ponencia 20_Nagel-Vega

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LA VALIDACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS: DE YOUTUBE A LA 
DEMOSTRACIÓN EUCLIDIANA 
Prof.Esp. Marina Nagel - Prof.Mg. Beatriz Vega 
Escuela Normal Superior N° 32 “Gral. San Martín” 
nagel_marina@yahoo.com.ar - beatrizvega1950@hotmail.com 
 
Trabajo de investigación - La educación matemática en la escuela secundaria - Nivel 
Secundario y Superior 
 
Resumen: Este trabajo es un avance de una investigación que estamos realizando desde la 
cátedra de Didáctica Específica y Taller de Docencia III, del Profesorado en Matemática para la 
Educación Secundaria de la Escuela Normal Superior N° 32 “Gral. San Martín”, IFD de la ciudad 
de Santa Fe. La propuesta surge con la intención de realizar aportes a la formación inicial de un 
profesor en Matemática, en un aspecto central de la gestión de la clase: la validación, a la luz del 
encuadre que brindan los Núcleos de Aprendizaje Prioritarios (NAP) y las Orientaciones 
Curriculares de la Provincia de Santa Fe. 
Analizamos materiales didácticos utilizados para validar el teorema de Pitágoras desde videos de 
YouTube ysoftware educativos, pasando por los múltiples rompecabezas que intentaron verificar 
esta importante relación de los lados de los triángulos rectángulos, para aproximarnos al 
tratamiento realizado por Euclides en el siglo III AC. También consideramos las propuestas sobre 
el tema en libros de texto utilizados actualmente en las aulas. En esta comunicación no 
reflexionamos sobre el valor de estos recursos en la enseñanza de la Matemática, sino sobre el 
tipo de actividad matemática que permiten generar, la gestión de la clase que deviene a partir 
desu usoy el grado de problematización que pueden propiciar. 
Introducción 
Este trabajo es un avance de una investigación que estamos realizando desde la cátedra de 
Didáctica Específica y Taller de Docencia III, del Profesorado en Matemática para la Educación 
Secundaria de la Escuela Normal Superior N° 32 “Gral. San Martín”, IFD de la ciudad de Santa Fe. 
La propuesta surge con la intención de realizar aportes a la formación inicial de un profesor en 
Matemática, en un aspecto central de la gestión de la clase: la validación, a la luz del encuadre 
que brindan los Núcleos de Aprendizaje Prioritarios (NAP) y las Orientaciones Curriculares de la 
Provincia de Santa Fe. 
El Teorema de Pitágoras representa históricamente el paso dela especulación empíricae inductiva 
a los dominios del razonamiento deductivo.Este clásico en la enseñanza de todos los niveles, a 
menudo es convertido en un ‘monumento’ de visita obligada, reducido a su mera enunciación y su 
aplicación inmediata, y no una oportunidad para desplegar un verdadero trabajo matemático que 
aportea la problematización, a la elaboración de conjeturas, a su validación, al debate y la 
comunicación de procesos y resultados, al modo de una “microsociedad científica”,tal como lo 
proponen los documentos curriculares. Por esta razón es importante “introducir a los alumnos en 
las formas de trabajo de esta disciplina; entonces, la enseñanza de los modos de argumentar 
válidos en ella y, en particular, la iniciación en la demostración, aparecen en primer plano en la 
escolaridad secundaria”. (Chemello y Crippa, 2011,p.55) 
El teorema de Pitágoras es tratado en la enseñanza de múltiples formas. Es nuestra intención en 
esta comunicación poner en tensión algunas de ellas a la luz de lo que entendemos por actividad 
matemática, y en particular, por validación, ya que siguiendo a Sadovsky, si no hay validación de 
la actividad que se realiza, no hay Matemática, sea cual sea el año escolar del que se trate. (1999, 
p. 126). 
Haremos un breve recorrido por los recursosmás utilizadosa propósito de la validación de este 
teorema, que van desde los actualísimos videos de YouTube y los software educativos, pasando 
por los rompecabezas que intentaron verificar esta importante relación de los lados de los 
triángulos rectángulos, para aproximarnosal tratamiento realizado por Euclides en el siglo III antes 
de nuestra era (Libro I Proposición 47). 
