3) Polinomios 2 - Suma y Resta

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Suma y Resta de Polinomios. 
Profesora Magaly Egea Ruiz 
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Valor numérico de un Polinomios. 
Un polinomio ya vimos que es una expresión algebraica que cumple ciertos requisitos. Un 
polinomio también es una función y tiene una forma: es una figura con forma de curva, sobre 
esto trabajaremos más adelante. 
Mientras tanto vamos a hablar de lo que es el valor numérico de un polinomonio: 
Si le damos valor a la variable podemos sacar la cuenta y calcular un número, ese número es el 
valor numérico del polinomio. 
Como dijimos, el polinomio “podemos verlo”, al graficarlo es una curva, esa curva tiene infinitos 
puntos, para cada valor que le demos a la 𝒙 (variable) conseguimos un valor numérico que 
equivale a la 𝒚, es decir, que para cada 𝒙, hay una sola 𝒚, ellos (𝒙; 𝒚) es uno solo de los infinitos 
puntos que tiene la curva. 
¿Cómo calcular el valor numérico de un polinomio? 
Si tenemos este Polinomio: 
𝐵(𝑥) = −5𝑥
4 + 3𝑥2 + 𝑥 − 2 
Podemos darle valores a la 𝒙 (infinitos), depende de lo que queramos hacer (eso lo veremos 
mucho más adelante) se elije qué número usar, en este caso estamos explicando qué es, así que 
usaremos cualquiera, hay infinitas posibilidades. 
𝐵(𝑥) = −5𝑥
4 + 3𝑥2 + 𝑥 − 2 
Si tomamos 𝑥 = 2 
𝐵(2) = −5 ∙ (2)
4 + 3 ∙ (2)2 + (2) − 2 
𝐵(2) = −5 ∙ 16 + 3 ∙ 4 + 2 − 2 
𝐵(2) = −80 + 12 + 2 − 2 
𝐵(2) = −68 
Este resultado se usa para muchas cosas diferentes según lo que se necesite, pero nunca perdamos 
de vista lo que significa: para 𝒙 = 2 ocurre que, 𝒚 = 𝐵(1) = −68 , eso significa que el Polinomio B, 
la curva que lo representa, pasa por el punto (2;-68) es uno sólo de los infinitos puntos que forman 
esa curva (todo lo de la curva lo veremos más adelante) 
Podemos tener infinitos valores numéricos del polinomio según los infinitos valores de 𝒙 que 
elijamos, pero hay un solo valor numérico por cada uno de los valores de 𝒙, veamos otros ejemplos: 
 
 
 
 
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Si tomamos 𝑥 = −1 
𝐵(−1) = −5 ∙ (−1)
4 + 3 ∙ (−1)2 + (−1) − 2 
𝐵(−1) = −5 ∙ 1 + 3 ∙ 1 − 1 − 2 
𝐵(−1) = −5 + 3 − 1 − 2 
𝐵(−1) = −5 
 
Si tomamos 𝑥 = 0 
𝐵(0) = −5 ∙ (0)
4 + 3 ∙ (0)2 + (0) − 2 
𝐵(0) = −5 ∙ 0 + 3 ∙ 0 + 0 − 2 
𝐵(0) = 0 + 0 + 0 − 2 
𝐵(0) = −2 
 
Según estos ejemplos tenemos que el polinomio B pasa por los puntos (2; −68), (−1; −5) y 
(0; −2) 
 
Los siguientes videos que explican todo lo que acabamos de ver: 
https://youtu.be/gIqxP1pYtSA 
https://youtu.be/MCbKYBUeE3U 
https://youtu.be/EsC2OpBpK48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IMPORTANTE 
Siempre que la variable valga 0 (𝑥 = 0) ocurrirá que 
el valor numérico del polinomio es igual al término 
independiente 
https://youtu.be/gIqxP1pYtSA
https://youtu.be/MCbKYBUeE3U
https://youtu.be/EsC2OpBpK48
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Suma y Resta de Polinomios. 
Para poder sumar y restar cualquier cosa es necesario que esos objetos sean iguales, esto es válido 
para cualquier cosa, por ejemplo: 
2 +3 + 5 − 9 
No tendría sentido tratar se sumar o resta los perros con las manzanas, es decir 
Si tengo 4 + 2 no va a ocurrir que se conviertan en 6 manzanas que ladran o algo así, 
si tengo 4 + 2 = 4 + 2 no hay nada que hacer, se queda así 
 
