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Mathematics 2022, 10, x. https://doi.org/10.3390/xxxxx www.mdpi.com/journal/mathematics 
Artículo 
Conocimientos y creencias sobre modelización matemática in-
feridos en la argumentación de un futuro profesor cuando re-
flexiona sobre la incorporación de este proceso en sus clases 
Carlos Ledezma, Telesforo Sol, Gemma Sala-Sebastià, y Vicenç Font* 
 Departament d’Educació Lingüística i Literària i de Didàctica de les Ciències Experimentals i de la Ma-
temàtica, Facultat d’Educació, Campus Mundet, Universitat de Barcelona, Passeig de la Vall d’Hebrón, 171, 
08035 Barcelona, España 
* Correspondencia: vfont@ub.edu 
Resumen: La modelización matemática se ha ido haciendo un espacio relevante en los currículos 
educativos a nivel mundial, y los programas de educación de profesores consideran que este pro-
ceso debe también experimentarse durante las prácticas educativas. El interés de este estudio se 
centra en la argumentación de un futuro profesor para justificar la incorporación (o no) de la mode-
lización matemática en sus clases. Para ello se analizó la reflexión de un futuro profesor de matemá-
tica sobre el diseño de una tarea de modelización durante su práctica educativa. Metodológica-
mente, se trata de un estudio de caso en que, a partir de la herramienta Criterios de Idoneidad Di-
dáctica, el sujeto de estudio estructuró la reflexión sobre su práctica educativa en su Trabajo Final 
de Máster (TFM), cuyo eje central fue la modelización. La recolección de datos se realizó a partir de 
videograbaciones de sesiones grupales de reflexión con el sujeto de estudio y otros futuros profeso-
res de un programa de máster profesionalizante, y del análisis de su TFM. Los resultados eviden-
ciaron los argumentos del futuro profesor para justificar el diseño de una tarea de modelización, 
sus conocimientos y creencias sobre este proceso, entre otros aspectos. Se concluye que el conoci-
miento especializado que se infiere a partir de esta argumentación es de diferentes tipos, y forma 
parte de un conglomerado formado, además, por valores, creencias, orientaciones para la acción, 
entre otros aspectos. 
Palabras clave: argumentación; criterios de idoneidad didáctica; modelización matemática; trabajo 
final de máster. 
MSC: 97-02 
 
1. Introducción 
El estudio de los conocimientos y las competencias que un profesor de matemática 
debería tener para desempeñarse de manera correcta en su práctica profesional, es uno de 
los temas que se ha investigado por la comunidad de Educación Matemática. La investi-
gación internacional ha llevado a conceptualizaciones (y modelos) sobre los componentes 
del conocimiento que los profesores usan para enseñar matemática (véase [1–7]). Algunos 
estudios se han enfocado en la caracterización y el desarrollo de las competencias profe-
sionales necesarias para el profesor de matemática (véase [8–10]). Otros estudios exploran 
la evaluación del conocimiento de los profesores como uno de los parámetros más críticos 
de la calidad de la enseñanza (véase [11–13]). No obstante, los investigadores dedicados 
a profundizar en las competencias docentes han dado un énfasis particular al rol de la 
reflexión sobre la práctica educativa, percibiendo al componente reflexivo como una com-
petencia crítica para el desarrollo profesional y la mejora de la enseñanza (véase [14–19]). 
Cita: Ledezma, C.; Sol, T.; 
Sala-Sebastià, G.; Font, V. Kno-
wledge and beliefs on mathematical 
modelling inferred in the argumen-
tation of a prospective teacher when 
reflecting on the incorporation of 
this process in his lessons. Mathema-
tics 2022, 10, 3339. 
https://doi.org/10.3390/ 
math10183339 
Editor Académico: Luis Carlos 
Contreras-González 
Recibido: 21 agosto 2022 
Aceptado: 12 septiembre 2022 
Publicado: 15 septiembre 2022 
Publisher’s Note: MDPI stays neu-
tral with regard to jurisdictional 
claims in published maps and institu-
tional affiliations. 
 
Copyright: © 2022 by the authors. 
Submitted for possible open access 
publication under the terms and con-
ditions of the Creative Commons At-
tribution (CC BY) license 
(https://creativecommons.org/licen-
ses/by/4.0/). 
mailto:vfont@ub.edu
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La educación inicial y continua de profesores de matemática sigue siendo uno de los 
mayores desafíos que enfrenta la comunidad de investigación en Educación Matemática. 
En este ámbito, varias agendas de investigación han sido propuestas y desarrolladas, entre 
las que se desataca la caracterización y el desarrollo del conocimiento didáctico y mate-
mático que permita al profesor favorecer el manejo de sus clases. 
En la actualidad existe un amplio consenso, tanto sobre la importancia de incluir a la 
modelización matemática en los currículos escolares como en el desarrollo de las compe-
tencias relacionadas con este proceso [20]. Del mismo modo, se considera que la integra-
ción de la modelización ayuda a los estudiantes a mejorar su comprensión de la matemá-
tica, aporta contextos reales para su aprendizaje y, en consecuencia, contribuye al desa-
rrollo de diferentes competencias matemáticas, entre otros beneficios [21]. Dada la impor-
tancia que se le atribuye a la modelización, se requiere que los profesores cuenten con los 
conocimientos y estrategias de enseñanza para la implementación de este proceso en el 
aula [22]. 
Diversos estudios han abordado los conocimientos y creencias de futuros profesores 
de matemática sobre la modelización en diferentes países y contextos. En algunos casos, 
los investigadores siguen una estructura muy habitual (por ejemplo, véase [23]), que con-
siste en presentar resoluciones hipotéticas de estudiantes ante problemas (en este caso, de 
modelización), y luego preguntar a los futuros profesores qué tipos de interacciones si-
muladas gestionarían para abordar una determinada resolución del estudiante. Por ejem-
plo, en el contexto australiano, Stillman y Brown [24] analizan el conocimiento profesional 
y las creencias de futuros profesores de educación secundaria sobre el uso de tareas de 
modelización, y las influencias de recibir una formación paralela (en pregrado) versus una 
específica (en postgrado) en modelización. En este estudio, los conocimientos y creencias 
se analizan a partir de las respuestas de los futuros profesores ante las resoluciones de 
estudiantes, y cómo gestionarían potenciales errores y dificultades. De este modo, se re-
portan hallazgos con respecto a las competencias diagnóstica y didáctico-reflexiva, y la 
afinidad con la modelización en el nivel educativo en que los futuros profesores se desem-
peñarán. 
En otros casos, los investigadores analizan la práctica del profesor para, de este 
modo, inferir sus conocimientos y creencias. Por ejemplo, en el contexto estadounidense, 
Doerr [25] discute sobre los resultados de dos estudios, uno de los cuales fue desarrollado 
con futuros profesores. Este estudio se realizó durante un curso de modelización, cen-
trando el foco en los conocimientos y creencias sobre este proceso, y los cambios que los 
participantes experimentaron durante su práctica a lo largo del curso. Se destacan dos 
resultados de este estudio: por una parte, los participantes experimentaron cambios en su 
concepción sobre la modelización, desde una perspectiva lineal hacia una del tipo ‘ciclo 
no-lineal’; y, por otra parte, la importancia de que los individuos reflexionen sobre su 
propio proceso de modelización para así comprender de mejor manera su naturaleza cí-
clica. 
En el contexto alemán se han conducido varios estudios al respecto, dada su amplia 
tradición de investigación en modelización. Por ejemplo, Kaiser y Maaß [26] presentan los 
resultados de dos estudios, uno de los cuales fue desarrollado con profesores en ejercicio. 
Este estudio se centró en las creencias de profesores sobre tareas de modelización y apli-
caciones matemáticas, en el marco de unprograma de desarrollo profesional docente im-
pulsado por el gobierno alemán. Mediante la aplicación de entrevistas en profundidad, 
los participantes manifestaron una débil relación entre el conocimiento matemático de la 
asignatura con el mundo real, y consideraron que las aplicaciones y la modelización jue-
gan un rol minoritario, tanto en la matemática como en su enseñanza. Por su parte, Kaiser 
y colaboradores [27] estudian el conocimiento profesional de futuros profesores sobre las 
competencias en modelización, desde las perspectivas del conocimiento del contenido 
matemático, conocimiento del contenido pedagógico, y conocimiento pedagógico general. 
Mediante la aplicación de cuestionarios sobre las áreas ‘modelización y contexto del 
mundo real’ y ‘argumentación y prueba’, y de entrevistas a los participantes, se 
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obtuvieron los siguientes resultados: a) existe una relación directa entre el conocimiento 
sobre el proceso de modelización y las competencias en modelización, y entre la compren-
sión de la modelización y el entendimiento de situaciones del mundo real; b) los tiempos 
curriculares afectan la manera en que se pueda implementar la modelización en el aula; y 
c) la predominancia del conocimiento del contenido pedagógico para desarrollar el cono-
cimiento del contenido profesional sobre modelización. Por último, Wendt y colaborado-
res [28] realizaron un estudio de caso sobre una profesora, quien mostró una ampliación 
de su percepción del uso de la metacognición por parte de los estudiantes en los procesos 
de modelización matemática. 
Finalmente, en el contexto colombiano, Villa-Ochoa [29] identifica algunos argumen-
tos de profesores en ejercicio sobre el uso de la modelización en sus clases, observando 
una tendencia de los profesores a utilizar enunciados verbales para trabajar este proceso. 
Mediante observaciones directas, entrevistas, cuestionarios, y el estudio de episodios de 
clase, se concluye la necesidad de capacitar a los profesores para que incorporen situacio-
nes más realistas en el uso de la modelización que integren aspectos cotidianos y de la 
cultura en la matemática escolar. 
