g SolLedezmaSala-SebastiyFont2022 Conocimientos-creencias-modelizacin-matemtica-argumentacin-reflexiva

Vista previa del material en texto

308 
 
 
 
CONOCIMIENTOS Y CREENCIAS SOBRE MODELIZACIÓN MATEMÁTICA 
EN LA ARGUMENTACIÓN REFLEXIVA DE UN FUTURO PROFESOR 
 
KNOWLEDGE AND BELIEFS ON MATHEMATICAL MODELLING WITHIN 
THE REFLECTIVE ARGUMENTATION OF A PROSPECTIVE TEACHER 
 
Telesforo Sol 
Facultad de Educación, Universitat de Barcelona, Barcelona, España 
telesforo.sol@ub.edu 
 
Carlos Ledezma 
Facultad de Educación, Universitat de Barcelona, Barcelona, España 
cledezar25@alumnes.ub.edu 
 
Gemma Sala-Sebastià 
Facultad de Educación, Universitat de Barcelona, Barcelona, España 
gsala@ub.edu 
 
Vicenç Font 
Facultad de Educación, Universitat de Barcelona, Barcelona, España 
vfont@ub.edu 
 
Resumen 
Este estudio se centra en la argumentación de un futuro profesor para justificar la 
incorporación (o no) de la modelización matemática en sus clases. Para ello se analizó la 
reflexión de un futuro profesor de matemática sobre el diseño de una tarea de 
modelización durante su periodo de práctica educativa. Metodológicamente, se trata de 
un estudio de caso intrínseco en que, a partir de la herramienta Criterios de Idoneidad 
Didáctica propuesta por el Enfoque Onto-Semiótico, el sujeto de estudio estructuró la 
reflexión sobre su práctica educativa en su Trabajo Final de Máster (TFM), cuyo eje 
central fue la modelización. El contexto de este estudio es un máster profesionalizante 
para la educación de profesores de matemática de educación secundaria y bachillerato 
(para enseñar a estudiantes de 12 a 18 años) en España. En esta comunicación se reporta 
una porción de los resultados de este estudio en que, mediante la técnica de diagramación, 
se pudieron inferir, entre otros elementos, los conocimientos y creencias del sujeto de 
estudio sobre modelización, a partir del análisis de la reflexión escrita en su TFM. 
Palabras clave: argumentación, conocimientos, creencias, criterios de idoneidad 
didáctica, modelización matemática. 
 
Abstract 
 The aim of this study is focused on the argumentation of a prospective teacher to justify 
the incorporation (or not) of mathematical modelling in his lessons. To this end, we 
analysed the reflection of a prospective mathematics teacher on the design of a modelling 
task during his period of educational internship. In methodological terms, this is an 
intrinsic case study in which, based on the Didactic Suitability Criteria tool proposed by 
the Onto-Semiotic Approach, the study subject structured the reflection on his own 
educational internship in his Master’s Degree Final Project (MFP), whose central axis 
309 
 
 
was modelling. The context of this study is a professionalising master’s degree 
programme for the education of secondary and baccalaureate education (to teach to 
students aged 12–18) mathematics teachers in Spain. In this communication, we report a 
portion of the results of this study in which, through the diagramming technique, we could 
infer, among other elements, the study subject’s knowledge and beliefs about modelling, 
based on the analysis of the reflection written in his MFP. 
Keywords: argumentation, beliefs, didactic suitability criteria, knowledge, mathematical 
modelling 
 