Si en vez de decidimos escribir sólo m (porque no vamos a dibujar una manzana cada vez 
que necesitemos sumarla, y una p en vez de 
 
En donde 
= 𝑚 
 = 𝑝 
Entonces: 
4𝑚 + 2𝑝 = 4𝑚 + 2𝑝 
No se pueden sumar ni restar objetos que sean diferentes, no importa qué objeto sea. Pero si los 
objetos son iguales ocurre que entre ellos sí los podemos unir: 
 
2 +3 + 5 − 9 
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= (2 + 5) + (3 − 9) 
= 7 − 6 
(Este resultado lo podemos pensar como que tengo 7 perros y tengo una deuda de 
6 manzanas) 
 
Sin los dibujos sería: 
2𝑝 + 3𝑚 + 5𝑝 − 9𝑚 
= 7𝑝 − 6𝑚 
 
Ejemplo: 
2𝑥 + 3𝑥2 + 5𝑥 − 9𝑥2 
= 7𝑥 − 6𝑥2 
 
Los objetos que son iguales en matemática se llaman Semejantes y cada uno de los objetos que 
suman o restan se llaman términos. Por lo tanto decimos que: 
 
 
2𝑥2 + 3𝑥3 + 5𝑥2 − 9𝑥3 = 7𝑥2 − 6𝑥3 
Es necesario que sean iguales en todo: la letra y el exponente, porque no es igual 𝑥2 que 𝑥3 
Sólo se puede sumar y restar Términos que sean Semejantes 
 
Cuando hablamos de Sumar en forma Algebraica estamos hablando de sumar y restar. 
Recordemos que: 
• Se suma cuando los signos son iguales y se mantiene el signo: −2 − 3 = −5 
• Se resta cuando los signos son diferentes y se mantiene el signo del mayor en valor 
absoluto: −2 + 5 = +3 
(No decimos “más por menos”, por ejemplo, porque NO estamos multiplicando 
 
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¿Cómo se hace? 
Hay dos modos de hacerlo: 
1) De forma directa 
(también le dicen vertical) 
 
2) Forma Ordenando y 
Completando 
(también le dicen 
horizontal) 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) De forma directa: 
Esta forma es la más útil cuando son 
polinomios pequeños, por ejemplo: 
𝐴(𝑥) = 2𝑥
2 − 3𝑥4 + 1 
𝐵(𝑥) = −5𝑥
4 + 3𝑥2 + 𝑥 − 2 
 
𝐴(𝑥) + 𝐵(𝑥) = (2𝑥
2 − 3𝑥4 + 1) + (−5𝑥4 + 3𝑥2 + 𝑥 − 2) 
Elimino los paréntesis (los paréntesis no son necesarios cuando estamos sumando), como estoy 
sumando, los signos se mantienen como están en 𝐵(𝑥) 
𝐴(𝑥) + 𝐵(𝑥) = 2𝑥
2 − 3𝑥4 + 1 − 5𝑥4 + 3𝑥2 + 𝑥 − 2 
 
 
 
IMPORTANTE 
No olvidar que la regla de los signos de la suma y 
resta es diferente a la de la multiplicación y división: 
Suma y Resta: 
Signos Iguales→ 𝑆𝑈𝑀𝐴 (en el resultado se deja el 
mismo signo, 
por ejemplo: 
−2 − 3 = −5 
+2 + 3 = +5 
2 es +2, cuando un número no tiene signo es 
porque es + pero no se escribe 
Signos Diferentes→ 𝑅𝐸𝑆𝑇𝐴 (en el resultado se deja 
el signo el mayor en valor absoluto 
por ejemplo: 
−2 + 3 = +1 
+2 − 3 = −1 
Multiplicación y División 
+ ∙ + + − ∙ − 
+ ∙ − - − ∙ + 
Por ejemplo: 
• (−2) ∙ (−3) = +6 
• (−2) ∙ (+3) = −6 
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Ahora debemos fijarnos cuáles son los iguales entre sí: 
= 2𝑥2 − 3𝑥4 + 1 − 5𝑥4 + 3𝑥2 + 𝑥 − 2 
Unimos los iguales, sumando o restando según los signos sean iguales o diferentes, esto se hace 
en orden, primero el de mayor exponente, para que el resultado quede ordenado: 
La suma y resta de hace de modo directo, pero lo escribiré de manera desglosada para que se 
entienda lo que estamos haciendo: 
= (−3 − 5)𝑥4 + (2 + 3)𝑥2 + 1𝑥 + 1 − 2 
 
