Guía n5 Matemática I Medio

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Material de Apoyo 
Revisa los siguientes links como apoyo al desarrollo de los ejercicios. 
https://www.youtube.com/watch?v=s7FS9s8I8mw 
 
 
 
Prof. Javier Andrade S. Dpto. Matemática Colegio San José
 
mailto:profalejandroquinteros@gmail.com
https://www.youtube.com/watch?v=s7FS9s8I8mw
I. Crecimiento y decrecimiento Exponencial 
a) Crecimiento Exponencial 
 
Un crecimiento exponencial se representa por una potencia de exponente variable, 
es decir, una expresión algebraica de la forma an, donde n generalmente representa 
unidades de tiempo (segundos, minutos, horas, etc.) cuya base a es un número mayor que 
uno, que se elige dependiendo de la situación que represente. 
El cociente obtenido entre los valores obtenidos para dos exponentes consecutivos 
es constante. 
 
Ejemplo 1: Ritmo básico de reproducción de una enfermedad contagiosa. 
 
El R0 de una enfermedad se define como la tasa o ritmo con la que una enfermedad 
contagia una población, es decir la rapidez que esta se va contagiando en la población, esto 
implica que entre más grande el R0 más rápido la enfermedad se contagia. La tabla adjunta 
muestra los R0 de las enfermedades más contagiosa que han existido: 
 
Enfermedad Transmisión R0 
Sarampión Aérea 12-18 
Varicela Aérea 10-12 
Rubéola Gotículas aerotransportadas 5-7 
Viruela Gotículas aerotransportadas 3,5-6 
SARS Gotículas aerotransportadas 2-5 
VIH Contacto Sexual 2-5 
Ébola Fluidos Corporales 1,5-2,5 
COVID-19 Gotículas aerotransportadas 1,4-3,9 
Influenza 1918 Gotículas aerotransportadas 1,4-2,8 
 
 Pero que significa este número, el R0 matemáticamente hablando es constante de 
crecimiento exponencial. Supongamos que el R0 del COVID-19 es R0=2. Tendremos lo 
siguiente: 
Tiempo Contagios 
0 
 
1 
2 
3 
 
Prof. Javier Andrade S. Dpto. Matemática Colegio San José
 
Basado en el dibujo anterior, desde el primer contagio, cada vez este se va 
duplicando, es por eso por lo que se dice que tiene un R0 = 2. 
 
Usando una expresión matemática en base al R0 se puede estimar el número de 
contagios después se un cierto tiempo(t). 
 
Tiempo 
(d) 
Contagios 
R0 = 2 
N° de Contagios como 
expresión, 
0 
 
20 = 1 
1 21 = 2 
2 22 = 4 
3 23 = 8 
 
Sucesivamente el R0 se convierte en la base de una potencia, elevada a la unidad de 
tiempo que se haya determinado. Con la cual se puede determinar el número de contagiados 
después de (t) tiempo. 
Si queremos saber cuántos posibles contagios tendremos a los 10 días, tenemos 
210 = 1024 
 
Es decir, se puede estimar que con un R0 = 2, y pensando en que las condiciones de 
contagio se mantienen, al cabo de 10 días tendremos un total de 1024 contagiados. 
 
Ejemplo 2: Un grupo de estudiantes está analizando la descomposición de una hortaliza. 
Ellos consideran que la infección es extensa, es decir, la hortaliza no puede ser consumida 
cuando tiene 1024 o más bacterias por milímetro cuadrado (mm2). Además, observaron que 
las bacterias que producen la descomposición de la hortaliza se duplican cada una hora. 
 
Desarrolle lo Siguiente: 
 Si en un comienzo hay una bacteria por mm2, ¿en cuántas horas la hortaliza ya no 
podrá ser consumida?, ¿cómo lo supiste? 
 Si parten el estudio a las 8:30 h; ¿a qué hora la hortaliza no servirá para el consumo?, 
¿y a qué hora habrá 64 bacterias por mm2? 
 ¿Podrías explicar la reproducción de las bacterias utilizando potencias?, ¿por qué? 
 ¿Cómo graficarías el comportamiento de las bacterias? 
 
