3ESO MATEMÁTICAS SEMANA 5

Vista previa del material en texto

UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 1 
 
 
¡¡Hola chic@s!! Una semana más os envío un fuerte abrazo y 
mucho ánimo, pero el curso sigue y nosotros a pesar de las 
circunstancias tenemos que trabajar igual. 
Primero os resuelvo de forma detallada los ejercicios que os 
propuse de la unidad 9. Recordad lo que os comenté en las 
correcciones, tenéis que comparar los resultados que os 
explico a continuación con los desarrollos que realizasteis 
vosotros. Ojo: hay que dedicar algún tiempo a esa tarea: 
 
 
De funciones lineales: 
Ejercicio 9.1: Indicar la pendiente de cada una de las siguientes funciones lineales: 
a) Su gráfica pasa por A(2, 4) y B(4, 5): 
 
b) Su gráfica pasa por A(-1, 3) y B(-4,-2): 
 
c) Su gráfica pasa por A(0, 0) y B(-4,-2): 
 
d) Su gráfica pasa por A(0, 3) y B(6,2): 
 
e) Su gráfica pasa por A(2, 0) y B(0,-5): 
 
Podíamos comprobar la solución en este applet, como os indiqué: 
https://www.geogebra.org/m/wk6nmbsv 
Ejercicio 9.2: Si la gráfica de una función de proporcionalidad directa pasa por el 
punto P(3,-4), indicar si pasa por alguno de los siguientes puntos: 
 
Solución: Como la gráfica de proporcionalidad pasa siempre por: P(0,0) y en este caso 
pasa además por P(3, -4), entonces: 
 m=
y2-y1
x2-x1
=
-4-0
3-0
=
-4
3
= −
4
3
 
 
https://www.geogebra.org/m/wk6nmbsv
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 2 
 
 
que es la pendiente de la recta. Además tomo uno de los puntos de la recta, que el más 
cómodo para cuentas es P(0,0): 
 y-0=-
4
3
.(x-0) ⇒ y=-
4
3
x ⇒ y=-
4
3
x ecuación punto-pendiente de la recta 
Ahora sólo nos queda sustituir en la ecuación de nuestra recta de punto que nos indican 
en cada apartado: 
a) A(3,-6): Como: y=-
4
3
x ⇒ -6 =⏞
?
-
4
3
3=-4 ⇒ A no pertenece a la recta 
b) B(2,-3): Como: y=-
4
3
x ⇒ -3 =⏞
?
-
4
3
.2=-
8
3
 ⇒ B no pertenece a la recta 
c) C(-1,-1): Como: y=-
4
3
x ⇒ -1 =⏞
?
-
4
3
.(−1)=
4
3
 ⇒ C no pertenece a la recta 
d) D(-3,4): Como: y=-
4
3
x ⇒ 4 =⏞
?
-
4
3
.(−3)=4 ⇒ D sí pertenece a la recta 
e) E(6,-8): Como: y=-
4
3
x ⇒ -8 =⏞
?
-
4
3
.6=-8 ⇒ E sí pertenece a la recta 
f) F(6, 8): Como: y=-
4
3
x ⇒ 8 =⏞
?
-
4
3
.6=-8 ⇒ F no pertenece a la recta 
 
Podemos construir la recta y comprobar si los puntos están en ella con el applet: 
https://www.geogebra.org/m/evfb4kgx 
 
Ejercicio 9.4: Estudiar si los siguientes puntos pertenecen a la gráfica de 
f(x)=3x-6 o de g(x)=4 -2x 
 
Solución: Como tenemos las gráficas calculadas sólo nos falta sustituir en sus ecuaciones 
los puntos que nos indican en cada apartado: 
 
a) A(0,-6) : 
Para: f(x)=3x-6 ⇒ -6 =⏞
?
3.0 - 6= -6 ⇒ El punto A sí pertenece a la gráfica de f 
Para: g(x)=4-2x ⇒ -6 =⏞
?
4-2.0= 4 ⇒ El punto A no pertenece a la gráfica de g 
b) B(1,2) : 
Para: f(x)=3x-6 ⇒ 2 =⏞
?
3.1-6=-9 ⇒ El punto B no pertenece a la gráfica de f 
Para: g(x)=4-2x ⇒ 2 =⏞
?
4-2.1= 2 ⇒ El punto B sí pertenece a la gráfica de g 
c) C(3,3) : 
Para: f(x)=3x-6 ⇒ 3 =⏞
?
3.3-6=0 ⇒ El punto C sí pertenece a la gráfica de f 
Para: g(x)=4-2x ⇒ 3 =⏞
?
4-2.3=-2 ⇒ El punto C no pertenece a la gráfica de g 
d) D(2,0) : 
Para: f(x)=3x-6 ⇒ 0 =⏞
?
3.2-6=0 ⇒ El punto D sí pertenece a la gráfica de f 
Para: g(x)=4-2x ⇒ 0 =⏞
?
4-2.2=0 ⇒ El punto D sí pertenece a la gráfica de g 
https://www.geogebra.org/m/evfb4kgx
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 3 
 
e) E(-1,6) : 
Para: f(x)=3x-6 ⇒ 6 =⏞
?
3.(−1)-6=-9 ⇒ El punto E no pertenece a la gráfica de f 
Para: g(x)=4-2x ⇒ 6 =⏞
?
4-2.(-1)=6 ⇒ El punto E sí pertenece a la gráfica de g 
f) F(1,-3) : 
Para: f(x)=3x-6 ⇒ -3 =⏞
?
3.1-6=-3 ⇒ El punto F sí pertenece a la gráfica de f 
Para: g(x)=4-2x ⇒ -3 =⏞
?
4-2.1= 2 ⇒ El punto F no pertenece a la gráfica de g 
 
Ejercicio 9.5: Calcular c para que la recta: 3x - 5y = c, pase por el punto (-2, 4). 
Solución: Como tenemos la gráfica sólo tenemos que obligar a que el punto(-2,4) cumpla 
su ecuación: 
 3x - 5y = c ⇒ 3.(-2) - 5. 4= c ⇒ -6 - 20 = c ⇒ -26 = c 
 
 
Ejercicio 9.6: Calcular b para que la recta: 2x + by = -11, pase por el punto (2, -5). 
Solución: Nuevamente tenemos la gráfica y sólo necesitamos que el punto (2,-5) cumpla 
su ecuación: 
2x+by = -11 ⇒ 2.2+b.(−5) = -11 ⇒ 4-5b = -11 ⇒ -5b = -11-4 ⇒ -5b = -15 ⇒ b =
−15
−5
= 3 
Ejercicio 9.7: Representar gráficamente las siguientes funciones: 
Solución: Para calcular la gráfica sólo tenemos que hallar dos puntos que cumpla su 
ecuación, y unirlos por una recta: 
 
 
 
a) y = 3x - 1: b) y = -2x + 2: 
 
 
 
 
 
 
 
c) y = 3 - x: d) y = 
x
2
 - 5: 
 
 
 
 
 
 
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 4 
 
 
 
e) y = 
6 - 2x 
6
: f) y = 7x -
1
2
 : 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 9.11: Escribir la ecuación de cada una de las 
rectas. ¿Cuáles son crecientes y decrecientes?: 
 