En el contexto español, los futuros profesores de matemática deben cursar un máster 
profesionalizante para impartir clases en educación secundaria obligatoria y bachillerato 
(estudiantes de 12 a 18 años). El perfil de ingreso de este máster se constituye por profe-
sionales de diferentes áreas afines con la matemática que deseen ejercer la docencia. Para 
la obtención del grado, los futuros profesores deben elaborar un Trabajo Final de Máster 
(TFM), que consiste en un trabajo original, autónomo, e individual que, por una parte, 
refleje de manera integrada los contenidos formativos recibidos y las competencias adqui-
ridas durante el programa de máster y, por otra parte, contribuya a la reflexión, análisis, 
y mejora sobre la propia práctica. En términos de investigaciones con TFMs, estudios 
como el realizado por Ledezma y colaboradores [30,31] se han enfocado en los aspectos 
del proceso de enseñanza y aprendizaje que los futuros profesores relacionan con la mo-
delización, mediante el análisis de estos documentos. 
Dados estos antecedentes, resulta interesante preguntarse si los futuros profesores, 
por una parte, cuentan con una formación teórico-metodológica relevante en modeliza-
ción y su enseñanza, o bien, sólo cuentan con nociones difusas para implementar este pro-
ceso en el aula; y, por otra parte, en el caso que tengan una formación especializada en 
modelización y su enseñanza, si el contexto donde implementan sus propuestas didácticas 
los lleva a tomar decisiones que privilegien otros aspectos en desmedro de la modeliza-
ción (tiempos curriculares, nivel sociocultural de los estudiantes, etc.). En esta línea, para 
este estudio se plantearon las siguientes preguntas de investigación: 
• ¿Qué argumentación realiza un futuro profesor para justificar la incorporación (o no) 
de la modelización matemática en sus clases? 
• ¿Qué conocimientos, valores, creencias, y orientaciones para la acción, entre otros 
aspectos, se infieren en esta argumentación? 
Para responderlas, se estudió el proceso de reflexión de un futuro profesor sobre el 
diseño, implementación, y rediseño de una tarea de modelización matemática, tanto du-
rante su práctica educativa como en la elaboración de su TFM. Este futuro profesor orga-
nizó la reflexión en su TFM utilizando la herramienta Criterios de Idoneidad Didáctica, 
propuesta por el Enfoque Onto-Semiótico [32]. En términos metodológicos, se trata de un 
estudio de caso con un estudiante de un programa de máster profesionalizante para la 
formación de profesores de matemática. De este modo, se plantea como objetivo de este 
trabajo: inferir, a partir de la argumentación realizada en su reflexión docente en el diseño, 
implementación, y rediseño de una tarea de modelización, los conocimientos, creencias, 
valores, y orientaciones para la acción sobre modelización matemática de un futuro pro-
fesor. 
Un aspecto innovador de esta investigación es que se infieren los conocimientos y 
creencias con base en la argumentación del futuro profesor estudiado, la cual es analizada 
desde referentes teóricos poco habituales, a saber, desde la perspectiva pragma-dialéctica 
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[33] para el análisis de una discusión crítica mediante cuatro etapas (confrontación, aper-
tura, argumentación, y conclusión); y desde la técnica de la diagramación [34], la cual 
permite, por una parte, hacer un mapa espacial de la argumentación, considerando el len-
guaje y, por otra parte, darle forma al razonamiento escrito. En la revisión de la literatura 
no se han encontrado trabajos que infieran los conocimientos y creencias de los futuros 
profesores a partir del análisis de la estructura de la argumentación – que realizan cuando 
reflexionan sobre su práctica – con modelos que no sean el de Toulmin [35] (entre otros, 
los trabajos de [36,37]). Del mismo modo, a diferencia de las investigaciones comentadas 
en la revisión de la literatura [23–29], donde los conocimientos y creencias se extraen me-
diante la aplicación de cuestionarios y entrevistas con ítems dirigidos a que los individuos 
manifiesten claramente sus conocimientos y creencias; en este estudio se optó por la argu-
mentación como medio para inferir estos elementos de manera indirecta. 
2. Referentes teóricos 
En esta sección se presentan los referentes teóricos considerados para este estudio. 
2.1. Modelización matemática 
La modelización puede ser entendida, en términos generales, como un proceso que 
transita desde el «mundo real» hacia la «matemática» para la resolución de una situación-
problema tomada desde la realidad. Desde el plano teórico se han diseñado diferentes 
ciclos para su análisis [38] y han emergido distintas perspectivas sobre su implementación 
[39]. Esta variedad de enfoques se debe, principalmente, a la diversidad teórica en torno 
a la modelización [40], aunque los ciclos propuestos tienden a converger en fases similares 
(véase [41]). En este estudio se adopta el ciclo propuesto por [42], dado que se adapta al 
contexto en que se sitúa este trabajo. 
Este ciclo de modelización, de corte didáctico-cognitivo, tiene sus raíces en las teorías 
de [43,44], y se enfoca hacia el individuo resolutor de problemas de este tipo. En términos 
de lo descrito por [42], la situación real viene dada por el planteamiento del problema, la 
cual se debe comprender para así construir un modelo de la situación. Luego, esta situación 
debe ser simplificada y estructurada para formar así un modelo real de la misma. Producto 
de la matematización (traducción al lenguaje matemático) del modelo real, éste se transfor-
mará en un modelo matemático que, mediante el trabajo con el mismo, permitirá obtener 
resultadosmatemáticos. Estos resultados deben ser interpretados en el contexto del pro-
blema para, de este modo, obtener resultados reales que se deben validar en relación con el 
mundo real. Finalmente, el resolutor expone la respuesta obtenida al problema. (un ejem-
plo ilustrativo del uso de este ciclo se puede encontrar en [42], pp. 225–227). El tránsito 
entre las fases del ciclo antes descritas se desarrolla mediante transiciones o, en términos 
de [45], sub-competencias de modelización (numeradas a la derecha de la Figura 1). 
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Figura 1. Ciclo de modelización. Adaptado desde [42] (p. 225). 
Junto con este ciclo se consideran algunos atributos consensuados por la comunidad 
de investigación en modelización matemática que caracterizan tanto al trabajo con este 
proceso en el aula como a este tipo de tareas. 
El trabajo con modelización en el aula se suele desarrollar en pequeños grupos de 
estudiantes, a quienes se les plantea una situación-problema del mundo real que deben 
matematizar [46,47], es decir, traducir al lenguaje matemático para poder trabajar con ella. 
Otra forma de trabajar la modelización es mediante los proyectos orientados a problemas 
[48,49], la cual es una metodología entendida como “una situación didáctica en que un 
grupo de estudiantes está trabajando en conjunto sobre un problema durante un periodo 
más extenso de tiempo” [48] (p. 167). En ambos contextos, la tarea modelización debe 
cumplir con las siguientes características [50]: 
• Abierta, es decir, que no esté limitada a respuestas o procedimientos específicos. 
• Compleja, es decir, dada la información del enunciado, los estudiantes deben buscar 
los datos relevantes para su resolución. 
• Realista, es decir, que incorpore elementos del mundo real. 
• Auténtica, es decir, que sea coherente con un hecho ocurrido o que pueda ocurrir en 
la realidad (en términos de [51]). 
• Un problema, es decir, que no se resuelva mediante la aplicación de algoritmos cono-
cidos (en términos de [52]) y que requiera de estrategias para su resolución. 
• Solucionable mediante un ciclo de modelización, en que se transite por todas las fases que 
lo componen. 
El problema de modelización que se plantee, en forma de pregunta o tarea, debe ser 
desafiante para los estudiantes, y desarrollarse en un tiempo que permita tanto su asimi-
lación como la búsqueda de información desde diferentes fuentes. 
2.2. Modelo de Competencias y Conocimientos Didáctico-Matemáticos (modelo CCDM) 
Como se mencionó en un principio, existen diversos modelos respecto de los conoci-
mientos que debería tener un profesor de matemática para gestionar adecuadamente los 
aprendizajes de sus estudiantes (por ejemplo, [1–7]). En el Enfoque Onto-Semiótico (EOS) 
se ha desarrollado un modelo teórico llamado modelo de Conocimientos y Competencias 
Didáctico-Matemáticas del profesor de matemática (modelo CCDM) [53–56]. En el modelo 
CCDM se considera que las dos competencias clave del profesor de matemática son la 
‘competencia matemática’ y la ‘competencia de análisis e intervención didáctica’. El nú-
cleo fundamental de esta última competencia es [53]: diseñar, aplicar, y valorar secuencias 
de aprendizaje propias y de otros, mediante técnicas de análisis didáctico y criterios de 
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calidad, para establecer ciclos de planificación, implementación, y valoración, así como 
plantear propuestas de mejora. Esta competencia general está formada por diferentes sub-
competencias [53]: 
1. Análisis de la actividad matemática: Esta sub-competencia se descompone a su vez 
en (a) competencia de análisis de significados globales y (b) competencia de análisis 
onto-semiótico de prácticas matemáticas [54]. 
2. Análisis y gestión de la interacción y de su efecto sobre el aprendizaje de los estu-
diantes. 