Introducción 
En la actualidad existe un amplio consenso sobre la inclusión de la modelización 
matemática en los currículos educativos y en el desarrollo de competencias asociadas a 
este proceso (Kaiser, 2020). Del mismo modo, se considera que integrar la modelización 
ayuda a los estudiantes a mejorar su comprensión de la matemática, aporta contextos 
reales y auténticos para su aprendizaje y, como consecuencia, contribuye a desarrollar 
diferentes competencias matemáticas (Blum, 2011). Es por ello que, debido a su 
importancia, se requiere, por una parte, que los profesores cuenten con los conocimientos 
y estrategias de enseñanza adecuados para implementar la modelización en el aula (Blum 
y Borromeo, 2009); y, por otra parte, los profesores no sólo deben ser preparados en 
modelización, sino que, también, deben experimentarla, por lo que una instancia 
conveniente es durante sus prácticas educativas. 
En esta línea, la educación inicial y continua de profesores de matemática es uno de los 
mayores desafíos de la comunidad de investigación en Educación Matemática, donde se 
han propuesto y desarrollado varias agendas de investigación. Una de las que se destaca 
es la caracterización y el desarrollo del conocimiento didáctico y matemático que permita 
a los profesores favorecer el manejo de sus clases (Pino-Fan et al., 2015). 
Diversos estudios han abordado los conocimientos y creencias de futuros profesores de 
matemática sobre la modelización en diferentes contextos educativos (véase Doerr, 2007; 
Kaiser et al., 2013; entre otros). En estos estudios, mediante la aplicación de entrevistas 
y cuestionarios, y la observación de la práctica de los futuros profesores, se extraen los 
conocimientos y creencias de futuros profesores sobre la modelización. A diferencia de 
estos estudios, el que se reporta en esta comunicación utiliza la argumentación como 
medio para inferir estos conocimientos y creencias – entre otros aspectos – de un caso de 
estudio en un contexto de educación de profesores. 
El contexto es la educación de profesores en España donde, para ejercer docencia en los 
niveles de educación secundaria y bachillerato (estudiantes de 12-18 años), los futuros 
profesores deben cursar un máster profesionalizante. Para la obtención del grado, deben 
elaborar un Trabajo Final de Máster (TFM), que es un trabajo original, autónomo, e 
individual que, por una parte, refleje de manera integrada los contenidos formativos 
recibidos y las competencias adquiridas durante el programa de máster y, por otra parte, 
contribuya a la reflexión, análisis, y mejora sobre la propia práctica. 
El estudio que se reporta en esta comunicación es parte de una investigación de mayor 
envergadura, la cual pretende dar respuesta a las siguientes preguntas de investigación: 
(a) ¿qué argumentación realiza un futuro profesor para justificar la integración (o no) de 
la modelización matemática en sus clases?; y (b) ¿qué conocimientos, valores, creencias, 
y orientaciones para la acción, entre otros aspectos, se infieren en esta argumentación? 
Para responderlas se estudió el proceso de reflexión de un futuro profesor sobre el diseño, 
implementación, y rediseño de una tarea de modelización matemática, tanto durante su 
310 
 
 
práctica educativa como en la elaboración de su TFM. Este futuro profesor organizó la 
reflexión en su TFM utilizando la herramienta Criterios de Idoneidad Didáctica que 
propone el Enfoque Onto-Semiótico (EOS) (Godino et al., 2007). De este modo, se 
plantea como objetivo de esta investigación: inferir, a partir de la argumentación realizada 
en su reflexión docente en el diseño, implementación, y rediseño de una tarea de 
modelización, los conocimientos, creencias, valores, y orientaciones para la acción sobre 
modelización matemática de un futuro profesor. 
En esta comunicación se reporta una porción de los resultados de esta investigación en 
que, mediante la técnica de diagramación (Guevara, 2011), se pudieron inferir, entre otros 
elementos, los conocimientos y creencias sobre modelización de un futuro profesor, ello 
a partir del análisis de la reflexión escrita en su TFM. Esta técnica, poco habitual como 
referente para analizar los procesos de reflexión docente, se utilizó en forma combinada 
con los Criterios de Idoneidad Didáctica, permitiendo hacer un mapa espacial de la 
argumentación del futuro profesor y darle forma a su razonamiento escrito. 
 
Referentes teóricos 
En esta sección se presentan los referentes teóricos considerados para este estudio. 
Modelización matemática 
En términos generales, la modelización se considera como un proceso que transita desde 
el «mundo real» hacia la «matemática» para la resolución de una situación-problema 
tomada desdela realidad. Desde el plano teórico se han diseñado diferentes ciclos para su 
análisis (Borromeo, 2006) y han emergido distintas perspectivas sobre su implementación 
(Abassian et al., 2020). En este estudio se adopta el ciclo propuesto por Blum y Leiß 
(2007), ya que se adapta al contexto en que se desarrolló esta investigación. 
 
Figura 3 - Ciclo de modelización matemática 
Fuente: Traducido desde Blum y Leiß (2007, p. 225) 
El trabajo con modelización en el aula se suele desarrollar en pequeños grupos de 
estudiantes, a quienes se les plantea una situación-problema del mundo real que deben 
matematizar (Doerr y English, 2003), es decir, traducir al lenguaje matemático para poder 
trabajar con ella. En este contexto, la tarea de modelización debe cumplir con ciertas 
características (Borromeo, 2018): debe ser abierta y compleja, sin estar limitada a una 
respuesta o procedimiento específicos y se deben buscar los datos relevantes para su 
resolución; también, debe ser realista y auténtica, añadiendo elementos del mundo real 
en una situación coherente con un hecho que haya ocurrido o pueda ocurrir en la realidad; 
311 
 
