TP7-BIO-2023_Teorema Rolle_EcTg_Aplicaciones (1)

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MATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS 26/09/2023 
 TRABAJO PRÁCTICO N° 7 
Recta Tangente. Aplicaciones de la derivada. Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio 
1) Obtenga la ecuación de las rectas tangente y normal a las curvas definidas por: 
 
a) f (x)  en el punto de abscisa x = 1; b) g(x)  (x 1)(x3  5x2  3x) en el pto de abscisa x = 2 
 
c) en el punto (0,1). d) x4  y 4  17 , en el punto (2,-1). 
e) sen xy  x2 cos y  ln y en el punto (0,1). f) 
3 
 
4 
 2x en el punto (1,4) 
x y 
g) y 2 (10  x)  x3 en el punto (2,1) h) 𝑥3 + 𝑦3 = 4𝑥𝑦 + 1 en el punto (2,1) 
 
2) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva f (x)  x2  3x  4 tal que sea paralela a la recta 3x – y = 2 
3) Qué ángulo forma con el eje ox las tangentes a la curva y  x  x2 en el punto cuya abscisa x = 0? 
4) Hallar el punto de la curva y  
1
 
1  x 2 
cuya ecuación de la recta tangente es paralela al eje ox. (La recta 
tangente es paralela al eje ox si y ´= 0) 
5) Calcule f´, f´´, f´´´ para las funciones: a) 2x2  5x  7 
 
b) x4  3x2 
 
c) cos 2x d) 
1 
. 
x 2 
6) La expresión permite obtener la distancia que recorre un objeto en función del tiempo. 
a) Determinar la velocidad promedio en el intervalo . b) Calcular la velocidad inicial del objeto. 
 
7) Determinar la velocidad de un cuerpo en el instante t = 3 seg, si la función horaria del movimiento es 
f(t) = 2t-5t2. 
 
8) La ecuación de un movimiento rectilíneo es: e(t) = t³ − 27t. ¿En qué momento la velocidad en nula? Hallar la 
aceleración en ese instante. 
 
9) Hallar el punto de la curva en el que la inclinación de la recta tangente es de 45º. 
10) Determinar la ecuación de la recta tangente a definida en el intervalo (0,5) que forma un ángulo 
de 135º con el eje X. 
11) Determinar los puntos de en los cuales la derivada es igual a -4. 
 
12) Dada la función calcular para qué valores de x se anula la derivada segunda de f. 
 
13) Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba a una velocidad inicial de 40 m/seg. Calcular su velocidad 
en el instante t = 2 seg.( S(t) = S0+v0t+1/2at
2 , a= 9,8 m/seg2) 
14) Debido a unas pésimas condiciones ambientales, una colonia de un millón de bacterias no comienza su 
reproducción hasta pasados dos meses. La función que representa la población de la colonia al variar el 
tiempo (expresado en meses) viene dada por: Se pide: 
a) Verificar que la población es función continua del tiempo. b) Calcular la tasa de variación media de la 
x2 1 
población en los intervalos [0, 2] y [0, 4]. c) Calcular la tasa de variación instantánea en t = 4. 
 
15) Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función 
p(t) = 5000 + 1000 t² , siendo t el tiempo metido en horas. Se pide: a) La velocidad media de crecimiento. 
b) La velocidad instantánea de crecimiento. c) La velocidad de crecimiento instantáneo para t 0 = 10 horas. 
 
 
 
16) Estudiar si la función f: fx) = 2x4 – 6x2 + 4 satisface las condiciones del teorema de Rolle en el 
intervalo[−1,1] , en caso afirmativo determinar el/los valores de c donde la derivada se anula 
17) Estudiar si la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 𝑥3 cumple con las condiciones del Teorema de Rolle en los intervalos 
[−1,0] 𝑦 [0,1]. En caso afirmativo, determinar el o los valores de c. 
 
18) Encontrar b para que la función 𝑔(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥 + 3 cumpla las hipótesis del TVM en el intervalo [0, 𝑏] 
 ¿Dónde se cumple la tesis? 
19) Verificar que se cumple el TVM para 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 7𝑥 + 10 𝑒𝑛 [2,5] 
20) Verificar que se cumple con las condiciones del TVM para ℎ(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥 − 1 𝑒𝑛 [0,2] 
 
 
 
Ecuación de la recta tangente y normal a la curva en un punto 
 
y  y0 f ´(x0 )(x  x0 ) Ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (x0, y0) 
 y  y0   
𝟏
𝒇 ´(𝒙𝟎 )
 (x  x0 ) Ecuación de la recta normal a la curva en el punto (x0, y0)
 
Velocidad media e instantánea 
 
Aceleración Media e instantánea 
 
 
 
 