 
 
 
 
a) Recta roja a: Pasa por los puntos: A(-2,5) y B(3,4), entonces: m=
y2-y1
x2-x1
=
4-5
3-(-2)
=
-1
5
 , 
pendiente negativa, entonces la recta decrece. Además sabemos que pasa por el punto: 
A(-2,5), por ejemplo, también podríamos usar B. Así, utilizando la ecuación punto 
pendiente: 
 y-b=m.(x-a) ⇒ y-5=-
1
5
(x-2) ⇒ y+5=
𝑥
5
-
2
5
⇒ y=-
1
5
x+
2
5
-5 ⇒ 
 y=
1
5
x-
23
5
 ecuación de la recta 
b) Recta azul b: Pasa por los puntos: A(0,1) y B(5,2), entonces: m=
y2-y1
x2-x1
=
2-1
5-0
=
1
5
 , 
pendiente positiva, entonces la recta crece. Además sabemos que pasa por el punto: 
A(0,1), por ejemplo. Así, utilizando la ecuación punto pendiente: 
 y-b=m.(x-a) ⇒ y-1=
1
5
(x-0) ⇒ y-1=
𝑥
5
⇒ y=
1
5
x+1 ⇒ 
 y=
1
5
x+1 ecuación de la recta 
c) Recta verde c: Pasa por los puntos: A(1,0) y B(3,4), entonces: m=
y2-y1
x2-x1
=
4-0
3-1
=
4
2
= 2 , 
pendiente positiva, entonces la recta crece. Además sabemos que pasa por el punto: 
A(1,0), por ejemplo. Así, utilizando la ecuación punto pendiente: 
 
 y-b=m.(x-a) ⇒ y-0=2(x-1) ⇒ y=2x-2 ecuación de la recta 
d) Recta amarilla d: Es una recta constante y=-2, por tanto, m=0. Es decir, no es 
creciente ni decreciente. 
 
 
 
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 5 
 
Ejercicio 9.13: Hallar las ecuaciones de las siguientes rectas: 
a) Tiene pendiente -2 y pasa por el punto P(4,-1). 
Solución: Usando la ecuación de la recta punto-pendiente, para m=-2 y (a,b)=(4,-1): 
 y-a=m.(x-b) ⇒ y-(-1)=-2(x-4) ⇒ y+1=-2x+8⇒ y=-2x+8-1 ⇒ y=-2x+7 ec. de la recta 
b) Tiene pendiente 2 y pasa por el punto P(4,-1). 
Solución: En este caso con m=2 y (a,b)=(4,-1), la recta punto-pendiente es: 
 y-a=m.(x-b) ⇒ y-(-1)=2(x-4) ⇒ y+1=2x-8⇒ y=2x-8-1 ⇒ y=2x-9 ec. de la recta 
c) Tiene pendiente -2 y pasa por el punto P(-2,-3). 
Solución: Ahora sustituyendo en la ecuación de la recta punto-pendiente: 
y-a=m.(x-b) ⇒ y-(-3)=-2(x-(-2)) ⇒ y+3=-2(x+2)⇒ y=-2x-4-3 ⇒ y=-2x-7 ec. de la recta 
d) Tiene pendiente 10 y pasa por el punto P(-2,-3).Solución: Desde la recta punto-pendiente, se cumple que: 
y-a=m.(x-b) ⇒ y-(-3)=10(x-(-2)) ⇒ y+3=10(x+2)⇒ y=10x+20-3 ⇒ y=10x+17 ec. de la recta 
Ejercicio 9.15: Obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B: 
 
Solución: Se puede calcular la pendiente de la recta, cuando se conocen dos puntos de ella, 
P1(x1,y1) y P2(x2,y2) con la fórmula siguiente: m=
y2-y1
x2-x1
. Después con la ecuación punto 
pendiente, hallamos la ecuación de dicha recta. 
Podíamos comprobar nuestras soluciones con el applet: 
https://www.geogebra.org/m/eusszqur 
 
a) A(2,-1) y B(3, 4) 
Solución: Como la gráfica pasa por los puntos: A(2,-1) y B(3,4), entonces: 
 m=
y2-y1
x2-x1
=
4-(-1)
3-2
=
5
1
=5 
es la pendiente de la recta. Además sabemos que pasa por el punto A(2,-1), por ejemplo, 
también podríamos usar B. Así, utilizando la ecuación punto pendiente: 
 y-b=m.(x-a) ⇒ y—1=5(x-2) ⇒ y+1=5x-10 ⇒ 
 ⇒ y=5x-10-1 ⇒ y=5x-11 ec. de la recta 
 
 
 
 
https://www.geogebra.org/m/eusszqur
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 6 
 
 
 
 
 
b) A(-5, 2) y B(-3, 1) 
Solución: Como la gráfica pasa por los puntos: A(-5,2) y B(-3,1), entonces: 
 m=
y2-y1
x2-x1
=
1-2
-3-(-5)
=
-1
2
=-
1
2
 
es la pendiente de la recta. Además sabemos que pasa por el punto B(-3,1), por ejemplo, 
también podríamos usar A. Así, utilizando la ecuación punto pendiente: 
 y-b=m.(x-a) ⇒ y-1=-
1
2
(x—3) ⇒ y-1=-
1
2
x-
3
2
⇒ 
 ⇒ y=-
1
2
x-
3
2
+1=-
1
2
x-
1
2
 ⇒ y=-
1
2
x-
1
2
 ec. de la recta 
 
c) A(3/2, 2) y B(1, 2/3) 
Solución: Como la gráfica pasa por los puntos: A(3/2,2) y B(1,2/3), entonces: 
 m=
y2-y1
x2-x1
=
2
3
-2
1-
3
2
=
−4
3⁄
−1
2⁄
=
8
3
 
es la pendiente de la recta. Además sabemos que pasa por el punto A(3/2 , 2), por 
ejemplo, también podríamos usar B. Así, utilizando la ecuación punto pendiente: 
y-b=m.(x-a) ⇒ y-2=
8
3
(x-
3
2
) ⇒ y-2=
8
3
x-4⇒ y=
8
3
x-4+2=
8
3
x-2 ⇒ y=
8
3
x-2 ec. de la recta 
d) A(-1/2, 3/4) y B(1/3, 1) 
Solución: Como la gráfica pasa por los puntos: A(-1/2, 3/4) y B(1/3, 1), entonces: 
 m=
y2-y1
x2-x1
=
1−
3
4
1
3
−(−
1
2
)
=
1
4⁄
5
6⁄
=
3
10
 
es la pendiente de la recta. además sabemos que pasa por el punto B(1/3 , 1), por 
ejemplo, también podríamos usar A. Así, utilizando la ecuación punto pendiente: 
 y-b=m.(x-a) ⇒ y-1=
3
10
(x-
1
3
) ⇒ y-1=
3
10
x-
1
10
⇒ y=
3
10
x-
1
10
+1=
3
10
x+
9
10
 ⇒ 
 y=
3
10
x+
9
10
 ecuación de la recta 
Ejercicio 9.20: Se considera la función lineal y =mx + n. En cada uno de los 
siguientes casos, hallar m y n sabiendo que: 
 