 
y, finalmente, debe ser un problema que pueda ser solucionable mediante un ciclo de 
modelización, es decir, que no se pueda resolver mediante algoritmos conocidos y que 
requiera de las fases que componen un ciclo como de estrategias para su resolución. 
Modelo de Competencias y Conocimientos Didáctico-Matemáticos del profesor de 
matemática (modelo CCDM) 
El modelo CCDM, desarrollado en el contexto del EOS, considera que las dos 
competencias clave del profesor de matemática son la ‘competencia matemática’ y la 
‘competencia de análisis e intervención didáctica’ (Breda et al., 2017; Godino et al., 
2017). Sobre esta última competencia, su núcleo fundamental es el diseño, aplicación, y 
valoración de secuencias de aprendizaje propias y de otros, mediante técnicas de análisis 
didáctico y criterios de calidad, para el establecimiento de ciclos de planificación, 
implementación, y valoración, así como el planteamiento de propuestas de mejora. Esta 
competencia general se forma, entre otras, por la sub-competencia de valoración de la 
idoneidad didáctica de procesos de enseñanza y aprendizaje. 
Sub-competencia de valoración de la idoneidad didáctica de procesos de enseñanza y 
aprendizaje: Criterios de idoneidad didáctica 
La idoneidad didáctica de un proceso de enseñanza y aprendizaje se define como el grado 
en que dicho proceso (o una parte de éste) reúne ciertas características que permiten 
calificarlo como óptimo o adecuado para conseguir la adaptación entre los significados 
personales logrados por los estudiantes (aprendizaje) y los significados institucionales 
pretendidos o implementados (enseñanza), teniendo en cuenta las circunstancias y 
recursos disponibles (entorno). Un proceso de enseñanza y aprendizaje logrará un alto 
grado de idoneidad didáctica si es capaz de articular, de forma coherente y sistémica, seis 
criterios parciales de idoneidad didáctica, referidos a cada una de las facetas implicadas 
en el proceso de enseñanza y aprendizaje (ver Tabla 1). A su vez, cada criterio de 
idoneidad didáctica (CID) cuenta con sus respectivos componentes, y su operatividad 
exige definir un conjunto de indicadores observables que permitan valorar el grado de 
idoneidad de cada faceta del proceso de enseñanza y aprendizaje. Estos criterios y 
componentes se presentan en la Tabla 1, con la pauta de Breda y colaboradores (2017). 
Tabla 1 - Criterios de idoneidad didáctica y sus componentes 
Criterios Componentes 
Epistémico: Para valorar si la matemática 
que se enseña es una «buena matemática». 
– Errores. 
– Ambigüedades. 
– Riqueza de procesos. 
– Representatividad de la complejidad del 
objeto matemático. 
Cognitivo: Para valorar, antes de iniciar el 
proceso instruccional, si lo que se quiere 
enseñar se encuentra a una distancia 
razonable de lo que saben los estudiantes. 
– Conocimientos previos. 
– Adaptación curricular a las diferencias 
individuales. 
– Aprendizaje. 
– Alta demanda cognitiva. 
Interaccional: Para valorar si la 
interacción ha resuelto dudas y 
dificultades de los estudiantes. 
– Interacción docente-discente. 
– Interacción entre discentes. 
– Autonomía. 
– Evaluación formativa. 
Mediacional: Para valorar la adecuación 
de los recursos materiales y temporales 
utilizados en el proceso instruccional. 
– Recursos materiales. 
– Número de estudiantes, horario, y 
condiciones del aula. 
– Tiempo. 
312 
 
 
Criterios Componentes 
Afectivo: Para valorar la implicación 
(interés, motivación) de los estudiantes en 
el proceso instruccional. 
– Intereses y necesidades. 
– Actitudes. 
– Emociones. 
Ecológico: Para valorar la adecuación del 
proceso instruccional al proyecto 
educativo del centro, las directrices 
curriculares, las condiciones del entorno 
socio-profesional, etc. 
– Adaptación al currículo. 
– Conexiones intra e interdisciplinares. 
– Utilidad sociolaboral. 
– Innovación didáctica. 
 
Conocimientos, creencias, y concepciones 
El modelo CCDM considera que el conocimiento del profesor se organiza en tres grandes 
dimensiones: matemática, didáctica, y meta didáctico-matemática (Pino-Fan et al., 2018). 
La dimensión matemática se refiere al conocimiento que permite a los profesores resolver 
problemas o tareas matemáticas propias del nivel educativo en el que impartirán clases, y 
a vincular los objetos matemáticos de dicho nivel educativo con objetos matemáticos que 
se estudiarán en niveles posteriores. La dimensión didáctica se compone de seis 
subcategorías: epistémica, cognitiva, interaccional, mediacional, afectiva, y ecológica. La 
dimensión meta didáctico-matemática se refiere al conocimiento necesario para 
reflexionar sobre la propia práctica, que le permita al profesor valorar el proceso de 
enseñanza y aprendizaje, y realizar un rediseño que lo mejore. 
En el modelo CCDM (Figura 4), la creencia (‘yo creo P’) se entiende como una 
‘disposición para la acción’, y la concepción se entiende como ‘un conjunto de creencias’. 
Asimismo, las creencias se basan en conocimientos que van acompañadas por 
valoraciones, y se evidencian en una disposición para la acción de acuerdo con ciertos 
principios/criterios que se valoran positivamente. 
 
