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República Bolivariana de Venezuela 
Universidad de Los Andes 
Facultad de Humanidades y Educación 
Escuela de Educación 
 
 
 
 
 
PROPUESTA PEDAGÓGICA PARA LA 
INTRODUCCIÓN DE LA TRIGONOMETRÍA EN UN 
CURSO DEL PRIMER AÑO DE CIENCIAS DEL CICLO 
DIVERSIFICADO 
 
Memoria de grado presentada como requisito para optar por el título 
de Licenciado(a) en Educación Mención Matemática 
 
 
 
 
Autores: Daniel A. González C. 
Lady D. Velásquez S. 
Tutor Académico: Dra. Olga Porras 
 
 
 
Mérida, julio 2006 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROPUESTA PEDAGÓGICA PARA LA 
INTRODUCCIÓN DE LA TRIGONOMETRÍA EN UN 
CURSO DEL PRIMER AÑO DE CIENCIAS DEL CICLO 
DIVERSIFICADO 
 
 
 
 
Memoria de grado presentada como requisito para optar por el título 
de Licenciado(a) en Educación Mención Matemática 
 
 
 
DEDICATORIA 
 
 
 
A la memoria de Italo González 
A nuestros padres Blanca; Margot y William 
A nuestros Hermanos 
A nuestros familiares 
A nuestros amigos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AGRADECIMIENTOS 
 
A Dios Todopoderoso, por llenarme de salud, virtudes, sabiduría y 
fortaleza para culminar ésta meta; por ser mi guía espiritual. 
 
A mis padres, Margot y William, por brindarme el apoyo; por estar 
siempre conmigo y por la oportunidad de continuar estudios superiores. 
 
A mis hermanos Alexander, Yormery, María E. y Gilberto, por su 
comprensión y por brindarme su apoyo y cariño. 
 
A mi tutora, Prof. Olga Porras, por aceptar ser la guía y orientadora 
de ésta investigación. Gracias por su disposición y paciencia. 
 
A la institución U.E. “Estado Portuguesa”, a sus profesores y 
alumnos, por permitir la aplicación de la propuesta de investigación. 
 
Al Profesor J. Pérez Sánchez, por su colaboración al aportar 
material didáctico apropiado para nuestros fines. 
 
A mis amigos y compañeros de clase, lucha y esfuerzo como 
estudiantes, Giovany, J. Monasterio, Eliana, Lilibe, Arturo y 
especialmente a Daniel por culminar junto a mí este reto. Gracias por su 
apoyo y amistad. 
 
A Rosa Ancianni, por ser tan colaboradora, compresiva y 
ayudarme de una u otra forma a lograr este reto. 
 
Y a todas aquellas personas que de una u otra forma contribuyeron 
con el desarrollo de ésta investigación y al logro de esta meta. 
Mil gracias! 
Lady D. Velásquez S. 
A mi Dios todo poderoso, por ser mi guía y por haberme dado las 
herramientas necesarias para culminar esta meta. 
 A la memoria de mi padre, que desde el cielo siempre me ha 
acompañado. 
A mi madre Blanca Elena, por creer en mí y ser la fortaleza para 
culminar todas mis metas, por el ejemplo que siempre me ha sido; a mi tía 
Ninfa, por también creer en mí y brindarme su hogar, su cariño y su 
ejemplo. 
 A nuestra tutora, la Profesora Olga Porras, por su paciencia, su 
dedicación, su orientación, por dejarnos siempre un espacio de su tiempo. 
Gracias Profesora, que Dios le multiplique todo lo que nos obsequió. 
 A mis hermanos y primas, Italo, Carlos, Ysabel y Migceli, por todo 
el cariño, comprensión, apoyo y sobre todo por siempre creer en mí. 
 A Lady, por creer en mí, haberse atrevido tomar este reto conmigo. 
Sin ti creo que me hubiese dado muchos tropiezos en el camino. 
Gracias... 
 A mis amigos y amigas, Arturo, José David, Jackson, Eliana, 
Yaquiraldy, Saraí, Carolina, Lilibe, Leonardo, Renzo, Yeslaine, y a nuestra 
secretaria Rosita. Gracias por su amistad y apoyo incondicional. 
 A la Universidad de Los Andes, por haberme obsequiado todo el 
conocimiento que adquirí en mi escolaridad y en la realización de mi 
memoria de grado. “Por haberme permitido ser alumno de mis profesores. 
Gracias…” 
 A la Unidad Educativa “Estado Portuguesa” de San Juan de 
Lagunillas, a su personal directivo, equipo docente y por supuesto a mis 
alumnos del Primero de Ciencias Sección “B” del año escoñar 2005-2006, 
por haberme brindado el apoyo necesario para la aplicación de esta 
propuesta y por toda la paciencia que me prestaron para culminar esta 
meta. 
 A todas aquellas personas que me acompañaron en este camino; a 
todos aquellos que hoy celebran este logro, gracias, mil gracias… 
 Daniel A. González C. 
Mérida, 1 de junio de 2006 
 
Señores 
Miembros Comisión Memoria de Grado 
Departamento de Medición y Evaluación 
Escuela de Educación 
Facultad de Humanidades y Educación 
Universidad de los Andes 
Presentes.- 
 
Distinguidos (as) profesores (as): 
Muy respetuosamente me dirijo a ustedes, en la oportunidad de informarle 
que, como TUTOR de la Memoria de Grado Titulada: Propuesta 
Pedagógica para la Introducción de la Trigonometría en un curso del 
Primer Año de Ciencias del Ciclo Diversificado, realizada por los (as) 
Bachilleres: Velásquez S. Lady D. y González C. Daniel A., como requisito 
para optar al título de Licenciados (as) en Educación Mención 
Matemática, he leído, revisado y corregido la misma, estando conforme 
con su contenido. 
 
Por lo antes expuesto, remito a esa Comisión para su conocimiento y 
fines consiguientes, 3 (tres) ejemplares de dicha Memoria de grado, a fin 
de cumplir con las formalidades establecidas en el Reglamento de 
Memoria de Grado Vigente. 
 
Atentamente, 
 
--------------------------------- -------------------------------- 
Nombre y Apellido Firma 
 
 
 
Universidad de los Andes 
Facultad de Humanidades y Educación 
Escuela de Educación 
 
DEPARTAMENTO DE MEDICIÓN Y EVALUACIÓN 
COMISIÓN MEMORIAS DE GRADO 
 
Título de la Memoria de Grado: Propuesta Pedagógica para la 
Introducción de la Trigonometría en un curso del Primer Año de 
Ciencias del Ciclo Diversificado. 
 
Autor (es): Velásquez S. Lady D. y González C. Daniel A. 
Tutora: Dra. Porras Olga 
 
Jurados sugeridos por la comisión: 
 
 
 
Fecha: 31 / 05 / 2006 
 
Resumen 
 
 Uno de los temas matemáticos de primordial importancia en la formación del 
alumno del primer año de ciencias del ciclo diversificado, es el de la 
trigonometría, considerado de gran dificultad para la comprensión de los 
alumnos debido al escaso cultivo de la Geometría, en el aula de clase, en la 2da y 
la 3a etapa de Educación Básica. Sin embargo, a pesar de esta situación, los 
modelos y métodos utilizados por los docentes para su enseñanza continúan 
siendo los “tradicionales”. El presente trabajo ofrece una propuesta 
metodológica para la enseñanza de las razones trigonométricas en el triángulo 
rectángulo y en el círculo trigonométrico, dirigida a estudiantes del primer año 
de ciencias del ciclo diversificado, fundamentada en el enfoque constructivista, 
utilizando como herramientas auxiliares la Historia de la Matemática y la 
Geometría plana elemental. 
 
 De este modo, el objetivo primordial de este trabajo consiste en la 
elaboración, validación y aplicación de una propuesta para la introducción a la 
trigonometría en un curso del primer año de ciencias del ciclo diversificado, en la 
cual se brinden oportunidades a los estudiantes para la adquisición de 
conocimientos geométricos necesarios para una construcción natural del 
significado de las razones trigonométricas, así como para un manejo adecuado 
del círculo trigonométrico y sus propiedades. 
 
 Este trabajo consiste en una investigación de tipo aplicada y 
correlacional donde se busca conocer la posible incidencia de la aplicación de la 
propuesta, sobre el conocimiento alcanzado por los alumnos del primer año de 
ciencias, acerca del contenido matemático referido a la trigonometría. El diseño 
del mismo es cuasiexperimental; se elaboró y validó dos instrumentos: el 
primero denominado preprueba, titulado “test diagnóstico para determinar el nivel 
de conocimientos alcanzado por los alumnos de primer año de ciencias del ciclodiversificado sobre geometría plana elemental” y el segundo denominado 
postprueba titulado “test para determinar el conocimiento alcanzado por los 
alumnos del primer año de ciencias del ciclo diversificado sobre nociones 
básicas de trigonometría”, los cuales se aplicaron a grupos intactos, uno de 
control y otro experimental; este último recibe el tratamiento o la aplicación de la 
propuesta. 
 
 Por otro lado, los análisis estadísticos reflejaron que, los alumnos a 
quienes se les aplicó la propuesta, obtuvieron mayor rendimiento promedio que 
los alumnos a quienes se les impartió clases con el uso del método tradicional. 
Esto le proporciona un valor favorable a la aplicación de la propuesta en relación 
con la metodología tradicional en la enseñanza de las razones trigonométricas. 
 