En esta comunicación no reflexionamos sobre el valor de estos recursos en la enseñanza de la 
Matemática, sino sobre el tipo de actividad matemática que permiten generar, la gestión de la 
clase que deviene a partir de su uso y el grado de problematización que pueden propiciar. 
Delimitación del estudio 
Al abordar el tema, consideramos necesario recordar las transformaciones que sufren los objetos 
del saber y su impacto en el sistema educativo, que son la expresión del proceso de transposición 
didáctica, que implica dos fases: la primera concierne al pasaje del saber sabio al saber a enseñar 
y la segunda, el pasaje del saber a enseñar al saber enseñado. En esta segunda fase, podemos 
mencionar los libros de texto y los materiales didácticos. La idea de transposición didáctica 
tracciona la necesidad de la vigilancia epistemológica, es decir, una atenta mirada respecto de la 
brecha que existe entre el saber académico y el saber a enseñar, más aún en un momento en el 
que, junto a los libros de texto, el sistema educativo ha incorporado el uso de recursos 
informáticos. 
Consideramos el Teorema de Pitágoras por su gran valor práctico, teórico y didáctico, dada la 
variedad de prácticas de validación que permite desplegar y porque puede ser el umbral que inicia 
las prácticas deductivas. 
Las preguntas que guiarán nuestra tarea serán:¿Qué papel juegan los recursos didácticos en 
torno a la validación del Teorema de Pitágoras?¿Todo recurso puede llevar a los estudiantes a 
realizar diversidad de prácticas (dar ejemplos, medir, calcular, relacionar, argumentar, validar) o 
por el contrario,una presentación ostensiva laslimita a la mera observación y verificación?¿Se 
responsabiliza a los estudiantes de la necesidad de validar?¿Qué tipo de validaciones en la 
escuela secundaria? 
Metodología 
Desde el punto de vista del proceso de investigación, si tenemos en cuenta que “las 
investigaciones exploratorias pretenden darnos una visión general, aproximada, respecto a un 
determinado objeto de estudio” y que “la preocupación primordial de las investigaciones 
descriptivas radica en describir algunas características fundamentales de fenómenos, utilizando 
criterios que permitan poner de manifiesto su estructura o comportamiento” (Sabino, 1996, p. 44), 
podemos caracterizar nuestra investigación como exploratoria descriptiva. Cabe aclarar que para 
esta presentación realizaremos fundamentalmente un análisis a priori de las actividades 
presentadas. 
Consideramos videos de YouTube, el software GeoGebra, rompecabezas y actividades 
planteadas en libros de texto de Matemática de uso habitual en los primeros años de la escuela 
secundaria. 
Analizamos el tratamiento de la validaciónasí como el tipo de prácticas que se ponen en juego a 
partir de los distintos recursos. Para tal fin consideramos como indicadores siel recurso favorece 
las tareas de validación ylos tipos de pruebas (pragmáticas o intelectuales) que permiten 
desplegar. 
Elementos teóricos que orientan el análisis 
La Geometría, y en particular el tratamiento escolar del tema que nos convoca: el teorema de 
Pitágoras, se caracteriza por una fuerte componente ostensiva.Para Bosch los objetos ostensivos 
son aquellos objetos materiales que se perciben a través de los sentidos, o que están dotados de 
cierta materialidad como las escrituras, gráficos, gestos o discursos, a diferencia de los objetos no-
ostensivoscuyaexistencia no se puede percibir ni mostrar por sí mismos, y que pueden ser 
“invocados” o “evocados” mediante la manipulación de ciertos objetos ostensivos apropiados. En 
esta categoría se incluyen las ideas, los conceptos, las creencias, etc. Bosch postula la 
coexistencia permanente y dialéctica de los objetos ostensivos y los objetos no ostensivos, ya que 
mientras estos últimos emergen de la manipulación de los primeros, al mismo tiempo, la 
manipulación de los objetos ostensivos está siempre guiada y controlada por objetos no-
ostensivos.(Bosch, 2001). 