 
Figura 4 - Modelo CCDM 
Fuente: Adaptado desde Pino-Fan et al. (2018, p. 66) 
 
313 
 
 
Argumentación 
La porción de los resultados que se reportan en esta comunicación se analizó utilizando 
la técnica de diagramación (Guevara, 2011). Esta técnica permite, por una parte, hacer un 
mapa espacial de las maneras posibles en que las premisas se relacionan para apoyar una 
conclusión, considerando el lenguaje y, por otra parte, representar visualmente el 
razonamiento escrito. En esta técnica se definen cuatro estructuras básicas de argumentos, 
con las cuales se pueden generar estructuras más complejas: 
• Convergente: Las premisas apoyan la conclusión de manera independiente. 
• Dependiente: Las premisas están unidas para apoyar la conclusión. 
• Divergente, una misma premisa está apoyando a más de una conclusión. 
• Encadenada: Una de las proposiciones está como conclusión de una premisa y, a 
su vez, está como premisa de otra conclusión. 
 
Aspectos metodológicos 
En este estudio se siguió una metodología de investigación cualitativa desde un 
paradigma interpretativo (Cohen et al., 2018), que consiste fundamentalmente en un 
estudio de caso intrínseco (Stake, 2005). En esta sección se describen los aspectos 
metodológicos de este trabajo. 
Contexto de la investigación 
Esta investigación se desarrolló en un programa de máster profesionalizante para la 
educación de profesores de matemática de educación secundaria obligatoria y bachillerato 
que imparten las universidades públicas de Cataluña (España), durante el año académico 
2020-2021. Dentrodel módulo Formación Específica, el programa de estudios de este 
máster incluye un submódulo sobre modelización matemática, en que se enseña el ciclo 
propuesto por Blum y Leiß (2007). Durante el periodo de prácticas, los futuros profesores 
deben diseñar e implementar una secuencia de enseñanza y aprendizaje (conocida como 
‘unidad didáctica’) la cual, al término de este periodo, deben valorar en sus TFMs. Para 
la elaboración de los TFMs, a los futuros profesores se les presentan los CID, junto con 
la pauta de componentes y descriptores que permite su aplicación (véase (Breda et al., 
2017). De este modo, además de valorar la idoneidad didáctica de su unidad didáctica 
implementada, los futuros profesores deben proponer cambios para su rediseño. 
Sujeto de estudio 
En este trabajo se constituyó un estudio de caso intrínseco, ya que el interés se centró en 
el estudio del caso en particular (Stake, 2005). El sujeto de estudio de esta investigación 
fue el futuro profesor AD, con pregrado en ingeniería industrial y un grado académico de 
doctor en su área y experiencia de 15 años en docencia universitaria. El sujeto de estudio 
manifestó su interés por incluir la modelización en la unidad didáctica que debía 
implementar durante su práctica educativa. De este modo, la selección de este caso en 
particular se justifica, en primer lugar, por el interés del sujeto de estudio en implementar 
la modelización; en segundo lugar, y producto de lo anterior, el programa de máster le 
asignó dos tutores (el segundo y el cuarto autor) para su supervisión, lo cual permitió un 
acompañamiento al sujeto de estudio durante el desarrollo de su trabajo; y, en tercer lugar, 
en el posible análisis que el sujeto de estudio realizaría en su TFM sobre la 
implementación de la modelización. Estas tres razones se consideraron suficientes para 
estudiar la argumentación de este futuro profesor para justificar la incorporación (o no) 
de la modelización matemática y, de este modo, inferir sus conocimientos, valores, 
314 
 
 
creencias, y orientaciones para la acción a partir de esta argumentación. Durante su 
práctica educativa, el sujeto de estudio diseñó e implementó una unidad didáctica – 
compuesta de 18 sesiones de 60 minutos cada una – para la enseñanza de las funciones 
lineales y afines en el tercer curso de educación secundaria obligatoria (estudiantes de 14-
15 años), cuyo eje central fue la modelización, la asignatura de matemática contaba con 
cuatro clases a la semana (lunes, martes, jueves, y viernes), en una de las cuales (jueves) 
se desarrollaba un taller llamado ‘Món Matemàtic’ (‘Mundo Matemático’ en idioma 
catalán). En este taller, los estudiantes desarrollaban problemas ad hoc al contenido 
matemático trabajado en las clases regulares, y para el cual el sujeto de estudio diseñó 
una tarea de modelización para implementar en el taller. 
Recolección y análisis de datos 
Los datos se recolectaron del TFM de AD, específicamente, del capítulo en que reflexiona 
sobre la implementación de su unidad didáctica. En dicha reflexión se buscaron 
argumentos que dieran cuenta de, por una parte, la concepción del sujeto de estudio sobre 
el proceso de modelización y, por otra parte, después de su práctica educativa, cómo es 
que dicha experiencia le permitió pensar – y repensar – la modelización como un elemento 
para mejorar la idoneidad didáctica del proceso de enseñanza y aprendizaje. 
La reflexión del sujeto de estudio incluía comentarios valorativos sobre la idoneidad de 
su unidad didáctica implementada, los cuales estructuró con los CID. El análisis de esta 
reflexión se realizó de la siguiente manera: primero, se identificaron los criterios y 
componentes de los CID con los que el sujeto de estudio relacionó sus reflexiones sobre 
modelización cuando valoró la idoneidad de su unidad didáctica; segundo, para identificar 
las diferentes estructuras de los argumentos en la reflexión del sujeto de estudio, se adaptó 
la técnica de la diagramación, la cual es más adecuada para un texto argumentativo, como 
es el caso del TFM. Para realizar esta diagramación, se siguieron estos pasos: 1) se 
encerraron entre llaves todas las proposiciones del texto; 2) se enumeraron las 
proposiciones en orden de aparición; 3) se estructuró el argumento, ubicando 
espacialmente el lugar de la conclusión; 4) se propuso una manera en que las premisas se 
relacionan. Finalmente, en los diagramas de los argumentos se distinguieron las 
proposiciones que hacían referencia a la modelización de aquéllas que no. 
 