 
 
ÍNDICE 
 Pág 
 
Introducción 08 
CAPíTULO I: PROBLEMA DE LA INVESTIGACIÓN 
1.1 Planteamiento del problema…………………………….... 10 
1.2 Justificación de la investigación………………………….. 13 
1.3 Objetivos de la investigación………………………………15 
 1.3.1 Objetivo general…………………………………. 15 
 1.3.2 Objetivos específicos…………………………… 15 
1.4 Contextualización curricular……………………………… 17 
CAPÍTULO II: MARCO TEÓRICO 
 2.1 Antecedentes……………………………………………..... 18 
 2.2Bases teóricas……………………………………………... 21 
2.2.1 Fundamentación didáctica- epistemológica….. 21 
2.2.2 Fundamentación histórica………………………. 26 
 2.2.3 Fundamentación matemática…………………... 28 
CAPÍTULO III : MARCO METODOLÓGICO 
3.1 Tipo de investigación……………………………………… 40 
3.2 Diseño de la investigación ……………………………….. 40 
3.3 Población y muestra ……………………………………… 41 
3.4 Variables de la investigación…………………………….. 41 
 3.4.1 Variable independiente………………………….. 41 
 3.4.2 Variable dependiente……………………………. 42 
 3.5 Hipótesis de la investigación……………………………... 43 
 3.5.1 Hipótesis Alterna…………………………………. 43 
 3.5.2 Hipótesis nula…………………………………….. 43 
 3.6 Técnicas e instrumentos de recolección de datos……... 43 
 3.6.1 Test diagnóstico…………………………………………. 44 
 3.6.2 Validez de los instrumentos……………………………...45 
3.6.2.1 Validez……………………………………………46 
3.6.2.1.1 Validez del Test diagnóstico…………47 
3.6.3 Confiabilidad del Test diagnóstico……………………..48 
 
3.6.4 Proceso de conversión de puntaje del 
test diagnóstico………………………………………….48 
3.6.5 Análisis de los resultados obtenidos en el test 
diagnóstico……………………………………………....50 
3.6.5.1 Tablas y gráficos descriptivos……………......50 
3.6.6 Discusión de los resultados del test diagnóstico……..56 
Análisis de textos escolares…………………………………...57 
CAPÍTULO IV: PROPUESTA PEDAGÓGICA PARA 
LA INTRODUCCIÓN DE LA TRIGONOMETRÍA 
4.1 Introducción………………………………………………….62 
 4.2 Mapa conceptual…………………………………………….64 
 4.3 Objetivos de la propuesta…………………………………..66 
4.3.1 Objetivo general…………………………………...66 
 4.3.1.1 Objetivos cualitativos descriptores…….66 
 4.3.1.2 Objetivos cualitativos indicadores……..67 
4.4 Desarrollo de la propuesta………………………………….68 
4.5 Problemario…………………………………………………125 
4.6 Aplicación de la Propuesta………………………………...130 
4.7 Test 2………………………………………………………...142 
4.8 Validez del Test 2…………………………………………...143 
4.9 Confiabilidad del Test 2………………………………….…144 
4.10 Proceso de conversión de puntaje del Test 2…………..144 
CAPÍTULO V: ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DEL TEST 2 
 5.1 Análisis descriptivos………………………………………...146 
 5.1.1 Tablas y gráficos descriptivos…………….……..147 
 5.2 Análisis inferencial……………………………………….....166 
CAPÍTULO VI: DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS DEL TEST 2, 
CONCLUSIONES GENERALES Y RECOMENDACIONES 
6.1 Discusión de los resultados del análisis descriptivo del 
 test 2 y discusión de los resultados obtenidos en la 
convalidación de las hipótesis de investigación 
(análisis inferencial)………………………………………….…174 
6.2Conclusiones………………………………………………...175 
6.3 Recomendaciones………………………………………....176 
 
Referencias Bibliográficas…………………………………………..177 
Anexos…………………………………………………………………..181 
 
 
 
 
INTRODUCCIÓN 
 
 Los innumerables cambios ocurridos recientemente a nivel teórico en 
la concepción de la educación y particularmente de la educación 
matemática, así como las dificultades inherentes al proceso de enseñanza- 
aprendizaje son el motivo del desarrollo de esta investigación, la cual está 
destinada a buscar un cambio en la concepción adoptada por el docente y 
por sus alumnos, así como en los métodos y modelos utilizados en la 
enseñanza de la matemática. 
 
 Uno de los temas matemáticos de primordial importancia en la 
formación del alumno del primer año de ciencias del ciclo diversificado, es el 
de la trigonometría, considerado de gran dificultad para la comprensión de 
los alumnos debido al escaso cultivo de la Geometría, en el aula de clase, en 
la 2da y la 3a etapa de Educación Básica. Sin embargo, a pesar de esta 
situación, los modelos y métodos utilizados por los docentes para su 
enseñanza continúan siendo los “tradicionales”. El presente trabajo ofrece 
una propuesta metodológica para la enseñanza de las razones 
trigonométricas en el triángulo rectángulo y en el círculo trigonométrico, 
dirigida a estudiantes del primer año de ciencias del ciclo diversificado, 
fundamentada en el enfoque constructivista, utilizando como herramientas 
auxiliares la Historia de la Matemática y la Geometría plana elemental. 
 
 De este modo, el objetivo primordial de este trabajo consiste en la 
elaboración, validación y aplicación de una propuesta para la introducción a 
la trigonometría en un curso del primer año de ciencias del ciclo 
diversificado, en la cual se brinden oportunidades a los estudiantes para la 
adquisición de conocimientos geométricos necesarios para una construcción 
natural del significado de las razones trigonométricas, así como para un 
manejo adecuado del círculo trigonométrico y sus propiedades. 
 
 Este trabajo consiste en una investigación de tipo aplicada y 
correlacional donde se busca conocer la posible incidencia de la aplicación 
 8
de la propuesta, sobre el conocimiento alcanzado por los alumnos del primer 
año de ciencias, acerca del contenido matemático referido a la trigonometría. 
El diseño del mismo es cuasiexperimental; se elaboraron y validaron dos 
instrumentos: el primero denominado preprueba, titulado “test diagnóstico 
para determinar el nivel de conocimientos alcanzados por los alumnos de 
primer año de ciencias del ciclo diversificado sobre geometría plana 
elemental” y el segundo denominado postprueba titulado “test para 
determinar el conocimiento alcanzado por los alumnos del primer año de 
ciencias del ciclo diversificado sobre nociones básicas de trigonometría”, los 
cuales se aplicaron a grupos intactos, uno de control y otro experimental; 
donde este último recibe el tratamiento o la aplicación de la propuesta. 
 
Este trabajo se encuentra estructurado de la siguiente manera: 
 Capítulo I: se plantea el problema de investigación, su justificación y 
los objetivos de estudio. 
 Capítulo II: se presentan algunos antecedentes y el marco teórico que 
sustentan el estudio. 
 Capítulo III: se explica todo lo referente a la metodología utilizada; lo 
relacionado con el test diagnóstico (preprueba) y el análisis de textos 
escolares. 
 Capítulo IV: se presenta la introducción de la propuesta, el mapa 
conceptual, sus objetivos, el desarrollo de su contenido, los registros 
de observación obtenidos de la aplicación de la propuesta, el 
problemario y todo lo relacionado con el test 2 (postest o postprueba). 
 Capítulo V: se realiza el análisis descriptivo de los resultados 
obtenidos mediante la aplicación del postest y el análisis inferencial. 
 Capítulo VI: se expone la discusión de los resultados del test 2 
(postest), se enuncian las conclusiones generales y recomendaciones 
derivadasde la ejecución del estudio. 
 
 
 
 
 9
CAPITULO I 
 
PROBLEMA DE LA INVESTIGACIÓN 
 
1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 
 
La educación en general y en particular la educación matemática 
enfrenta un gran reto: lograr un cambio en la concepción paradigmática 
adoptada por el docente. Es hecho que la enseñanza de las matemáticas, en 
la práctica, no se ha separado de los viejos métodos y modelos, superados 
en casi todos los ámbitos de nuestra sociedad (Goded, 1997, citado por 
Albarrán.2005). El cambio requerido conllevaría a la adopción de un nuevo 
enfoque y por lo tanto a la formulación de nuevos métodos y modelos de 
enseñanza para los contenidos matemáticos, fundamentados en los nuevos 
paradigmas. 
 
En este orden de ideas, el presente trabajo tiene como fin principal la 
búsqueda, elaboración y validación de una propuesta de enseñanza para la 
introducción al contenido matemático referido a la trigonometría, 
fundamentada en el enfoque constructivista, con el objeto de contribuir a 
generar ese cambio de concepción en la enseñanza de la matemática, y 
consecuentemente, un cambio en la metodología. 
 
Uno de los contenidos con los cuales la enseñanza de la matemática 
enfrenta grandes dificultades, subestimadas por muchos, es el de la 
trigonometría, debido al abandono de la geometría en el aula de clase, en un 
gran porcentaje de los cursos de matemática de la escuela básica ( primera , 
segunda y tercera etapas). 
 
A partir de los años 70 surge el nacimiento de la denominada 
“Matemática moderna”; el cual fue un movimiento de renovación, que trajo 
consigo un cambio de la perspectiva en que se debería enfocar la 
enseñanza de la matemática. Esta transformación condujo a una ausencia 
 10
de la geometría en las clases de matemática debido a su difícil 
fundamentación rigurosa, dándole mayor cabida a la utilización del álgebra, 
a causa de que sus abstractas estructuras daban una formalidad necesaria 
según la concepción establecida, a la clase de matemática. 
 
Este abandono casi absoluto de la geometría desde los primeros 
niveles de la educación, trae como consecuencia que el docente que se 
encuentra, a partir de los años 80, en el aula de educación básica, no posee 
la formación necesaria y suficiente para enseñar el área que dió origen a 
gran parte de las nociones que permitieron el desarrollo y la evolución de la 
matemática. Aunque este error provocado por la enseñanza de la 
“Matemática moderna” fue reconocido a partir de los años 80 en los países 
que con más rigor se ciñeron a este movimiento, sus consecuencias 
lentamente se han ido superando. Nuestro país, que se incorporó 
tardíamente tanto a la corriente de la matemática moderna como a las 
rectificaciones necesarias, todavía padece de las dificultades mencionadas. 
Esto, a su vez, implica que el alumno del primer año de ciencias del ciclo 
diversificado y que se inicia en el conocimiento de la trigonometría, 
desconozca en gran parte aspectos como: simetría axial, vectores, 
rotaciones, semejanza, proporciones, traslaciones y congruencia, en el 
contexto de la geometría plana, los cuales son de esencial importancia para 
la comprensión de la trigonometría. 
 
Un aprendizaje óptimo en trigonometría es fundamental para los 
estudiantes del primer año de ciencias del ciclo diversificado, ya que en ella 
convergen un gran número de tópicos que se desarrollan en la matemática 
previa a ella, como por ejemplo, los aspectos en geometría plana nombrados 
anteriormente, así como también operaciones en el conjunto de los números 
reales, la noción de función, el manejo adecuado del plano cartesiano, la 
resolución de ecuaciones algebraicas, entre otros temas de suma 
importancia en el desarrollo de la cultura matemática del estudiante. Es allí 
donde éste, tras haber obtenido un buen aprendizaje, logra razonar y 
manejar lógicamente todos las nociones que se le han presentado en 
 11
matemáticas previamente. Es posible que muchos de los estudiantes de 
primer año de ciencias no se encaminen en alguna disciplina del área 
científico-tecnológica, pero la trigonometría y en general la matemática 
ayuda a desarrollar el pensamiento lógico, el cual es indispensable en 
distintas áreas del saber humano. 
 