 
Prof. Javier Andrade S. Dpto. Matemática Colegio San José
 
La situación anterior se puede resumir utilizando una tabla como la siguiente: 
 
 
 
Si observamos la tabla, hay 64 bacterias por mm2 en la hortaliza transcurridas 6 horas, 
es decir, si comenzaron el estudio a las 8:30 horas, dicha cantidad estará presente a las 14:30 
horas. Por otra parte, la hortaliza no podrá ser consumida transcurridas 10 horas, es decir, a 
las 18:30 horas la infección será considerada extensa por los estudiantes. 
 
Como las bacterias se duplican cada 
una hora, cada vez se multiplica por dos. 
Entonces, si queremos expresar como 
potencia, la base será 2 y el exponente 
corresponde a las horas transcurridas. 
 
 Además, en este caso observamos 
dos variables, una dependiente de la otra, ya 
que el número de bacterias depende de las 
horas transcurridas; dicho de otro modo, a 
medida que el tiempo transcurre, la cantidad 
de bacterias aumenta. Para analizar la 
relación entre las variables, observa el 
gráfico: 
 
 
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Ejercicios: 
 
a) Violeta llama a tres compañeras y les cuenta un secreto. Cada una de estas amigas, llama a 
otras 3 amiga más, distintas de las primeras, para contarles el secreto y así, una a una va 
contando el secreto a nuevas amigas. Completa la tabla el grafico y luego responde. 
 
Nivel 
de 
llamado 
Personas 
informadas 
en el nivel 
Potencia 
Relacionada 
0 1 30 
1 3 31 
2 9 32 
3 
4 
5 
1) ¿A cuántas amigas le contaron el 
secreto en el nivel 6? 
 
2) ¿En qué nivel 2187 amigas sabrían el 
secreto? 
 
b) Luisa llama a cuatro compañeras y les informa sobre una campaña de recolección de 
alimentos. Cada una de estas amigas llama a otras cuatro amigas para contarles sobre la 
campaña, y así, una a una, van contando a 4 nuevas amigas. Completa la tabla, el gráfico y 
responde. 
 
 
3) ¿Cuántas personas son informadas en el nivel 4? 
4) ¿Cuál es la variable dependiente de la otra?, ¿por 
qué? 
 
 
 
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c) Imagina que tienes una hoja de papel rectangular muy grande, y que comienzas a doblarla 
por la mitad, una y otra vez. Si la abres, observarás que se forman rectángulos iguales. 
 
1) ¿Qué relación tiene esta situación con las potencias?, ¿cuál es la base?, ¿qué representa 
el exponente en este caso? 
2) Si doblas el papel 3 veces por la mitad, ¿cuántos rectángulos se forman al abrir el papel?, 
Utiliza potencias para responder. 
3) Y si doblaras 5 veces el papel por la mitad, ¿cuántos rectángulos se formarían?, Utiliza 
potencias para responder. 
4) Comprueba los resultados obtenidos utilizando una hoja tamaño carta. 
5) Sin utilizar papel para comprobar, ¿cuál es la cifra de las unidades equivalente a la 
cantidad de rectángulos que se forman al doblar un papel rectangular 15 veces por la 
mitad?, ¿cómo lo supiste? 
 
d) Para una campaña en defensa de los delfines Francisca decidió iniciar una cadena de correos 
electrónicos. Ella envió a 5 amigos un mensaje en el que daba a conocer la situación de los 
cetáceos y pedía que cada receptor enviara ese correo a 5 personas más. 
 
1) Elabora una tabla que exprese lo que hizo Francisca, considerando que la Etapa uno es 
considerado como el tiempo 0, donde ella hace la primera carta. 
 
N° Etapa Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Etapa 4 Etapa 5 Etapa 6 Etapa 7 
Potencia 
Cantidad 
 
2) Escribe una potencia que represente cuántos mensajes se han enviado en la etapa 30. 
 
3) cuántos correos se han enviado en total hasta la etapa 7. 
 
AUTOEVALUACIÓN 
Marca con una x en la columna que corresponda a cada afirmación. 
 
Criterios No Logrado 
Parcialmente 
Logrado 
Logrado 
Comprendí el Concepto de crecimiento 
exponencial 
 
Pude relacionar el crecimiento exponencial 
con la multiplicación de potencias 
 
Le dedique el tiempo suficiente 
Pedí ayuda cuando la necesité NO SI 
Desarrolle todos los ejercicios NO SI 
 
 
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