Presentación y análisis de resultados 
Como se ha declarado anteriormente, en esta comunicación se reporta una porción de los 
resultados de esta investigación. Más en concreto, se presentan los resultados de la 
diagramación de uno de los componentes de los CID en que el sujeto de estudio se expresó 
más ampliamente sobre modelización en la reflexión de su unidad didáctica 
implementada. En primer lugar, se presenta un extracto de la reflexión sobre el 
componente ‘Riqueza de procesos’ (del criterio epistémico); luego, se presenta el 
diagrama respectivo; y, finalmente, una interpretación de las proposiciones sobre 
modelización para inferir los conocimientos y creencias sobre este proceso. 
Diagramación 
El primer criterio con el que se valoró la idoneidad de la unidad didáctica implementada 
fue el ‘criterio epistémico’. En este criterio se encontraron comentarios valorativos sobre 
modelización en los componentes ‘Riqueza y procesos’ y ‘Representatividad de la 
complejidad del objeto matemático’. A continuación, se hace la diagramación de un 
extracto de la valoración del componente “Riqueza de procesos”, el texto ya tiene las 
proposiciones entre llaves (paso 1 de la diagramación) y enumeradas en orden de 
aparición (paso 2 de la diagramación), para estructurar los argumentos (paso 3 de la 
315 
 
 
diagramación) se ubica la conclusión del texto, la cual es: en la unidad didáctica se trabajó 
la riqueza de procesos considerando como eje vertebrador el proceso de modelización. 
Para el paso 4 se propone una relación de las frases enumeradas, buscando representar el 
razonamiento de la valoración. Por último, se distinguen con color verde las 
proposiciones que consideran el proceso de modelización: 
1{Está claro que las actividades planteadas, no sólo deben suponer una 
ejemplificación de los conceptos matemáticos, sino también deben 
contribuir en el trabajo de competencias que pongan en juego las 
habilidades, conocimientos, actitudes y destrezas de los alumnos a través 
de procesos cognitivos}. 2{En este sentido, el eje vertebrador de la unidad 
didáctica es el proceso de modelización que permite muchas herramientas 
para trabajar distintas competencias}. [...]. Competencia 1. Traducir un 
problema a lenguaje matemático o representación matemática utilizando 
variables, símbolos, diagramas y modelos adecuados. 3{Esta competencia 
se ha trabajado ampliamente en todos los problemas de modelización, 
especialmente en las sesiones 2, 7 y 8, así como en el trabajo de síntesis, 
que finalmente no pudo llevarse al aula}. 4{Aquí destaca la expresión de 
los problemas en forma algebraica, gráfica o en forma de tabla de datos, 
que se han integrado en todos los problemas de modelización}, 5{no sólo 
con el fin de ver las diferentes formas de expresión del problema}, sino 
también 6{la capacidad de abstracción del alumno para entender una 
situación de un contexto ‘real’} como 7{la compra de fruta de la sesión 2, 
el cálculo de la velocidad de un corredor de la sesión 7, o la elección de la 
mejor tarifa de operadoras de móviles}. Asociada a esta competencia, 8{se 
ha trabajado intensamente en procesos de resolución de problemas y 
conversión entre distintas representaciones de funciones}, 9{en este caso, 
entre el lenguaje natural y matemático (traducción)}. En todos los casos 
10{se ha insistido en que latraducción matemática sea formalmente 
correcta}, 11{intentando que en todo momento el alumno asigne 
correctamente y defina la o las variables independientes y dependientes, 
teniendo en cuenta las unidades y su compatibilidad y coherencia, así como 
la conversión de unidades en su caso}. Competencia 5. Construir, expresar 
y contrastar argumentaciones para justificar y validar las afirmaciones que 
se realizan en matemáticas. Al mismo tiempo, la competencia anterior, y 
sobre todo en el problema de modelización planteado en la sesión 8, 12{se 
motiva al alumno a hacer pequeñas conjeturas} sobre el comportamiento 
de tarifas de un servicio o, al menos, a 13{plantear una tesis y comprobarla 
matemáticamente}, 14{obligando al alumno a construir un modelo}, 
15{expresar situaciones más o menos reales a través del modelo}, y 
16{contrastar información o verificar si las afirmaciones son correctas o 
no}. 17{En términos de procesos, se ha trabajado la argumentación 
matemática}. 18{Los problemas de modelización, en general, siempre 
proponen no sólo modelizar, sino también aplicar este modelo a una 
situación, muchas veces muy cercana a la realidad} 19{(por lo que también 
trabajaría intensamente las competencias 6 y 7 del ámbito matemático, es 
decir “Emplear el razonamiento matemático en entornos no matemáticos” 
e “Identificar las matemáticas implicadas en situaciones cercanas y 
académicas y buscar situaciones que puedan relacionarse con ideas 
matemáticas concretas”)}. 20{El proceso asociado a estas competencias 
sería el de contextualización}. (TFM del sujeto de estudio, pp. 4–5) 
316 
 
