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NÚMEROS REALES 
 
 Los números naturales: sirven para contar los elementos de un conjunto o para 
ordenarlos. 
 
 
Son infinitos y podemos representarlos gráficamente de esta forma 
 
 
 
 Los números enteros: son los naturales y sus opuestos. Sirven para expresar 
cantidades enteras negativas como temperaturas bajo cero o deudas. 
 
También son infinitos y se representan así 
 
 
 
Observa que entre dos números enteros no hay ningún otro número entero. 
 
Se utiliza para designar a los números enteros porque en alemán número se 
escribe zahl. 
 
 Los números racionales: Son todos aquellos que se pueden expresar en forma de 
fracción. El conjunto de los números racionales está formado por los números 
enteros y los números fraccionarios. 
Una fracción es un cociente de números enteros , donde b ≠ 0. 
Si efectuamos el cociente veremos que toda fracción da lugar a un número 
decimal exacto o periódico. 
Se utiliza para designar a los números racionales porque en inglés cociente se 
escribe quotient 
Un conjunto de fracciones equivalentes representa el mismo número racional. 
Elegiremos la fracción irreducible como representante canónico. 
Resumiendo, los números enteros, los decimales exactos y los decimales 
periódicos forman los números racionales. 
Entre dos números racionales hay otros infinitos números racionales 
 
 Los números irracionales: Son todos aquellos números reales que no se 
pueden expresar en forma de fracción. 
Los números irracionales no se pueden poner como cociente de dos números 
enteros y su expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas. 
En general, si n es un número natural que no es cuadrado perfecto, es 
irracional. 
Puedes escribir un número decimal no periódico indicando la regla de formación 
3,101001000... es irracional tras la coma escribimos sucesivas potencias de 10 
Otro número irracional importante El número designado con letra 
griega (Fi), llamado número de oro y que es la inicial del nombre del 
escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras. 
Más adelante, este número que has hallado tuvo otras aplicaciones, por 
ejemplo en el arte. El rectángulo que tenía sus lados en proporción se consideraba 
especialmente armonioso y en el Renacimiento, con Luca Pacioli y Leonardo da 
Vinci, se le llamó rectángulo áureo y a número áureo. 
La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números 
irracionales, recibe el nombre de conjunto de los números reales y se denota con el 
símbolo 
 
 
Racional + Irracional = Irracional 
Irracional + Irracional : 
 Racional: (2+√𝟐)- √𝟐 =2 
 Irracional: √𝟐 + √𝟐 = 2 √𝟐 
Racional . Irracional = Irracional 
Irracional.Irracional: 
 Racional: √𝟐- √𝟐 =(√𝟐)2=2 
 Irracional: √𝟐 .(2+ √𝟐 )= 2 √𝟐+2 
Racional : Irracional = Irracional 
Irracional : Irracional 
 Racional: √𝟐: √𝟐 =1 
 Irracional: √𝟐 :(2+ √𝟐 )= √𝟐-1 
Inverso de Irracional: Irracional 
 
 
 
Representación gráfica 
Al igual que los números naturales y los enteros, los números racionales se 
pueden representar gráficamente sobre una recta. Por ejemplo, para representar el 
número 2,48 se divide la unidad sucesivamente en 10 y 100 partes iguales. 
Sabemos que el número 2,48 está entre el 2 y el 3. Esa unidad la volvemos a dividir 
en 10 partes y sabemos que nuestro número está entre 2,4 y 2,5. Volvemos a 
dividir en 10 partes y así mediante una sucesión de intervalos encajados 
representaríamos el número 2,48 
 
 
Parece claro que, teóricamente, todos los números se pueden representar sobre la 
recta, pero en la práctica hay números que nos resultaría imposible representar, por 
ejemplo, 3,5689 o 1, . 
Para representar de manera exacta 1,3̂ tenemos que expresar el número en forma de 
fracción y expresarlo como un número mixto 
 
Luego el número 1,3̂ es una unidad entera y 1/3 de la siguiente. Para representar 1/3 
usamos el Teorema de Thales 
 
 
 
VIDEO REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES EN LARECTA REAL: 
https://youtu.be/dzvislSMPxM 
 
La colocación de los números irracionales procedentes de raíces cuadradas, se consigue 
fácilmente mediante la construcción de triángulos rectángulos y la aplicación del teorema 
de Pitágoras. Con un cateto situado sobre la recta real y el otro perpendicular a ella, se 
https://youtu.be/dzvislSMPxM
dibuja un triángulo un rectángulo de tal manera que la hipotenusa tenga la medida del 
número que queremos representar. 
 