= −8 𝑥4 + 5 𝑥2 + 1𝑥 − 1 
 
¿Qué pasa si tenemos algún polinomio restando? 
𝐴(𝑥) = 2𝑥
2 − 3𝑥4 + 1 
𝐵(𝑥) = −5𝑥
4 + 3𝑥2 + 𝑥 − 2 
 
𝐴(𝑥) − 𝐵(𝑥) = (2𝑥
2 − 3𝑥4 + 1) − (−5𝑥4 + 3𝑥2 + 𝑥 − 2) 
Elimino los paréntesis, como estoy restando 𝐵, los signos se cambian, porque es el Opuesto de 𝐵 = 
−𝐵(𝑥) 
𝐴(𝑥) + 𝐵(𝑥) = 2𝑥
2 − 3𝑥4 + 1 + 5𝑥4 − 3𝑥2 − 𝑥 + 2 
Ahora debemos fijarnos cuáles son los iguales entre sí: 
= 2𝑥2 − 3𝑥4 + 1 + 5𝑥4 − 3𝑥2 − 1𝑥 + 2 
Luego seguimos igual que hicimos en la suma, solamente sumamos cuando los signos son iguales y 
restamos cuando son diferentes 
= (−3 + 5)𝑥4 + (2 − 3)𝑥2 + 1𝑥 + 1 + 2 
= +2𝑥4 − 1𝑥2 + 𝟏𝒙 + 3 
 
2) Forma Ordenando y completando: 
 
Esta forma se usa normalmente cuando los Polinomios son muy largos o son muchos, pero 
ustedes usarán siempre el método que más les guste. Lo que sí es muy cierto es que esta forma es 
más fácil cuando uno está aprendiendo ya que todo queda organizado en su lugar y es más fácil. 
Ejemplo 1: Sumar: 𝐶(𝑥) + 𝐷(𝑥) 
La 𝑥 es está sola es: 𝑥 = 1𝑥1, lo que pasa 
es los 1 no se escriben 
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𝐶(𝑥) = −𝑥
2 + 5𝑥3 + 2 + 3𝑥4 
𝐷(𝑥) = −𝑥
5 + 𝑥 − 3𝑥3 + 5𝑥4 − 7 
 
Lo primero es ordenar y completar cada uno (además escribiré los 1 que normalmente no se 
escribenen los coeficientes): 
𝐶(𝑥) = +3𝑥
4 + 5𝑥3 − 1𝑥2 + 0𝑥1 + 2 
𝐷(𝑥) = −1𝑥
5 + 5𝑥4 − 3𝑥3 + 0𝑥2 + 1𝑥1 − 7 
Ahora vamos a sumar 𝐶(𝑥) + 𝐷(𝑥) y para eso colocamos arriba el más largo (esto es sólo por 
comodidad, para que sea más fácil y luego no falte espacio en los demás, recordar que en la suma 
no importa el orden por la propiedad conmutativa) 
Voy a explicarlo en un espacio cuadriculado porque es muy importante el orden y la prolijidad 
cundo trabajamos con Polinomios, ya que hay muchos números, letras y exponentes es fácil 
perdernos y tener errores de atención. 
𝐷(𝑥) −1𝑥
5 +5𝑥4 −3𝑥3 +0𝑥2 +1𝑥1 −7 
𝐶(𝑥) -------- +3𝑥
4 +5𝑥3 −1𝑥2 +0𝑥1 +2 
𝐶(𝑥) + 𝐷(𝑥) 
 
Ahora vamos a empezar a sumar uno por uno como lo hacemos con números normales, sólo se 
suman y restan (según los signos iguales o diferentes) los números, ya que las letras con sus 
exponentes quedan como están: (no olvidar el ejemplo de los perros y manzanas) 
𝐷(𝑥) −1𝑥
5 +5𝑥4 −3𝑥3 +0𝑥2 +1𝑥1 −7 
𝐶(𝑥) ----------- +3𝑥
4 +5𝑥3 −1𝑥2 +0𝑥1 +2 
𝐶(𝑥) + 𝐷(𝑥) 𝑥
5 𝑥4 𝑥3 𝑥2 𝑥1 
 