3. Análisis de normas y meta-normas. 
4. Valoración de la idoneidad didáctica de procesos de enseñanza y aprendizaje. 
2.2.1. Sub-competencia de valoración de la idoneidad didáctica de procesos de ense-
ñanza y aprendizaje: Criterios de Idoneidad Didáctica 
Para la valoración de los procesos de enseñanza y aprendizaje, el EOS propone como 
herramienta esencial la noción de idoneidad didáctica [57]. Fijado un tema específico en 
un contexto educativo determinado, la noción de idoneidad didáctica lleva a poder res-
ponder preguntas del tipo [58,59]: ¿Cuál es el grado de idoneidad didáctica del proceso 
de enseñanza y aprendizaje implementado? ¿Qué cambios se deberían introducir en el 
diseño e implementación del proceso de enseñanza y aprendizaje para incrementar su 
idoneidad didáctica en futuras implementaciones? 
La idoneidad didáctica de un proceso de enseñanza y aprendizaje se define como el 
grado en que dicho proceso (o una parte de éste) reúne ciertas características que permiten 
calificarlo como óptimo o adecuado para conseguir la adaptación entre los significados per-
sonales logrados por los estudiantes (aprendizaje) y los significados institucionales pretendi-
dos o implementados (enseñanza), teniendo en cuenta las circunstancias y recursos dis-
ponibles (entorno). Un proceso de enseñanza y aprendizaje logrará un alto grado de ido-
neidad didáctica si es capaz de articular, de forma coherente y sistémica, los siguientes 
seis criterios parciales de idoneidad didáctica, referidos a cada una de las seis facetas im-
plicadas en el proceso de enseñanza y aprendizaje [53]: 
• Criterio epistémico: Para valorar si la matemática que se enseña es una «buena mate-
mática». 
• Criterio cognitivo: Para valorar, antes de iniciar el proceso de enseñanza y aprendizaje, 
si lo que se quiere enseñar se encuentra a una distancia razonable de lo que saben los 
estudiantes. 
• Criterio interaccional: Para valorar si la interacción ha resuelto dudas y dificultades de 
los estudiantes. 
• Criterio mediacional: Para valorar la adecuación de los recursos materiales y tempora-
les utilizados en el proceso de enseñanza y aprendizaje. 
• Criterio afectivo: Para valorar la implicación (interés, motivación) de los estudiantes 
en el proceso de enseñanza y aprendizaje. 
• Criterio ecológico: Para valorar la adecuación del proceso de enseñanza y aprendizaje 
al proyecto educativo del centro, las directrices curriculares, las condiciones del en-
torno socio-profesional, etc. 
A su vez, cada criterio de idoneidad didáctica (CID) cuenta con sus respectivos com-
ponentes, y su operatividad exige definir un conjunto de indicadores observables que per-
mitan valorar el grado de idoneidad de cada faceta del proceso de enseñanza y aprendi-
zaje. En la Tabla 1 se presentan los componentes de cada CID, a partir de la pauta de [53]. 
Tabla 1. Criterios de idoneidad didáctica y sus componentes. 
Criterios Componentes 
Epistémico 
– Errores. 
– Ambigüedades. 
– Riqueza de procesos. 
– Representatividad de la complejidad del objeto matemático. 
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Criterios Componentes 
Cognitivo 
– Conocimientos previos. 
– Adaptación curricular a las diferencias individuales. 
– Aprendizaje. 
– Alta demanda cognitiva. 
Interaccional 
– Interacción docente-discente. 
– Interacción entre discentes. 
– Autonomía. 
– Evaluación formativa. 
Mediacional 
– Recursos materiales. 
– Número de estudiantes, horario, y condiciones del aula. 
– Tiempo. 
Afectivo 
– Intereses y necesidades. 
– Actitudes. 
– Emociones. 
Ecológico 
– Adaptación al currículo. 
– Conexiones intra e interdisciplinares. 
– Utilidad sociolaboral. 
– Innovación didáctica. 
Adaptado desde [53]. 
En el contexto del EOS [32] se considera a la modelización como un híper o mega pro-
ceso, dado que contempla otros procesos relevantes de la actividad matemática (represen-
tación, simplificación, idealización, etc.). Además, este marco cuenta con herramientas 
para analizar la actividad matemáticasubyacente al proceso de modelización (véase [60]). 
Finalmente, en el EOS se considera que trabajar la modelización en el aula es un aspecto 
que mejora la idoneidad didáctica del proceso de enseñanza y aprendizaje [61]. 
2.2.2. Conocimientos, creencias, y concepciones 
El modelo CCDM considera que el conocimiento del profesor se organiza en tres 
grandes dimensiones: matemática, didáctica, y meta didáctico-matemática. 
La dimensión matemática del modelo CCDM se refiere al conocimiento que permite 
a los profesores resolver problemas o tareas matemáticas propias del nivel educativo en 
el que impartirán clases (conocimiento común), y a vincular los objetos matemáticos de 
dicho nivel educativo con objetos matemáticos que se estudiarán en niveles posteriores 
(conocimiento ampliado). 
Los autores de los diferentes modelos de conocimientos del profesor de matemática 
coinciden en que, además del contenido matemático, el profesor debe tener conocimientos 
sobre los diversos factores que influyen cuando se planifica e implementa la enseñanza 
de dicho contenido matemático. En este sentido, la dimensión didáctica del modelo 
CCDM propone seis subcategorías de conocimientos del profesor: 
• Faceta epistémica: Se refiere al conocimiento especializado de la dimensión matemá-
tica (uso de diversas representaciones, argumentos, estrategias de resolución de pro-
blemas, y significados parciales de un objeto matemático), e incorpora nociones tales 
como ‘conocer la matemática con profundidad y amplitud’ [6] y el ‘conocimiento es-
pecializado del contenido’ [1]. 
• Faceta cognitiva: Referida al conocimiento sobre los aspectos cognitivos de los estu-
diantes (dificultades, errores, conflictos, aprendizaje, etc.). 
• Faceta interaccional: Se refiere al conocimiento sobre las interacciones que se suscitan 
en el aula (profesor–estudiantes, estudiante–estudiante, estudiante–recursos, etc.). 
• Faceta mediacional: Referida al conocimiento sobre los recursos y medios que pue-
den potenciar los aprendizajes de los estudiantes, y sobre los tiempos designados 
para la enseñanza. 
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• Faceta afectiva: Referida al conocimiento sobre los aspectos afectivos, emocionales, y 
actitudinales de los estudiantes. 
• Faceta ecológica: Referida al conocimiento sobre los aspectos curriculares, contextua-
les, sociales, políticos, económicos, etc., que influyen en la gestión de los aprendizajes 
de los estudiantes. 
La dimensión meta didáctico-matemática del modelo CCDM se refiere al conoci-
miento necesario para reflexionar sobre la propia práctica [6,62], que le permita al profesor 
valorar el proceso de enseñanza y aprendizaje, y realizar un rediseño que, en futuras im-
plementaciones, lo mejore. 
Las tres dimensiones descritas anteriormente están presentes en las diferentes fases 
del proceso de enseñanza y aprendizaje de un determinado contenido matemático, a sa-
ber, estudio preliminar, planificación, implementación, y valoración [63]. 
En el modelo CCDM (véase Figura 2), la creencia (‘yo creo P’), de acuerdo con [64], 
se entiende como una ‘disposición para la acción’, y la concepción se entiende como ‘un 
conjunto de creencias’. Asimismo, las creencias se basan en conocimientos que van acom-
pañadas por valoraciones, y se evidencian en una disposición para la acción de acuerdo 
con ciertos principios/criterios que se valoran positivamente. 
 
Figura 2. Modelo de Conocimientos y Competencias Didáctico-Matemáticos del profesor de 
matemática. Adaptado desde [63] (p. 66). 
2.3. Argumentación 
Una parte de los datos de este estudio se analizó desde la perspectiva de la pragma-
dialéctica [33] como referente teórico. Dado que la pragma-dialéctica propone un modelo 
ideal para la discusión crítica, en esta técnica se pueden suceder (o no) cuatro etapas, a 
saber: 
1. Etapa de confrontación: Establece la diferencia de opinión. En una diferencia de opi-
nión no mixta, esto simplemente significa que el punto de vista de una parte no es 
inmediatamente aceptado por la otra, sino que se encuentra con la duda o la crítica. 
En una diferencia de opinión mixta, la otra parte adelanta su punto de vista opuesto. 
2. Etapa de apertura: Se remite a los puntos de partida de la discusión y se asignan los 
roles de protagonista y antagonista (en una diferencia de opinión mixta hay dos pro-
tagonistas y dos antagonistas). También, se acuerdan las reglas del debate y los pun-
tos de partida. 
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3. Etapa de argumentación: El protagonista defiende su punto de vista contra la persis-
tente crítica del antagonista, adelantando argumentos para oponer las objeciones del 
antagonista o para remover las dudas del antagonista. 
4. Etapa de conclusión: Las partes evalúan la extensión que alcanzó la resolución de la 
diferencia de opinión y a favor de quién. Si el protagonista retira el punto de vista, la 
diferencia de opinión se resuelve a favor del antagonista; si el antagonista abandona 
sus dudas, es resuelta a favor del protagonista. 
Otra parte de los datos de este estudio se analizó utilizando la técnica de diagrama-
ción [34]. Esta técnica permite, por una parte, hacer un mapa espacial de las maneras po-
sibles en que las premisas se relacionan para apoyar una conclusión, considerando el len-
guaje y, por otra parte, representar visualmente el razonamiento escrito. En esta técnica 
se definen cuatro estructuras básicas de argumentos, con las cuales se pueden generar 
estructuras más complejas: 
• Estructura convergente: Dos o más premisas apoyan la conclusión de manera inde-
pendiente. 
• Estructura dependiente: Las premisas están unidas para apoyar la conclusión, es de-
cir, ambas premisas (o todas ellas) se necesitan mutuamente para inferir la conclu-
sión. 
• Estructura divergente: Una misma premisa está apoyando a más de una conclusión 
(se puede decir que hay dos o más argumentos unitarios). 