 
Para la representación del número de oro, podemos construir una circunferencia de 
radio 1, que sea tangente a la recta real en el punto 1, trazamos un segmento desde el 
punto cero, que pasando por el centro de la circunferencia llegue el punto de corte con la 
circunferencia. Con radio de longitud este segmento trazamos una circunferencia con 
centro en 0. El punto de corte de esta circunferencia con la recta real será el valor de 
 
VÍDEOS: https://youtu.be/quP5JlCGgGw 
https://youtu.be/H8KJAzIeTl8 
https://youtu.be/c0-rhW4DqpU 
https://youtu.be/ARt85ozLCRM 
 
https://youtu.be/quP5JlCGgGw
https://youtu.be/H8KJAzIeTl8
https://youtu.be/c0-rhW4DqpU
https://youtu.be/ARt85ozLCRM
APROXIMACIÓN DE NÚMEROS REALES. ERRORES 
Aproximar un número es sustituirlo por otro cercano a él de más fácil manejo. 
Aproximamos un número bien porque tiene muchas cifras decimales (por ejemplo 
los decimales periódicos, el número pi,…) o bien porque es muy grande por ejemplo 
el número 356.215.654 es más fácil hablar de 356 millones o 356. 215.000. 
Una aproximación es por defecto si el número que damos como aproximación es 
menor que el número verdadero, por ejemplo 2,3 es una aproximación por defecto 
del número 2,35, 124.800 es una aproximación por defecto de 124.815. 
Una aproximación es por exceso si el número que damos como aproximación es 
mayor que el número verdadero, por ejemplo 2,4 es una aproximación por exceso 
del número 2,35, 124.820 es una aproximación por exceso de 124.815. 
Aproximación por truncamiento: Consiste en sustituir por cero todas las cifras de 
órdenes inferiores al que queremos aproximar, por ejemplo: 
345.617 aproximado por truncamiento a las decenas sería 345.610 
14,678 aproximado por truncamiento a las centésimas sería 14,670, es decir, 
14,67 
Aproximación por redondeo: Consiste en sustituir por cero todas las cifras de 
órdenes inferiores al que queremos aproximar, y la cifra del orden al que estamos 
aproximando dejarla igual si la del orden inferior es menor que 5 o aumentarla en 
una unidad si la del orden inferior es mayor o igual a 5. Por ejemplo 
345.617 aproximado por redondeo a las decenas sería 345.620 ( a partir de las 
decenas se sustituyen por 0 y las decenas se aumenta en una unidad ya que las 
unidades son mayores que 5). En este caso la aproximación es por exceso. 
14,678 aproximado por redondeo a las centésimas sería 14,680, es decir, 14, 68 ( a 
partir de las centésimas se sustituyen por 0 y las centésimas se aumenta en una 
unidad ya que las milésimas son mayores que 5) En este caso la aproximación es 
por exceso 
234,243 aproximado por redondeo a las décimas sería 234,240, es decir, 234,24 ( a 
partir de las décimas se sustituyen por 0 y las décimas en este caso se dejan como 
estaban ya que las centésimas son menores que 5). En este caso la aproximación 
es por defecto. 
 
Al dar una aproximación de un número estamos cometiendo un error. 
Se llama Error absoluto a la diferencia entre el valor real y el aproximado. Esta 
diferencia se considera en valor absoluto. 
 