Una de las intenciones de esta propuesta es enfatizar la importancia 
que tiene, a la hora de diseñar actividades de aula, la conciencia de la 
necesidad de establecer conexiones explícitas entre los conocimientos ya 
adquiridos por el alumno y los que deberá adquirir. Cabe destacar que los 
conocimientos ya adquiridos por los estudiantes (los de Geometría plana 
elemental), serán reforzados utilizando la Teoría de Van Hiele. Se pretende 
que los alumnos, partiendo de la observación, visualización y manipulación 
de figuras geométricas y materiales didácticos, lleguen a construir las 
definiciones de manera rigurosa e integrarlas de manera definitiva entre sus 
conocimientos previos fundamentales para iniciarse en el estudio de la 
trigonometría. La aplicación de un test diagnóstico titulado “test diagnóstico 
para determinar el nivel de conocimientos alcanzados por los alumnos de 
primer año de ciencias del ciclo diversificado sobre geometría plana 
elemental”, reflejó que la mayoría de los estudiantes no poseen los 
conocimientos acerca de Geometría plana elemental necesarios para 
iniciarse en el estudio de la trigonometría. 
 
Esta importancia está plenamente justificada por la teoría 
constructivista, de ahí que una adecuada introducción a cada nuevo tema en 
matemática es esencial para propiciar el aprendizaje significativo del mismo. 
Esta introducción debería incluir: 
1. Un refuerzo de los conceptos previos necesarios para la 
comprensión del nuevo tema. 
2. El establecimiento explícito de conexiones entre el nuevo tema 
y los conocidos previamente. 
3. La motivación para el aprendizaje del nuevo tema, a través de 
estrategias diferentes como: elementos de la historia de la 
 12
matemática, aspectos de utilidad práctica del tema, actividades 
lúdicas u otras estrategias didácticas. 
 
Estas estrategias de motivación estarían dirigidas a lograr un cambio 
actitudinal en el estudiante que sea favorable a la construcción de su 
conocimiento del nuevo tema. 
 
Es por ello que planteamos la utilización de elementos, tanto de la 
historia como de la epistemología de las razones trigonométricas, para el 
diseño de esta propuesta, en la búsqueda de conexiones apropiadas para el 
fin mencionado en el párrafo anterior. 
 
1.2 JUSTIFICACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN 
 
En la actualidad, el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática 
en el aula, presenta un gran número de dificultades, las cuales son de alto 
interés de investigación. Dichas dificultades son producto de diversos 
factores, dentro de los cuales podemos mencionar: la formación del docente 
de matemática, la organización de los contenidos en el currículo, la falta de 
motivación experimentada por los estudiantes en sus clases de matemática, 
la poca conexión que el profesor de matemáticas logra establecer entre la 
vida diaria y los contenidos matemáticos, y algunos otros aspectos que 
pueden ser dignos de estudio. 
 
Según Guzmán (1993), los últimos treinta años han sido escenario de 
cambios muy profundos en la enseñanza de la matemática, naciendo el 
movimiento de renovación de los años 60 y 70 hacia la “ Matemática 
moderna “ que trajo consigo una honda transformación de la enseñanza por 
los contenidos nuevos con él introducidos. Entre las transformaciones 
ocurridas están las siguientes: 
• Se intentó profundizar en el rigor lógico. 
• Se hizo énfasis en la abstracción en diversas áreas de la 
Matemática, especialmente en álgebra. 
 13
• La geometría elemental, al ser mucho más difícil de fundamentar, 
sufrió un gran deterioro. 
• La geometría elemental abunda en problemas interesantes, y al 
sustituír éstos porejercicios monótonos y ajenos a las aplicaciones, 
que es lo que el álgebra elemental puede ofrecer, se produjo un 
vacío en el tratamiento de la geometría, tanto en contenido como en 
problemas. 
Este vacío de la geometría en los alumnos del primer año de ciencias 
del ciclo diversificado, es reflejado en el test diagnóstico aplicado a los 
mismos. Por ello, la importancia del uso de la teoría de Van Hiele para 
reforzar los contenidos geométricos necesarios para iniciarse en el estudio 
de la trigonometría. 
 
A partir de los años 70, se comenzó a observar que las 
transformaciones antes mencionadas no habían resultado muy provechosas. 
Al reemplazar la geometría por el álgebra, la matemática elemental se agotó 
rápidamente de contenidos y de problemas interesantes. También la falta de 
intuición fue otra de las consecuencias del alejamiento de la geometría de 
los programas, falla que hoy en día se puede percibir en las personas que 
realizaron su formación en aquellos años. 
 
Sin embargo, en los años 80 hubo un exagerado acercamiento hacia la 
“Matemática moderna” en lo que respecta al énfasis en la estructura 
abstracta de la matemática. Es necesario cuidar y cultivar la intuición en 
general, la manipulación operativa del espacio y de los símbolos 
matemáticos. 
 
Para entender la interacción entre la realidad y la matemática es 
menester acudir, por una parte, a la historia de la matemática, que ha dado 
lugar a los conceptos matemáticos que se quieren explorar con los alumnos 
y para ello es necesario conocer a fondo el contexto histórico que enmarca 
estos conceptos adecuadamente, y por otra parte, acudir a las aplicaciones 
de la matemática, que nos hacen ver la riqueza y potencia de esta ciencia. 
 14
Por otra parte, se considera que el conocimiento de la historia de la 
matemática, debería formar parte indispensable de los conocimientos del 
matemático en general y del profesor de cualquier nivel, primario, secundario 
o terciario en particular. Y, en el caso de este último, no solo con la intención 
de que lo pueda utilizar como instrumento en su propia enseñanza, sino 
primeramente porque la historia le puede proporcionar una visión 
verdaderamente humana de la ciencia y de la matemática, de lo cual suele 
estar también el matemático muy necesitado para su propia pedagogía y 
para comprender mejor las dificultades de los alumnos; por ello, la historia 
debería ser un potente auxiliar para : 
 
• Introducir de manera adecuada las ideas en matemática. 
• Enmarcar temporalmente las grandes ideas junto con su 
motivación precedente. 
 
 Si la educación matemática deja a un lado sus orígenes, los cuales 
están presentes en problemas de la realidad y las aplicaciones para 
solucionar estos problemas y sólo se dedica a mostrar los resultados 
teóricos de la misma, estaría escondiendo gran parte de la vital importancia 
que la Matemática verdaderamente tiene en nuestra cultura. 
 
 
1.3 OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN 
 
1.3.1 Objetivo general 
 
Elaborar, aplicar y validar una propuesta para la introducción a la 
trigonometría en un curso del primer año de ciencias del ciclo diversificado, 
en la cual se brinden oportunidades a los estudiantes para la adquisición de 
conocimientos geométricos necesarios para una construcción natural del 
significado de las razones trigonométricas, así como para un manejo 
adecuado del círculo trigonométrico y sus propiedades. 
 
 15
1.3.2 Objetivos específicos 
 
• Determinar cuál es la fundamentación, planteamiento y organización 
del contenido trigonométrico en los textos y programas del primer año 
de ciencias del ciclo diversificado. 
 
• Utilizar las herramientas que nos proporciona la historia de la 
matemática como medio de conexión entre los temas trigonométricos 
y problemas variados de naturaleza práctica, y motivar su estudio por 
parte de los estudiantes para facilitar la enseñanza-aprendizaje de la 
trigonometría. 
 
• Estimular la reflexión en los docentes del primer año de ciencias del 
ciclo diversificado, acerca de la importancia de seleccionar 
estrategias apropiadas en el momento de introducir los conceptos 
básicos de trigonometría a sus alumnos. 
 
• Lograr que los alumnos utilicen en mayor grado la intuición y el 
razonamiento a partir de las propiedades de las figuras geométricas 
elementales, para la comprensión y manipulación de los conceptos y 
razones trigonométricas. 
 
• Medir los conocimientos adquiridos por los alumnos del primer año de 
ciencias del ciclo diversificado, respecto a geometría elemental en 
cursos anteriores. 
 
• Medir los conocimientos adquiridos por los alumnos del primer año de 
ciencias del ciclo diversificado, en relación a la trigonometría. 
 
• Analizar los registros de la experiencia estudiantil tomados por el 
docente en el momento de la aplicación de la propuesta para permitir 
una reflexión sobre las dificultades y/o facilidades que presente la 
propuesta para el proceso de enseñanza y aprendizaje. 
 16
1.4 CONTEXTUALIZACIÓN CURRICULAR 
 
 
 De acuerdo al programa de articulación del nivel de educación media 
diversificada y profesional (Julio, 1.990), la trigonometría debe darse en el 
primer año de ciencias del ciclo diversificado, ocupando la unidad II, ya que 
la unidad I trata de las funciones reales, las cuales los alumnos deben 
dominar para que en el momento de introducir las funciones trigonométricas, 
ellos entiendan éstas. El programa sugiere que, antes de iniciar con la 
unidad II, se les de a los alumnos un repaso sobre conceptos y relaciones 
básicas de geometría en torno al triángulo rectángulo y a la circunferencia, 
en particular al teorema de Pitágoras, y sobre álgebra elemental con 
manipulación de expresiones algebraicas. 
 
Por otra parte, también sugiere que el profesor oriente al estudiante 
en el estudio de la unidad II (trigonometría), de manera tal, que al finalizar 
ésta unidad el alumno diferencie las razones trigonométricas de las 
funciones trigonométricas. 
 
El tiempo estipulado para cubrir el tema de la trigonometría es de 
aproximadamente 6 semanas, cada semana con 4 horas de clase. 
 
Al finalizar con la unidad II, se comienza a dar vectores en el plano y 
luego números complejos (unidad III y IV). Estas unidades son dadas 
después de trigonometría porque en ellas se utilizan las razones 
trigonométricas por ejemplo, para hallar la magnitud de un vector y pasar un 
número complejo de la forma polar a la forma trigonométrica. 
 