a) f(1) = -1 y f(-1) = 7 
Solución: Como: y =f(x)=mx + n, se cumple que: {
f(1)=-1 ⇒ -1=m . 1+n ⇒ -1=m+n 
f(-1)=7 ⇒ 7=m . (-1)+n ⇒ 7=-m+n
, 
Entonces, resolviendo el sistema lineal que nos surge: (m,n)=(-4,3). 
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 7 
 
 
b) f(1) = 1 y f(2) = 6 
Solución: Como: y =f(x)=mx + n, se cumple que: {
f(1)=1 ⇒ 1=m . 1+n ⇒ 1=m+n 
f(2)=6 ⇒ 6=m . 2+n ⇒ 6=-2m+n
, 
Entonces, resolviendo el sistema lineal que nos surge: (m,n)=(5,-4). 
c) f(0) = -2/3 y f(-1) = -1 
Solución: Como: y =f(x)=mx + n, se cumple que: {
f(0)= -2/3 ⇒ -2/3=m . 0+n ⇒ -2/3=n 
f(-1)=-1 ⇒ -1=m . (−1)+n ⇒ -1=-m+n
, 
Entonces, resolviendo el sistema lineal que nos surge: (m,n)=(1/3,-2/3). 
 
De funciones cuadráticas: 
Ejercicio 9.26: Indicar el vértice y el eje de simetría en cada una de las siguientes 
parábolas: 
 
Solución: Por teoría sabemos que: 
1. El vértice es el punto: 𝐕 = ( -b
2a
, -b
2
+4ac
4a
) 
2. El eje de simetría es la recta x=
-b
2a
 . 
 
 
 
a) y = x2 + 4x – 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) y = -x2 + 2x -10 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 8 
 
 
c) y = 3x2 - 6x + 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) y = -2x2 - 8x + 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 9.29: Hallar los puntos de corte con los ejes de coordenadas de las 
siguientes funciones: 
 
Se podían comprobar con el applet https://www.geogebra.org/m/epjhbja9 
 
 
 
a) y = x2 - 6x + 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.geogebra.org/m/epjhbja9
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 9 
 
 
 
 
 
b) y = x2 – 4 
 
 
 
 
 
 
 
c) y = 3x2 - 18x + 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) y = 2x2 - 4x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 9.31: Representar gráficamente las siguientes funciones cuadráticas: 
 
Podíamos usar el applet: https://www.geogebra.org/m/jyv53kfx, para 
comprobar resultados. 
 
 
 
 
 
 
https://www.geogebra.org/m/jyv53kfx
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 10 
 
 
 
a) y = (x + 1)2 – 6 → y=x2+2x-5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) y = -(x - 3)2 + 6 → y = -x2+6x-3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) y = -2x2 – 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 11 
 
 
 
d) y = x2 - x + 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 9.33: Determinar el valor de m para que las siguientes parábolas cumplan 
estas condiciones: 
 
a) y = -3x2 + 2mx + m tiene un máximo en x = 2. 
 
Solución: Como a=-3 es negativo, la parábola tiene las ramas hacia abajo, por tanto, el valor 
más grande de la gráfica coincide con su vértice: 
 
 vértice: V = (
−b
2a
,
−b2+4ac
4a
) ⇒ x =
−b
2a
 ⇒ 2 =
−2m
2.(−3)
=
−2m
−6
=
m
3
 ⇒ 2 =
m
3
 ⇒ m = 6 
 
b) y = (m - 3)x2 + 2x - 6 tiene un mínimo en x = -1. 
 
Solución: Para tener un mínimo se debe cumplir que a=m-3 es positivo, para que la parábola 
tenga las ramas hacia arriba, por tanto, el valor más pequeño de la gráfica coincide con su 
vértice: 
 vértice: V=(
-b
2a
, 
-b2+4ac
4a
) ⇒ x=
-b
2a
 ⇒ -1=
-2
2. (m-3)
=
-1
m-3
 ⇒ 3-m=-1 ⇒ m=4 
 
Ejercicio 9.34: De una parábola se conoce que: 
 
a) Su eje de simetría es el eje Y. 
b) Corta al eje Y en el punto (0, 3). 
c) Los puntos de corte con el eje X son (-1,0) y (1,0). 
 
Calcular la ecuación de la parábola. 
 
Solución: Tenemos la ecuación de la parábola definida por: y=ax2+bx+c. Si conocemos los 
valores de los coeficientes a, b y c, entonces conocemos la parábola pedida: 
 
1º) Su eje de simetría es el eje Y, es decir, la recta x=0. Así: 
 x=
-b
2a
 ⇒ 0=
-b
2a
⇒ b=0 
 2º) Corta al eje Y en el punto (0; 3), entonces: (0,c)=(0,3) → c=3 
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 12 
 
 3º) Los puntos de corte con el eje X son (-1,0) y (1,0), es decir, los puntos anteriores son 
las soluciones de la ecuación de la parábola: y=ax2+0.x+3, entonces: 
 
 0 = a.(±1)2+o.1+3 → 0 = a+3 → a= - 3 
 Por tanto, y=-3x2+0x+3 es la parábola pedida. 
 
De problemas de funciones lineales y cuadráticas: 
 
Ejercicio 9.39: En la siguiente tabla se muestran las longitudes de unos postes y de 
sus sombras en un momento determinado: 
 
 
a) Representar la función que a la longitud del poste le corresponde la longitud de 
la sombra. 
 
Solución: Marcando los valores en los ejes cartesianos, 
tenemosla recta: 
 
 
 
 
 
 
b) Escribir la ecuación e indicar la pendiente. 
 
Solución: Tomamos dos puntos cómodos que pasen por la recta, como son (1, 2.5) y (2, 5) 
por ejemplo. Y construimos la ecuación de la recta que pasa por ambos puntos: 
 
Como la gráfica pasa por los puntos: P1(1, 2.5) y P2(2,5), entonces: 
 m=
y2-y1
x2-x1
=
5-2.5
2-1
=2.5 pendiente de la recta 
Además sabemos que pasa por ejemplo por el punto P(2,5) (podemos trabajar con cualquiera 
de los dos puntos que conocemos), así, usando la ecuación punto-pendiente de la recta: 
 y-a=m.(x-b) ⇒ y-5=2.5(x-2) ⇒ y=2.5x ecuación de la recta 
 
c) ¿Qué longitud tendrá la sombra de un poste de 3,5m? 
 
Solución: Sustituyendo el valor de x=3,5 en la ecuación de la recta: y=2,5.x, obtenemos: 
 
 y=2,5. 3,5= 8,75 m 
 
d) ¿Qué longitud tiene un poste para el cual la sombra es de 3m? 
 
Solución: Sabemos que y=3, vamos a despejar de la ecuación de la recta el valor de x: 
 
 3=2,5. x → x= 1,2 m 
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 13 
 
 
Ejercicio 9.40: Dos depósitos de agua A y B funcionan de la siguiente manera: a 
medida que B se vacía, A se va llenando. Las gráficas son: 
 
 
 
 
 
 
a) Indicar cuál es la gráfica correspondiente al depósito A y cuál la del B. 
 
