problemas con limites

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TRABAJO N°1: Segundo Corte 
Recomendaciones: 
 El trabajo debe presentarse utilizando el editor de ecuaciones de Word o Látex. 
 Sustentar virtual de los ejercicios con cámara encendida donde se evidencie que 
usted es el que está realizando la sustentación. 
 Puedes trabajar grupal: máximo 3 estudiantes. 
 
Integrantes: 
Samuel Isaac Suarez Cabarcas 
Josué David Polo Cantillo 
Carlos Miguel Atencia Herrera 
 
PUNTO 1 
PARTE 1. 
Las tarifas de un medico se basan en la duración de cada consulta: Hasta 6 minutos, 
$50.000. Entre 6 y 15 minutos, $80.000. 15 minutos o más, $80.00 más $5000 por cada 
minuto adicional. 
a) Escribe la expresión algebraica de la función y traza la gráfica correspondiente al 
modelo del cobro del médico. 
b) ¿Cuánto paga un paciente por una consulta de 12 minutos? 
c) ¿Cuánto pagaría alguien por una consulta de 20 minutos? 
d) Analiza la continuidad de la función. 
Solución: 
R/a: podemos ver que obtendremos una función a trozos por las características dadas. 
𝒇(𝒕) = {
𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝒔𝒊 𝒕 ≤ 𝟔
𝟖𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝒔𝒊 𝟔 < 𝒕 < 𝟏𝟓
𝟖𝟎. 𝟎𝟎𝟎 + 𝟓. 𝟎𝟎𝟎(𝒕 − 𝟏𝟓), 𝒔𝒊 𝒕 ≥ 𝟏𝟓
 
 
 
R/b: La tarifa al minuto 12 costaría $80.000, debido a que 12 minutos se encuentra en el 
intervalo que está entre 6 y 15 minutos donde la tarifa toma valor de $80.000. 
 
R/c: Teniendo ya la Función que representa el valor de la consulta cuando se superan los 15 
minutos, debemos reemplazar el nuevo tiempo en esa fórmula de la siguiente manera: 
80.000 + 5000(𝑡 − 15) = 
80.000 + 5000(20 − 15) = 
80.000 + 5000(5) = 
80.000 + 25.000 = 
105.000 
R\d: Por la gráfica podemos ver una discontinuidad en el minuto 6. 
 
PARTE 2 
Un cultivo de bacterias crece en miles cada minuto de acuerdo con la siguiente expresión: 
𝑝(𝑡) = {
2𝑡 + 40, 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 ≤ 6
−8𝑡 + 160, 𝑠𝑖 𝑡 > 6
 
 9. ¿Qué ocurre con la población de bacteria con el paso indefinido del tiempo? 
10. ¿Es continua la función en todo su dominio? Justifica tu respuesta. 
Solución: 
R\9: nos piden encontrar que ocurre con la población de bacteria con el paso indefinido del 
tiempo, entonces entendemos que el tiempo tiende al infinito: aplicamos limite cuando t 
tiende al infinito 
lim
𝑡→∞
−8𝑡 + 160 
−8 lim
 𝑡→∞
𝑡 + lim
𝑥→∞
160 
−8(∞) + 160 = −∞ 
 
R\10: Aplicamos límites laterales para verificar la continuidad 
lim
𝑡→6−
2𝑡2 + 40 = 2 lim
𝑡→6−
𝑡2 + lim
𝑡→6−
40 = 2(6)2 + 40 = 112 
lim
𝑡→6+
−8𝑡 + 160 = −8 lim
𝑡→6+
𝑡2 + lim
𝑡→6+
160 = −8(6) + 160 = 112 
Podemos ver que ambos limites dan 112, por lo que podemos decir que si hay una 
continuidad. 
 