𝐸𝑎 = |𝑉𝑟𝑒𝑎𝑙 − 𝑉𝑟𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜| 
Se llama Error relativo al cociente entre el valor absoluto y el valor real 
𝐸𝑟 =
𝐸𝑎
𝑉𝑟𝑒𝑎𝑙
 
El error relativo se suele expresar en % y se habla del porcentaje de error (𝐸𝑟 . 100) 
 
Ejemplo: 
El número 235.654 aproximado a las centenas es 235.700. En esta 
aproximación el Error absoluto cometido sería: 
𝐸𝑎 = |235.654 − 235.700| = 46 (recuerdo que hacer el valor absoluto de 
una resta equivalea restar el mayor menos el menor) 
𝐸𝑟 =
46
235.654
 = 0,000195 lo que equivale a un porcentaje de error del 0,0195 % 
 
Si tenemos una aproximación y conocemos el error absoluto, el valor verdadero 
estará entre 𝑉𝑟𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 − 𝐸𝑎 y 𝑉𝑟𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 + 𝐸𝑎 
Ejemplo: 
Sabemos que 280 es una aproximación de un número y que el error absoluto que 
hemos cometido es de 2. Podemos afirmar que el número real es 280-2 = 278 o 
bien 280 +2 = 282 
 
En el caso de que el número que vamos a aproximar sea irracional no pueden 
realizarse los cálculos anteriores con exactitud ya que tiene infinitas cifras 
decimales y no se puede expresar en forma de fracción. En estos casos se utilizan 
cotas de error. 
Se llama cota de error absoluto a un número ɛ tal que 𝐸𝑎 ≤ 𝜀 
El error absoluto siempre es menor que media unidad del orden al que estamos 
aproximando, así si damos 3,14 como aproximación del número 𝜋 como estamos 
aproximando a las centésimas el 𝐸𝑎 es menor que media centésima (5 milésimas) 
luego 𝐸𝑎 ≤ 0,005 
A partir de una cota de error absoluto podemos dar una cota de error relativo 
𝐸𝑟 =
𝐸𝑎
𝑉𝑟𝑒𝑎𝑙
≤
𝜀
𝑉𝑟𝑒𝑎𝑙
≤
𝜀
𝑉𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 − 𝜀
 
Ejemplo: 
Si damos 3,142 como aproximación de 𝜋, al redondear a las milésimas 
podemos decir que 
Cota de error absoluto: 𝐸𝑎 ≤ 0,0005 
Cota de error relativo 𝐸𝑟 ≤
0,0005
3,142−0,0005
= 0,000159 
Vídeo de aproximaciones: https://youtu.be/sVLnSd_-Fv4 
cotas de error: https://youtu.be/KnN6bqMyNDE 
 
https://youtu.be/sVLnSd_-Fv4
https://youtu.be/KnN6bqMyNDE
 
INTERVALOS 
Definición: Dados dos números reales a y b, se llama intervalo de extremos a y b al 
conjunto de los números reales comprendidos entre a y b. 
Intervalo abierto: Se expresa (a,b). Son todos los números reales comprendidos entre a y 
b sin considerar a ni b, es decir, el conjunto de números reales que cumplen a < x < b ; lo 
expresamos: 
 
Intervalo cerrado: Se expresa [a,b]. Son todos los números reales comprendidos entre a 
y b incluyendo a y b, es decir, el conjunto de números reales que cumplen a ≤ x ≤ b ; lo 
expresamos: 
 
Intervalo semiabierto Cuando incluye un extremo y el otro no (a,b] o [a,b) 
Los intervalos pueden tener un extremo infinito, en cuyo caso hablamos de semirrectas. 
Semirrecta abierta (a,∞): Todos los números reales mayores que a: 
Semirrecta cerrada [a,∞): Todos los números reales mayores o iguales que a 
Semirrecta abierta (-∞, 𝑏): Todos los números reales menores que b 
Semirrecta cerrada (-∞, 𝑏]: Todos los números reales menores o iguales que b 
 
Se llama amplitud de un intervalo a la longitud del segmento que determina 
Unión de intervalos: Dados dos intervalos A y B , la unión de esos dos intervalos se 
representa A∪B y es el conjunto numérico que contiene a todos los elementos de A y 
todos los elementos de B 
Intersección de intervalos: Dados dos intervalos A y B , la intersección de esos dos 
intervalos se representa A∩B y es el conjunto numérico que contiene a todos los 
elementos que están en A y en B. Es decir, los elementos comunes de A y B. 
 