Solución: La gráfica de A tiene que ser creciente, ya que el depósito A se llena. Así que 
será la recta roja. 
Mientras que la gráfica de B será decreciente, ya que el depósito B se Vacía. Poe tanto, 
será la recta azul. 
 
b) ¿Cuál es la velocidad de entrada y de salida del agua? 
 
Solución: Las velocidades, son los cocientes entre los litros que llenan o vacían y el 
tiempo que tarda, así: 
 
 Depósito A: tarda 7,5 min en llenarse 150l: 150/7,5= 20 litros/minuto 
 Depósito B: tarda 10 min en vaciarse 100l: 100/10= 10 litros/minuto 
 
c) ¿En qué momento los dos depósitos tienen igual cantidad de agua? 
 
Solución: Como puede verse en la gráfica que nos dan en el enunciado, las dos funciones se 
cortan en el punto (5, 50). Entonces, a los 5 minutos, los dos depósitos coinciden en una 
capacidad de 50 litros. 
 
Ejercicio 9.41: Un pintor cobra 100€ como tarifa por el desplazamiento hasta la casa 
que tiene que pintar y 22€ por cada metro cuadrado que pinta. 
 
a) Estudiar y representar la relación entre la superficie pintada y el precio. 
 
Solución: Vamos a calcular la función que nos da la cantidad ganada (variable y) en función 
de los metros cuadrados pintados (variable x): 
 y=p(x)=100+22.x 
Podemos observar, como la fusión es una recta, así la 
representación la hacemos en función de un par de puntos 
que la verifiquen: 
 
 
 
 
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 14 
 
 
 
b) Si la factura del último trabajo ha ascendido a 2080€, ¿cuántos metros cuadrados 
ha pintad0? 
 
Solución: Sabemos que y=2080€, entonces, despejando de la recta tenemos que: 
 
 2080=p(x) = 100 + 22x → 22x=1980 → x=1980/22=90 m2 
 
 
Ejercicio 9.42: El precio la entrada de una obra de teatro es de 35€ y el coste de la 
representación es de 5000€. Suponiendo que no hay entradas con descuento: 
 
a) Escribir la función que relaciona el dinero recaudado en cada representación con 
el número de entradas vendidas. 
 
Solución: Como por cada entrada vendida se recaudan 35€, entonces si llamamos x al 
número de entradas vendidas, tendríamos que el dinero recaudado es: y=35x. Que es una 
función de proporcionalidad. 
 
b) ¿Cuántas entradas como mínimo se deben vender para que la representación no 
tenga pérdidas? 
 
Solución: Necesitamos saber el número de entradas necesarias para que los recaudado 
sea 5000€, desde ese número ya no tendríamos pérdidas: 
 
 5000= 35x → x=5000/35=142,86 entradas 
 
Como tiene que ser un número entero, entonces, vendiendo un mínimo de 143 entradas, 
ya no tendríamos pérdidas. 
 
c) ¿Cuál es el beneficio máximo por representación si el teatro tiene 180 butacas? 
 
Solución: Si vendemos el tope, que son 180 butacas, entonces recaudamos: y=35.180=6300€, 
pero como es coste de la representación es de 5000€. El beneficio será de: 
 Beneficio=Recaudación-Gasto=6300-5000=1300€ 
 
 
Ejercicio 9.43: Durante una emergencia el capitán de un barco dispara una bengala 
luminosa para advertir a la guardia costera de que necesitan ser rescatados. El 
camino que recorre la bengala describe una parábola. La función que representa el 
movimiento de una bengala viene dada por la función y = 80x - 5x2, donde y es la 
altura, en metros, que alcanza la bengala, y x el tiempo transcurrido, en segundos, 
desde que se lanza la bengala. 
 
 
 
 
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 15 
 
 
 
Solución: Vamos a dibujar la parábola que 
describe el movimiento de la bengala: 
 
 
 
a) ¿Cuál es la altura máxima que 
alcanza la bengala? 
 
Solución: Tenemos una parábola con las 
ramas hacia abajo, ya que a=-5, por tanto, 
el máximo de la función está el vértice de dicha parábola: 
 V=(x, y)=(
-b
2a
, 
-b2+4ac
4a
)=(8,320) 
Entonces la altura máxima se alcanza a los 8 segundos de lanzarla, y su valor máximo es 
de y(8)=320 metros. 
 
b) ¿Cuántos segundos pasan desde que se disparó la bengala hasta que la señal 
luminosa alcanza su altura máxima? 
 
Solución: Como he comentado el apartado anterior, es de: 8 segundos. 
 
 
Ejercicio 9.44: Se ha soltado un globo que sube a una velocidad constante de 5 m/s. 
A los 30 s se lanza una flecha verticalmente hacia arriba cuya altura a, con respecto 
al tiempo t viene dada por la ecuación a = 60t -5t2. 
 
c) (comenzamos por el apartado c, así lo vemos mejor) Dibujar las gráficas 
correspondientes a las alturas de la echa y el globo. Tomar como origen del tiempo el 
momento en que se lanza la echa. 
 
Solución: Tenemos dos funciones que definen movimiento de la flecha y movimiento del 
globo. La de la flecha nos la dan en el enunciado: a(t) = 60t -5t2, que es una parábola. 
 
Pero la del globo sería: a(t)= 5.t⏟
avanza 5 metros por segundo
+ 5.30⏟
sale 30 segundos después
, que es una recta. 
 
Vamos a dibujar la parábola que describe el 
movimiento de la flecha y a la vez la recta que 
define la altura del globo: 
 
 
a) ¿A qué altura pincha la echa el globo? 
¿Cuánto tiempo pasó desde que se lanzó la 
flecha? 
 
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 16 
 
Solución: Para calcular en momento del corte, tenemos que hacer coincidir la altura de la 
flecha y del globo, hallando el instante t en el que produce dicha coincidencia: 
 
 Altura de la flecha=Altura del globo → 60t-5t2=5t+150 → 5t2-55t+150=0 → 
 → t2-11t+30=0 → t=6 ó t=5 
 
 
Como vemos en la gráfica, y ya calculado 
numéricamente, se producen dos coincidencias una en 
t=5 que sería el primer momento en el cual la flecha 
toca al globo, con altura a(5)=175 m. Por tanto, es en 
ese momento es cuando la flecha pincha al globo. 
 
b) Si la flecha no hubiera pinchado el globo cuando subía? ¿A qué altura lo pincharía 
al bajar? 
 
Solución: Si en el primer instante de contacto el globo no estalla, entonces, volverían a 
coincidir en el instante t=6 segundos, con una altura de: a(6)=180m. 
 
 
 
Ejercicio 9.45: La alturaa la que se encuentra en cada instante t, una piedra que se 
lanza verticalmente hacia arriba es a = 20t - 5t2. 
 
a) Representar gráficamente la función. 
 
Solución: Vamos a dibujar la parábola que describe 
la altura de la piedra: 
 
b) Estudiar el dominio de definición. 
 
Solución: Vemos como está definida desde 
t=0 a t=4, ya que en ese intervalo la altura 
es positiva, y por ello está bien definida. 
 
 
c) ¿En qué momento alcanzará la altura máxima? 
¿Cuál es esa altura? 
 