PUNTO 2 
Calcula el valor de k para que las siguientes funciones sean continuas en todo el conjunto 
de los números reales 
a) 𝑓(𝑥) = {
1
2
𝑥2 + 1, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −2
2𝑥 + 𝑘, 𝑠𝑖 𝑥 > −2
 
b) 𝑓(𝑥) = {
𝑥2 − 2𝑘, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1
𝑥2 + 3𝑥 − 𝑘, 𝑠𝑖 𝑥 > 1
 
c) 𝑓(𝑥) = {
𝑥2 − 𝑘𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 3
ln(𝑥 − 2) , 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3
 
Solución: 
 
a) 𝑓(𝑥) = {
1
2
𝑥2 + 1, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −2
2𝑥 + 𝑘, 𝑠𝑖 𝑥 > −2
 
lim
𝑥→−2−
1
2
𝑥2 + 1 =
1
2
lim
𝑥→−2−
𝑥2 + lim
𝑥→−2−
1 = 
1
2
(−2)2 + 1 = 3 
lim
𝑥→−2+
2𝑥 + 𝑘 = 2 lim
𝑥→−2+
𝑥 + lim
𝑥→−2+
𝑘 = 2(−2) + 𝑘 = −4 + 𝑘 
Igualamos los resultados para despejar k 
3 = −4 + 𝑘 
3 + 4 = −4 + 4 + 𝑘 
7 = 𝑘 
Así quedaría la función: 
𝑓(𝑥) = {
1
2
𝑥2 + 1, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −2
2𝑥 + 7, 𝑠𝑖 𝑥 > −2
 
b) 𝑓(𝑥) = {
𝑥2 − 2𝑘, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1
𝑥2 + 3𝑥 − 𝑘, 𝑠𝑖 𝑥 > 1
 
 
Solución 
lim
𝑥→1−
𝑥2 − 2𝑘 = lim
𝑥→1−
𝑥2 − 2 lim
𝑥→1−
 𝑘 = (1)2 − 2𝑘 = 1 − 2𝑘 
lim
𝑥→1+
𝑥2 + 3𝑥 − 𝑘 = lim
𝑥→1+
𝑥2 + 3 lim
𝑥→1+
𝑥 − lim
𝑥→1+
𝑘 = (1)2 + 3(1) − 𝑘 = 4 − 𝑘 
Igualamos los resultados para despejar k 
1 − 2𝑘 = 4 − 𝑘 
1 − 2𝑘 + 2𝑘 − 4 = 4 − 4 − 𝑘 + 2𝑘 
−3 = 𝑘 
Así quedaría la función: 
𝑓(𝑥) = {
𝑥2 + 6, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1
𝑥2 + 3𝑥 + 3, 𝑠𝑖 𝑥 > 1
 
 
c) 𝑓(𝑥) = {
𝑥2 − 𝑘𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 3
ln(𝑥 − 2) , 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3
 
Solución 
lim
𝑥→3−
𝑥2 − 𝑘𝑥 = lim
𝑥→3−
𝑥2 − 𝑘 lim
𝑥→3−
𝑥 = (3)2 − 𝑘(3) = 9 − 3𝑘 
lim
𝑥→3+
ln(𝑥 − 2) = ln ( lim
𝑥→3+
𝑥 − lim
𝑥→3+
2) = ln(3 − 2) = ln(1) = 0 
 
Igualamos los resultados para despejar k 
9 − 3𝑘 = 0 
9 − 9 − 3𝑘 = 0 − 9 
−3𝑘 = −9 
−3𝑘
−3
=
−9
−3
 
𝑘 = 3 
Así quedaría la función: 
𝑓(𝑥) = {
𝑥2 − 3𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 3
ln(𝑥 − 2) , 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3
 
 
Punto 3 
Indica si las siguientes funciones son continuas o no en el punto 𝑥 = 2 
a) 𝑓(𝑥) = {
3𝑥2 − 1, 𝑠𝑖 𝑥 > 2
2
𝑥
+ 10, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2
 
Solución 
lim
𝑥→2+
3𝑥2 − 1 = 3 lim
𝑥→2+
𝑥2 − lim
𝑥→2+
1 = 3(2)2 − 1 = 11 
lim
𝑥→2−
2
𝑥
+ 10 = lim
𝑥→2−
2
𝑥
+ lim
𝑥→2−
10 =
2
2
+ 10 = 11 
 
Por lo que podemos concluir que si hay continuidad en x=2, ya que ambos limites 
laterales dan 11. 
 
b) 𝑔(𝑥) = √−𝑥2 + 6 
Solución 
lim
𝑥→2
√−𝑥2 + 6 = √−lim
𝑥→2
𝑥2 + lim
𝑥→2
6 = √−(2)2 + 6 = √−4 + 6 = √2 
Podemos ver que es continua porque sigue perteneciendo a los reales. 
 
