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Curso 2021-2022 MATEMATICAS II 
 Unidad 1: Álgebra de matrices. 
 
Unidad 1 Página 1 
 
ÁLGEBRA LINEAL 
 
 
Unidad 1: ÁLGEBRA DE MATRICES 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
 
 
 
Contenidos 
Criterios 
de evaluación 
Estándares de aprendizaje 
evaluables 
 
Matrices 
- Conceptos básicos: 
matriz fila, matriz 
columna, dimensión, 
matriz cuadrada, 
traspuesta, simétrica, 
triangular... 
Operaciones con matrices 
- Suma, producto por un 
número, producto. 
Propiedades. 
- Resolución de 
ecuaciones matriciales. 
Matrices cuadradas 
- Matriz unidad. 
- Matriz inversa de otra. 
- Obtención de la inversa 
de una matriz por el 
método de Gauss. 
n-uplas de números reales 
- Dependencia e 
independencia lineal. 
- Obtención de una 
n-upla combinación 
lineal de otras. 
- Constatación de si un 
conjunto de n-uplas son 
L.D. o L.I. 
Rango de una matriz 
- Obtención del rango de 
una matriz por 
observación de sus 
elementos (en casos 
evidentes). 
- Cálculo del rango de 
una matriz por el 
método de Gauss. 
 1. Conocer y utilizar 
eficazmente las matrices, 
sus operaciones y sus 
propiedades. 
1.1. Realiza operaciones 
combinadas con 
matrices (elementales). 
 
1.2. Resuelve ecuaciones 
matriciales. 
 2. Conocer el significado de 
rango de una matriz y 
calcularlo mediante el 
método de Gauss. 
2.1. Calcula el rango de una 
matriz numérica. 
2.2. Calcula el rango de una 
matriz que depende de 
un parámetro. 
 3. Resolver problemas 
algebraicos mediante 
matrices y sus 
operaciones. 
3.1. Expresa un enunciado 
mediante una relación 
matricial y, en ese caso, 
lo resuelve e interpreta 
la solución dentro del 
contexto del enunciado. 
 
 
 
 
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 Unidad 1: Álgebra de matrices. 
 
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EJERCICIOS PROPUESTOS 
(los 15 ejercicios de esta unidad debes resolverlos en un 
cuaderno o en hojas sueltas y entregarlos DE FORMA 
VOLUNTARIA el día del examen como parte del mismo) 
 
 Si un alumno entrega los ejercicios propuestos resolverá en 
el examen un máximo de siete ejercicios (elegidos libremente). La 
nota del examen será la suma de la nota de la prueba escrita más 
la nota de los ejercicios. 
 
LA ENTREGA DE LOS EJERCICIOS ES TOTALMENTE 
VOLUNTARIA. 
 
El alumno que entregue los ejercicios, resuelve un máximo 
de siete ejercicios del examen. 
El alumno que no entregue los ejercicios, resuelve en el 
examen los diez ejercicios. 
 
 Dispones de unos apuntes de la asignatura en este enlace MAREA VERDE 
 
 Bienvenido a la asignatura. Te tengo que dar ánimos porque los vas a 
necesitar. La asignatura se ha complicado desde la aplicación de la nueva ley de 
educación, porque además de ser obligatoria, han introducido tres unidades 
temáticas más. 
 Debes estudiar catorce unidades didácticas en diez quincenas. 
 No es fácil, ¿verdad? 
 Mi trabajo, en primer lugar, es ayudarte a que lo consigas. 
 ¿Cómo lo vamos a hacer? 
 Este curso he preparado para cada unidad una colección de ejercicios que 
te ayuden a conseguir los denominados “estándares de aprendizaje” 
 En los exámenes aparecerán exclusivamente problemas y ejercicios 
similares a los que figuran en estos documentos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.apuntesmareaverde.org.es/grupos/mat/Bachillerato/MatematicasII.htm
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 Unidad 1: Álgebra de matrices. 
 
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1.1. Realiza operaciones combinadas con matrices elementales. 
 
 
 
Las matrices son objetos matemáticos de gran aplicación práctica,y se utilizan 
sobre todo para guardar información. Abre tu libro de texto por este tema. 
 