Solución: Buscamos el máximo de la 
parábola, que por ser una parábola 
coincide con su vértice: 
 V=(t,a)=(
-b
2a
, 
-b2+4ac
4a
)=(2,20) 
 
La altura máxima es de a=20 metros y el valor de altura máxima se alcanza 
en t=2 segundos. 
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 17 
 
 
d) ¿En qué momento toca la piedra el suelo? 
 
Solución: Como se pues ver, la altura es cero cuando 
a toma el valor 0: 
 a = 20t - 5t2 → 0 = 20t - 5t2 → 
 → 0 = 5t.(4 – t) → t=0 ó t=4 
 
Se produce entonces, cuando t=0, momento inicial 
al lanzarla y para t=4, instante que cae y vuelve a 
tocar el suelo. 
 
 
e) ¿En qué intervalo de tiempo la piedra está a una altura superior a 15 metros? 
 
Solución: El corte entre a=15 y a = 20t - 5t2, 
se produce cuando: 
 15 = 20t - 5t2 → - 5t2 +20t-15=0 
con solución: t=1 seg y t=3 seg. Entonces 
la piedra está sobre esa altura, desde el 
seg 1 al seg 3. 
 
 
Ahora, os propongo un examen online de esta unidad didáctica 9. Como ya hemos 
visto que surgen problemas de entregas de ejercicios, parece ser que no todos hacéis 
vuestros ejercicios y los copiáis de forma descarada, entonces, esta semana os propongo 
el primer examen online. Como es la primera vez, no tendrá limitación de tiempo en cada 
pregunta, pero sí una fecha límite para terminarlo es el día: 17 de abril. 
Entrareis en la plataforma “thatquiz.org”, con el enlace: 
3º A: https://www.thatquiz.org/es/classpage?02a5678cdef125a 
3º B: https://www.thatquiz.org/es/classpage?02a03567abf125c 
Os pedirá además, una contraseña personal para acceder a los exámenes (son exámenes 
aleatorios, ya que cada alumno hace uno distinto) que os enviaré (cuando me la pidáis 
escribiendo un mensaje al correo: mercedesiesortigueira@gmail.com). 
Al finalizarlo, yo recibo información inmediata de cuánto tiempo os llevó, cuantas 
preguntas respondisteis, y cuál es vuestra nota. 
Ojo: Cuando os metéis en el examen tenéis que resolverlo, tampoco se puede ir hacia atrás 
en las preguntas, así hacerlo cuando ya tengáis la materia muy repasada. 
 
https://www.thatquiz.org/es/classpage?02a5678cdef125a
https://www.thatquiz.org/es/classpage?02a03567abf125
mailto:mercedesiesortigueira@gmail.com
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 18 
 
 
Ahora comenzamos la unidad didáctica 10. Repasamos el teorema de Pitágoras para 
poder comenzar con las fórmulas geométricas: 
Importancia del teorema de Pitágoras: 
1. El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar los tres lados de 
un triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos 
y queremos saber el valor del tercero. 
2. También nos sirve para comprobar, conocidos los tres lados de un triángulo, si un 
triángulo es rectángulo, ya que si lo es sus lados deben cumplirlo. 
3. Además, será de gran utilidad para trabajar la geometría tanto en el plano como en el 
espacio. 
Teorema de Pitágoras: 
 “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de 
los cuadrados de los catetos”. 
 
 
 
Ejemplo: Calcular cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos 
catetos miden 3 y 4 centímetros. 
 
 
Tenemos un triángulo que es rectángulo y conocemos dos de sus lados. Siendo la longitud 
de un cateto a=3, la del otro cateto es b=4 y la de la hipotenusa es h con valor desconocido. 
Aplicamos ahora el teorema de Pitágoras: 
h 2=a2+b2 ⇒ h 2=32+42 ⇒ h 2=9+16=25 ⇒ h = ±√25=±5 
Por tanto, la hipotenusa mide 5 centímetros. 
Ejemplo: La hipotenusa de un triángulo mide √5 y uno de sus catetos mide 2. 
¿Cuánto mide el otro cateto? 
 
 
 
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 19 
 
Como el triángulo es rectángulo y conocemos dos de sus lados. Si aplicamos el teorema de 
Pitágoras podemos obtener el tercer lado desconocido. Tenemos que un cateto vale a=2, el 
otro cateto b es desconocido y la hipotenusa tiene una longitud de h=√5: 
 
 h 2=a2+b2 ⇒ (√5) 2=22+b
2 ⇒ b 2= (√5) 2-22 =5-4=1 ⇒ b 2 =1 ⇒ b= ±√1=±1 
Por tanto, el otro cateto mide 1. 
 
Ejercicio para practicar: En un triángulo rectángulo de catetos a y b, e hipotenusa 
h, calcula el lado desconocido en cada caso: 
 
a) a = 11, b = 60 b) a = 7, h = 25 
 c) b = 15, h = 17 d) a = 16, b = 63 
 
Usa el siguiente applet para comprobar las soluciones: 
https://www.geogebra.org/m/yvkavfzc 
Ejercicio para practicar: Calcula el perímetro de los siguientes triángulos 
rectángulos: 
a) b) c) 
Pulsa sobre cada triángulo para comprobar las soluciones. 
 
Un ejemplo de la otra posible aplicación que os comentaba al comienzo que tiene el teorema 
de Pitágoras: comprobar, conocidos los tres lados de un triángulo, si es un triángulo 
rectángulo o no. 
En un triángulo de lados a, b y c, donde a es la hipotenusa y b y c sus catetos, se cumple: 
• si a2= b2+ c2, es un triángulo rectángulo. 
• si a2< b2+ c2, es un triángulo acutángulo. 
• si a2< b2+ c2, es un triángulo obtusángulo. 
Ejemplo: Clasifica según sus ángulos estos triángulos: 
a) 17 m, 6 m, 14 m 
b) 64 cm, 84 cm, 57 cm 
c) 45 dm, 28 dm, 53 dm 
d) 5 mm, 5 mm, 8 mm 
 
Solución: 
a) 62 + 142 = 36 + 196 = 232 < 289 = 172 → Obtusángulo 
b) 572 + 642 = 3 249 + 4 096 = 7 345 > 7 056 = 842 → Acutángulo 
c) 282 + 452 = 784 + 2 025 = 2 809 = 532 → Rectángulo 
d) 52 + 52 = 25 + 25 = 50 < 64 = 82 → Obtusángulo 
 
https://www.geogebra.org/m/yvkavfzc
https://www.geogebra.org/m/cqeu7rrb
https://www.geogebra.org/m/jppzxq3n
https://www.geogebra.org/m/ana2rjs4
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 20 
 
Trabajamos ahora problemas de medidas que el teorema de Pitágoras nos ayuda a resolver 
de forma muy sencilla: 
 