• Estructura encadenada: Una de las proposiciones está como conclusión de una pre-
misa y, a su vez, está como premisa de otra conclusión. 
3. Aspectos metodológicos 
En este estudio se siguió una metodología de investigación cualitativa desde un pa-
radigma interpretativo [65], que consiste fundamentalmente en un estudio de caso intrín-
seco [66]. En esta sección se describen los aspectos metodológicos de este trabajo. 
3.1. Contexto de la investigación 
Esta investigación se desarrolló en el contexto de un programa de máster profesiona-
lizante para la formación de profesores de matemática de educación secundaria obligato-
ria y bachillerato (estudiantes de 12 a 18 años), que imparten las universidades públicas 
de Cataluña (España), durante el año académico 2020–2021. El perfil de ingreso a este 
programa de máster se constituye por profesionales de diferentes áreas afines con la ma-
temática (matemáticos, arquitectos, ingenieros, economistas, etc.) que deseen ejercer la 
docencia. 
Dentro del módulo Formación Específica, el programa de estudios de este máster 
incluye un submódulo sobre modelización matemática. En este submódulo se presenta a 
los futuros profesores el ciclo propuesto por [42], junto con algunos ejemplos de tareas de 
modelización. Como tarea final del submódulo, los futuros profesores deben exponer un 
problema de modelización (enunciado, resolución, ubicación curricular de los conteni-
dos). 
Dentro del módulo Prácticum, el programa de estudios de este máster plantea la rea-
lización de prácticas educativas. Estas prácticas se deben desarrollar en instituciones edu-
cativas establecidas mediante convenios con las universidades, pues deben estar recono-
cidas como centros de prácticas; así como también los mentores (profesores de aula) que 
deben orientar y tutelar a los futuros profesores. Durante el periodo de prácticas, los fu-
turos profesores deben diseñar e implementar una secuencia de enseñanza y aprendizaje 
(conocidacomo ‘unidad didáctica’), la cual está determinada por: (a) la institución educa-
tiva y el profesor mentor; (b) el nivel de los estudiantes; y (c) el momento del año escolar 
en que se implemente. Debido a estas condicionantes, los futuros profesores no pueden 
trabajar exclusivamente la modelización en sus unidades didácticas. Sin embargo, estas 
restricciones no se consideran en el rediseño que propongan en sus TFMs. 
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Para la obtención del grado de máster, los futuros profesores deben elaborar un TFM, 
que consiste en un trabajo original, autónomo, e individual. Para su elaboración, a los 
futuros profesores se les presentan los CID, junto con la pauta de componentes y descrip-
tores que permite su aplicación (véase [53]). Finalmente, los futuros profesores deben va-
lorar en sus TFMs la unidad didáctica que implementaron durante sus prácticas educati-
vas utilizando los CID y, de este modo, proponer cambios que apunten a mejorar la ido-
neidad didáctica del proceso de enseñanza y aprendizaje implementado. 
3.2. Sujeto de estudio 
En este trabajo se constituyó un estudio de caso intrínseco, ya que el interés se centró 
en el estudio del caso en particular [66]. El sujeto de estudio de esta investigación fue el 
futuro profesor AD, quien tiene una formación de pregrado en ingeniería industrial y un 
grado académico de doctor en su área. Además, el sujeto de estudio cuenta con una expe-
riencia de 15 años en docencia universitaria y publicaciones académicas derivadas del tra-
bajo de investigación en su área. En este contexto, el sujeto de estudio ha trabajado con la 
modelización de fenómenos propios de su área de estudio. Sin embargo, en su experiencia 
como docente universitario no ha enseñado modelización. 
Como estudiante del programa de máster descrito en la sección anterior, el sujeto de 
estudio manifestó su interés por incluir el trabajo con modelización en la unidad didáctica 
que debía diseñar para implementar durante su práctica educativa. De este modo, la se-
lección de este caso en particular se justifica, en primer lugar, por el interés del sujeto de 
estudio en implementar la modelización durante su práctica educativa; en segundo lugar, 
y producto de lo anterior, el programa de máster le asignó dos tutores (el primer y el 
cuarto autor) para su supervisión, lo cual permitió un acompañamiento del sujeto de es-
tudio durante todo el desarrollo de su trabajo; y, en tercer lugar, en el posible análisis que 
el sujeto de estudio realizaría en su TFM sobre la implementación de la modelización. 
Estas tres razones se consideraron suficientes para poder estudiar la argumentación de 
este futuro profesor para justificar la incorporación (o no) de la modelización matemática 
en sus clases y, de este modo, inferir sus conocimientos, valores, creencias, y orientaciones 
para la acción a partir de esta argumentación. 
Durante su práctica educativa, el sujeto de estudio diseñó e implementó una unidad 
didáctica, compuesta de 18 sesiones de 60 minutos cada una, para la enseñanza de las 
funciones lineales y afines en el tercer curso de educación secundaria obligatoria (estu-
diantes de 14–15 años), cuyo eje central fue la modelización [67]. De acuerdo con lo des-
crito en su TFM, el sujeto de estudio desarrolló su práctica en un centro educativo bajo la 
supervisión de una mentora (profesora del centro), quien lo introdujo en el sistema de 
trabajo articulado del departamento de matemática, lo cual no le daba mucho espacio a la 
innovación educativa. La asignatura de matemática contaba con cuatro clases a la semana 
(lunes, martes, jueves, y viernes), en una de las cuales (jueves) se desarrollaba un taller 
llamado ‘Món Matemàtic’ (‘Mundo Matemático’ en idioma catalán). En este taller, los es-
tudiantes desarrollaban problemas ad hoc al contenido matemático trabajado en las clases 
regulares de los demás días (lunes, martes, y viernes), y para el cual el sujeto de estudio 
diseñó una tarea de modelización para implementar en el taller. 
Posterior a su práctica educativa, el sujeto de estudio comenzó a elaborar su TFM 
bajo la supervisión de sus dos tutores. En dicho documento, el sujeto de estudio realizó 
una serie de comentarios valorativos sobre su unidad didáctica, orientando su reflexión a 
partir de los componentes de los CID (véase Tabla 1), la mayoría de los cuales relacionó 
con la modelización. Estas valoraciones se analizan en la sección 4.2. 
3.3. Recolección y análisis de datos 
Para esta investigación se recolectaron datos desde dos fuentes: por una parte, las 
videograbaciones de sesiones grupales de reflexión en que participó el sujeto de estudio 
con sus tutores y, por otra parte, el TFM del sujeto de estudio. Para cada una de estas 
fuentes se aplicaron técnicas de análisis específicas. 
3.3.1. Sesiones grupales de reflexión 
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Sobre las sesiones grupales de reflexión, dado que tres futuros profesores del máster 
(JL, RD, y el sujeto de estudio AD) trabajaron el tema de funciones en el mismo nivel edu-
cativo (tercer año de educación secundaria obligatoria) durante sus prácticas, y sus TFMs 
fueron dirigidos por un tutor en común (el cuarto autor), se llevaron a cabo seis sesiones 
grupales de reflexión con ellos. En estas sesiones, desarrolladas de manera telemática, 
cada futuro profesor compartió sus experiencias durante dos sesiones mediante la expli-
cación del diseño, implementación, y rediseño de su respectiva unidad didáctica; mientras 
que los demás participantes (los futuros profesores restantes y los tutores) opinaban y 
sugerían ideas. De estos tres futuros profesores, el sujeto de estudio fue el único que deci-
dió incluir el trabajo con modelización en su unidad didáctica, razón por la cual contó con 
la supervisión de dos tutores (el primer y el cuarto autor), a quienes les compartió los 
avances de su unidad didáctica previo a la realización de estas sesiones. 
La dinámica de las dos sesiones grupales de reflexión en que él compartió su expe-
riencia fue la siguiente: 
• En la primera sesión, el sujeto de estudio describió el contexto en que se encontraba 
desarrollando su práctica educativa, y presentó su unidad didáctica para la ense-
ñanza de las funciones. 
• En la segunda sesión se discutió sobre el contenido y las consideraciones para la ela-
boración del TFM. 
Si bien se revisaron las videograbaciones de las dos sesiones de reflexión grupal con 
el sujeto de estudio, en esta investigación sólo se consideró la primera sesión, dado que 
fue la fase de diseño de la unidad didáctica y su descripción permitió obtener una primera 
lectura sobre sus conocimientos, creencias, y concepción sobre la modelización. Por su 
parte, la segunda sesión se enfocó, principalmente, en los aspectos formales para la elabo-
ración de su TFM. 
El análisis de las videograbaciones se realizó desde la perspectiva de la pragma-dia-
léctica [33] puesto que, al ser un diálogo desarrollado en un contexto académico, se puede 
considerar como una discusión crítica. Estos datos se analizaron de acuerdo con las cuatro 
etapas que la pragma-dialéctica propone como modelo ideal para una discusión crítica: 
confrontación, apertura, argumentación, y conclusión (véase sección 2.3). El análisis de los 
argumentos se realizó con los siguientes pasos: 
1. Se hizo una revisión general de las videograbaciones de las sesiones grupales de re-
flexión, lo cual permitió tener una primera apreciación sobre el desarrollo de esta 
discusión crítica y, al mismo tiempo, permitió hacer una relación atemporal de las 
ideas y posturas de los participantes. Este paso representó el punto de partida para 
la búsqueda e identificación de las fases del modelo de la pragma-dialéctica. 
2. Se transcribieron los diálogos de las videograbaciones de las sesiones grupales de 
reflexión, rotulando a cada uno de losparticipantes y sus respectivas intervenciones. 