 
 
 
 
 
 17
CAPITULO II 
 
MARCO TEÓRICO 
 
 
2.1 ANTECEDENTES 
 
Una investigación realizada en la Universidad de Oriente por el 
Profesor Miguel Centeno y la Profesora B. Barrera, denominada “Evaluando 
los niveles de razonamiento geométrico, según el modelo de Van Hiele, de 
los estudiantes de geometría I de la Licenciatura en Educación Integral de la 
UDO- Núcleo Sucre, II-2001”, tenía como objetivo evaluar el nivel de 
razonamiento geométrico de los estudiantes de Geometría I de la 
licenciatura en Educación Integral, específicamente un grupo del semestre II 
en el año 2001, de acuerdo al modelo de Van Hiele. Este tipo de 
investigación fue aplicada en estudiantes encaminados hacia la docencia en 
la escuela básica; fue dirigida a futuros docentes y a docentes que 
laboraban en las primeras etapas de la educación básica, por considerar que 
los cimientos de la educación de cualquier individuo se encuentran 
precisamente a este nivel de estudio. Para lograr ese propósito se elaboró 
una prueba estructurada, de acuerdo a los niveles de razonamiento de Van 
Hiele, aplicándosele a la muestra seleccionada. 
 
Se hizo un análisis porcentual de los resultados obtenidos 
encontrándose que la mayoría de los estudiantes de la muestra exhibían 
características propias del denominado nivel de visualización. En otras 
palabras, esto reflejó que el nivel de conocimiento delos futuros docentes en 
ejercicio no era el óptimo para mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje 
de la geometría. 
En eventos anuales organizados por la Facultad de Ciencias de la 
Universidad de Los Andes, denominados, escuela para la enseñanza de la 
Matemática, la Profesora Olga Porras y el Profesor Diómedes Bárcenas en 
el año 2002, publicaron un texto en el cual se presentan muchos de los 
 18
contextos para la enseñanza de la trigonometría que se aplicarán en nuestra 
propuesta. Algunas de las temáticas que abarca el texto son: las nociones 
de geometría elemental que sustentan el desarrollo de la trigonometría, tanto 
históricamente como desde el punto de vista conceptual: triángulos, 
semejanza de triángulos, circunferencias; aplicaciones interesantes de la 
trigonometría e introducen las nociones básicas de razones trigonométricas 
en el triángulo rectángulo y las funciones respectivas en el círculo 
trigonométrico, luego de un breve recuento histórico del origen de éstas 
ideas. 
 
Por otra parte, Porras y Bárcenas (2002), señalan que el escaso, 
cuando no nulo, contacto con la geometría, de nuestros estudiantes en los 
cursos previos al ciclo diversificado, es uno de los principales factores que 
ocasionan dificultades serias en los primeros encuentros de los jóvenes con 
la trigonometría. También consideran que el conocimiento de la historia de la 
trigonometría en los docentes y alumnos, ayuda a que le encuentren sentido 
a ese cúmulo de definiciones y relaciones que constituyen la introducción a 
la trigonometría; además, que estimula la imaginación, curiosidad y la 
creatividad del estudiante. 
 
La Profesora Olga Porras junto con un equipo de docentes del Liceo 
Libertador en la ciudad de Mérida, municipio Libertador, aplicaron una 
“Propuesta de reforma curricular para la asignatura de matemáticas en la III 
etapa de Educación Básica”, dicha propuesta fue presentada como parte del 
proyecto de extensión universitaria denominado “Proyecto Palestra” iniciado 
en el año 1996. 
 
En esta reforma se implementaron unos cambios curriculares y 
metodológicos en la clase de matemática, donde se utilizaron algunos 
materiales didácticos y fundamentalmente las herramientas que proporciona 
la historia de la Matemática, tomándose como muestra un grupo de séptimo 
grado, específicamente la sección “C” de la III etapa de educación básica 
que se encontraban cursando estudios en el Liceo Libertador en el año 
 19
escolar 1997-1998. Este grupo de estudiantes se mantuvo en la misma 
sección cuando pasaron al octavo y noveno Grado de la III etapa de 
Educación Básica y durante esos dos años cursaron la asignatura de 
matemáticas siguiendo el diseño curricular propuesto. 
 
Las observaciones realizadas en torno a la muestra seleccionada para 
la aplicación de la propuesta a lo largo de la experiencia, arrojaron datos 
cualitativos esperanzadores, el más importante de los cuales fue la 
apreciación de los docentes que dictaron la asignatura de física a los 
estudiantes de la sección “C” en el noveno grado y primer año de ciencias. 
La impresión de los docentes fue que esa sección se destacaba claramente 
por la actitud de los estudiantes hacia el aprendizaje, el cual les hacía 
asimilar más fácilmente los conceptos, hacer inferencias y participar más 
activamente en clase. 
 
En un trabajo realizado por Abreu, L (2004), se aborda el aprendizaje 
por medio de problemas, haciendo uso de la modelación matemática en el 
proceso de enseñanza- aprendizaje de las funciones trigonométricas. En la 
ejecución de la investigación, se combinaron métodos del nivel teórico y del 
nivel empírico del conocimiento científico. Se pudo constatar la existencia de 
esta problemática en el proceso de enseñanza- aprendizaje de las funciones 
trigonométricas, en los preuniversitarios de la provincia de Sancti Spíritus 
ubicada en la isla de Cuba. El análisis de las posibles causas del problema, 
condujo a la elaboración de un procedimiento didáctico para usar la 
modelación matemática en el estudio de las funciones trigonométricas, el 
cual puede ser utilizado por los docentes en el empeño de mejorar los 
resultados de su labor para apoyar el aprendizaje de los educandos. 
 
El procedimiento fue orientado hacia la etapa de diseño y constó de 
cinco acciones, que a la vez, fueron integradas por operaciones que 
contribuyeron a guiar la actividad a realizar, por el docente, para diseñar el 
proceso de enseñanza- aprendizaje. Se ejemplificó con el estudio de las 
funciones seno y coseno. La validación de la propuesta se realizó mediante 
 20
el método de expertos. Se obtuvieron criterios favorables sobre la forma en 
que se descubrió el procedimiento, su contribución a la solución del 
problema y a la posibilidad de aplicación en las condiciones concretas de la 
provincia de Sancti Spíritus. 
 
 
2.2 BASES TEÓRICAS 
 
 
2.2.1 FUNDAMENTACIÓN DIDÁCTICA- EPISTEMOLÓGICA 
 
2.2.1.1 Constructivismo 
Según Burk (s/f), desde dos puntos de vista pueden enfocarse los 
fundamentos de la enseñanza de la Matemática; uno es el enfoque 
formalista, el cual consiste en la manipulación de un conjunto de símbolos, 
organizados de tal modo que representan un conjunto de proposiciones de 
las cuales ninguna contradiga a las restantes; todas las proposiciones 
deben estar acordes lógicamente con cualquier otra del sistema. 
Este enfoque de alguna manera resulta engorroso para nuestros 
estudiantes y en general para una población que no interactúe en el 
quehacer matemático, ya que está inmerso en un lenguaje simbólico, el cual, 
la gran mayoría de esa población no logra interpretar de manera adecuada. 
El segundo enfoque de Burk (s/f), es el enfoque constructivista, el cual 
permite presentar la Matemática como un ejercicio intuitivo, donde el 
estudiante puede interpretar lógicamente los conceptos presentados en la 
clase de Matemática. 
Las teorías constructivistas son, ante todo, teorías epistemológicas, 
que tratan de explicar de qué manera se produce el conocimiento y cuáles 
son las condiciones necesarias para que éste tenga lugar (Rondón, 2004). 
 21
La visión constructivista del aprendizaje cada día toma mayor auge y 
es así que esta perspectiva subyace en muchas de las investigaciones 
educativas que se realizan actualmente. Este enfoque nos impone nuevos 
retos, como lo indica Manterola (1992), “Enseñar ahora no es suministrar, 
aportar, proporcionar, dar,… conocimientos a los estudiantes”. La enseñanza 
bajo este enfoque se concibe como un proceso a través del cual se ayuda, 
se apoya y se dirige al estudiante en la construcción del conocimiento. Para 
ayudar al estudiante en ese proceso, el docente debe partir de la estructura 
conceptual de cada alumno, de las ideas y conceptos previos que ya posee, 
porque es a partir de allí que el alumno va a proporcionar los primeros 
significados al tema que se va a enseñar; se trata de lograr que el alumno 
vaya de lo simple (conocimiento intuitivo o ingenuo) a lo complejo 
(conocimiento formal, científico). 
Esta propuesta, desde el punto de vista didáctico, está basada en el 
enfoque constructivista, pues a través de su implementación, se espera 
lograr que los alumnos del primero de ciencias de educación media, 
diversificada y profesional a partir de los conceptos previos en geometría 
elemental y la discusión en clase, sean capaces de construir su 
conocimiento bajo una interacción docente-alumno-contenido-contexto. 
2.2.1.2 Teoría de Van Hiele 
 