 Aquí tienes un video muy simple para 
que veas cómo se guarda la información en 
tablas, o lo que es lo mismo, en matrices. 
Video 1 – 1 – 1 : 
https://www.youtube.com/watch?v=IwdHftE8RJI 
 
 En el video anterior has comprobado 
cómo la información se puede guardar en una 
matriz que no es sino una tabla, con filas y 
columnas, encerrada entre paréntesis, pero hay también otro tipo de información que no 
proviene de una tabla y son los denominados 
grafos. 
 Ejercicio 1 – 1: (este es el primero de 
los ejercicios propuestos) 
 Te pido que construyas la matriz 
asociada al grafo que figura en el video. 
. 
 Video 1 – 1 – 2 : 
https://www.youtube.com/watch?v=k1mtRVeqNvA 
 
 
 
 
Te voy a dar otro video de ayuda. A partir 
del minuto 3:00 encontrarás ejemplos. 
Video 1 – 1 – a : 
https://www.youtube.com/watch?v=cNAkUZaiDo4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 El siguiente video te explica la nomenclatura 
que se utiliza cuando trabajamos con matrices. Es 
importante que no te resulte extraña. Te recomiendo 
encarecidamente que prestes atención a este video. 
Video 1 – 1 - 3 : 
https://www.youtube.com/watch?v=T1_NBluhp9o 
 
 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=IwdHftE8RJI
https://www.youtube.com/watch?v=k1mtRVeqNvA
https://www.youtube.com/watch?v=cNAkUZaiDo4
https://www.youtube.com/watch?v=T1_NBluhp9o
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 Unidad 1: Álgebra de matrices. 
 
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Vamos a estudiar los tipos de matrices que hay. 
 
 Video 1 – 1 – 4 : https://www.youtube.com/watch?v=Fq1IfWlr9gs 
 Video 1 – 1 – 5 : https://www.youtube.com/watch?v=tvsc82KnyH8 
 Video 1 – 1- 6 : https://www.youtube.com/watch?v=8GQALYeQgGc 
 
Ejercicio 1 – 2 : 
 Escribe un ejemplo de cada uno de los tipos de matrices que existen (localiza por 
lo menos diez). Los videos anteriores te ayudarán (EN TU LIBRO DE TEXTO O 
APUNTES TAMBIÉN LAS ENCONTRARÁS). 
 
 
Ejercicio 1 – 3 : 
 Una operación con matrices muy sencilla es 
calcular la matriz traspuesta. Este video te ayudará 
resolver el ejercicio. 
Video 1 – 1 - c: 
https://www.youtube.com/watch?v=YBmPsTeH2wA 
 
 
 Empezamos a sumar y restar matrices. 
Échale un vistazo a los dos minutos y medio 
primeros de este video. 
 Video 1 – 1 – d : 
https://www.youtube.com/watch?v=aE2Tn52RYMs 
 
 
 
Ejercicio 1 – 4 : 
Realiza el siguiente ejercicio: 
 
 
 
 Has comprobado que sumar y restar matrices es sencillo. Multiplicar un número 
por una matriz también es fácil. Pero multiplicar dos matrices entre sí es algo muy 
laborioso. De hecho debes tener presente la siguiente idea: muy pocas matrices se 
pueden multiplicar entre sí. 
https://www.youtube.com/watch?v=Fq1IfWlr9gs
https://www.youtube.com/watch?v=tvsc82KnyH8
https://www.youtube.com/watch?v=8GQALYeQgGc
https://www.youtube.com/watch?v=YBmPsTeH2wA
https://www.youtube.com/watch?v=aE2Tn52RYMs
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 Para que dos matrices se puedan multiplicar debe verificarse una condición que 
veremos más adelante. 
 Primero vamos a estudiar cómo se multiplica una fila por una columna. 
 
 
 Empezamos a multiplicar filas por columnas. Ya verás en el video que 
multiplicar columnas por filas es más complicado. De momento quiero que aprendas a 
multiplicar una fila por una columna. 
 Video 1 – 1 – e : https://www.youtube.com/watch?v=I4LAyLG4Yg8 
 
Ahora te toca a ti. 
 
Ejercicio 1 – 5 : 
Calcula el producto ( ) (
 
 
 
) 
 
 
En tu libro de texto encontrarás al menos un ejemplo de cómo se multiplican dos 
matrices. Búscalo y mantén el libro abierto por esa hoja. 
 