3. Se identificaron las etapas que aparecían en el diálogo, de acuerdo con el modelo de 
la pragma-dialéctica. Para ello, se justificó cada fragmento de diálogo con la defini-
ción de cada fase del modelo. 
Para el caso específico de la fase de argumentación del texto, se identificaron los ar-
gumentos teniendo en cuenta dos elementos: por una parte, quién defendió la conclusión 
y, por otra parte, la conclusión y las premisas que la soportan o apoyan. Finalmente, se 
seleccionaron sólo los argumentos relacionados con modelización. 
La unidad de análisis se conformó por segmentos del diálogo entre el sujeto de estu-
dio y sus dos tutores, sin considerar las intervenciones de los otros dos futuros profesores 
participantes (JL y RD), dado que no fueron de interés para este estudio. 
3.3.2. TFM del sujeto de estudio 
Sobre el TFM del sujeto de estudio, un capítulo importante dentro de este documento 
es aquél en que analizó la implementación de su unidad didáctica y utilizó la herramienta 
de los CID para valorar la idoneidad didáctica del proceso de enseñanza y aprendizaje 
implementado. En el capítulo ‘Análisis de la implementación’ se encontraron comentarios 
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valorativos donde el sujeto de estudio relacionó diferentes componentes de los CID con 
el proceso de modelización, dado que lo identificó como un aspecto que permitiría au-
mentar el grado de idoneidad para el rediseño de la unidad didáctica implementada du-
rante su práctica educativa. Otro elemento de interés para este estudio es la tarea de mo-
delización propuesta por el sujeto de estudio, la cual describió en su TFM, y que formó 
parte de la planificación de su unidad didáctica implementada. 
El TFM del sujeto de estudio se analizó de la siguiente manera: 
• En primer lugar, se identificaron los criterios y componentes de los CID con los que 
el sujeto de estudio relacionó sus reflexiones sobre modelización cuando valoró la 
idoneidad de su unidad didáctica en el capítulo sobre el análisis de la implementa-
ción. Diversos trabajos han estudiado la reflexión docente durante la formación de 
profesores de matemática desde diferentes puntos de vista (véase [68] desde el aná-
lisis didáctico; [69] desde las prácticas de autorregulación; [70] desde la creatividad; 
[30,31] desde la modelización matemática; entre otros), cuyo denominador común ha 
sido que, mediante la utilización de los CID, también se puede inferir el conocimiento 
de los futuros profesores. En este sentido, se siguió una metodología de análisis de 
contenido similar a la utilizada por [31], centrada en el capítulo ‘Análisis de la imple-
mentación’ del TFM, que consistió en: (1) realizar una búsqueda de palabras clave 
afines con la modelización (model, context, problem, real); (2) identificar el criterio y 
componente de los CID en que se encontraron las palabras clave y el comentario que 
las contenía. 
• En segundo lugar, para identificar las diferentes estructuras de los argumentos en la 
valoración de la idoneidad didáctica que hizo el sujeto de estudio en su TFM, se uti-
lizó la técnica de la diagramación [34], la cual es más adecuada para un texto argu-
mentativo, como es el caso del TFM. Los pasos para la diagramación son: (1) se en-
cierran entre llaves todas las proposiciones del texto; (2) se enumeran las proposicio-
nes en orden de aparición; (3) se estructura el argumento, ubicando espacialmente el 
lugar de la conclusión; (4) se propone una manera en que las premisas se relacionan. 
Finalmente, en los diagramas de los argumentos se distinguieron las proposiciones 
que hacían referencia a la modelización de aquéllas que no. 
• En tercer lugar, se analizó la tarea de modelización propuesta en el TFM, utilizando 
la caracterización para un problema de este tipo, considerando también las fases del 
ciclo de modelización que se sucedieron (o podrían suceder) para su resolución. 
En ambas fuentes de datos se buscaron argumentos que dieran cuenta de, por una 
parte, la concepción del sujeto de estudio sobre el proceso de modelización y, por otra 
parte, después de su práctica educativa, cómo es que dicha experiencia le permitió pensar 
– y repensar – la modelización como un elemento para mejorar la idoneidad didáctica del 
proceso de enseñanza y aprendizaje implementado. 
4. Presentación y análisis de resultados 
En esta sección se presentan y analizan los resultados de este estudio. Para ello, en la 
primera subsección se analiza la primera sesión grupal de reflexión del sujeto de estudio 
con sus tutores, desde la perspectiva de la pragma-dialéctica. En la segunda subsección, 
se analiza el TFM del sujeto de estudio utilizando los CID, la técnica de diagramación, y 
el marco teórico sobre modelización matemática. En este trabajo, la argumentación es con-
siderada como un medio para resolver una diferencia de opinión, la cual se puede mani-
festar en una discusión, reunión, o un ensayo. 
4.1. Análisis de la primera sesión grupal de reflexión 
En esta subsección se analizan los diálogos de la primera sesión grupal de reflexión. 
Para ello, en primer lugar, se identificaron las cuatro etapas en una discusión crítica, según 
el modelo de la pragma-dialéctica; y, en segundo lugar, se presentan las estructuras de los 
principales argumentos esgrimidos por el sujeto de estudio durante la etapa argumenta-
tiva. Los interlocutores mencionados en los párrafos siguientes son los dos tutores (T1 y 
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T2) y el sujeto de estudio (AD). Tal como se mencionó anteriormente, se debe tener en 
cuenta que, al proponer la pragma-dialéctica un modelo ideal, cada una de las etapas 
puede o no aparecer dentro de una discusión crítica y no, necesariamente, en el orden de 
numeración que propone este modelo. También, la interpretación de estas etapas no es 
única, pues algunos factores que la influyen son parte del contexto donde se desarrolló la 
discusión. En este caso, al tratarse de un contexto educativo, la cordialidad entre tutores 
y estudiantes es diferente de, por ejemplo, un debate político, por lo que no siempre se 
muestran las diferencias de opinión de manera explícita e impetuosa. 
4.1.1. Etapa de confrontación 
En esta etapa las partes establecen que tienen una diferencia de opinión. En esta se-
sión grupal de reflexión, la etapa de confrontación se puede evidenciar a partir del si-
guiente extracto del diálogo, donde T1 le planteó a AD una pregunta general sobre cómo 
introducir la modelización con el tema de funciones, y es la que guio el diálogo de la se-
sión. 
T1: ¿Cómo introducir el tema de modelización con un tema de funciones? Claro, 
cuando reflexionas sobre eso hay muchos aspectos a tener en cuenta, no sólo depende 
de tu voluntad de hacer modelización, depende de las condiciones del centro [educa-
tivo], depende del tipo de alumnos que tendrás, de la unidad didáctica… y que esta 
problemática es específica para cada centro [educativo]. Vamos a aprovechar para dis-
cutir el problema. 
4.1.2. Etapa de apertura 
En esta etapa las partes deciden tratar de resolver la diferencia de opinión y se asig-
nan los roles de protagonista y antagonista. Esta diferencia de opinión se identifica por el 
hecho que los tutores contaban con los avances de la unidad didáctica de AD previo a la 
sesión. Para resolverla, los tutores decidieron plantear una serie de preguntas a AD con la 
intención de que él reflexionara sobre su definición de modelización y la forma en que 
implementaría este proceso en su unidad didáctica. El rol de protagonista se asignó a AD 
cuando T1 le pidió explicar dos cosas: las características del centro educativo donde desa-
rrolló su práctica y cómo pretendió implementar la modelización. Las reglas para el diá-
logo están implícitas al ser una sesión que es parte de un programa de máster. 
T1: ¿Quées la modelización?, ¿cómo se pueden introducir las funciones?, y ¿cómo se 
pueden introducir en el caso concreto de su centro [educativo]?, que tiene unas carac-
terísticas que son únicas en comparación con otras [instituciones educativas]. La re-
flexión sobre la problemática de la modelización sería, ¿hasta qué punto se puede apli-
car o no?, y si no se puede incorporar, ¿por qué no se pudo incorporar? Ahora, lo que 
haremos es que AD nos explicará un poco las características del centro [educativo] en 
que implementa su unidad didáctica, […] y, después, explicará su propuesta de cómo 
piensa introducir la modelización. 
4.1.3. Etapa argumentativa 
En esta etapa el protagonista defiende su punto de vista. Para esta etapa se presentan 
algunos argumentos esgrimidos por AD en los cuales se plantean algunas razones que 
consideró para la implementación de la modelización. Cabe destacar que, durante esta 
etapa, AD mencionó una tarea de modelización en particular que diseñó para su unidad 
didáctica, contextualizada en el gasto de combustible de un automóvil durante un viaje 
familiar a la playa. Esta tarea y su propuesta de rediseño se analizan en la sección 4.2.3. 
Por tanto, como punto de partida, se infiere que AD tenía una creencia que se puede 
formular, más o menos, en los siguientes términos: ‘para el tema de funciones se puede 
implementar una tarea de modelización’. Dicha creencia lo dispuso a actuar de acuerdo 
con el principio de que se debe incorporar este proceso, lo cual valoró positivamente. Ade-
más, AD creía que la tarea diseñada era de modelización, y mostró un conocimiento ma-
temático común que le permitió crear y resolver la tarea. 
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En el primer Argumento de AD (véase Figura 3) se dan razones sobre las dificultades 
para implementar la modelización. Por un lado, se tiene la dinámica de trabajo de la ins-
titución y, por otro, está el acceso limitado a los recursos tecnológicos. 