En los años 50, los esposos Pierre M. Van Hiele y Dina Van Hiele-
Geldof, trabajaban como profesores de Geometría de enseñanza secundaria 
en Holanda. A partir de su experiencia docente, elaboraron un modelo que 
trata de explicar por un lado cómo se produce la evolución del razonamiento 
geométrico de los estudiantes y por otro cómo puede un docente ayudar a 
sus alumnos para que mejoren la calidadde su razonamiento. Entre los 
objetivos de nuestra propuesta, se encuentra el que el alumno del primer 
año de ciencias del ciclo diversificado, a través de la manipulación de 
objetos y figuras geométricas, pueda elevar su nivel de razonamiento y de 
ésta manera adquirir un aprendizaje significativo. 
 22
 El modelo Van Hiele tiene como componentes principales la "Teoría 
de los niveles de razonamiento", que explica cómo se produce el desarrollo 
en la calidad del razonamiento geométrico de los estudiantes cuando éstos 
estudian Geometría, y las "Fases de aprendizaje", que constituye su 
propuesta didáctica para la secuenciación de actividades de enseñanza-
aprendizaje en el aula, con el objeto de facilitar el ascenso de los estudiantes 
de un nivel de razonamiento al inmediatamente superior. Vamos a explicar 
brevemente en qué consisten ambos componentes del modelo. 
2.2.1.2.1 Los niveles de razonamiento 
Los niveles de razonamiento describen los distintos tipos de 
razonamiento geométrico de los estudiantes a lo largo de su formación 
Matemática, que va desde el razonamiento intuitivo de los niños de 
preescolar hasta el formal y abstracto de los estudiantes de las Facultades 
de Ciencias o estudiantes de nuestra licenciatura. De acuerdo con el modelo 
de Van Hiele, si el aprendiz es guiado por experiencias instruccionales 
adecuadas, avanza a través de los cinco niveles de razonamiento, 
empezando con el reconocimiento de cada figura como un todo (nivel 1), 
progresando hacia el descubrimiento de las propiedades de las figuras y 
hacia el razonamiento informal acerca de estas figuras y sus propiedades 
(niveles 2 y 3), y culminando con un estudio riguroso de Geometría 
axiomática (niveles 4 y 5). 
El nivel 1 es denominado nivel de “reconocimiento o visualización”; el 
nivel 2, “nivel de análisis”; el nivel 3 “clasificación o abstracción”; el nivel 4 
“deducción”, y el nivel 5 “rigor”. El modelo es recursivo, es decir, cada nivel 
se construye sobre el anterior, concibiéndose el desarrollo de los conceptos 
espaciales y geométricos como una secuencia desde planteamientos 
inductivos y cualitativos, hacia formas de razonamiento cada vez más 
deductivas y abstractas. 
Nivel 1: Reconocimiento o visualización: Los alumnos reconocen figuras por 
su apariencia global. 
 23
Nivel 2: Nivel de análisis: En este nivel los alumnos empiezan a realizar 
razonamientos informales acerca de las figuras y sus propiedades. 
Nivel 3: Clasificación o abstracción: Es este el momento en que el alumno 
ordena de manera lógica las propiedades de las figuras, utilizando cadenas 
cortas de deducción y comprende las relaciones que existen entre las 
figuras. 
Nivel 4: Deducción: Los alumnos son capaces de desarrollar secuencias 
más largas de proposiciones, de comprender el significado de la deducción, 
el rol de los axiomas y teoremas. 
Nivel 5: Rigor: En este nivel los alumnos pueden realizar un estudio riguroso 
de Geometría axiomática. 
 2.2.1.2.2 Las fases de aprendizaje 
Mientras que los niveles de razonamiento nos orientan acerca de 
cómo secuenciar y organizar el currículo geométrico de una forma global, el 
objetivo de las fases de aprendizaje es favorecer el desplazamiento de los 
alumnos de un nivel al inmediatamente superior mediante la organización de 
las actividades de enseñanza-aprendizaje (Braga, 1991), lo que ha permitido 
que el modelo tuviera una influencia real en la elaboración de currículos de 
Geometría en distintos países como es el caso de la Unión Soviética, 
Estados Unidos, Países Bajos, entre otros. 
Las fases de aprendizaje son las siguientes: 
• Información. 
• Orientación dirigida. 
• Explicación. 
• Orientación libre. 
• Integración. 
 24
Las características fundamentales de cada fase, son las siguientes: en la 
primera, se pone a discusión del alumno material clarificador del contexto de 
trabajo. En la segunda fase se proporciona material por medio del cual el 
alumno aprenda las principales nociones del campo de conocimiento que se 
está explorando. El material y las nociones a trabajar, se seleccionarán en 
función del nivel de razonamiento de los alumnos. En la tercera fase 
conduciendo las discusiones de clase, se buscará que el alumno se apropie 
del lenguaje geométrico pertinente. En la cuarta fase se proporcionará al 
alumno materiales con varias posibilidades de uso y el docente dará 
instrucciones que permitan diversas formas de actuación por parte de los 
alumnos. En la quinta fase se invitará a los alumnos a reflexionar sobre sus 
propias acciones en las fases anteriores. 
Como resultado de esta quinta fase, los esposos Van Hiele entienden 
que el alumno accede a un nuevo nivel de razonamiento. El estudiante 
adopta una nueva red de relaciones que conecta con la totalidad del dominio 
explorado. Este nuevo nivel de pensamiento, ha sustituido al dominio de 
pensamiento anterior. 
En nuestra propuesta, se informará a los alumnos de los materiales a 
utilizar para cada clase. Posteriormente, se les orientará acerca de la 
utilización de los materiales didácticos donde ellos manipularán, visualizarán 
y reconocerán (nivel 1) las figuras por su apariencia, realizando 
razonamientos informales de las figuras y sus propiedades (nivel 2), 
consecutivamente por medio de las explicaciones realizadas por el profesor 
y las diversas posibilidades de uso de las figuras geométricas, el alumno 
realizará pequeñas deducciones y comprenderá las relaciones que hay 
entre las figuras (nivel 3), de inmediato, ejecutará deducciones más largas y 
definirá de manera rigurosa lo que este en estudio (nivel 4 y 5). 
Diseñaremos nuestra propuesta de manera tal que el alumno pueda 
manipular objetos y situaciones que se encuentran en su entorno y 
relacionarlos con ciertas propiedades geométricas; dentro de la estructura de 
la “propuesta pedagógica para la introducción de la trigonometría en un 
 25
curso de primer año de ciencias del ciclo diversificado”, comenzaremos con 
una serie de ejercicios donde, a través de la manipulación e interacción con 
objetos (figuras geométricas), el alumno debe reconocer algunas 
propiedades y transformaciones como la simetría axial, la rotación, 
traslación, proporción, congruencia y semejanza. Todas estas nociones son 
útiles para el estudio de la trigonometría. 
 
2.2.2 FUNDAMENTACIÓN HISTÓRICA 
 
La historia de la Matemática como herramienta para la enseñanza de 
la Matemática constituye un antídoto contra el formalismo excesivo, razón 
por la cual hemos decidido incluirla en nuestra propuesta, ya que la misma 
está centrada en el enfoque constructivista. También la historia de la 
Matemática es considerada como un antídoto en contra del aislamiento del 
conocimiento matemático y como un conjunto de medios que permiten al 
alumno apropiarse mejor de dicho conocimiento, a la vez que le ayuda a 
ordenar la presentación de los temas en el curriculum al docente de 
Matemática. 
La exploración de la historia, por parte del docente, le ayuda 
igualmente a descubrir los obstáculos y dificultades que se han presentado, 
los errores cometidos por los propios matemáticos (que a veces se 
reproducen en los alumnos), así como, la visión de la actividad matemática 
como actividad humana con sus glorias y miserias. 
La historia de la Matemática como herramienta para el aprendizaje de 
la Matemática en el alumno que está formando su conocimiento matemático, 
prepara un terreno donde esta ciencia deja de jugar el papel de edificio 
acabado, restableciéndose su estatus de actividad cultural, de actividad 
humana, además que motiva al alumno a desarrollar un aprendizaje 
significativo, facilita el conocimiento de la génesis de los conceptos y los 
 26
problemas que han pretendido resolver y ayuda a la comprensión de los 
mismos. 
En nuestra propuesta, se presentarán algunas de las ideas 
matemáticas desarrollasen épocas antiguas, y que contribuyeron al 
desarrollo de la trigonometría; en la mayoría de estos trabajos, sus autores 
utilizaron algunas nociones de Geometría elemental, por lo que su 
comprensión está al alcance de los estudiantes del primer año del ciclo 
diversificado. 
 Los episodios históricos que se incluyen en esta propuesta son: 
 
1) El cálculo de la altura de la gran pirámide egipcia, realizado por 
Thales de Mileto. 
 
Dado que este cálculo fue realizado en base a la noción de 
semejanza de triángulos, que está estrechamente vinculada a 
la idea de definir las razones trigonométricas en un triángulo 
rectángulo, es conveniente presentarlo a los estudiantes como 
elemento motivador de interés en el tema. 
 
2) Cálculo del perímetro de la circunferencia de la Tierra realizado 
por Eratóstenes de Cyrene. 
 
Con una idea similar a la de Thales de Mileto, Erastóstenes, 
doscientos años antes de Cristo aproximadamente, logró 
aplicar la noción de semejanza de triángulos para determinar la 
medida del perímetro de la tierra y así poder calcular la medida 
de su diámetro. 
 
3) Cálculo de la distancia de la Tierra a la Luna realizado por 
Hiparco de Nicea. 
 
 27
Este cálculo, realizado en una época remota, sin ayuda de 
telescopios ni otros artefactos que hoy la tecnología ofrece para 
observar el universo, permite apreciar el poder de la idea de la 
semejanza de triángulos, aplicada al cálculo de distancias 
inaccesibles. 
4) La trigonometría de los hindúes, a partir del siglo IV después de 
Cristo. 
 
Los aportes de los matemáticos de la India a la Trigonometría, 
desarrollados para su uso en la Astronomía, dieron el rumbo 
que definitivamente tomó esta disciplina. Incluimos en la 
propuesta, la narración de los hechos más resaltantes de esta 
larga historia, que permite conocer, entre otras cosas, el origen 
de la palabra “seno” para hacer referencia a la razón 
trigonométrica “cateto opuesto sobre hipotenusa”. 
 
 
2.2.3 FUNDAMENTACIÓN MATEMÁTICA 
 
 
 La Geometría es una rama de la Matemática que estudia las 
propiedades de las figuras en el plano o en el espacio; en términos 
etimológicos la palabra Geometría significa medida de la tierra. 
 Esta rama de la Matemática nos ofrece las herramientas que son 
útiles para poder solucionar problemas como el siguiente: 
 Si deseáramos calcular la distancia entre dos puntos A y M del terreno 
(figura 1), siendo el punto M inaccesible para un observador colocado en A, 
a quien podemos suponer en la margen derecha de un curso de agua, 
procederíamos de la siguiente manera: 
 Mediríamos, por ejemplo, en la margen derecha, una distancia AB = 
m, que se llama base, empleando cualquier instrumento de medición (cinta 
métrica); mediríamos también los ángulos MAB = α y MBA = β formados por 
esta base con las visuales AM y BM, respectivamente, empleando algún 
 28
instrumento que nos permita medir ángulos por sus arcos correspondientes 
(transportador), mediante una circunferencia o limbo graduado, en forma 
análoga a lo que se hace en dibujo con el semicírculo graduado o 
transportador de ángulos. 
 