 
 Pasamos ya a multiplicar dos matrices. Te doy varios videos de ayuda para que 
tú después resuelvas el ejercicio. 
 Video 1 – 1- f – 1 : https://www.youtube.com/watch?v=S2FeN2drD-o 
 Video 1 – 1- f – 2 : https://www.youtube.com/watch?v=eRBuGozq6Us 
 Video 1 – 1- f – 3 : https://www.youtube.com/watch?v=8CFrHkvy-5E 
 
 
Ejercicio 1 – 6 : 
i) Efectúa el producto de las dos matrices que aparecen en alguno de los 
videos anteriores. 
 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=I4LAyLG4Yg8
https://www.youtube.com/watch?v=S2FeN2drD-o
https://www.youtube.com/watch?v=eRBuGozq6Us
https://www.youtube.com/watch?v=8CFrHkvy-5E
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ii) 
 
(SON DEMASIADOS PERO HAY ALGUNOS PRODUCTOS QUE NO SE 
PUEDEN EFECTURAR COMO A·B) 
 
Ejercicio 1 – 7 : 
 Es importante que domines bien las operaciones con matrices por eso te pido que 
sigas practicando con este ejercicio. 
 
 
Ahora un ejercicio más complicado para que tengas que pensar. ¿Cómo 
multiplicarías tres matrices? Te doy una pista: ¿Cómo multiplicas tres números? 
 
Ejercicio 1 – 8 : 
 
 
Ejercicio 1 – 9 : 
 Ahora un ejercicio de repaso. 
 
 
 Calcular la potencia de una matriz es lo mismo 
que multiplicarla por sí misma un cierto número de 
veces. En este video te lo explican. 
 Video 2 – 1- 7 : 
https://www.youtube.com/watch?v=mGgv2QkAcVE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=mGgv2QkAcVE
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1.2. Resuelve ecuaciones matriciales 
 
 
En la asignatura de matemáticas I estudiaste cómo se resolvían las ecuaciones y 
los sistemas de ecuaciones con números reales. Esas mismas ecuaciones se pueden 
plantear cuando las incógnitas sean matrices. A estas ecuaciones se les denominan 
ecuaciones matriciales. Las resolveremos en la siguiente unidad utilizando la matriz 
inversa. 
 
Pero hay ecuaciones que se pueden resolver sin la matriz inversa. Más adelante 
te voy a mostrar varios ejercicios resueltos y quiero que los copies en tu cuaderno de 
ejercicios para entregar. Si no entiendes algún paso de la resolución solicítame ayuda 
por email. 
 
Ejercicio 1 – 10.- 
Quiero que resuelvas en tu cuaderno el siguiente ejercicio, pero que sustituyas en 
las matrices los dos doses por dos treses. Adelante, es tu turno. 
 
Solución: 
 
 
Ejercicio 1 – 11.- 
Quiero que resuelvas en tu cuaderno el siguiente ejercicio, pero que sustituyas en 
las matrices los dos ceros por dos cuatros. 
 
Solución: 
 
 
 
 
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 Los sistemas de ecuaciones lineales con matrices sí podemos resolverlos ahora. 
 
 
Ejercicio 1 - 12.- 
 En el siguiente video te explican cómo resolver un 
sistema de dos ecuaciones lineales con dos matrices 
incógnitas. Luego inténtalo tú con el que yo te propongo. 
 Video 1 – 2 – d : 
https://www.youtube.com/watch?v=ljZ3p_QEG3A 
 
 
 
2.1. Calcula el rango de una matriz numérica 
 
 
 
Las filas y las columnas de una matriz son consideradas en geometría como 
vectores y se habla de independencia o dependencia lineal. 
La definición de rango de una matriz (cuadrada o rectangular) hace referencia a 
la dependencia lineal de sus vectores fila (o columna). 
Te presento un video donde te explican 
la dependencia lineal de vectores de dos 
componentes. 
Video 1 – 3 – 1 : 
https://www.youtube.com/watch?v=JRPxZMOr-NI 
 