AD: Todo el departamento de matemática funciona […] como un engranaje, es decir, 
todos hacen exactamente lo mismo, los mismos exámenes, se coordinan hasta las fechas 
de los exámenes, y eso hace que sea un poco difícil introducir algo nuevo. […]. El único 
problema que yo he visto es que, por lo que me han dicho, en las horas que son normales 
[sic], no tienen acceso al aula de informática. De manera que, determinados problemas 
de modelización, por ejemplo, con GeoGebra o una hoja de cálculo donde puedan tra-
bajar con estas herramientas, […] lo tendrán que hacer por su cuenta y, como mucho, 
proyectar con el ordenador en una pizarra de éstas [interactiva] que sí tienen. Eso sí, 
pero no puede ser una cosa interactiva con los estudiantes. 
 
Figura 3. Estructura del primer Argumento de AD. Interpretación de los autores. 
En el segundo Argumento de AD (véase Figura 4) se declara que una ventaja que se 
tenía en el centro educativo donde desarrolló su práctica educativa era el taller ‘Món Ma-
temàtic’, en el cual se plantean problemas matemáticos en paralelo a las clases regulares 
de la asignatura. Este espacio permitía a AD, en principio, la implementación de tareas de 
modelización con funciones, en particular, la del viaje familiar a la playa. 
AD: [En el departamento de matemática] Tienen una particularidad y es que, en pa-
ralelo a la resolución de los problemas en clase y a la dinámica habitual, plantean unos 
problemas que les llaman “Món Matemàtic”, que no deja de ser un plan un poco más 
amplia, que acompaña todos los temas. Es decir, cada tema tiene su “Món Matemàtic” 
y es como un problema un poco más en contexto y es un poco más extenso. Este pro-
blema, en este caso, mi idea era enfocarlo hacia la modelización [continúa en el si-
guiente Argumento]. 
 
Figura 4. Estructura del segundo Argumento de AD. Interpretación de los autores. 
En el tercer Argumento de AD (véase Figura 5) se observa la intención, por parte del 
sujeto de estudio, de ir construyendo un modelo matemático con los estudiantes cada vez 
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más complejo, enriqueciendo el contexto de la situación-problema planteada como tarea 
de modelización, es decir, la del viaje familiar a la playa. 
AD: … y, por lo tanto, con un contexto de modelización con un tema concreto, apro-
vechar un contexto que sea un poco más rico y proponer, porque ésta era mi idea, 
diferentes problemas o diferentes preguntas que, paso a paso, vayan abordando todo el 
tema de la parte de funciones, de manera que comencemos con un contexto único: pri-
mero, problemas de representación gráfica; después, comenzaremos con dominio y re-
corrido; para acabar planteando ya lo que serían las ecuaciones de la recta y, después, 
resolver algo más complejo utilizando estas herramientas. Y eso es, más o menos, la 
idea que yo tenía. 
 
Figura 5. Estructura del tercer Argumento de AD. Interpretación de los autores. 
El cuarto Argumento de AD (véase Figura 6) emerge a partir de una pregunta plan-
teada por T2 al sujeto de estudio mientras se mostraba en pantalla compartida la tarea del 
viaje familiar a la playa ‘¿Cómo viste el tema de trabajar la modelización?, ¿tú les dabas el 
modelo y ellos trabajaban con el mismo?, ¿ésa fue tu idea?’. Como respuesta a T2, AD dio 
las razones para justificar por qué les dio un modelo matemático prestablecido a los estu-
diantes y no les pidió que lo construyeran. 
AD: Sí, la idea es que, al ser la primera vez que [los estudiantes] hacen funciones, 
pueden dotar al modelo de esa estructura algebraica. Dejar que ellos mismos hagan el 
modelo o que ellos busquen información para hacer un modelo, a no ser que el caso sea 
muy simple, yo no tengo muy claro que puedan hacerlo. Pero, al darles el modelo, al 
darles el contexto y que ellos puedan entender sus partes, después aplicarlo, yo creo 
que para ellos puede ser más fácil. Y, también, por eso he puesto en el último apartado 
que, precisamente, es esa idea: una vez que doy el contexto, no es que yo les doy los 
datos que ellos rellenan en el modelo y les sale una ecuación que pueden representar, 
sino que es al revés, les doy los puntos y ellos, a través de esos puntos, encuentran la 
ecuación a partir de la cual pueden deducir los datos de partida, es decir, como en el 
sentido inverso. Eso sería lo último, por tanto, de alguna manera, ellos no construirían 
el modelo, eso es cierto, porque el modelo y el contexto están fijados, pero, a ese nivel 
de complejidad, eso creo que ellos no podrían hacerlo por sí solos [continúa en el si-
guiente Argumento]. 
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Figura 6. Estructura del cuarto Argumento de AD. Interpretación de los autores. 
En el quinto Argumento de AD (véase Figura 7) el sujeto de estudio comentó sobre 
algunos aspectos que él consideró como impedimentos para implementar el proceso de 
modelización a cabalidad (desarrollo de un ciclo) en la institución donde realizó su prác-
tica educativa. 
AD: En ese sentido, quizás, ese problema es poco creativo para ellos, porque ellos no 
generan su propio modelo, sino que se adhieren a un modelo existente, pero, quizás, al 
ser la primera vez que lo hacen, con toda seguridad, quizás sea más fácil, porque gene-
rar el modelo ya quiere decir que tienen unos conocimientos de matemática, pero tam-
bién de física algo más avanzados, no sé, también se podría probar. […]. Pero, también, 
si se les deja tan abierto [el problema], me da la impresión, por lo que he visto, que 
quizás uno o dos lleguen a una solución mejor o peor. Yo no digo ni que sea buena, 
pero el resto, quizás, seguramente, no lleguen a nada. Entonces, como primera piedra 
en este mundo de la modelización, quizás, mejor darles un contexto fijo, que ellos se 
manejen algebraicamente, entiendan un poco y, quizás, en cuarto [año de educación 
secundaria] o en bachillerato, entonces sí que ya generen sus propiosmodelos. […]. Lo 
que me resulta un poco más complicado es dejarles un modelo tan abierto, pero que lo 
hagan ellos por su cuenta. Si yo los tengo en clase [a los estudiantes], y dedico toda la 
clase a trabajar esto con base en preguntas que les ayuden a ellos a construir algo, eso 
sí que lo veo más factible, pero darles una pincelada de diez minutos y dejar que ellos 
por su cuenta puedan desarrollar un trabajo en abierto, quizás, es más complicado, no 
sé. 
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Figura 7. Estructura del quinto Argumento de AD. Interpretación de los autores. 
En su argumentación, AD usó conocimientos de los diferentes tipos que propone el 
modelo CCDM. En este sentido, en el primer y segundo Argumento usó, sobre todo, co-
nocimientos de la faceta mediacional; en el tercer Argumento se infieren, principalmente, 
conocimientos de la faceta epistémica; en el cuarto Argumento se infieren conocimientos 
de las facetas epistémica y cognitiva; y en el quinto Argumento, sobre todo, son conoci-
mientos de la faceta cognitiva. 
4.1.4. Etapa de conclusión 
En esta etapa las partes evalúan la extensión que alcanzó la resolución de la diferencia 
de opinión y a favor de quién. En el caso de esta discusión, quien realizó la conclusión fue 
T1, para lo cual consideró los comentarios de todos los participantes (T2, AD, JL, RD) y, 
en resumen, planteó los siguientes puntos: 
• Considerando el nivel cognitivo de los estudiantes, no es posible plantear un pro-
blema abierto para hacer modelización. 
• Se decidió rebajar la riqueza matemática al dar el modelo a los estudiantes (esta tarea 
y su rediseño se analizan en la sección 4.2.3). 
• Para el rediseño se debe: (a) proponer trabajar la tarea en grupo, considerando las 
ventajas de esta forma de trabajar; y (b) modificar el enunciado de la tarea de mode-
lización para personalizar la situación al contexto de los estudiantes. 
• Considerando la situación del contexto en que se implementó la unidad didáctica, se 
debe asumir que la tarea de modelización propuesta no cumplió, necesariamente, 
con todas las características de un problema de modelización. 
4.2. Análisis del TFM del sujeto de estudio 
En esta sección se examina el capítulo ‘Análisis de la implementación’ del TFM del 
sujeto de estudio. Para ello, primero, se identificaron los criterios y componentes de los 
CID con los que AD relacionó la modelización (sección 4.2.1.). Segundo, se analizaron los 
comentarios encontrados mediante la técnica de diagramación (sección 4.2.2.). Final-
mente, se analizó la tarea de modelización incorporada en la unidad didáctica (sección 
4.2.3.). 
Dado que, al momento de elaborar su TFM, el sujeto de estudio conocía y usaba los 
CID como herramienta para pautar su reflexión, ello derivado de su proceso formativo en 
el programa de máster, se puede afirmar que él evidencia, principalmente, conocimientos 
de la dimensión meta didáctico-matemática del modelo CCDM. No obstante, al hacer el 
estudio en detalle de su argumentación, también se infieren conocimientos de las dimen-
siones matemática y didáctica. En la diagramación que sigue se detallan dichos conoci-
mientos, lo cual permite afirmar, metafóricamente, que los conocimientos matemáticos, 
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didácticos, y meta didáctico-matemáticos son ‘densos’ en su reflexión pautada con la he-
rramienta CID. 
4.2.1. Componentes de los CID relacionados con la modelización 
A partir de la búsqueda de palabras clave en el TFM del sujeto de estudio, se pudo 
identificar los criterios y componentes de los CID en los que AD realizó comentarios va-
lorativos sobre modelización, como se lista a continuación: 
• Criterio epistémico: Componentes ‘Riqueza de procesos’ y ‘Representatividad de la 
complejidad del objeto matemático’. 