 
Con estos tres valores numéricos α, β y m, que representan las 
medidas de un lado y los dos ángulos adyacentes de un triángulo, la 
Geometría nos enseña cómo podemos construir el triángulo ABM, y, en 
consecuencia, podemos luego medir en el dibujo el lado AM, que 
representará, en cierta escala, la distancia que nos interesa conocer. 
 En general, el resolver este tipo de problemas a través de figuras 
planas no nos permite obtener con exactitud el valor real, pues, en este caso 
el triángulo adolece de ciertos defectos, provenientes de varias 
circunstancias: precisión de los instrumentos empleados, número y clase de 
las construcciones realizadas, etc. 
 Estos defectos permiten poca aproximación en los resultados. Como, 
por ejemplo, un pequeño error en el dibujo (figura 2), que podría ser el de 
puntear en P’ en lugar de P al transportar el ángulo β, ocasionaría una 
errónea posición del punto M, presentándolo en M’ en lugar de M. De esta 
manera, la verdadera distancia AM, resultaría aumentada en la cantidad 
MM’. Si la escala del dibujo es pequeña, este error de graficismo podría 
ocasionar un error importante en la distancia que se desea conocer. 
 29
 
 Para no dar cabida a estos inconvenientes, se emplea el cálculo 
numérico, o método analítico, que generalmente es más largo que el gráfico, 
pero permite, en cambio, una gran precisión en el cálculo. 
 Para obtener estos cálculos numéricos con mayor precisión nace la 
trigonometría, la cual es una rama de las Matemáticas que estudia los 
ángulos, triángulos, y las relaciones entre ellos; etimológicamente la palabra 
trigonometría significa medida de triángulos. 
 La trigonometría tiene, pues, por principal finalidad, calcular los 
elementos incógnitas de un triángulo, cuando se tienen datos suficientes 
para ello. Esta operación es la que se llama resolver un triángulo. Para ello, 
es necesario expresar con números, las medidas de los lados y de los 
ángulos de un triángulo, y conocer las relaciones que ligan esos elementos. 
 
2.2.3.1 Ángulos: su generación y signo. En Trigonometría se considera un 
ángulo como engendrado por la rotación de una semirrecta que gira 
alrededor de su origen, supuesto-fijo, y manteniéndose siempre en el mismo 
plano. 
 Así, por ejemplo, la semirrecta OA (figura 3), al girar alrededor del 
punto O, en el sentido indicado por la flecha, y pasar de la posición inicial OA 
a la final OB, describe el ángulo AOB, que llamaremos ángulo α. 
 30
 
 También podemos suponer que la semirrecta OA pasa de la posición 
inicial OA a la posición final OB después de haber dado una vuelta completa 
(figura 4), o bien, dos o más vueltas completas. 
 
 
 Estos ángulos, que tienen sus lados coincidentes y que difieren en 
uno o más ángulos completos, se llaman ángulos congruentes respecto de 
un giro. 
 El ángulo α de la (figura 3) también puede suponerse descrito por la 
semirrecta OB al girar en sentido opuesto al anterior indicado, hasta coincidir 
con la OA (este ángulo sería negativo), ya que se ha convenido tomar como 
positivo el sentido contrario al del movimiento de las agujas del reloj (el 
indicado por la flecha en la figura 3). 
 
2.2.3.2 Medida de los ángulos: medir un ángulo significa compararlo con 
otro ángulo que se toma como unidad de medida. 
 31
 De manera semejante, medir un arco de circunferencia significa 
compararlo con otro arco de la misma circunferencia, o de otra de igual 
radio, que se toma como unidad de medida. 
 Es importante recordar que un ángulo cualquiera tiene por medida el 
arco correspondiente, es decir, el que tiene por centro el vértice del ángulo y 
limitado por los lados del mismo, siempre que la unidad de medida del 
ángulo sea la que corresponde a la unidad del arco. 
 En trigonometría suelen emplearse los siguientes sistemas de 
medición de ángulos (o arcos). 
 
• Sistema sexagesimal: En este primer sistema se toma como unidad 
de medida de arco el grado sexagesimal, o simplemente grado, que es la 
360 parte de la circunferencia a la que pertenece el arco que se trata de 
medir. El grado se divide, a su vez, en 60 minutos, y el minuto en 60 
segundos. 
 Este sistema de medida es el que se emplea generalmente en las 
aplicaciones prácticas de la trigonometría y se utiliza como instrumento 
de medición el transportador. 
• Sistema circular: En este segundo sistema se toma como unidad de 
medida el arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia a 
que pertenece (figura 5) 
 
 
 Esto equivale a decir que se mide el arco como una longitud 
cualquiera, tomando el radio de la circunferencia como unidad de medida de 
longitud. Esta unidad se llama radián. 
 32
 Como la longitud C de una circunferencia de radio R está expresadapor la fórmula C = 2π R, tenemos, C/R = 2π, vale decir, que la medida de la 
circunferencia es de 2π radianes, es decir: 
 
 Circunferencia = 2π ≈ 2 (3,1416) ≈ 6,2832 
 
2.2.3.3 Funciones Trigonométricas 
 
Consideremos ahora un ángulo agudo cualquiera, XOY = α, formado 
por las semirrectas OX y la semirrecta OY, las cuales se intersectan en el 
punto O como podemos ver en la (figura 6). 
Desde puntos arbitrarios M, M’, M’’,….. contenidos en la semirrecta 
OY, trazamos las perpendiculares MP, M’P’, M’’P’’,….. con P, P’. P’’ 
contenidos en la semirrecta OX 
 
 
 
 
 
 De esta manera hemos formado varios triángulos rectángulos 
semejantes que, en virtud de la proporcionalidad entre los lados homólogos, 
nos permiten establecer las siguientes igualdades de razones: 
 
 PM/OM = P’M’/OM’ = PM’’/OM’’ = … = cateto opuesto / hipotenusa 
 
OP/OM = OP’/OM’ = OP’’/OM’’ = … = cateto adyacente / hipotenusa 
 
PM/OP = P’M’/OP’ = P’’M’’/OP’’ = … = cateto opuesto / cateto adyacente 
 33
OP/PM = OP’/P’M’ = OP’’/P’’M’’ = … = cateto adyacente / cateto opuesto 
 
OM/OP = OM’/OP’ = OM’’/OP’’ = … = hipotenusa / cateto adyacente 
 
OM/PM = OM’/P’M’ = OM’’/P’’M’’ = … = hipotenusa / cateto opuesto 
 
 Observemos que se verifica el siguiente hecho fundamental: 
Las razones, dos a dos, de los lados del triángulo formado, no 
dependen de la posición del punto M, sino de la magnitud del ángulo XOY = 
α. 
Por otra parte, es importante la proporcionalidad que hay entre los 
lados homólogos de los triángulos rectángulos semejantes formados, para 
hallar las igualdades de razones. 
 Para cada valor del ángulo α, corresponde un valor para cada una de 
las razones indicadas; éstas son, pues, funciones del ángulo α, que se 
llaman funciones trigonométricas. 
 
2.2.3.3.1 Definiciones de las funciones trigonométricas 
 
 Las razones establecidas en el ángulo XOY = α se llaman, 
respectivamente: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante 
del ángulo α. Y su notación es sen α, cos α, tg α, cot α, sec α y csc α, 
respectivamente. 
 Podemos dar, pues, las siguientes definiciones para las funciones 
trigonométricas: 
 SENO de un ángulo agudo, es la razón entre el cateto opuesto al 
ángulo y la hipotenusa, del triángulo rectángulo formado con dicho ángulo. 
Así, por ejemplo (figura 6), por definición tenemos: 
sen α = PM / OM 
 
 COSENO de un ángulo agudo, es la razón entre el cateto adyacente 
al ángulo y la hipotenusa, del triángulo rectángulo formado con dicho ángulo. 
Así, por ejemplo (figura 6), por definición tenemos: 
 34
cos α = OP / OM 
 
TANGENTE de un ángulo agudo, es la razón entre el cateto opuesto 
al ángulo agudo y el cateto adyacente, del triángulo rectángulo formado con 
dicho ángulo. Así, por ejemplo (figura 6), por definición tenemos que: 
tg α = PM / OP 
 
 COTANGENTE de un ángulo agudo, es la razón entre el cateto 
adyacente al ángulo y el cateto opuesto, del triángulo rectángulo formado 
con dicho ángulo. Así, por ejemplo (figura 6), por definición tenemos que: 
cot α = OP / PM 
 
 SECANTE de un ángulo agudo, es la razón entre la hipotenusa y el 
cateto adyacente al ángulo, del triángulo rectángulo formado con dicho 
ángulo. Así, por ejemplo (figuro 6), por definición tenemos que: 
sec α = OM / OP 
 
 COSECANTE de un ángulo agudo, es la razón entre la hipotenusa y 
el cateto opuesto al ángulo, del triángulo rectángulo formado con dicho 
ángulo. Así, por ejemplo (figura 6), por definición tenemos que: 
csc α = OM / PM 
 
 En estas razones, podemos observar que: 
 
La cotangente de un ángulo es el recíproco de la tangente del ángulo. 
 
Análogamente, si observamos los segundos miembros de las 
fórmulas que definen sec α y cos α vemos que son recíprocos; por 
consiguiente podemos establecer: 
 
• La secante de un ángulo es el recíproco del coseno del ángulo. 
 
 35
Análogamente, comparando las definiciones de csc α y sen α, 
tenemos que: 
• La cosecante de un ángulo es el recíproco del seno del ángulo. 
Conociendo las razones y las propiedades mencionadas 
anteriormente, construiremos un ángulo α, conociendo el hecho de que 
sen α = 3/4. 
 
Sea OX la semirrecta (figura 7), que tomaremos como uno de los 
lados del ángulo α. Trazamos la recta YZ paralela a OX, a la distancia OY = 
3 (medida con una unidad arbitraria). Luego, haciendo centro en O, con un 
radio OM = 4 (medida con una unidad igual a la anterior), trazamos el arco 
de circunferencia que corta a YZ en el punto M. Trazando la recta OM, 
obtenemos el Ángulo XOM, que es el ángulo α que buscábamos. 
 