Vemos como siempre va a quedar en orden, es decir, siempre el término independiente debajo 
del término independiente, la 𝑥1 debajo de 𝑥1, la 𝑥2 debajo de 𝑥2 , y así cada uno de ellos, si no 
queda así es porque algo hicimos mal. 
Vamos ahora a sumar todo (Suma si los signos son iguales, Resta si los signos son diferentes): 
𝐷(𝑥) −1𝑥
5 +5𝑥4 −3𝑥3 +0𝑥2 +1𝑥1 −7 
𝐶(𝑥) ----------- +3𝑥
4 +5𝑥3 −1𝑥2 +0𝑥1 +2 
𝐶(𝑥) + 𝐷(𝑥) −1𝑥
5 +8𝑥4 +2𝑥3 −1𝑥2 +1𝑥1 −5 
 
Terminamos, el resultado es 
𝐶(𝑥) + 𝐷(𝑥) = −1𝑥
5 + 8𝑥4 + 2𝑥3 − 1𝑥2 − 1𝑥 − 5 
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Ejemplo 2: −𝐸(𝑥) + 𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥) + 𝐻(𝑥) 
¿Qué pasa cuando restamos? 
¿Qué pasa cuando son muchos polinomios? 
𝐸(𝑥) = 2𝑥
3 + 5 − 𝑥 + 𝑥2 
𝐹(𝑥) = −2𝑥
5 − 3𝑥 + 𝑥4 − 𝑥3 
𝐺(𝑥) = 5𝑥 − 𝑥
7 + 3𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥5 
𝐻(𝑥) = 1 − 𝑥 + 𝑥
2 − 𝑥4 − 𝑥6 
 
Lo primero es ordenar y completar cada uno (además escribiré los 1 que normalmente no se 
escriben en los coeficientes), luego colocar todos los opuestos que necesitamos (el cero no tiene 
signo, no importa si colocan menos o más): 
 −𝐸(𝑥) = −2𝑥
3 − 1𝑥2 + 1𝑥 − 5 
𝐹(𝑥) = −2𝑥
5 + 1𝑥4 − 1𝑥3 + 0𝑥2 − 3𝑥 + 0 
−𝐺(𝑥) = +1𝑥
7 + 0𝑥6 − 1𝑥5 + 0𝑥4 + 2𝑥3 − 3𝑥2 − 5𝑥 + 0 
𝐻(𝑥) = −1𝑥
6 + 0𝑥5 − 1𝑥4 + 0𝑥3 + 1𝑥2 − 1𝑥 + 1 
Ahora vamos a sumar −𝐸(𝑥) + 𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥) + 𝐻(𝑥) y para eso colocamos arriba el más largo (esto 
es sólo por comodidad, para que sea más fácil y luego no falte espacio en los demás, recordar que 
en la suma no importa el orden por la propiedad conmutativa, los demás en cualquier orden es lo 
mismo) 
−𝐺(𝑥) +1𝑥
7 +0𝑥6 −1𝑥5 +0𝑥4 +2𝑥3 −3𝑥2 −5𝑥 +0 
−𝐸(𝑥) --- --- --- --- −2𝑥
3 −1𝑥2 +1𝑥 −5 
𝐹(𝑥) --- --- −2𝑥
5 +1𝑥4 −1𝑥3 +0𝑥2 −3𝑥 +0 
𝐻(𝑥) --- −1𝑥
6 +0𝑥5 −1𝑥4 +0𝑥3 +1𝑥2 −1𝑥 +1 
−𝐸(𝑥) + 𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥) + 𝐻(𝑥) 
 
Recordamos que no vamos a hacer nada con las letras, solo estamos uniendo objetos iguales: 
−𝐺(𝑥) +1𝑥
7 +0𝑥6 −1𝑥5 +0𝑥4 +2𝑥3 −3𝑥2 −5𝑥 +0 
−𝐸(𝑥) --- --- --- --- −2𝑥
3 −1𝑥2 +1𝑥 −5 
𝐹(𝑥) --- --- −2𝑥
5 +1𝑥4 −1𝑥3 +0𝑥2 −3𝑥 +0 
𝐻(𝑥) --- −1𝑥
6 +0𝑥5 −1𝑥4 +0𝑥3 +1𝑥2 −1𝑥 +1 
−𝐸(𝑥) + 𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥) + 𝐻(𝑥) 𝑥
7 𝑥6 𝑥5 𝑥4 𝑥3 𝑥2 𝑥 
 