Ejemplo: Desde la parte más alta de un faro de 50m de altura se observa un bote a 
una distancia de 130m. Se pide hallar la distancia desde el pie del faro hacía el bote. 
Solución: 
1º) Hacemos un dibujo que describa la 
situación. Con los datos del problema, se 
representa el triángulo rectángulo ABC. 
Piden la longitud del lado BC que llamamos x. 
2º) Como en el triángulo rectángulo ABC tenemos dos lados conocidos. Entonces 
aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular el tercer lado desconocido: 
 d 2=h2+x2 ⇒ 130 2=502+x2 ⇒ x 2= 130 2-502 =16900-2500=14400 ⇒ 
 ⇒ x 2 =14400 ⇒ b= ±√14400=±√14400=±√122 . 102=±12 . 10=±120 
La distancia desde el pie del faro al bote es: 120m 
Ejemplo: ¿A qué altura está la cometa de Ana si su cuerda mide 
L=8 metros y tendría que moverse 6 metros para situarse 
debajo de ella? 
Solución: 
1º) Hacemos un dibujo que describa la situación: 
2º) Como en el triángulo con el que tenemos que trabajar es rectángulo. Entonces aplicamos 
el teorema de Pitágoras para calcular el tercer lado desconocido: 
 hipotenusa 2=cateto2+cateto2 ⇒ 8 2=a2+62 ⇒ a 2= 8 2-62 =64-36=28 ⇒ 
 ⇒ a= ±√28=±√22. 7 = ±2√ 7 
Se encuentra a 2√7metros de altura (aproximadamente, 5,29 m). 
Ejemplo: Con una escalera queremos llevar a una altura de 7 m en 
una pared vertical. Si el pie de la escalera está colocado a un metro 
de dicha pared, ¿de qué medida será la escalera que necesitamos? 
 
 
1º) Hacemos un dibujo que describa la situación: 
 
 
 
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 21 
 
 
2º) Tenemos la pared vertical, el suelo y la escalera, que definen un triángulo rectángulo. 
Llamando h a la altura de la escalera, y aplicando el Teorema de Pitágoras, se tiene que: 
 hipotenusa 2=cateto2+cateto2 ⇒ h 2=72+12 ⇒ a 2= 49+1 =50 ⇒ 
 ⇒ a= ±√50=±√52. 2 = ±5√ 2 
La escalera tiene que tener una medida de 5√2 metros (aproximadamente, 7,07 m). 
Ejemplo: Se quiere sujetar un poste vertical de 5 metros de altura con un cable 
tirante desde su parte más alta hasta el suelo. Si la distancias desde el punto de 
anclaje del cable en el suelo a la base del poste es de 12 metros, ¿cuánto debe medir 
el cable? 
Como el poste vertical es perpendicular al 
suelo, forma un ángulo recto con él. Si 
consideramos el propio poste, el cable y la 
distancia entre la base del poste y el punto 
de anclaje al suelo, tenemos un triángulo 
rectángulo. 
Llamando x a la longitud del cable, y aplicando el Teorema de Pitágoras, se debe cumplir 
que: 
 hipotenusa 2=cateto2+cateto2 ⇒ x 2=52+122=25+144 =169 ⇒ 
 ⇒ x= ±√169=±√132 = ±13 
Es decir, el cable debe medir 13 metros. 
 
Ejercicio para practicar: Se quiere colocar un cable que parte 
desde la cima de la torre Eiffel (300m de altura) y que 
termina en el suelo a 150 metros del centro de la base de la 
torre. Calcular la longitud que debe tener el cable. 
Solución: El cable debe medir unos 335.41 metros. 
 
Ejercicio para practicar: Se quiere colocar un cable 
desde la cima de una torre de 25 metros altura hasta un 
punto situado a 50 metros de la base la torre. ¿Cuánto 
debe medir el cable? 
Tienes la solución en el siguiente applet: 
https://www.geogebra.org/m/chygfgbd 
 
 
https://www.geogebra.org/m/chygfgbd
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 22 
 
Ejercicio para practicar: Un triángulo está 
dividido por la mitad, como muestra el dibujo. 
Queremos conocer la medida del lado l. 
Dos alumnos hacen las siguientes cuentas: 
1. Juan, utilizando el triángulo A, por el teorema de Pitágoras, lo calcula así: 
 l2 = 42 + 32 = 25 ⇒ l = 5 m 
2. Alejandro utiliza el teorema de Pitágoras y lo usa en el triángulo B: 
 82 = l2 + 42 ⇒ l2 = 64 − 16 = 48 ⇒ l = 6,9 m 
¿Por qué no obtienen el mismo resultado? ¿Quién tiene razón, Juan o Alejandro? 
 
Para trabajar geometría, que es la materia de estas unidades didácticas que vamos a trabajar 
a continuación, usaremos de forma constante el teorema de Pitágoras: 
Ejemplo: Hallar las medidas de los lados de una vela con forma 
de triángulo rectángulo si se quiere que tenga un área de 30 
metros al cuadrado y que uno de sus catetos mida 5 metros para 
que se pueda colocar en el mástil. 
 
Como la vela tiene forma de triángulo rectángulo siendo: a, b y h, la altura, base e 
hipotenusa de la vela, respectivamente. Además, sabemos que el área de un triángulo es 
la mitad de la base por altura, tenemos: 
 Área=
Base. Altura
2
 ⇒ 30=
b . a
2
=
b . 5
2
 ⇒ b=
2 . 30
5
=2. 6 =12 
Así la base debe medir 12 metros. Por otro lado, como tenemos un triángulo rectángulo, 
podemos calcular la hipotenusa por Pitágoras: 
h 2=a2+b2 ⇒ ℎ 2=52+122 ⇒ h 2= 25 + 144=169 ⇒ h= ±√169=±13 
Por tanto, los lados de la vela deben medir 5, 12 y 13 metros. 
Ejemplo: Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5m y los catetos son 
números consecutivos. Halle el perímetro del triángulo rectángulo. 
Si llamamos x a la longitud de uno de los catetos, entonces tenemos la siguiente 
situación: 
 
 
Para hallar el perímetro del triángulo rectángulo se requiere conocer el valor de «x». 
Usando el teorema de Pitágoras, se cumple que: 
 
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 23 
 
h 2=a2+b2 ⇒ 5 2=x2+(x+1)2 ⇒ 25= x2+x2+2x+1 ⇒ 
⇒ 2x2+2x-24=0 ⇒ x2+x-12=0 ⇒ {
x= -4
x= 3
 
Como la única solución válida es la positiva, así: x = 3, entonces: los catetos son: 3m y 
4m. El perímetro del triángulo rectángulo es: 3 + 4 + 5 = 12m 
 
 
Ejercicio para practicar: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 metros 
y sus catetos de diferencian en dos metros. ¿Cuánto miden los catetos? 
 
Solución: Los catetos miden 6 y 8 metros. 
 
 
En los ejemplos que hemos visto hasta ahora formamos directamente un triángulo 
rectángulo, pero en muchas ocasiones la figura inicial es otra, y la construcción del triángulo 
rectángulo la hacemos para poder calcular alguna medida desconocida de ésta. 
 
Ejemplo: La diagonal de un rectángulo mide 89 cm, y uno de 
los lados, 80 cm. Calcular su área. 
 