• Criterio cognitivo: Componentes ‘Conocimientos previos’, ‘Aprendizaje’, y ‘Alta de-
manda cognitiva’. 
• Criterio interaccional: Componentes ‘Interacción entre discentes’ y ‘Autonomía’. 
• Criterio mediacional: No se encontraron palabras clave o comentarios sobre modeli-
zación en ninguno de los componentes de este criterio. 
• Criterio afectivo: Componente ‘Intereses y necesidades’. 
• Criterio ecológico: Se encontraron palabras clave y comentarios sobre modelización 
en los cuatro componentes de este criterio. 
Luego de identificar estos criterios y componentes, se seleccionaron los comentarios 
valorativos que tuvieran directa relación con la modelización y los propósitos de este es-
tudio para su posterior diagramación, como se describe en los párrafos siguientes. 
4.2.2. Diagramación 
A partir de los criterios y componentes de los CID identificados en el apartado ante-
rior, aquí se diagrama el texto del TFM para identificar el razonamiento construido por el 
sujeto de estudio. Para ello, se presentan las porciones de texto del TFM en las cuales se 
identificaron y numeraron las proposiciones para su diagramación y, después, se tratan 
específicamente aquéllas relacionadas con el proceso de modelización. En los diagramas 
de las Figuras 8 a 18 se representan en color azul las proposiciones en la argumentación 
del texto que no se relacionan con la modelización, y en color verde aquéllas que sí se 
relacionan con este proceso. Después de cada diagrama se realiza una interpretación de 
las proposiciones sobre modelización para inferir las concepciones del sujeto de estudio 
sobre este proceso. 
El primer criterio con el que se valoró la idoneidad de la unidad didáctica implemen-
tada fue el ‘criterio epistémico’. En este criterio se encontraron comentarios valorativos 
sobre modelización en los componentes ‘Riqueza y procesos’ y ‘Representatividad de la 
complejidad del objeto matemático’. 
El diagrama del análisis del componente ‘Riqueza de procesos’ es el siguiente: 
1{Está claro que las actividades planteadas, no sólo deben suponer una ejemplifica-
ción de los conceptos matemáticos, sino también deben contribuir en el trabajo de 
competencias que pongan en juego las habilidades, conocimientos, actitudes y des-
trezas de los alumnos a través de procesos cognitivos}. 2{En este sentido, el eje ver-
tebrador de la unidad didáctica es el proceso de modelización que permite muchas 
herramientas para trabajar distintas competencias}. [...]. Competencia 1. Traducir un 
problema a lenguaje matemático o representación matemática utilizando variables, 
símbolos, diagramas y modelos adecuados. 3{Esta competencia se ha trabajado am-
pliamente en todos los problemas de modelización, especialmente en las sesiones 2, 
7 y 8, así como en el trabajo de síntesis, que finalmente no pudo llevarse al aula}. 
4{Aquí destaca la expresión de los problemas en forma algebraica, gráfica o en forma 
de tabla de datos, que se han integrado en todos los problemas de modelización}, 
5{no sólo con el fin de ver las diferentes formas de expresión del problema}, sino 
también 6{la capacidad de abstracción del alumno para entender una situación de un 
contexto ‘real’} como 7{la compra de fruta de la sesión 2, el cálculo de la velocidad 
de un corredor de la sesión 7, o la elección de la mejor tarifa de operadoras de móvi-
les}. Asociada a esta competencia, 8{se ha trabajado intensamente en procesos de re-
solución de problemas y conversión entre distintas representaciones de las 
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funciones}, 9{en este caso, entre el lenguaje natural y matemático (traducción)}. En 
todos los casos 10{se ha insistido en que la traducción matemática sea formalmente 
correcta}, 11{intentando que en todo momento el alumno asigne correctamente y de-
fina la o las variables independientes y dependientes, teniendo en cuenta las unida-
des y su compatibilidad y coherencia, así como la conversión de unidades en su 
caso}. Competencia 5. Construir, expresar y contrastar argumentaciones para justifi-
car y validar lasafirmaciones que se realizan en matemáticas. Al mismo tiempo, la 
competencia anterior, y sobre todo en el problema de modelización planteado en la 
sesión 8, 12{se motiva al alumno a hacer pequeñas conjeturas} sobre el comporta-
miento de tarifas de un servicio o, al menos, a 13{plantear una tesis y comprobarla 
matemáticamente}, 14{obligando al alumno a construir un modelo}, 15{expresar si-
tuaciones más o menos reales a través del modelo}, y 16{contrastar información o 
verificar si las afirmaciones son correctas o no}. 17{En términos de procesos, se ha 
trabajado la argumentación matemática}. 18{Los problemas de modelización, en ge-
neral, siempre proponen no sólo modelizar, sino también aplicar este modelo a una 
situación, muchas veces muy cercana a la realidad} 19{(por lo que también trabajaría 
intensamente las competencias 6 y 7 del ámbito matemático, es decir “Emplear el 
razonamiento matemático en entornos no matemáticos” e “Identificar las matemáti-
cas implicadas en situaciones cercanas y académicas y buscar situaciones que pue-
dan relacionarse con ideas matemáticas concretas”)}. 20{El proceso asociado a estas 
competencias sería el de contextualización}. ([67], pp. 4–5) 
 
Figura 8. Diagramación de la valoración del componente ‘Riqueza de procesos’. Interpretación de 
los autores. 
El sujeto de estudio realizó la valoración del componente ‘Riqueza de procesos’ con-
siderando, además, las competencias establecidas en el currículo educativo para la asig-
natura de matemática [71]. En este sentido, la proposición 3 muestra que el sujeto de es-
tudio relacionó la competencia 1 del currículo al trabajo con modelización. Más en con-
creto, la competencia 1 guarda cierta relación con la definición de la transición ‘matema-
tización’ que incluye el ciclo de modelización (véase Figura 1, nro. 3). En términos de [72], 
existen tareas para trabajar determinadas transiciones del ciclo de modelización, lo cual 
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no implica que se esté llevando a cabo un proceso de modelización como tal, dado que su 
intencionalidad es centrarse en alguna(s) sub-competencia(s) específica(s). No obstante, 
de su relato se puede inferir que el sujeto de estudio consideró la idea: ‘al trabajar la com-
petencia 1, por añadidura, estoy trabajando la modelización’. 
Por su parte, la proposición 6 muestra que el sujeto de estudio, en una de las creencias 
que forman su concepción de modelización, consideró la comprensión de la tarea en su 
contexto como un punto de partida para desarrollar el proceso de modelización. En par-
ticular, esta idea se puede relacionar con la transición ‘comprender/construir’ que incluye 
el ciclo de modelización (véase Figura 1, nro. 1). Asimismo, desde la proposición 12 a la 
17, se puede interpretar que el sujeto de estudio consideró distintas transiciones del ciclo 
de modelización. Por ejemplo, la proposición 12 se puede relacionar con la transición ‘sim-
plificar/estructurar’ (véase Figura 1, nro. 2), y la proposición 16 con la transición ‘validar’ 
(véase Figura 1, nro. 6). 
Finalmente, la proposición 18 evidencia ciertas interpretaciones limitadas del sujeto 
de estudio sobre modelización. Por una parte, se puede inferir un solapamiento entre los 
procesos ‘modelización matemática’ y ‘aplicaciones matemáticas’. En términos de [73], si 
bien ambos procesos denotan todo tipo de relaciones entre el «mundo real» y la «mate-
mática», la modelización comienza desde el «mundo real» hacia la «matemática», cen-
trada en el proceso; mientras que las aplicaciones comienzan en el sentido contrario, cen-
tradas en el objeto matemático. Por otra parte, el sujeto de estudio consideró que la mo-
delización también implica aplicar un modelo matemático a una situación cercana a la 
realidad. Si bien esta idea no es errónea, sí es imprecisa en el sentido que, como se planteó 
en la subsección 2.1., un problema de modelización se caracteriza por provenir de un con-
texto ‘realista’ y ‘auténtico’, y su relato parece evidenciar que coloca en entredicho – con 
la frase ‘muchas veces’ – la condición de cercanía con la realidad, y no como una condición 
sine qua non para plantear este tipo de problemas. 
Para los próximos diagramas del análisis de componentes de los CID, sólo se mues-
tran las porciones de texto extraídas del TFM del sujeto de estudio que incluyen proposi-
ciones numeradas que se relacionan con modelización. No obstante, la figura asociada a 
cada análisis incluye la diagramación de cada componente en su totalidad. 
El diagrama del análisis del componente ‘Representatividad de la complejidad del 
objeto matemático’ es el siguiente: 
11{En los ejemplos contextualizados y, sobre todo, en los problemas de modeliza-
ción, el cambio de la concepción de función se ha empleado como herramienta de 
análisis y resolución de problemas}, 12{partiendo de una visión abstracta de la fun-
ción como relación de variables}, 13{añadiendo significado a estas variables, a fin de 
identificar las variables independientes y dependientes del problema en su contexto} 
para, 14{finalmente, posibilitar la representación algebraica de la función}. Más allá 
de la concepción de función como relación de magnitudes o variables, 15{se ha intro-
ducido en clase una visión de la función como subconjunto del producto cartesiano 
de dos conjuntos, es decir, una visión más conjuntista}. Por ejemplo, 16{en el pro-
blema de modelización de la compra de naranjas, al expresar la función algebraica-
mente, su dominio y recorrido como función matemática abstracta era uno}, pero, 
17{si concebimos la función como relación de magnitudes, ese dominio y recorrido 
se ven restringidos}, dado que 18{no presenta una fácil interpretación la compra de 
una masa negativa de naranjas o la obtención de costes negativos de una compra}, (a 
pesar de que éstos se podrían interpretar como ventas), por lo que 19{las caracterís-
ticas de dominio y recorrido de la función pueden diferir por una misma represen-
tación algebraica, definiendo en sí mismo distintas funciones en función del dominio 
considerado, es decir, diferentes funciones que, a pesar de tener la misma expresión 
algebraica, difieren en función del subconjunto de variables independientes conside-
radas (visión de función como subconjunto del producto cartesiano)}. 20{En menor 
medida, se ha trabajado explícitamente la expresión verbal de una función, es decir, 
no se les ha pedido como objetivo que expresen una función verbalmente}, pero 21{sí 
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se ha trabajado la expresión a viva voz de la función en el marco de elaboración del 
modelo}, por lo que 22{esta representación ha sido trabajada, aunque sea de forma 
implícita}. ([67], pp. 6–7) 
 
Figura 9. Diagramación de la valoración del componente ‘Representatividad de la complejidad del 
objeto matemático’. Interpretación de los autores. 