Según el video anterior dos vectores de 
dos componentes, son linealmente dependientes 
cuando son múltiplos o proporcionales. 
En unidades posteriores estudiaremos vectores de tres componentes. Veremos 
que tres vectores son linealmente independientes cuando no se puede obtener ninguno 
de ellos como combinación lineal de los otros dos. 
Por lo tanto serán linealmente dependientes cuando 
uno de ellos sea proporcional a otro o bien cuando 
uno de ellos sea combinación lineal de los otros dos. 
En el siguiente video se determina si tres vectores 
son o no linealmente independientes. 
Video 1 – 3 – 2 : 
https://www.youtube.com/watch?v=vwR00PnCCrY 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=ljZ3p_QEG3A
https://www.youtube.com/watch?v=JRPxZMOr-NI
https://www.youtube.com/watch?v=vwR00PnCCrY
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Más adelante estudiaremos los vectores y volveremos a este asunto. De 
momento quédate con la idea siguiente: el rango de una matriz es el número de vectores 
fila (o columna) que son linealmente independientes entre sí. El rango de una matriz 
es un número. 
 
 
En la unidad 2 calcularemos el rango utilizando determinantes. Por eso en el 
examen dispondrás de dos métodos distintos, y no te voy a obligar a utilizar uno u otro: 
tu elegirás el método que te resulte más sencillo o cómodo o rápido. 
 
En los siguientes videos te explican cómo calcular el rango de una matriz por el 
método de Gauss. 
Video 1 – 3 – 1 : https://www.youtube.com/watch?v=A5bpIV1BfPM 
Video 1 – 3 – 2 : https://www.youtube.com/watch?v=l0OhlQmm6Rk 
 
 
A veces podemos tachar filas o columnas para calcular el rango de forma más 
fácil. Presta atención al siguiente video. 
Video 1 – 3 – 2 : https://www.youtube.com/watch?v=0ORgg-n-ReU 
 
Esto me parece muy interesante y deberías aprenderlo ahora por esto te 
propongo el siguiente ejercicio. 
 
Ejercicio 1 - 13.- 
Calcula el rango de la matriz que aparece 
en el video anterior Video 1 – 3 – 2: 
https://www.youtube.com/watch?v=0ORgg-n-ReU 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2. Calcula el rango de una matriz que depende de un 
parámetro 
 
 
En el siguiente video se resuelve un ejercicio muy complicado que hace 
referencia al rango de una matriz que contiene números y una letra que se denomina 
parámetro. 
 
Video 1 – 4 – 1 : https://www.youtube.com/watch?v=w24IjhkRhKE 
 
Creo que este método te va a resultar más complicado que el que veremos en la 
unidad 2. Te aconsejo que esperes hasta entonces. 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=A5bpIV1BfPM
https://www.youtube.com/watch?v=l0OhlQmm6Rk
https://www.youtube.com/watch?v=0ORgg-n-ReU
https://www.youtube.com/watch?v=0ORgg-n-ReU
https://www.youtube.com/watch?v=w24IjhkRhKE
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3.1. Expresa un enunciado mediante una relación matricial y, 
en ese caso, lo resuelve e interpreta la solución dentro del 
contexto del enunciado. 
 
 
Te voy a mostrar dos ejemplos de problemas que se plantean con matrices y se 
utiliza como operación el producto de dos matrices. 
 
Ejercicio 1 - 14.- 
Quiero que copies el enunciado y la resolución de este ejercicio en tu cuaderno. 
 
Solución: 
 
 
 
Ejercicio 1 - 15.- 
Quiero que copies el enunciado y la resolución de este ejercicio en tu cuaderno. 
 
Solución: 
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Si quieres practicar un poco más, te ofrezco otro ejercicio en el siguiente 
video: 
 Video 1 – 5 – c : https://www.youtube.com/watch?v=ikB8QrDWwdg 
 
 
Ya hemos acabado la unidad . ¿Qué te ha parecido? 
Te pregunto y me respondo: Ejercicios muy fáciles y otros más 
complicados. Esta será la tónica general de todo el curso. 
Lo importante es que los tengas todos resueltos en el cuaderno que me vas a 
entregar en el examen. 
Si no te han quedado claros los métodos de resolución contacta conmigo y 
en una tutoría individual trataré de aclarártelos o te resolveré los ejercicios por 
otros procedimientos. No dudes en recurrir a mi ayuda, para eso soy el profesor y 
tú el alumno. 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=ikB8QrDWwdg