Vemos como la diagonal define dos triángulos iguales en el rectángulo. Podemos trabajar 
con cualquiera de ellos por ejemplo con el triángulo azul de la figura: 
 
Vamos a obtener la longitud del lado l que nos falta, usando el teorema de Pitágoras, ya 
que conocemos dos lados del triángulo rectángulo: 
hipotenusa 2=cateto2+cateto2 ⇒ 89 2=802+l2 ⇒ l 2=892-802 ⇒ 
⇒ l 2= 1521 ⇒ l= ±√1521=±√392=±39 
Entonces, como el área de un rectángulo es área por altura: A = 80. 39 = 3 120 cm2 
 
 
 
Ejercicio para practicar: Calcular el perímetro de un rectángulo cuya diagonal 
mide 11,6 cm y unos de los lados 8 cm. 
 
Solución: 32,8 cm 
 
 
 
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 24 
 
 
Ejemplo: Se tiene un rectángulo cuya base mide el doble que su altura y su área es 
12 centímetros cuadrados. Calcular el perímetro del rectángulo y su diagonal. 
Llamamos a y b a la altura y la base del rectángulo, respectivamente. Como la base es el 
doble que la altura, b=2a. El área de un rectángulo es base por altura, así que: 
 12 = a.b = a. 2a =2. a2 ⇒ 
 ⇒ a2=6 ⇒ a=±√6 
La altura del rectángulo mide √6cm y la base mide 2√6cm. El perímetro del rectángulo es 
6√6cm. 
Como la diagonal del rectángulo lo divide en dos triángulos rectángulos y sabemos cuánto 
miden los catetos, aplicamos Pitágoras para calcular la diagonal, d: 
d 2=a2+b2 ⇒ 𝑑 2=(√6)
2
+(2√6)
2
 ⇒ d 2= 6 + 24=30 ⇒ d= ±√30 
La diagonal del rectángulo mide √30 centímetros. 
 
 
Ejercicio para practicar: El perímetro de un cuadrado es de 32 cm. 
¿Cuánto mide su diagonal? 
 
Solución: 11,31 cm 
 
Ejemplo: Calcular la altura de un triángulo equilátero, sabiendo que su lado es 4cm. 
1º) Hacemos un dibujo que describa la situación: 
Sabemos que en un triángulo equilátero (en un isósceles 
también) la altura divide en dos partes iguales a la base, 
entonces: AM = MC = 2cm 
2º) Vemos como la altura H del triángulo ABC define otros 
dos triángulos rectángulos iguales. Podemos trabajar con 
cualquiera de ellos, por ejemplo, con el triángulo verde MCB de la figura: 
 
Podemos obtener la longitud del lado H que nos falta, usando el 
teorema de Pitágoras: 
 hipotenusa 2=cateto2+cateto2 ⇒ 4 2=22+H2 ⇒ H 2= 4 2-
22 =16-4=12 ⇒ 
 ⇒ H= ±√12=±√22. 37 = ±2√ 3 
La altura H del triángulo equilátero inicial es de 2√3 cm de altura 
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDESIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 25 
 
 
Ejemplo: Calcula el perímetro del siguiente trapecio: 
 
 
El perímetro del trapecio es igual a la suma de las longitudes de sus cuatro lados. Para 
calcularlo necesitamos primero calcular la longitud del lado inclinado, que desconocemos. 
Vamos a utilizar un triángulo rectángulo para calcular dicho lado. 
Llamando x al lado desconocido, podemos considerar el triángulo rectángulo naranja que se 
muestra en la siguiente figura: 
 
 
 
Tenemos, por tanto, un triángulo rectángulo de hipotenusa x y catetos de 15 y 10 cm. 
Aplicando el Teorema de Pitágoras: 
 
 x 2=102+152=100+225=325 ⇒ x= ±√325=±√52. 13=±5√ 13 =± 18,03 
 
El lado del trapecio que nos faltaba por saber mide 18,03 cm, por lo que el perímetro será: 
 Perímetro= 20+20+15+10+x=65+5√ 13=65+18,03=83,03 
El perímetro del trapecio es de 83,03 cm. 
 
 
Ejercicio para practicar: Los lados paralelos de un 
trapecio rectángulo miden 26 cm y 38 cm y el lado 
oblicuo mide 20 cm. Calcula la longitud de la altura. 
 
Solución: La altura mide: 16 cm 
 
 
Ejemplo: Dibuja un trapecio isósceles de 10 cm de altura y bases de 36 y 20 cm, 
respectivamente. Calcular también su área y perímetro. 
Tenemos una figura que podemos trabajar como un rectángulo y dos triángulos 
rectángulos idénticos: 
 
 
 
 
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 26 
 
 
Si obtenemos el valor del lado desconocido, que llamamos a, podemos obtener tanto el 
área del trapecio (suma de tres áreas conocidas) como su perímetro (suma de todos sus 
lados). Usamos el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo azul que se muestra en 
la siguiente figura: 
 a 2=102+82=100+64=164 ⇒ a= ±√164=±√22. 41=±2√ 41 =± 12,8 
Por tanto: 
área trapecio = 2 .área triángulo + área rectángulo = 2. 
8 . 10
2
+36 . 10 =80+360= 440 cm2 
Perímetro del trapecio = 2. a + 20 + 36 = 25,6 +56 =81,6 cm. 
 
 
Ejercicio: Calcula el área de un trapecio isósceles cuya base menor mide 8 cm, su 
base mayor 40 cm y su lado 10 cm. 
 
Solución: Su área es: 288 cm2 
 
 
Ejemplo: Calcula el perímetro del siguiente 
rombo sabiendo que sus diagonales miden 16 y 
12 cm. 
 
 
Podemos dividir el rombo en cuatro triángulos rectángulos determinados por sus 
diagonales: 
 
 
En los rombos todos los lados miden lo mismo, por lo que puede utilizarse cualquiera de 
los triángulos, sabemos además que los catetos miden 8 y 6, para calcular la hipotenusa 
se aplica el teorema de Pitágoras: 
 
 hipotenusa 2=cateto2+cateto2 ⇒ L 2=62+82=36+64=100 ⇒ L= ±√100=±10 
Esto quiere decir que cada lado mide 10 y el perímetro es la suma de todos los lados, solo 
hay que multiplicar 10.4= 40, esa es la medida del perímetro. 
 
 
Ejercicio para practicar: El lado de un rombo mide 25 cm y 
una de sus diagonales mide 30 cm. ¿Cuánto mide la otra 
diagonal? 
 
Solución: La otra diagonal mide: 40 cm 
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 27 
 
 
Ejercicio para practicar: Las diagonales de una 
cometa ABCD se cruzan perpendicularmente en el 
punto O. Si OA mide 20 cm, OC 20 cm, OD 40cm y OB 
15 cm, calcule la medida de los lados de la cometa. 
 
Solución: Las medidas de sus lados son: AB=BC=25 cm y AD=CD=44,72 cm 
 
 
Ejemplo: Una palmera de 17 metros de altura se encuentra sujeta por dos cables de 
21m y 25m respectivamente. En la figura se pide calcular la distancia AB. 
 