 
 
Figura 5 - Diagramación de la valoración del componente ‘Riqueza de procesos’ 
Fuente: Interpretación de los autores 
Para inferir los conocimientos, creencias, valores, y orientaciones para la acción sobre 
modelización matemática del futuro profesor, a continuación, se considera la 
diagramación anterior, principalmente las proposiciones de color verde que es donde se 
tiene en cuenta el proceso de modelización, para relacionarla con los elementos del ciclo 
de modelización matemática. El sujeto de estudio realizó la valoración del componente 
‘Riqueza de procesos’ considerando, además, las competencias establecidas en el 
currículo educativo para la asignatura de matemática. En este sentido, la proposición 3 
muestra que el sujeto de estudio relacionó la competencia 1 del currículo al trabajo con 
modelización. Más en concreto, la competencia 1 guarda cierta relación con la definición 
de la transición ‘matematización’ que incluye el ciclo de modelización (véase Figura 3, 
nro. 3). En términos de Maaß (2010), existen tareas para trabajar determinadas 
transiciones del ciclo de modelización, lo cual no implica que se esté llevando a cabo un 
proceso de modelización como tal, dado que su intencionalidad es centrarse en alguna(s) 
sub-competencia(s) específica(s). No obstante, del relato se puede inferir que el sujeto de 
estudio consideró la idea: ‘al trabajar la competencia 1 estoy trabajando la modelización’. 
Por su parte, la proposición 6 muestra que el sujeto de estudio, en una de las creencias 
que forman su concepción de modelización, consideró la comprensión de la tarea en su 
contexto como un punto de partida para desarrollar el proceso de modelización. En 
particular, esta idea se puede relacionar con la transición ‘comprender/construir’ que 
incluye el ciclo de modelización (véase Figura 3, nro. 1). Asimismo, desde la proposición 
12 a la 17, se puede interpretar que el sujeto de estudio consideró distintas transiciones 
del ciclo de modelización. Por ejemplo, la proposición 12 se puede relacionar con la 
transición ‘simplificar/estructurar’ (véase Figura 3, nro. 2), y la proposición 16 con la 
transición ‘validar’ (véase Figura 3, nro. 6). 
Finalmente, la proposición 18 evidencia ciertas interpretaciones limitadas del sujeto de 
estudio sobre modelización. Por una parte, se puede inferir un solapamiento entre los 
procesos ‘modelización matemática’ y ‘aplicaciones matemáticas’. En términos de Blum 
(2002), si bien ambos procesos denotan todo tipo de relaciones entre el «mundo real» y 
la «matemática», la modelización comienza desde el «mundo real» hacia la 
«matemática», centrada en el proceso; mientras que las aplicaciones comienzan en el 
sentido contrario, centradas en el objeto matemático. Por otra parte, el sujeto de estudio 
consideró que la modelización también implica aplicar un modelo matemático a una 
317 
 
 
situación cercana a la realidad. Si bien esta idea no es errónea, sí es imprecisa en el sentido 
que, como se planteó en la subsección 2.1., un problema de modelización se caracteriza 
por provenir de un contexto ‘realista’ y ‘auténtico’, y su relato parece evidenciar que 
coloca en entredicho – con la frase ‘muchas veces’ – la condición de cercanía con la 
realidad, y no como una condición sine qua non para plantear este tipo de problemas. 
 
Consideraciones finales 
La diagramación de la valoración de la unidad didáctica realizada en el TFM, guiada por 
los CID, permitió relacionar los argumentos en la reflexión de AD con algunos elementos 
del ciclo de modelización; también, identificar algunas ideas, concepciones, o creencias 
de AD respecto a la modelización que son (o no) compatibles con las características tanto 
de un problema de modelización como del trabajo con este proceso. 
En la diagramación de la valoración del componente ‘Riquezas de procesos’ (
 