Cuando de un intervalo no nos interesa destacar sus extremos si no el punto medio y su 
amplitud empleamos el concepto de entorno 
Entorno: Entorno de centro a y radio r, E(a,r) , también se puede escribir 𝐸𝑟(𝑎) , es el 
intervalo (a-r, a+r). Es decir, los números reales que distan de a menos que r. 
Recordamos que la distancia entre dos números a y b se define como 
Por tanto E(a,r) ={x; ⌈𝑥 − 𝑎⌉ < 𝑟} 
¿Cómo pasar de intervalo a entorno? 
Dado el intervalo (x,y) Calculamos el punto medio a= 
𝑥+𝑦
2
 
Para calcular el radio calculamos la distancia entre los extremos, es decir, la amplitud del 
intervalo y dividimos entre 2. r= 
𝑦−𝑥
2
 
 
Por ejemplo, dado el intervalo (2,6) el centro será a= 
2+6
2
 =4 y el radio r= 
6−2
2
= 2. Por 
tanto corresponde al entorno E(4,2) 
¿Cómo expresar intervalos con valor absoluto? 
Otra forma de representar intervalos de la recta real es mediante la utilización de 
desigualdades en valor absoluto. Veamos los siguientes casos 
 Es lo mismo que poner |𝑥 − 0| < 𝑎 Estamos refiriéndonos a los números 
que distan del 0 menos que a, es decir, el entorno de centro 0 y radio a, E(0,a). 
Luego es el intervalo (-a,a). Si fuera sería el intervalo cerrado [-a,a] 
 siendo y números reales cualesquiera. Estamos hablando de los 
valores de que distan de b menos que a, es decir, nos estamos refiriendo al 
entorno E(b,a), por consiguiente al intervalo (b-a, b+a) De forma análoga se resuelve 
la expresión cuando viene dada en la forma: en este caso el intervalo que 
recoge las soluciones de la desigualdad sería cerrado, tanto por la derecha como por 
la izquierda, . 
 siendo un número real cualesquiera. Es lo contrario de , que ya 
hemos visto que correspondía al intervalo [-a,a]. Luego . 
 De forma análoga se resuelve la expresión cuando viene dada en la forma: , 
en este caso los intervalos que recogen las soluciones de la desigualdad serían; 
cerrado por la derecha el primero y por la izquierda el segundo, . 
 haciendo el mismo razonamiento llegamos . De 
forma análoga se resuelve la expresión cuando viene dada en la forma: , 
en este caso los intervalos que recogen las soluciones de la desigualdad serían; 
cerrado por la derecha el primero y por la izquierda el segundo, 
 
INTERESES 
 
Definiciones: 
Capital (C): Cantidad depositada o prestada. 
Interés (I): Beneficio que produce el capital prestado o depositado. 
Rédito o tanto por ciento o tipo de interés (r): Beneficio que producen 100 € en 
un año. 
 Tiempo (t): Duración del préstamo solicitado o depósito. 
 Año comercial: Se considera 12 meses de 30 días, es decir, los años se 
consideran de 360 días. 
INTERÉS SIMPLE 
 
Para calcular el interés que produce un capital al cabo de un tiempo determinado y 
con un rendimiento conocido, utilizamos las fórmulas de interés simple. Estas 
fórmulas dependerán de la unidad de tiempo. 
Si el tiempo es en: 
Años: 
 Meses: 
 Días: 
El interés sumado al capital inicial da lugar al capital final 
INTERÉS COMPUESTO 
 
El interés compuesto es el que se obtiene cuando al capital se le suman 
periódicamente los intereses producidos. Así, al final de cada periodo, el capital que 
se tiene es el capital anterior más los intereses producidos por ese capital en dicho 
periodo. 
Las fórmulas para calcular el capital final usando un sistema de capitalización 
compuesta (es decir, usando el interés compuesto) en función del tiempo en años, 
meses y días son las siguientes: 
𝐶𝐹 = 𝐶𝑖(1 +
𝑟
100
)𝑡