 
 
 
En efecto, si trazamos MP ⊥ OX (el símbolo “ ⊥ ” es interpretado como 
dos rectas perpendiculares entre sí), se forma un triángulo rectángulo OPM, 
en el que, por valer el cateto PM = 3 y la hipotenusa OM = 4, de acuerdo con 
la definición de seno de un ángulo agudo, tenemos que: 
 
sen ( ∠ POM) = PM / OM = 3/4 
 
 
 36
2.2.3.3.2 Variaciones de las funciones trigonométricas. 
 
Para cualquiera de los casos indicados anteriormente es necesario, 
previamente, estudiar como varían los valores de las funciones 
trigonométricas de un ángulo XOY = α, cuando este varía de una manera 
continua de 0º hasta 90º. 
 
Supongamos que el lado OX (figura 8) permanezca fijo, y que OY gire 
alrededor del vértice O, en el sentido de la flecha. 
 
Tomemos un punto M sobre el lado OY, a una distancia del vértice 
igual a la unidad de medida, OM = 1. Este punto M describirá, pues, una 
circunferencia de centro O, que interceptará al lado OX en el punto A, al lado 
OY en el punto M, y al radio perpendicular a OX, en el punto B. 
 
Variaciones del Seno y del Coseno 
 
 Tracemos MP OX y MQ ⊥ ⊥ OB. De acuerdo con la definición de 
seno y de coseno: 
 
sen α = PM /OM = PM / 1 = PM 
 
cos α = OP / OM = OP / 1 = OP 
 
 
 
 37
Si suponemos primeramente que OY coincida con OX, el ángulo α es 
nulo; el punto M se encontrará entonces en A, y tendremos que: 
 
PM = 0 y OP = OA = 1 
 Por consiguiente: 
 
sen (0º) = 0 y cos (0º) = 1 
 Cuando el ángulo α crece en forma continua desde 0º hasta 90º, el 
punto M recorre el cuadrante AB, y resulta: 
 
a) El punto Q describe el segmento OB, yendo del punto O al B; es 
decir, sen α crece al mismo tiempo que α. 
b) El punto P describe el segmento AO, yendo del punto A al punto 
O; es decir, cos α decrece cuando α crece. 
 
Variaciones de la Tangente y la Cotangente. 
 
Tracemos la tangente en A a la circunferencia de radio OA = 1 (figura 
9), la que intercepta al lado OY del ángulo XOY en el punto T. De acuerdo 
con la definición de tangente trigonométrica de un ángulo, tenemos que: 
 
tg α = AT / OA = AT / 1 = AT 
 
 
 
 38
Si suponemos primeramente que OY coincida con OX, el ángulo α es nulo; 
el punto T coincidirá entonces con A, y tendremos: AT = 0 
 
 
Por consiguiente, 
tg (0º) = 0 
 
Cuando el ángulo α crece desde 0º hasta 90º, su tangente parte del 
valor cero, crece y aumenta indeterminadamente. 
 
Es notorio destacar que cuando α = 90º, la tangente ya no existe, 
puesto que OY resulta entonces paralela a la tangente en A. No obstante, se 
dice que para α = 90º la tangente es infinito (∞), entendiéndose por infinito 
un aumento indeterminado, lo que podemos escribir como: 
tg (90º) = ∞ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 39
CAPITULO III 
 
 MARCO METODOLÓGICO 
 
 
3.1 TIPO DE INVESTIGACIÓN 
 
Esta investigación consiste en el diseño y validación de una propuesta 
pedagógica para la introducción de la trigonometría en un curso del primer 
año de ciencias del ciclo diversificado; la misma es de tipo aplicada en los 
términos de Briones (1997), pues de su ejecución se espera obtener un 
cambio en el conocimiento de los alumnos sobre este contenido matemático. 
También es de tipo correlacional según Hernández y otros (1998), porque 
se busca determinar la posible incidencia en los estudiantes del primeraño 
de ciencias del ciclo diversificado, la aplicación de la propuesta para la 
introducción a la trigonometría. 
 
 
3.2 DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN 
 
El diseño de esta investigación es cuasiexperimental, pues los 
alumnos no son escogidos al azar, ni seleccionados bajo ninguna condición, 
son grupos ya formados o intactos (Hernández, y otros, 1998), uno de ellos 
de control y el otro experimental. La investigación consiste en la aplicación 
de un diseño preprueba-tratamiento-postprueba a uno de los grupos 
seleccionados, denominado “grupo experimental”, mientras, para el otro 
grupo denominado “grupo de control” el diseño es preprueba-postprueba. El 
grupo experimental es el que va a recibir el tratamiento, es decir, este grupo 
participará en sesiones de trabajo didáctico y desarrollará actividades 
fundamentadas en la propuesta pedagógica para la introducción de la 
trigonometría; paralelamente el grupo de control no recibirá ningún 
tratamiento especial, en el sentido de que será introducido a las nociones de 
 40
razones trigonométricas en el triángulo rectángulo y en el círculo 
trigonométrico de la manera tradicional. 
 
3.3 POBLACIÓN Y MUESTRA 
 
3.3.1 Población: 
 
Hernández, y otros (1998), definen la población como el conjunto de 
todos los casos que concuerdan con una serie de especificaciones. En este 
sentido, la población de nuestra investigación está comprendida por 112 
alumnos del primer año de ciencias del ciclo diversificado de la Unidad 
Educativa “Estado Portuguesa” , ubicada en la población de San Juan de 
Lagunillas, Municipio Sucre, Estado Mérida. 
 
3.3.2 Muestra: 
 
La muestra es definida como un subconjunto de los elementos de la 
población que poseen las características definidas de la misma. La muestra 
seleccionada para nuestra investigación está comprendida por 75 alumnos 
del primer año de ciencias del ciclo diversificado de la Unidad Educativa 
“Estado Portuguesa”, específicamente las secciones “A” y “B”. 
 
 
3.4 VARIABLES DE LA INVESTIGACIÓN 
 
3.4.1 Variable independiente 
 
La variable independiente de esta investigación es la aplicación de la 
“propuesta pedagógica para la introducción de la trigonometría en un 
curso de primer año de ciencias del ciclo diversificado”. 
 
Esta variable tiene dos niveles de medición: 
• Presencia de la propuesta 
 41
• Ausencia de la propuesta. 
 
3.4.2 Variable dependiente 
 
La variable que se cataloga como dependiente en este estudio, es el 
nivel de conocimiento alcanzado por los alumnos del primer año de 
ciencias del ciclo diversificado sobre conceptos básicos de trigonometría. 
 
El conocimiento alcanzado por los alumnos se medirá según las 
siguientes categorías (Tabla 1) 
 
Tabla 1. Categorías de la variable “conocimiento alcanzado por los 
alumnos del primer año de ciencias del ciclo diversificado sobre 
conceptos básicos de trigonometría” 
 
 
Puntaje 
 
Categoría 
 
De 01 a 09 puntos 
 
 
Deficiente 
 
De 10 a 14 puntos 
 
 
Regular 
 
De 15 a 18 puntos 
 
 
Distinguido 
De 19 a 20 puntos Excelente 
 
 
 
 
 
 42
3.5 HIPÓTESIS DE LA INVESTIGACIÓN 
 
 
3.5.1 Hipótesis alterna 
 
H1: La propuesta pedagógica para la introducción de la trigonometría 
permite que el alumno adquiera o refuerze los conocimientos, destrezas y 
actitudes asociadas a la Geometría plana elemental que le son 
indispensables para lograr un aprendizaje significativo de los contenidos 
básicos de la trigonometría. 
 
3.5.2 Hipótesis nula 
 
H0: La propuesta pedagógica para la introducción de la trigonometría 
no permite que el alumno adquiera o refuerze los conocimientos, destrezas y 
actitudes asociadas a la Geometría plana elemental que le son 
indispensables para lograr un aprendizaje significativo de los contenidos 
básicos de la trigonometría. 
 
3.6 Técnicas e instrumentos de recolección de datos 
 
El procedimiento para la recolección de los datos consiste en la 
escogencia de un instrumento de medición con la finalidad de realizar 
observaciones y mediciones de las variables en estudio, para finalmente 
organizarlas y analizarlas. La recolección de los datos para el desarrollo de 
la investigación se efectuará de la siguiente manera: A la muestra 
seleccionada, se les aplicará una prepueba de conocimiento denominada 
Test diagnóstico con la finalidad de determinar el nivel de conocimientos 
alcanzado sobre geometría plana elemental, conocimiento necesario previo 
para el desarrollo del conocimiento sobre conceptos básicos de 
Trigonometría. Luego, se aplicará la propuesta, “Propuesta Pedagógica 
para la Introducción de la Trigonometría en un curso del Primer Año de 
Ciencias del Ciclo Diversificado” al grupo experimental, mientras que el 
 43
grupo control recibirá de manera tradicional las clases sobre este contenido 
matemático. Consecutivamente, se aplicará a los dos grupos una postprueba 
denominada Test 2, para determinar los alcances y consecuencias 
producidos por la aplicación de la propuesta en el grupo experimental. En 
último lugar, los resultados obtenidos del Test Diagnóstico en ambos grupos 
permitirán determinar la equivalencia inicial de los dos grupos, los resultados 
del Test 2 permitirán determinar el nivel de conocimiento alcanzado por los 
alumnos sobre conceptos básicos de Trigonometría en los dos grupos, para 
efectuar comparaciones con el grupo control al cual no se le aplicó la 
propuesta de enseñanza. 
Por otra parte, se utiliza el registro de observaciones, usando la 
estrategia de observación narrativa de tipo notas de campo, (Pérez S. Gloria, 
2000). Éstas notas de campo se efectuarán única y exclusivamente al grupo 
experimental con la finalidad de registrar los detalles ocurridos en cada una 
de las sesiones de clase durante la aplicación de la propuesta. 
 
3.6.1 Test Diagnóstico 
 
 Con la aplicación de este instrumento se espera determinar la 
equivalencia inicial de los dos grupos. La preprueba se denomina “Test 
diagnóstico para determinar el nivel de conocimiento alcanzado por los 
alumnos de primer año de ciencias del ciclo diversificado sobre geometría 
plana elemental”. Ver en anexos Test diagnóstico. 
 
Este instrumento está compuesto por 20 items de selección simple. En este 
instrumento se evalúan los siguientes conocimientos: 
 
1. Conocimiento del ángulo- congruencia 
2. Conocimiento del triángulo – semejanza - congruencia 
3. Conocimiento de la circunferencia 
4. Conocimiento del plano cartesiano 
5. Conocimiento de proporciones 
 44
6. Conocimiento de rotación, traslación y simetría axial de figuras 
planas. 
 