Por otra parte, desde la aproximación ergonómica o instrumental (Rabardel, 1995; Trouche, 2011) 
se plantea la constante presencia de artefactos en la actividad matemática en la historia, y 
particularmente en la matemática escolar. Lo que es necesario reconocer es que esta mediación 
influye en la naturaleza transpuesta del saber matemático, en el proceso de conceptualización por 
parte del estudiante, producto de las tareas realizadas, en las acciones del profesor en relación a 
la gestión didáctica de dichos instrumentos. (Trouche, 2011). Por lo expresado, es central 
considerar el problema epistémico en relación a dichos artefactos a modo de considerar el riesgo 
que una actividad pensada como matemática termine siendo una actividad práctica o lúdica. 
Por otra parte, para delimitar qué entendemos por validación, acordamos con Margolinas(2009) 
que es un proceso que funciona en paralelo a la resolución de un problema, garantizando la 
validez de su desarrollo y resultado, produciendo una explicación, una demostración o una prueba. 
Ahora bien, es necesario tensionar las distintas connotaciones que tiene la palabra demostración 
según la institución en la que se considera: no se interpreta del mismo modo en la institución ‘vida 
cotidiana’ y en la institución ‘matemática’, y además, corresponde diferenciar su sentido en la 
institución ‘escolar’, en la que, en el nivel secundario, se inicia al alumno con esta tarea que 
caracteriza el saber matemático.Por ello, consideramos como marco teórico la postura de 
Balacheff (2000)quien distingue los conceptos de explicación, prueba y demostración, según cada 
comunidad de referencia. 
Una explicación es todo discurso sostenido por una persona o grupo, cuyo objetivo es el de 
comunicar a otro el carácter de verdad de una proposición o de un resultado. Las pruebas, son 
explicaciones aceptadas por una comunidad dada en un momento dado. En la comunidad 
matemática, se aceptan pruebas que adoptan una forma particular: las demostraciones, 
caracterizadas por la presencia de algunos enunciados considerados como axiomas, otros que se 
deducen de ellos o de otros enunciados anteriormente demostrados por un conjunto de reglas 
lógicas, operando sobre objetos ideales. Distingue dos tipos de pruebas: las pragmáticas y las 
intelectuales. Las pruebas pragmáticas son las ligadas a la acción y a la experiencia. Las 
intelectuales, dan cuenta de un distanciamiento de la acción por parte del autor, considerando a la 
demostración una prueba intelectual particular. (Balacheff, 2000) 
Ahora bien, siguiendo a Chevallard (1989), es fundamental considerar que si la demostración ha 
de convertirse en contenido de enseñanza, debe sufrir una transformación adaptativa, una 
transposición didáctica, como todo objeto matemático. Para analizarla, en primer lugar debemos 
preguntarnos ¿por qué querer demostrar en la escuela secundaria? Es decir, plantearnos ‘su 
razón de ser’ en el currículum. 
Para el grupo IREM la demostración tiene dos funciones: 
- convencer o convencerse de la validez de un resultado o procedimiento producto de una 
incertidumbre, 
- comprender en un sentido matemático, o sea, establecer lazos entre las evidencias y las 
propiedades conocidas por el estudiante. (IREM, citado en Arsac, 1992, p. 6) 
En otras palabras, la primera función responde a la pregunta ¿es verdad?, mientras la segunda a 
¿por qué es verdad?, denotando –según Arsac- otro nivel de complejidad. 
Por tanto, pensando en las primeras experiencias de los estudiantes encaminados hacia la 
validación, sin dudas, la primera función resulta más accesible porque dispondrá como 
herramientas de pruebas pragmáticas, las vinculadas con la verificación de la conjetura o la 
constatación empírica producto de la visualización o la medición sobre un dibujo, para avanzar 
sobre pruebas intelectuales, reconociendo la insuficiencia de las primeras. 
Por último, y en estrecha relación con lo anterior, es necesario que en el contrato didáctico 
establecido en el aula para el desarrollo de tareas de validación, se consideren las reglas del 
debate matemáticoidentificadas por Arsac(1992), que se refieren a enunciados generales y 
cuestionanotros modos de validar externos a la Matemática naturalizados por el uso social. 
Algunas de esas reglas son: 
- que un enunciado es verdadero o es falso (principio de tercero excluido) 
- que un contraejemplo es suficiente para invalidar un enunciado, 
- que no son suficientes algunos ejemplos que verifican un enunciado para probar que es 
verdadero, 
- que no se puede constatar un enunciado en un dibujo para decidir si es verdadero. 