Figura 5) del criterio epistémico, se pudo relacionar algunas proposiciones con las 
transiciones ‘matematización’, ‘comprender/construir’, ‘simplificar/estructurar’, y 
‘validar’ que incluye el ciclo de modelización (véase Figura 3, nos. 1, 2, 3, 6). No 
obstante, se evidencian ciertas interpretaciones limitadas del sujeto de estudio sobre este 
proceso. Por una parte, se pudo inferir un solapamiento entre los procesos ‘modelización 
matemática’ y ‘aplicaciones matemáticas’ y, por otra parte, su conceptualización de 
modelización da un mayor peso a los aspectos matemáticos (‘modelo’ y ‘trabajo 
matemático’) que a la interpretación y validación de resultados con el contenido de la 
situación-problema planteada, poniendo en entredicho la cercanía de este proceso con el 
«mundo real». La justificación de AD de utilizar la modelización para trabajar diferentes 
competencias coincide con lo considerado por Blum (2011) al decir que la integrar la 
modelización contribuye a desarrollar las competencias matemáticas. 
Con relación a la primera pregunta de investigación, sobre qué argumentación realiza un 
futuro profesor para justificar la incorporación (o no) de la modelización matemática en 
sus clases, en la sección 4 se ha descrito una porción de los argumentos utilizados por el 
sujeto de estudio en la reflexión contenida en su TFM. 
Con relación a la segunda pregunta de investigación, sobre qué conocimientos, valores, 
creencias, y orientaciones para la acción se infieren en esta argumentación, se puede 
afirmar, a partir de la porción de resultados presentada, que el análisis detallado de los 
argumentos presentes en la reflexión del sujeto de estudio evidencia el uso de las tres 
318 
 
 
dimensiones de conocimientos que propone el modelo CCDM (matemática, didáctica, y 
meta didáctico-matemática), al mismo tiempo que aparecen conocimientos de las seis 
facetas del conocimiento didáctico (epistémico, cognitivo, interaccional, mediacional, 
afectivo, y ecológico). Además, el sujeto de estudio mostró tanto un buen conocimiento 
como un uso competente del constructo CID. Un último aspecto es que, a partir del 
análisis de la reflexión en el TFM del sujeto de estudio, se puede suponer que la educación 
de AD como ingeniero influyó en parte de sus creencias sobre modelización. Sin 
embargo, hace falta un análisis más profundo para poder afirmar totalmente esta 
conclusión, con untrabajo que incluya, por ejemplo, entrevistas o cuestionarios con el 
sujeto de estudio que se enfoquen en este aspecto específico. De todos modos, con base 
en los resultados presentados, existen un elemento que parcialmente refuerza esta 
conclusión, como fue el hecho que AD haya reducido el proceso modelización a la 
aplicación de un modelo matemático en una situación concreta, de manera similar a la 
visión de Pollak (1979) sobre las matemáticas aplicadas. 
Los resultados de este estudio pueden ser de utilidad para el programa de máster en que 
se desarrolló esta investigación, en el sentido que se podría desarrollar una pauta de CID 
con indicadores más específicos para determinar qué se entenderá por un proceso de 
modelización (véase Ledezma et al., 2022), o bien, replantear la manera en que se enseña 
la incorporación de la modelización para los niveles de educación secundaria y 
bachillerato dentro del submódulo dedicado a la enseñanza de dicho proceso. Esto apoya 
la idea de Blum y Borromeo (2009) de la necesidad de que los profesores cuenten con 
conocimientos y estrategias de enseñanza adecuados para implementar la modelización. 
Finalmente, este estudio abre una línea de investigación para inferir conocimientos y 
creencias del profesorado a partir de la argumentación realizada en su reflexión, la cual 
difiere de lo que es más habitual en este plano, como lo son la aplicación de cuestionarios 
o entrevistas, pues se incorpora una nueva manera de analizar la argumentación del 
profesorado mediante la técnica de diagramación. 
 
Agradecimientos 
Este estudio fue financiado por el Proyecto ANID/PFCHA nro. 72200458 (Chile), y el 
Proyecto de Investigación en Formación del Profesorado PID2021-127104NB-I00 
(MINECO/FEDER, UE). 
 
Referencias 
Abassian, A., Safi, F., Bush, S. y Bostic, J. (2020). Five different perspectives on 
mathematical modeling in mathematics education. Investigations in Mathematics 
Learning, 12(1), 53–65. https://doi.org/10.1080/19477503.2019.1595360. 
Blum, W. (2002). ICMI Study 14: Applications and modelling in mathematics education 
– Discussion document. Educational Studies in Mathematics, 51(1–2), 149–171. 
https://doi.org/10.1023/a:1022435827400. 
Blum, W. (2011). Can modelling be taught and learnt? Some answers from empirical 
research. En G. Kaiser, W. Blum, R. Borromeo y G. Stillman (Eds.), Trends in 
Teaching and Learning of Mathematical Modelling: ICTMA 14 (pp. 15–30). 
Springer. https://doi.org/10.1007/978-94-007-0910-2_3. 
Blum, W. y Borromeo, R. (2009). Mathematical modelling: Can it be taught and learnt? 
Journal of Mathematical Modelling and Application, 1(1), 45–58. 
319 
 