En la valoración de este componente, el sujeto de estudio relacionó explícitamente el 
trabajo con modelización al tratamiento de la complejidad del objeto matemático función, 
como se evidencia en la proposición 11, mediante el cambio de concepción que se tenga 
de la misma (función como ‘relación entre variables’ y como ‘subconjunto del producto 
cartesiano’). Asimismo, desde la proposición 16 a la 19, el sujeto de estudio consideró que, 
en un problema de modelización, es el contexto el que condiciona el comportamiento del 
objeto matemático involucrado. Esta idea del sujeto de estudio guarda relación con la pos-
tura de [60] sobre las normas epistémicas (metamatemáticas) que regulan la actividad de 
modelización, en que la solución del problema debe tener sentido en el contexto de la 
situación-problema planteada. Un aspecto para resaltar es que, en la reflexión del sujeto 
de estudio sobre este componente, él utilizó en reiteradas ocasiones el término ‘concep-
ción’. Sin embargo, no especificóqué entiende por dicho término. Por esta razón, se infiere 
que su uso, a veces, lo interpreta como ‘significado parcial’ (véase [32]) de un objeto ma-
temático. 
El segundo criterio con el que se valoró la idoneidad de la unidad didáctica imple-
mentada fue el ‘criterio cognitivo’. En este criterio se encontraron comentarios valorativos 
sobre modelización en los componentes ‘Conocimientos previos’, ‘Alta demanda cogni-
tiva’, y ‘Aprendizaje’; sin embargo, en este último no se encontró una relación directa con 
los propósitos de este estudio, razón por la cual se descartó para su análisis. 
El diagrama del análisis del componente ‘Conocimientos previos’ es el siguiente: 
3{El objetivo de esta evaluación inicial se centró en analizar el dominio de los alum-
nos sobre unidades de medida y cambios de unidades}, 4{para ver el dominio del 
alumnado en este tema}, 5{fundamental para los ejercicios de modelización y para 
contextualizar algunos de los problemas}. Además, 6{es donde puede haber más dis-
paridad de nivel entre los alumnos}, dado que 7{las unidades de medida y cambios 
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de unidades no sólo se trabajan en matemáticas}. 8{El otro conocimiento previo eva-
luado es la manipulación algebraica de ecuaciones de primer grado}, 9{para ver si 
los alumnos serán capaces de trabajar con las funciones expresadas algebraicamente 
con la soltura suficiente para que, en los problemas de modelización, la manipula-
ción algebraica no sea un impedimento para la consecución de los ejercicios}. Por lo 
general, 10{se puede ver que, en cuanto a conocimiento y conversión de unidades, 6 
alumnos han cometido 2 errores o más en las 3 preguntas de conversión de unidades} 
y que, por tanto, 11{pueden sufrir problemas en el seguimiento de los problemas de 
modelización}. ([67], p. 7) 
 
Figura 10. Diagramación de la valoración del componente ‘Conocimientos previos’. Interpretación 
de los autores. 
En la valoración de este componente, desde la proposición 3 hasta la 5, se puede evi-
denciar que el sujeto de estudio les atribuyó gran importancia a los conocimientos previos 
sobre el objeto matemático función para, posteriormente, trabajar la modelización y evitar 
dificultades en el desarrollo de este tipo de tareas (estas ideas se refuerzan en las proposi-
ciones 9 y 11). Como se mencionó anteriormente, la modelización se centra fundamental-
mente en el proceso de transición entre el «mundo real» y la «matemática», más que en el 
objeto matemático involucrado (como en el caso de las aplicaciones) [73]. No obstante, la 
postura del sujeto de estudio da luces de lo contrario. Del mismo modo, no se observa en 
su relato que haya considerado como conocimientos previos de los estudiantes las expe-
riencias previas de modelización que pueden haber vivenciado. 
El diagrama del análisis del componente ‘Alta demanda cognitiva’ es el siguiente: 
Sin embargo, 5{la demanda cognitiva viene condicionada} por la 6{vertebración de 
la unidad didáctica, con problemas basados en procesos de modelización}. 7{Es en 
estos problemas donde la demanda cognitiva al alumno es mayor}. En primer lugar, 
8{todo problema de modelización requiere una primera fase de comprensión del con-
texto (contextualización)} para 9{definir cuáles son las variables (independientes y 
dependiente)} y 10{en qué unidades se quieren representar (conversión del lenguaje 
natural al matemático)}. 11{Aquí ya encontramos un primer grado de abstracción 
que, como se ha comprobado en el examen final, muchas veces se resuelven los pro-
blemas de modelización}, pero 12{cuesta que los alumnos determinen formalmente 
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las variables y, por tanto, que alcancen el máximo grado de abstracción del problema, 
que supondrá la representación del problema planteado en forma de función, típica-
mente expresada de forma algebraica, para poder ser matemáticamente analizada}. 
13{Este proceso de conversión se realiza en todos los problemas de modelización 
propuestos en esta unidad didáctica que se analiza}. Más allá de la conversión, 14{los 
problemas de modelización permiten proponer al alumno resolver situaciones con-
cretas}, de forma que 15{deben plantear diferentes situaciones o tesis} y 16{compro-
barlas a partir del modelo (argumentación matemática)} como, por ejemplo, en el 
problema de modelización de la sesión 8, 17{donde se le pide al alumno determinar 
qué tarifa de móvil es más ventajosa}. 18{La resolución de este problema se puede 
realizar calculando los costes por cada situación que plantea el problema}, o 19{rea-
lizar un cambio de representación, graficando los costes de las diferentes compañías 
(tratamiento) y, a partir del punto de corte de las funciones, ver desde qué consumo 
de móvil sale más a cuenta una compañía u otra}. 20{En este último modelo de reso-
lución, la demanda cognitiva es superior}, no sólo 21{por el mayor grado de abstrac-
ción que necesita el alumno}, sino 22{por los cambios de representación} y 22{el he-
cho de interpretar correctamente los puntos de corte de las funciones}, para 23{hacer 
deducciones de lo que ocurre en la realidad con el coste del móvil}. También, es im-
portante notar que 24{en el proceso de modelización tenemos un primer paso de ge-
neralización y abstracción} 25{al construir y expresar el modelo}, pero, 26{también, 
un ejercicio de concreción} 27{cuando deben interpretarse los resultados matemáti-
cos} para 28{sacar conclusiones en el contexto del problema (contextualización)}. Mu-
chas veces como, 29{por ejemplo, en el problema propuesto en la sesión 2 de la com-
pra de naranjas}, 30{el análisis puramente matemático de la función que representa 
el modelo tendría unas características como el dominio y recorrido} que, después, 
31{la concreción al contexto real del problema hace que tanto el dominio como el 
recorrido tengan sentido en unos intervalos más restringidos} (puesto que no pre-
senta una fácil interpretación la compra de una masa negativa de naranjas o la ob-
tención de costes negativos de una compra), 32{al pasar de la interpretación de la 
función como relación de variables a la de relación de magnitudes}. 33{Es pues gra-
cias a los problemas de modelización que se puede presentar esta riqueza de matices 
en la definición de función y poder ejemplificar para qué sirve tenerlos en cuenta}. 
34{Este proceso requiere una alta demanda cognitiva}. ([67], p. 9–10) 
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Figura 11. Diagramación de la valoración del componente ‘Alta demanda cognitiva’. Interpretación 
de los autores. 
En la valoración de este componente, se puede observar que gran parte de las propo-
siciones planteadas por el sujeto de estudio se encuentran relacionadas con la modeliza-
ción. Esto se debe, fundamentalmente, a que consideró a este proceso como el eje central 
de su unidad didáctica implementada. La proposición 8 considera de manera explícita la 
transición ‘comprender/construir’ que incluye el ciclo de modelización (véase Figura 1, 
nro. 1). Por su parte, la proposición 12 evidencia la transición ‘trabajar matemáticamente’ 
(véase Figura 1, nro. 4), al referirse concretamente al análisis del problema con las herra-
mientas de la matemática. Desde la proposición 17 a la 23, el sujeto de estudio centró su 
análisis en algunos problemas en particular, donde aludió a los aspectos semióticos (en 
términos de [74]) que implican el trabajo con modelización. Estos problemas sólo consis-
ten en ejercicios de conversión entre registros. Las proposiciones 27 y 28 se encuentran 
relacionadas con las transiciones ‘interpretar’ y ‘validar’ (véase Figura 1, nos. 5 y 6). De la 
valoración de este componente se pueden destacar dos aspectos: por una parte, el sujeto 
de estudio hizo referencia a distintas transiciones del ciclo de modelización, las cuales 
ejemplificó con los problemas de