Los recursos seleccionados y su análisis 
Para desarrollar nuestro trabajo imaginemos una clase de matemática de primero o segundo año 
de la escuela secundaria santafesina, un profesor que anuncia el tema a abordar: el Teorema de 
Pitágoras y la mayoría de los alumnos con sus netbooky la posibilidad de conexión a Internet. 
Siguiendo con la escena imaginada, es muy factible que alguno ingrese a Google y tipee‘Teorema 
de Pitágoras’. En la lista desplegada, aparecen variados videos de YouTube, tal como el que se 
encuentra en la siguiente dirección y que consideraremos simplemente a efectos ilustrativos: 
http://www.youtube.com/watch?v=1er3cHAWwIM (ilustración 1. El dispositivo está compuesto de 
tres recipientes prismáticosde la misma altura, apoyados en los lados de un triángulo rectángulo, 
que contienen un líquido coloreado, que se va trasvasando al girar el disco sobre el que están 
ubicados. 
 
Hemos expresado que el uso de recursos siempre genera efectos sobre la actividad matemática 
del estudiante y en la conceptualización. Sin lugar a dudas, este recurso se caracteriza por una 
fuerte componente ostensiva, ariesgo de que el concepto quede pegado al dispositivo, a la 
anécdota, de modo que en vez de interpretar la propiedad, los estudiantes piensen, por ejemplo: 
“que el agua de dos recipientes chicos entra en el recipiente más grande”, o “que la capacidad de 
los dos recipientes más pequeños es igual a la capacidad del mayor”.O bien, en el mejor de los 
casos planteen que “el volumen del prisma más grande es igual a la suma de los volúmenes de los 
prismas más pequeños”. 
Por otra parte, el mismo video habla de ‘Demostración’ cuando en realidad lo que se hace es una 
mera mostración de un hecho físico –el llenado de recipientes-, no matemático.Y nos 
preguntamos: ¿Cómo se enuncia desde este dispositivo el teorema de Pitágoras? 
En respuesta a la pregunta anterior, nos interesa destacar que en el museo interactivo de la 
Ciudad de Buenos Aires, “Prohibido no tocar”, que muchas escuelas visitan, se encuentra este 
mismo artefacto acompañado por un poster (ilustración 2) cuya pretensión es responder la 
pregunta planteada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las explicaciones del poster, que pretenden explicar el fenómeno observado, conllevan serios 
errores conceptuales en un ámbito que pretende la difusión científica, de modo que si quien lo lee 
no tiene formación matemática, le aporta solo confusiones conceptuales en relación a objetos de 
Geometría y Medida: diferencia entre figura y cuerpo y entre superficie y volumen. 
Seguidamente, y a través de un salto injustificado, se muestra el caso particular del triángulo de 
lados 3, 4 y 5. De este modo, se enuncia una propiedad y el lector puede llegar a entender que la 
mera verificación de un caso particular es suficiente para establecer la verdad de dicho enunciado. 
De allí la importancia del rol del profesor en esta tarea de vigilancia epistemológica a la que 
hicimos referencia anteriormente, y de una adecuada intervención de modo de no quedarse en la 
simple observación de un fenómeno, ni la trivialización de los procesos de validación en 
Matemática, porque una verificación de una propiedad general en unos o muchos ejemplos no es 
suficiente para garantizar su veracidad. Por tanto, es tarea del profesor recuperar de la institución‘vida cotidiana’ recursos de este tipo y cuestionarlos a la luz de lo que es el proceso de validación 
en Matemática. En este caso, se podríaavanzar, por ejemplo, con un trabajo algebraico que 
permita establecer una prueba más elaborada de la relación pitagórica a partir de la relación entre 
los volúmenes de los tres paralelepípedos de alturas constantes.En efecto, si expresamos la altura 
de los paralelepípedos con y, obtenemos: 
Volumen H = Volumen A + Volumen B 
Superficie base H x y = Superficie base A x y + Superficie base B x y 
h2 .y = a2 . y + b2 .y ⇒h2 = a2 + b2 
Una situación similar es la experiencia de construir y pesar placas de madera del mismo material 
(espesor y densidad). De este modo, como el peso es proporcional al área, se verifica la relación. 