 
 
 
1º) Hacemos un dibujo que describa la situación: 
 
2º) Vemos como la altura CP divide al triángulo ACB en dos triángulos rectángulos. Así el 
segmento AB de longitud x es la suma de r y s, como se ve en la figura anterior: x = r + s 
3º) Aplicamos el teorema de Pitágoras en los dos triángulos rectángulos: 
En APC: 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2 ⇒ 21 2 = 172 + 𝑟2 ⇒ 𝑟 2 = 21 2 − 172 = 152 ⇒ 
 ⇒ 𝑟 = ±√152 = 12,33 𝑚 
En BPC: 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2 ⇒ 25 2 = 172 + 𝑠2 ⇒ 𝑠 2 = 25 2 − 172 = 336 ⇒ 
 ⇒ 𝑟 = ±√336 = 18,33 𝑚 
Por tanto: x = 12.33m + 18.33m. La distancia AB es 30.66m 
 
 
Ejercicio para practicar: Esta figura muestra la torre 
de vigilancia de un guarda forestal. Obtén la longitud 
del cable señalado en rojo a partir de los datos que se 
indican. 
Solución: Longitud 340,59 m. 
 
 
 
 
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 28 
 
 
Ejemplo: Calcular la apotema del siguiente pentágono: 
 
Recordamos: La apotema de un polígono regular es la menor 
distancia entre el centro y cualquiera de sus lados. Es un segmento 
cuyos extremos son el centro de un polígono regular y el punto 
medio de cualquiera de sus lados, y siempre es perpendicular a dicho 
lado. 
 
En nuestro caso: 
 
Usando el teorema de Pitágoras: 
 18 2=ap2+102 ⇒ ap 2=182-102=224 ⇒ ap= ±√224=±14,96 cm 
 
Ejemplo: Calcular el apotema de un hexágono de lado 10 cm. 
Recordamos: De todo los polígonos regulares, el hexágono 
es el único en que se cumple que el lado y el radio son 
iguales. 
 
 
Usando el teorema de Pitágoras: 
10 2=ap2+52 ⇒ ap 2=102-52=75 ⇒ ap= ±√75=±5√3=8,66 cm 
 
 
Ejercicio para practicar: Calcula el radio del siguiente polígono 
regular, sabiendo que tiene perímetro 40. 
Solución: R=6,8 cm 
Ejercicio para practicar: Calcula la apotema del del siguiente polígono regular, 
sabiendo que su perímetro es de 60 cm. 
 
Solución: Apotema=8,66 cm 
 
 
 
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 29 
 
 
Esta semana os propongo los siguientes ejercicios para que los trabajéis en la 
libreta y luego me los enviéis al correo: 
mercedesiesortigueira@gmail.com 
Fecha límite 20 de abril. Recordad que es interesante ver los dibujos en la resolución 
y explicar un poco las cuentas que hacéis. Os indico las soluciones, para que 
confirméis que no hay errores ni de planteamiento ni de cuentas al resolverlos. 
Ejercicio 10.1: Indica qué medidas corresponden a los lados de un triángulo 
rectángulo, acutángulo y obtusángulo. 
a) 5 cm, 6 cm y 7 cm 
b) 1,5 cm, 4 cm y 3,6 cm 
c) 30 cm, 60 cm y 68 cm 
d) ¾ cm, 5/4 cm y 1 cm 
 
Ejercicio 10.2: Desde un balcón de un castillo en la 
playa se ve un barco a 85 metros, cuando realmente 
se encuentra a 84 metros del castillo. ¿A qué altura 
se encuentra ese balcón? 
 
Solución: a=13m 
Ejercicio 10.3: Si nos situamos a 120 metros de 
distancia de un cohete, la visual al extremo superior 
del mismo recorre un total de 130 metros. ¿Cuál es 
la altura total del cohete? 
Solución: 50m 
Ejercicio 10.4: La altura de una portería de fútbol 
reglamentaria es de 2,4 metros y la distancia desde el 
punto de penalti hasta la raya de gol es de 10,8 metros. 
¿Qué distancia recorre un balón que se lanza desde el 
punto de penalti y se estrella en el punto central del 
larguero? 
Solución: d=11,06m 
Ejercicio 10.5: La Torre de Pisa está inclinada de modo que 
su pared lateral forma un triángulo rectángulo de catetos 5 
metros y 60 metros. ¿Cuánto mide la pared lateral? 
 
Solución: x=60,21m 
 
Ejercicio 10.6: En un triángulo rectángulo, la diferencia entre las medidas de los 
lados es 4 cm. Halla la longitud de su hipotenusa. 
Solución: x=20 m 
mailto:mercedesiesortigueira@gmail.com
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 30 
 
 
Ejercicio 10.7: La medida que se utiliza en los televisores es la longitud de la 
diagonal de la pantalla en unidades de pulgadas. Una pulgada equivalea 2,54 
centímetros. Si David desea comprar un televisor para colocarlo en un hueco de 
96x79cm, ¿de cuántas pulgadas debe ser el televisor? 
Solución: La diagonal mide unos 124,32cm, por tanto, el televisor que debe comprar David 
no puede exceder las 48,94 pulgadas. 
Ejercicio 10.8: Un clavadista está 
entrenando en una piscina con una 
plataforma. Cuando realiza el salto, cae a 
una distancia de 1 metro de la plataforma 
sumergiéndose 2,4 metros bajo el agua. 
Para salir a la superficie, bucea hasta el final 
de la piscina siguiendo una línea transversal de 8,8 metros de longitud. ¿Cuál es la 
altura de la plataforma (desde el nivel del agua)? 
 
Solución: Aproximadamente de 6 metros por encima del nivel del agua. 
 
Ejercicio 10.9: Utiliza el teorema de Pitágoras para hallar la altura 
de un triángulo isósceles cuya base mide 10 centímetros y sus lados 
iguales 13 centímetros. 
 
Solución: 12cm 
Ejercicio 10.10: Calcula la medida, en decímetros, de cada 
lado de un rombo, sabiendo que sus diagonales miden 12 y 
16 decímetros. 
 
Solución: 10 dm 
Ejercicio 10.11: Halla la medida de la altura de un trapecio 
rectángulo, cuya base mayor mide 28 metros, su base 
menor 20 metros y su lado oblicuo 17 metros: 
 
Solución: x=15m 
Ejercicio 10.12: Halla la altura de un trapecio isósceles de 
bases 4 y 6 centímetros, y lados iguales de 5 centímetros. 
Solución: 4,90 cm 
 
UNIDAD DIDÁCTICA 10: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO (PARTE I). 
MATEMÁTICAS 3º ESO 
 
 
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA. 31 
 
 
Ejercicio 10.13: Calcula el perímetro de este trapecio 
rectángulo. 
 
Solución: P=20cm 
 
Ejercicio 10.14: Halla el perímetro, en metros, del 
triángulo de la figura. 
 
Solución: P=24m 
Ejercicio 10.15: ¿Cuál es el perímetro, en centímetros, 
del triángulo de la figura? 
 
Solución: P=280 cm 
Ejercicio 10.16: (voluntario) Calcula el perímetro de este 
trapecio isósceles. 
Solución: P=56cm 
Ejercicio 10.17: (voluntario) Halla la medida de los lados 
desconocidos x e y 
 
Solución: x=15m, y=12m 
Ejercicio 10.18: (voluntario) Halla el perímetro del 
trapecio de la figura. 
 
Solución: P=86 cm