Sumanos (sumamos si son signos iguales, restamos si son signos diferentes) 
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−𝐺(𝑥) +1𝑥
7 +0𝑥6 −1𝑥5 +0𝑥4 +2𝑥3 −3𝑥2 −5𝑥 +0 
−𝐸(𝑥) --- --- --- --- −2𝑥
3 −1𝑥2 +1𝑥 −5 
𝐹(𝑥) --- --- −2𝑥
5 +1𝑥4 −1𝑥3 +0𝑥2 −3𝑥 +0 
𝐻(𝑥) --- −1𝑥
6 +0𝑥5 −1𝑥4 +0𝑥3 +1𝑥2 −1𝑥 +1 
−𝐸(𝑥) + 𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥) + 𝐻(𝑥) +1𝑥
7 −1𝑥6 −3𝑥5 +0𝑥4 −1𝑥3 −3𝑥2 −8𝑥 −4 
 
Cuando escribimos el resultado vemos que la 𝑥4 desaparece porque dio 0𝑥4, por eso, es igual no 
escribirlo o dejar 0𝑥4 
Terminamos, el resultado es 
−𝑬(𝒙) + 𝑭(𝒙) − 𝑮(𝒙) + 𝑯(𝒙) = 𝟏𝒙
𝟕−𝟏𝒙𝟔 − 𝟑𝒙𝟓 + 𝟎𝒙𝟒 − 𝟏𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟒 
 
 
 
Esto es todo, les dejo los siguientes videos que explican todo lo que acabamos de ver: 
https://youtu.be/50bJU4PLSEs 
https://youtu.be/v8NdZlaCiTc 
https://youtu.be/Yng9FbUK2MY 
https://youtu.be/ueJtyB2Hg2I 
https://youtu.be/tVj3Et0JzOU 
https://youtu.be/aeA0gJnQqOg 
 
 
 
 
IMPORTANTE 
Recordar que en la suma y resta de Polinomios no cambia nunca la x, ya que sólo 
se pueden sumar y restar letras iguales en todo, por eso los números sin x se suman y 
restan con números sin x, los que tienen 𝑥1 con 𝑥1, los que tienen 𝑥2 con 𝑥2 y los 
exponentes no cambian porque sólo estamos agrupando iguales. 
En cambio, en la multiplicación de Polinomios sí podemos unir diferentes, eso lo 
veremos la clase que viene 
https://youtu.be/50bJU4PLSEs
https://youtu.be/v8NdZlaCiTc
https://youtu.be/Yng9FbUK2MY
https://youtu.be/ueJtyB2Hg2I
https://youtu.be/tVj3Et0JzOU
https://youtu.be/aeA0gJnQqOg
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Trabajo Práctico 
Para resolver este trabajo usaremos los siguientes polinomios: 
𝐴(𝑥) = 2𝑥
2 − 3𝑥4 + 1 
𝐵(𝑥) = −5𝑥
4 + 3𝑥2 + 𝑥 − 2 
𝐶(𝑥) = −𝑥
2 + 5𝑥3 + 2 + 3𝑥4 
𝐷(𝑥) = −𝑥
5 + 𝑥 − 3𝑥3 + 5𝑥4 − 7 
𝐸(𝑥) = 2𝑥
3 + 5 − 𝑥 + 𝑥2 
𝐹(𝑥) = −2𝑥
5 − 3𝑥 + 𝑥4 − 𝑥3 
𝐺(𝑥) = 5𝑥 − 𝑥
7 + 3𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥5 
𝐻(𝑥) = 1 − 𝑥 + 𝑥
2 − 𝑥4 − 𝑥6 
 
1) Halla el valor numérico de los polinomios A y F cuando 
a) 𝑥 = 0 
b) 𝑥 = 1 
c) 𝑥 = −2 
 
2) Resuelve las siguientes operaciones con el método que sea más conveniente: 
a) 𝐵(𝑥) + 𝐷(𝑥) 
b) 𝐷(𝑥) − 𝐴(𝑥) 
c) 𝐻(𝑥) + 𝐸(𝑥) − 𝐺(𝑥) 
d) −𝐴(𝑥) + 𝐶(𝑥) − 𝐸(𝑥) − 𝐺(𝑥)