Ahora bien, estos recursos bien utilizados –y sin errores conceptuales- pueden propiciar el 
desarrollo de pruebas más elaboradas, que sin llegar a ser pruebas intelectuales propias de la 
� Para hacer y observar 
1. Girá el dispositivo, de modo que el cuadrado “H” 
quede arriba y horizontal. 
2. Notá que el líquido azul se deposita cubriendo la 
totalidad de los cuadrados “A” y “B”. 
3. Ahora ubicá el dispositivo de modo que el cuadrado 
“H” quede abajo. 
� ¿Qué está sucediendo? 
Tenemos 3 cuadrados: “A”, “B” y “H” y un triángulo 
definido por los lados “a”, “b” y “h”. 
El líquido azul que estaba sobre la superficie de los 
cuadrados “A” y “B” ocupa la misma superficie que el 
cuadrado “H”. 
 … 
comunidad matemática, aportan a la comprensión de un estudiante del ciclo básico, del proceso 
de validación en esta ciencia. 
Continuamos el análisis conlos puzzles y los applets. Ambos ofrecen a los estudiantes la 
posibilidad de realizar pruebas empíricas del Teorema de Pitágoras. Sin duda, esta es la manera 
devalidar de un alumno de la escuela primaria o inicios de la secundaria, pero necesariamente en 
este nivel hay que avanzar hacia las pruebas intelectuales, de lo contrario reducimos el recurso a 
una propuesta manipulativa. De todos modos, como profesores no podemos desconocer que la 
mayoría de los estudiantes quedarán convencidos de la veracidad del teorema a partir de trabajar 
con los puzzles o de la visualización de los applets.Por tanto, pedirles que demuestren la relación 
entre los lados de un triángulo rectángulo no sería adecuado, ya que los estudiantesno 
comprenderíanla necesidad de demostrar algo que es obvio. Pero dado que un puzzle no es una 
buena pruebaporque se trabaja con casos particulares y en algunos de ellos sus piezas parecen 
estar juntas y sin embargo no lo están, este es el momento de introducir la necesidad del trabajo 
desde otros marcos, tal como el algebraico. 
Una propuesta al respecto es la demostración realizada por el 
monje, matemático y astrónomo hindú, Bhaskara, del siglo X 
d.C., quien propone partir de un triángulo rectángulo ABC y 
descomponer el cuadrado BCJI sobre la hipotenusa a, en 
cuatro triángulos iguales al ABC más un cuadrado PLQM de 
lado c-b. 
De este modo resulta que: 
 
 
 
 
Como podemos observar, el trabajo con puzzles se ve 
enriquecido por el trabajo con el álgebra. Sin dudas, el pasaje 
entre los distintos marcos (Douady (s/f, p. 6) permite a los 
estudiantes entender la Matemática como un todo, y la 
potencialidad del álgebra para modelizar. 
Del mismo modo, el uso de software educativo, tal como el 
GeoGebra permite conjeturar las relaciones entre los lados del 
triángulo rectángulo, pero de ningún modo validarlas. 
Entonces… ¿qué hacer para que los estudiantes reconozcan que en la actividad matemática es 
necesario validar? Luego, ¿los estudiantes deben aprender a demostrar? 
Si bien la demostración es una tarea propia del hacer matemática, no estamos postulando la 
necesidad de volver a las demostraciones de teoremas al modo de la Geometría Euclidiana, sino 
más bien planteamos la importancia de presentar situaciones problemáticas, que por sí mismas 
involucren la actividad de validación en la institución escuela secundaria. 
Indagando libros de texto de 1° año de la escuela secundaria, encontramos distintas opciones. A 
modo de ejemplo, consideramos dos: 
Libro 1: 
 
La prueba intelectual posible del inciso c) para un estudiante de primer año puede ser: 
Área del cuadrilátero MNQP: A = = 
Suma de las áreas de los tres triángulos que forman el trapecio: S = 
Como A = S, se obtiene que: = ⇒ = ⇒ + 
 
Libro 2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La posibilidad de ‘demostrar’ en este caso es un tanto dificultosa, ya que el procedimiento debe 
sustentarse en la congruencia de triángulos y en la 
equivalencia de áreas, con un procedimiento 
similar al que se da a continuación: 
 
Utilizando un argumento similaral de la de 
Euclides, se consideran los triángulos JBC, JAB, 
BCG y BMG y se comparan sus áreas. 