En la tabla 2 se puede observar cómo los ítems del Test diagnóstico 
están distribuidos según los conocimientos a ser evaluados sobre 
Geometría plana elemental. 
 
Tabla 2. Distribución de los ítems del Test diagnóstico según los 
conocimientos a ser evaluados sobre Geometría plana elemental 
Variable DIMENSIONES INDICADORES ITEMS 
 
 
 
NIVEL DE 
CONOCIMIENTOS 
SOBRE 
GEOMETRÍA 
PLANA 
ELEMENTAL 
 
Conceptual 
Ángulos 1, 3, 9, 15, 16, 
17, 18, 20. 
Conceptual Triángulos 2, 4, 5, 6, 14. 
Conceptual Semejanza 5. 
Conceptual Congruencia 1, 14, 20. 
Conceptual Circunferencia 7, 19. 
Conceptual Plano cartesiano 8, 10, 11, 14. 
Conceptual y 
procedimental 
Proporción 12,13. 
Conceptual Traslación 10. 
Conceptual Simetría axial 11. 
Conceptual Rotación 14. 
 
 
3.6.2 Validez de los instrumentos 
 
Para la determinación de la validez de los Test utilizados, se 
realizaron los procedimientos descritos a continuación. 
 
 
 
 
 45
3.6.2.1 Validez 
 
El procedimiento estadístico empleado para determinar la validez de 
contenido de los instrumentos, es el denominado Coeficiente de Proporción 
de Rango (CPR). Éste se determina usando el método de Juicio de 
Expertos, el cual según Hernández (1998) consiste en la determinación de 
un coeficiente por medio de un algoritmo que permite calcular la validezdel 
contenido de cada ítem, de todo el instrumento y el nivel de concordancia 
entre los jueces. El algoritmo presentado por Hernández (1998) para calcular 
el CPR es el siguiente: 
 
Sea PRi el promedio de los rangos, ri el valor 
asignado por los jueces según la escala de rangos (donde i 
recorre un número finito de índices) y j el número de jueces, 
su valor se determina mediante la fórmula: 
 
j
ri
PRi ∑= 
La relación proporcional (CPRi) del PRi respecto al 
valor máximo de la escala de rangos (vmr) empleada por 
los jueces viene dada por: 
 
vmr
PRiCPRi = 
La probabilidad del error pe (variación aleatoria de la 
concordancia entre los jueces), se obtiene a través de: 
 
j
j
Pe ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
1
 
Además, sea CPRic el coeficiente de proporción de 
rangos por cada ítem, corregido por concordancia. El 
CPRic se obtiene a través de: 
 CPRic = CPRi – Pe 
 
 46
y CPRt el promedio de los coeficientes de proporción 
de rangos de cada ítem, cada uno corregido por 
concordancia aleatoria (pe): 
 Luego, el CPRt resulta de: 
 ∑CPRicCPRt
N
= 
Donde N es el número de ítems. 
 
 Por definición, el CPRt corregido (CPRtc) por 
concordancia aleatoria es: 
 CPRtc = CPRt - pe 
 
El procedimiento completo se puede ver en el anexo 
sección A. 
 
3.6.2.1.1 Validez del Test diagnóstico 
 
Al instrumento “test para determinar el nivel de conocimientos alcanzado 
por los alumnos de primer año de ciencias del ciclo diversificado sobre 
Geometría Plana Elemental”, se le aplicó el algoritmo para calcular el CPR y 
se obtuvieron los siguientes resultados (Ver anexos): 
 
 Probabilidad del error: 
j
j
Pe ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
1
 
3
3
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=Pe = 0,037 
 
Pe = 0,037 
 
 Promedio de los CPR de cada ítem, cada uno corregido por 
concordancia aleatoria: 
 
N
CPRic
CPRt ∑= = 16, 06 / 20= 0,803 
 
 47
 Coeficiente de Proporción de Rango Total Corregido (CPRtc) por 
concordancia aleatoria 
 CPRtc = CPRt - pe = 0,803 – 0.037 = 0,766 
 
Interpretación del CPR 
 
Como CPRt = 0,803 y CPRtc = 0,766 se concluye que la validez y la 
concordancia son satisfactorias. 
 
3.6.3 Confiabilidad del Test diagnóstico 
 
Según Hernández y otros (1998), la confiabilidad es la consistencia o 
grado en que la aplicación repetida del instrumento al mismo sujeto, produce 
resultados iguales. 
Para determinar la confiabilidad del test diagnóstico para determinar el 
nivel de conocimiento alcanzado por los alumnos de primer año de ciencias 
del ciclo diversificado sobre geometría plana elemental se utilizó el 
coeficiente Alpha de Cronbach, el cual es un modelo de consistencia interna 
basado en el promedio de correlación entre elementos. Este coeficiente fue 
calculado utilizando el paquete estadístico SPSS 7.5, obteniéndose como 
resultado (ver anexo): 
 Alpha de Cronbach = 0,5983 
 
Interpretación del Coeficiente Alpha de Cronbach 
 
 Como el coeficiente Alpha de Cronbach es 0,5983 se concluye que el 
nivel de consistencia interna del instrumento es aceptable 
 
3.6.4 Proceso de conversión de puntaje del Test diagnóstico 
 
Como las puntuaciones que pueden obtener los alumnos en cada uno 
de los instrumentos son superiores a la escala normalmente utilizada: la 
escala en base a 20 puntos, es preciso ejecutar un proceso de conversión 
 48
de puntajes para que estos se encuentren dentro de esa escala. En la Tabla 
3 se puede observar cada una de las conversiones utilizadas en el Test. 
 
Tabla 3. Conversión para los puntajes obtenidos en el Test Diagnóstico 
 
PUNTAJE OBTENIDO PUNTAJE EQUIVALENTE 
00-02 01 
03-04 02 
05-06 03 
07-08 04 
09 05 
10-11 06 
12-13 07 
14-15 08 
16-17 09 
18 10 
19-20 11 
21-22 12 
23-24 13 
25-26 14 
27 15 
28-29 16 
30-31 17 
32-33 18 
34-35 19 
36 20 
 
 
 
 
 
 
 49
3.6.5 Análisis de los resultados obtenidos en el test diagnóstico 
 
Iniciaremos el análisis de los datos aportados por la prueba aplicada a 
los dos grupos de estudiantes control y experimental, bajo una visión 
descriptiva de la información utilizando para ello el paquete estadístico SPSS 
en su versión 7.5. 
 
3.6.5.1 Tablas y gráficos descriptivos 
 
32 86,5 86,5
5 13,5 100,0
37 100,0
Deficiente
Regular
Total
Frecuencia
Porcentaje
válido
Porcentaje
acumulado
 
González y Velásquez, 2006 
 Tabla 4: Pretest Grupo Experimental 
 
Al realizar la categorización de la variable “conocimientos alcanzados 
por los alumnos del primer año de ciencias del ciclo diversificado sobre 
geometría plana elemental” al grupo experimental, encontramos que para el 
nivel deficiente se concentra el 86,5% de los estudiantes, en un nivel regular 
13,5%. En este grupo no encontramos estudiantes que sobrepasen las 
expectativas mínimas de conocimientos que en esta prueba se está 
tratando. 
La tabla 4 nos evidencia que de los 37 alumnos que presentaron esta 
prueba, sólo 5 alumnos, es decir, el 13,5% de los estudiantes poseen 
conocimientos previos necesarios para iniciarse en el estudio de la 
trigonometría, mientras que el 86,5% de los alumnos no poseen 
conocimientos previos necesarios para iniciarse en el estudio de la 
trigonometría. 
 
 50
34 89,5 89,5
4 10,5 100,0
38 100,0
Deficiente
Regular
Total
Frecuencia
Porcentaje
válido
Porcentaje
acumulado
 
 González y Velásquez, 2006 
 Tabla 5: Pretest Grupo Control. 
 
 En la tabla 5, encontramos que el 89,5 % de los estudiantes se 
encuentran en un nivel deficiente, los cuales no poseen los conocimientos 
previos necesarios para iniciarse en el estudio de la trigonometría. Por otra 
parte, el 10,5 % de los alumnos se encuentran en un nivel regular 
considerándose que, éstos poseen las expectativas mínimas para iniciarse 
en el estudio de la trigonometría. 
37 1,14 1,00 1 ,35 ,12
38 1,66 2,00 1 ,67 ,45
Rango de
calificaciones
para el grupo
experimental
Rango de
calificaciones
para el grupo
control
Válidos Media Mediana Moda Desv. típ. Varianza
 
 González y Velásquez, 2006 
Tabla 6: Comparaciones basadas en las puntuaciones del pretest para 
grupo experimental y el grupo control. 
 Tomando en cuenta las calificaciones obtenidas por los estudiantes 
participantes en la investigación tenemos que el promedio en puntuaciones 
no sobrepasa los 7 puntos para ambos grupos, indicando una carencia en 
las bases necesarias para proseguir en un estudio trigonométrico, pues 
además, en su mayoría alcanzaron una calificación de 6 puntos para el 
grupo experimental y 7 puntos para el grupo control, adicional a esto las 
calificaciones varían en un estimado de 6 puntos por encima y por debajo de 
la calificación promedio para el grupo experimental, mientras que nuestro 
 51
grupo control no presentó calificaciones muy dispersas con relación a su 
promedio calificativo, pues varían en 5 puntos aproximadamente. 
 
 
12,010,08,06,04,0
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Desv. típ. = 2,45 
Media = 6,7
N = 37,00
 
Gráfico 1: Calificaciones obtenidas en el pretest para el grupo 
experimental. 
 
 52
12,010,08,06,04,0
14
12
10
8
6
4
2
0
Desv. típ. = 2,18 
Media = 6,8
N = 38,00
 
Gráfico 2: Calificaciones obtenidas en el pretest para el grupo control. 
 
 Ambos grupos de estudio, experimental (gráfico 1) y control (gráfico 
2), han presentado una distribución asimétrica positiva, es decir, las 
calificaciones obtenidas por ambos grupos no superan en su mayoría a la 
calificación promedio de los mismos y por ende la mayor concentración de 
estudiantes se encuentran en calificaciones bajas al promedio grupal, 
alejándose así de lo que sería una distribución normal. 
Además podemos observar que el grupo experimental evidencia