Punto 4 
Clasifica las funciones en continuas o discontinuas a partir de su representación gráfica. 
Explica tus respuestas. 
 
R/a: Podemos observar que presenta una discontinuidad cuando 𝑥 = 3. Da un salto cuando 
𝑥 =3 en 𝑦 = 1 e 𝑦 = 4. 
 
R/b: Podemos observar que es continua en todo su dominio. 
 
R/c: Podemos observar que es continua en todo su dominio. 
 
R/d: Podemos observar que presenta una discontinuidad cuando 𝑥 = 2. 
 
R/e: Podemos observar que es continua en todo su dominio. 
 
R/f: Podemos observar que presenta una discontinuidad cuando 𝑥 = 2. Da un salto cuando 
𝑥 =2 en 𝑦 = 0,9 e 𝑦 = 1,5. 
 
R/g: Podemos observar que presenta una discontinuidad cuando 𝑥 = 3. Tiene una asíntota 
vertical en ese punto. 
 
R/h: Podemos observar que es continua en todo su dominio. 
 
Punto 5 
Investiga el teorema del valor medio y realiza dos ejemplos. 
Solución: 
Teorema del valor medio 
El teorema del valor medio establece que si 𝑓 es una función continua en [𝑎, 𝑏] y derivable 
en (𝑎, 𝑏) tal que: 
𝑓′(𝑐) =
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
 
La interpretación geométrica del teorema del valor medio indica que hay un punto en el que 
la tangente es paralela a la secante. 
El teorema de Rolle es un caso particular del teorema del valor medio, en el que 
 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏). 
 
Ejemplo 1: 
Para ver si es aplicable el teorema de Rolle a la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 en [0,5], se 
procede así: 
El teorema de Rolle establece que para una función 𝑓 que es continua en [𝑎, 𝑏], derivable 
en (𝑎, 𝑏) que además cumple que 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), existe como mínimo un 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que 
𝑓´(𝑐) = 0 
Debe verificarse que la función 𝑓 cumple todas estas condiciones. 
 𝑓 es continua en [0,5] ya que por ser polinómica, es continua en todos los reales. 
 Como 𝑓 es derivable en todo los reales por ser polinómica, entonces es derivable en 
particular en (0,5). 
 
 Debe verificarse ahora que 𝑓(0) = 𝑓(5). 
 
Efectivamente 𝑓(0) = 02 − 5(0) + 6 y 𝑓(5) = (5)2 − 5(5) + 6 = 6 
Luego, se puede afirmar que 𝑓 satisface el teorema de Rolle. 
Para hallar el punto 𝑐 para el cual 𝑓´(𝑐) = 0, se deben encontrar los valores x que anulan la 
primera derivada de la función. 
Haciendo el cálculo, se tiene que 𝑓´(𝑥) = 2𝑥 − 5, si se iguala a 0 se obtiene que 𝑥 =
5
2
.el 
valor de 𝑐 que se busca es 𝑐 =
5
2
. 
 
Ejemplo 2: 
Para ver si es aplicable el teorema de Rolle a la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 10𝑥 − 5 en [2,5], se 
procede así: 
El teorema de Rolle establece que para una función 𝑓 que es continua en [𝑎, 𝑏], derivable 
en (𝑎, 𝑏) que además cumple que 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), existe como mínimo un 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que 
𝑓´(𝑐) = 0 
Debe verificarse que la función 𝑓 cumple todas estas condiciones. 
 𝑓 es continua en [2,5] ya que por ser polinómica, es continua en todoslos reales. 
 Como 𝑓 es derivable en todo los reales por ser polinómica, entonces es derivable en 
particular en (2,5). 
 
 Debe verificarse ahora que 𝑓(2) = 𝑓(5). 
 
Efectivamente no se cumple para este intervalo 
 𝑓(2) = 2(2)2 + 10(2) − 5 = 23 y 𝑓(5) = 2(5)2 + 10(5) − 5 = 95 
Podemos identificar que 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏), por lo tanto, no se cumple el teorema de valor medio 
para esta función en [2,5]. 
 
 
Link de sustentación: https://youtu.be/2Co43eAYSVw 
https://youtu.be/2Co43eAYSVw