En efecto: 
• área ∆JBC = área ∆ JBA, pues tienen la misma 
base JB y la misma altura por ser IA paralela JB. 
• Por otra parte, los triángulos JBA y BCG son 
congruentes, ya que: 
 BA ≅ BG 
 JB ≅ BC 
 ángulo JBA ≅ ángulo CBG, ya que ambos 
resultan de agregarle al ángulo CBA, un ángulo 
recto. Luego: área ∆ JBA= área BCG. 
• área ∆ BCG = área ∆ BMG, porque tienen la 
misma base BG y la misma altura por ser BG 
paralela a CD. 
Por otra parte, el área del cuadrado JICB es el 
doble del área del triánguloJCB, ya que tienen la 
mismabase y altura, así como el área del 
rectángulo BMDG es el doble del área del triángulo BMG, por tener igual base y altura. 
Luego resulta que el área del rectángulo BMDG es igual alárea del cuadrado JICB. 
Razonando de forma análoga se demuestra que el área del rectángulo MAHD es igual al áreadel 
cuadrado CFEA. 
Este tipo de propuestainvolucra relaciones complejas y se necesita de un trabajo previo en 
geometría que proporcione la posibilidad de ser realizado por estudiantes de 1° Año de la escuela 
secundaria. Por ello apelamos a la importancia de que el profesor realice un análisis a priori de las 
actividades a seleccionar que considere los saberes disponibles de los estudiantes en esa etapa 
de la escolaridad. 
A modo de reflexiones finales 
Esta brevísima reseña sobre formas de validar el teorema de Pitágoras, nos ha permitido elaborar 
algunas reflexiones en torno a la actividad matemática: 
-necesidad de la vigilancia epistemológica, es decir, una atenta mirada respecto de la brecha que 
existe entre el saber académico y el saber a enseñar, más aún en este momento en el que, en la 
escuela han incorporado los recursos informáticos. 
-la persistencia en las aulas de un modelo didáctico en el que el profesor “muestra las nociones, 
las introduce, provee los ejemplos y el alumno escucha, imita, se ejercita y al final aplica” 
(Charnay,1994, p.55), no permite que los estudiantes vean la necesidad de la validación, ya que el 
profesor es el responsable de la legitimidad y la validez de lo que se construye. 
-para superar esta dificultad en la enseñanza se impone una gestión de la clase 
diferente,comenzando por un profesor que plantee situaciones problemáticas a partir de las cuales 
el alumno ensaye, busque, proponga soluciones, las confronte con las de sus compañeros y se 
responsabilice de sus producciones. Esto significa que el profesor no debe tomar las decisiones, 
sino participar con buenas preguntas y devoluciones durante la resolución del problema propuesto, 
favoreciendo la construcción de pruebas autónomas por parte de los estudiantes. 
-en el caso de los puzzles, se deberá trabajar para que el estudiante comprenda que constituyen 
pruebas empíricas en casos particulares y más aún,se deberían manipular falsos puzzles para 
convencerlos de la necesidad de otras herramientas tal como la demostración, porque “un puzzle 
en el que el que no se justifica el encastramiento de los trozos por cálculos de ángulos o por 
demostraciones geométricas, no es prueba de igualdad de áreas. Nose debería mostrar un puzzle 
a los alumnos paradespués admitir el teorema de Pitágoras, pareciendo que se hizouna 
demostración.”(Berté,1999, p. 180) 
-más allá del Teorema de Pitágoras elegido como eje del trabajo, las situaciones que se 
propongan para cualquier tema en la clase de Matemática deben favorecer la elaboración de 
pruebas y la discusión sobre cómo hacerlas, y facilitar la evolución de los modos naturales de 
razonar hacia los modos válidos en la cultura matemática. 
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Libros y Páginas web consultadas: 
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http://www.slideshare.net/favalenc/dialectica-douady 
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