarse en los sistemas de ecuaciones sirven para repres...
	elementos dispuestos en un cuadro, formando m filas y n columnas.
	o bk p . Recuerde que los índices "son mudos" y los pares
	Otros elementos de A son a23  ,1-3.; a12  ,2. etc. Complete…..
	Tiene un elemento no nulo que es el b21  -19
	D es cuadrada y tiene la particularidad que todos sus elementos son 0, por eso se
	 0 para todo i y para todo j tal que1  i  2
	E es 3 x 2, es una matriz rectangular (no cuadrada) pues el número de filas es distinto del número de columnas. ¿La matriz E es elemento de qué conjunto?? (De la geometría elemental se sabe que los rectángulos tienen diagonales pero no se define diago...
	Para que dos matrices A y B sean iguales se debe verificar:
	trabajaremos con elementos de ,ℝ-𝑚𝑥𝑛.
	 Que sumando dos matrices de ,ℝ-𝑚𝑥𝑛. se obtenga una matriz de ,ℝ-𝑚𝑥𝑛. .
	 Dadas
	luego vale que
	 Dadas (1)
	A y B en ,ℝ-𝑚𝑥𝑛.
	tal que para toda A  ,ℝ-𝑚𝑥𝑛.
	,ℝ-𝑚𝑥𝑛. es la matriz nula de ,ℝ-𝑚𝑥𝑛. que indicaremos por O
	 Para toda matriz
	existe una matriz B
	,ℝ-𝑚𝑥𝑛.
	B es la matriz opuesta de A y la indicaremos por -A.
	elección suya) en ,ℝ-3𝑥2. .
	que Ud. elija en ,ℝ-4𝑥4. .
	consideremos la suma de A con B
	 para cada j, 1  j  n
	 para cada j, 1 
	Pero el último miembro de la igualdad indica el elemento genérico de la suma de las matrices B y A en ese orden por la definición de la suma dada.
	3.Producto de escalar por matriz
	Se llaman escalares a los elementos de K, en este caso de ℝ.
	donde para cada i, 1  i  m y para cada j, 1 
	EJEMPLO:
	Dada la matriz A= ,,1-0-5-−7-3-34.. y el escalar  Hallar la matriz A
	3.1. Propiedades del producto escalar por matriz
	Por la definición que dimos anteriormente
	Si 𝑨∈,ℝ-𝒎𝒙𝒏. 𝒚 𝜶∈ℝ, 𝒍𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝜶.𝑨∈ ,ℝ-𝒎𝒙𝒏..
	𝑺𝒊 𝑨∈,ℝ-𝒎𝒙𝒏. 𝟏.𝑨=A
	Hay dos clases de "distributividad":
	 Dados A y B en ,ℝ-𝐦𝐱𝐧. y   ℝ entonces
	luego
	luego (1)
	para los casos:
	𝐴=,,,−2-,13.-4-8-0-1.-,−14-−1... 𝑦 𝐵=,,,−7-,13.-0-8-0-1.-,,3.-−5...
	La matriz
	,𝑐-11. : Se calcula a partir de la fila 1 de A: ( −1 0 ) 𝑦 la columna 1 de B: ,,0-2.. y hacemos el producto escalar como con los vectores de ,ℝ-2.. Con lo cual ,𝑐-11.=,−1..0+0.2=0
	,𝒄-𝟏𝟏.=𝟎
	,𝑐-12. : Con la fila 1 de A: (−1 0) 𝑦 la 𝐜𝐨𝐥𝐮𝐦𝐧𝐚 𝟐 de B: ,,−1-1.. . Con lo cual, ,𝑐-12.=,−1..(−1)+0.1=1
	,𝒄-𝟏𝟐.=𝟏
	,𝑐-13. : fila 1 de A: (−1 0) 𝑦 la columna 3 de B: ,,6-−3.. . Con lo cual ,𝑐-13.=,−1..6+0.(−3)=−6
	,𝒄-𝟏𝟑.=−𝟔
	,𝑐-21. : fila 2 de A: (3 4) 𝑦 la columna 1 de B: ,,0-2.. Con lo cual ,𝑐-21.=3.0+4.2=8
	,𝒄-𝟐.=𝟖
	,𝑐-22. : fila 2 de A: ( 3 4 ) 𝑦 la columna 2 de B: ,,−1-1... Con lo cual ,𝑐-22.=3.(−1)+4.1=1
	,𝒄-𝟐𝟐.=𝟏
	,𝑐-23. : fila 2 de A: ( 3 4) 𝑦 la columna 3 de B: ,,6-−3.. . Con lo cual ,𝑐-23.=3.6+4.(−3)=6
	,𝒄-𝟐𝟑.=𝟔
	,𝑐-31. : fila 3 de A:( 2 5 ) 𝑦 la columna 1 de B: ,,0-2... Con lo cual ,𝑐-31.=2.0+5.2=10
	,𝒄-𝟑𝟏.=𝟏𝟎
	,𝑐-32. : fila 3 de A: ( 2 5 ) 𝑦 la columna 2 de B: ,,−1-1... Con lo cual ,𝑐-32.=2.(−1)+5.1=3
	,𝒄-𝟑𝟐.=𝟑
	,𝑐-33. : fila 3 de A: ( 2 5 ) 𝑦 la columna 3 de B: ,,6-−3.. . Con lo cual ,𝑐-33.=2.6+5.,−3.=−3
	,𝒄-𝟑𝟑.=−𝟑
	Hemos calculado 𝐶=𝐴.𝐵= ,,−1-0-3-4-2-5... ,,0-−1-6-2-1-−3..=,,0-1-−6-8-1-3-10-3-−3...
	"El orden de los factores altera el producto"
	4.5.1.EJERCICIO
	At cualesquiera (arbitrarias y de cualquier orden), es calculable A.At ?
	At cualesquiera (arbitrarias y de cualquier orden), es calculable
	c) Verifique lo afirmado en a) y b) para las matrices:
	𝐴=,,−2-4-0-5-,3-7.-0.. , B = ,,−1-0-11.., 𝐶=,,1-1-,−5-7-12.-0-0-,0-3-,8....
	¿Cómo llamaría a lo que observa?