 
Blum, W. y Leiß, D. (2007). How do students and teachers deal with modelling problems? 
En C. Haines, P. Galbraith, W. Blum y S. Khan (Eds.), Mathematical Modelling 
(ICTMA 12): Education, Engineering and Economics (pp. 222–231). Horwood. 
https://doi.org/10.1533/9780857099419.5.221. 
Borromeo, R. (2006). Theoretical and empirical differentiations of phases in the 
modelling process. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 38(2), 86–95. 
https://doi.org/10.1007/bf02655883. 
Borromeo, R. (2018). Learning How to Teach Mathematical Modeling in School and 
Teacher Education. Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-319-68072-9. 
Breda, A., Pino-Fan, L. y Font, V. (2017). Meta didactic-mathematical knowledge of 
teachers: Criteria for the reflection and assessment on teaching practice. EURASIA: 
Journal of Mathematics Science and Technology Education, 13(6), 1893–1918. 
https://doi.org/10.12973/eurasia.2017.01207a. 
Cohen, L., Manion, L. y Morrison, K. (2018). Research Methods in Education (8va ed.). 
Routledge. 
Doerr, H. M. (2007). What knowledge do teachers need for teaching mathematics through 
applications and modelling? En W. Blum, P. L. Galbraith, H.-W. Henn y M. Niss 
(Eds.), Modelling and Applications in Mathematics Education: The 14th ICMI 
Study (pp. 69–78). Springer. https://doi.org/10.1007/978-0-387-29822-1_5. 
Doerr, H. M. y English, L. D. (2003). A modeling perspective on students’ mathematical 
reasoning about data. Journal for Research in Mathematics Education, 34(2), 110–
136. https://doi.org/10.2307/30034902. 
Godino, J. D., Batanero, C. y Font, V. (2007). The onto-semiotic approach to research in 
mathematics education. ZDM – Mathematics Education, 39(1), 127–135. 
https://doi.org/10.1007/s11858-006-0004-1. 
Godino, J. D., Giacomone, B., Batanero, C. y Font, V. (2017). Enfoque Ontosemiótico 
de los conocimientos y competencias del profesor de matemáticas. BOLEMA: 
Boletim de Educação Matemática, 31(57), 90–113. https://doi.org/10.1590/1980-
4415v31n57a05. 
Guevara, G. (2011). Estructuras de argumentos. En L. Vega y P. Olmos (Eds.), 
Compendio de Lógica, Argumentación y Retórica. Trotta. 
Kaiser, G. (2020). Mathematical modelling and applications in education. En S. Lerman 
(Ed.), Encyclopedia of Mathematics Education (2da ed., pp. 553–561). Springer. 
https://doi.org/10.1007/978-3-030-15789-0_101. 
Kaiser, G., Schwarz, B. y Tiedemann, S. (2013). Future teachers’ professional knowledge 
on modeling. En R. Lesh, P. L. Galbraith, C. Haines y A. Hurford (Eds.), Modeling 
Students’ Mathematical Modeling Competencies: ICTMA 13 (pp. 433–444). 
Springer. https://doi.org/10.1007/978-94-007-6271-8_37. 
Ledezma, C., Font, V., Sala-Sebastià, G. y Breda, A. (2022). Principios de la 
modelización matemática desde la perspectiva de la idoneidad didáctica. En 
Investigación en Educación Matemática XXV (pp. 347–354). SEIEM. 
Maaß, K. (2007). Modelling in class: What do we want the students to learn? En C. 
Haines, P. Galbraith, W. Blum y S. Khan (Eds.), Mathematical Modelling (ICTMA 
12): Education, Engineering and Economics (pp. 63–78). Horwood. 
https://doi.org/10.1533/9780857099419.2.63. 
320 
 
 
Maaß, K. (2010). Classification scheme for modelling tasks. Journal für Mathematik-
Didaktik, 31(2), 285–311. https://doi.org/10.1007/s13138-010-0010-2. 
Pino-Fan, L. R., Assis, A. y Castro, W. F. (2015). Towards a methodology for the 
characterization of teachers’ didactic-mathematical knowledge. EURASIA: Journal 
of Mathematics, Science and Technology Education, 11(6), 1429–1456. 
https://doi.org/10.12973/eurasia.2015.1403a. 
Pino-Fan, L., Godino, J. D. y Font, V. (2018). Assessing key epistemic features of 
didactic-mathematical knowledge of prospective teachers: The case of the 
derivative. Journal of Mathematics Teacher Education, 21(1), 63–94. 
https://doi.org/10.1007/s10857-016-9349-8. 
Pollak, H. O. (1979). The interaction between mathematics and other school subjects. En 
B. Christiansen, T. J. Fletcher, A. Revuz, L. A. Santaló y H.-G. Steiner (Eds.), New 
Trends in Mathematics Teaching IV. UNESCO. 
Stake, R. E. (2005). Qualitative case studies. En N. K. Denzin y Y. S. Lincoln (Eds.), The 
SAGE Handbook of Qualitative Research (3ra ed., pp. 443–466). Sage.