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Unidad 2: Resolución de triángulos 
 
Ejercicio 1 
En las siguientes figuras, calcula las medidas de los segmentos desconocidos indicados 
por letras (ambos triángulos son rectángulos en A): 
 
 
Por el teorema del cateto: 
 216 '5 7 '5cm cm a  ; 36'3a cm 
 
 
n a m  ; 28'8n cm 
 
 
 
Por el teorema del altura: 2 7 '5 28'8h cm cm  ; 14 '7h cm 
Por el teorema del cateto: 2 28'8 36 '3c cm cm  ; 32 '33c cm 
 
 
Por el teorema del cateto: 
 270 50cm cm a  ; 98a cm 
 
48m cm 
 
Por el teorema del cateto: 
2 48 98b cm cm  ; 68'59b cm 
 
Ejercicio 2 
Un triángulo rectángulo tiene por catetos 3 cm y 4 cm. Halla la hipotenusa, las 
proyecciones y la altura sobre la hipotenusa: 
 
La hipotenusa, a, se obtiene por Pitágoras: 
5a cm (Es una terna pitagórica) 
 
Por el teorema del cateto: 
 23 5cm m cm  ; 1'8m cm 
 24 5cm n cm  ; 3'2n cm 
Por el teorema de la altura: 2 1'8 3'2h cm cm  ; 2'4h cm 
 
Ejercicio 3 
En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 16 
cm y 25 cm. Calcula la hipotenusa, la altura sobre la hipotenusa y los catetos: 
 
Hipotenusa: 41m n cm  
Por el Teorema de la altura: 2 ; 20h m n h cm   
Por el Teorema del cateto: 
Cateto pequeño: 2 16 41; 25 '61a a cm   
Cateto grande: 2 25 41; 32 '02b b cm   
 
Ejercicio 4 
Una circunferencia tiene 50 cm de radio. Una cuerda perpendicular al diámetro lo divide 
en dos segmentos, uno de los cuales (el más alejado del centro) mide 20 cm. Calcula la 
medida de la cuerda. 
 
Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de una circunferencia 
 
La resolución de este ejercicio es muy sencilla. Lo complicado está en entender qué se 
pide. 
 
La longitud de la cuerda es 2x. EL valor de la incógnita forma parte de una terna 
pitagórica. La cuerda mide: 40 40 80cm cm cm  
 
Ejercicio 5 
Demuestra estos teoremas utilizando tus conocimientos de álgebra y el teorema de 
Pitágoras: 
 
 22 2a h c m   ; 
2 2 2 2 22a b m c cm m     ; 
2 2 2 2a b c cm   
 22 2a h c m   ; 
2 2 2 2 22a b m c cm m     ; 
2 2 2 2a b c cm   
 
 
 
Ejercicio 6 
En un triángulo cualquiera, se tienen los siguientes datos: 6 '6b cm y las proyecciones 
de los lados b y a sobre c miden: 4 '6m cm y 13'4n cm . Calcula el lado a: 
 
El ejercicio se resuelve por aplicación 
directa del Teorema generalizado de 
Pitágoras para un ángulo agudo: 
 
 
 
2 2 2 2a b c cm   ; 2 2 2 26'6 18 2 18 4 '6 201'96a cm      ; 14 '21a cm 
 
Ejercicio 7 
En el ejercicio resuelto anterior, y una vez hallado el lado b, ¿por qué no lo hemos 
escogido junto con el ángulo de 45º para resolver el ejercicio? 
 
Porque el lado b es un dato calculado por nosotros y, por tanto, podría ser erróneo. 
Siempre que sea posible, usaremos los datos de los enunciados, no los nuestros. 
 
Ejercicio 8 
Resuelve el triángulo del que conocemos  30ºC  , 25b cm , 18c cm : 
Teorema del seno: 
sen 30º sen B
c b
 ; 
sen 30º sen
18 25
B
cm cm
 
 25sen sen 30º
18
cmB
cm
 ; 
25arcsen
36
B  ..  43'98ºB  
 180º 30ºA B   ;  106 '02ºA  
Teorema del seno:  sen 30ºsen
a c
A
 ; 
sen 18
sen 30º
Aa cm ; 34'6a cm 
 
Ejercicio 9 
Dos amigos parten de un mismo punto A, siguiendo direcciones que forman entre sí un 
ángulo de 35º. Después de caminar 10 km y 8 km, respectivamente, ¿cuál es la distancia 
que los separa? 
 
Teorema del coseno: 
 
2 2 210 8 2 10 8 cos35ºd       
 
5'74d km 
 
Ejercicio 10 
Completa: 
 
Datos Teorema... 
 Para triángulos rectángulos: 
Dos de los tres lados de Pitágoras y razones trigonométricas 
Ambas proyecciones sobre la hipotenusa de la altura o del cateto 
Proyección e hipotenusa del cateto 
Un lado y un ángulo agudo cualquiera razones trigonométricas 
Lado y su proyección del cateto 
Altura sobre la hipotenusa y una proyección de la altura 
Hipotenusa y un lado de Pitágoras o razones trigonométricas 
 Para triángulos cualesquiera: 
Dos lados y el ángulo que forman del coseno 
Dos lados y un ángulo opuesto a uno de los lados del seno 
Dos lados y la proyección de uno sobre el otro generalizado de Pitágoras 
Dos ángulos y un lado del seno 
Tres lados del coseno 
 
 
 
 
Ejercicio 11 
Resuelve el triángulo del que se conoce 20a m ,  45B   ,  30ºC  : 
 
 180º 45º 30º ; 105ºA A    
 
Teorema del seno: 
20
sen105º sen 30º
m c
 ; 
sen 30º 20
sen105º
c m 
 
10'35c m 
 
20
sen105º sen 45º
m b
 ; 
sen 45º 20
sen105º
b m ; 
 
14 '64b m 
Ejercicio 12 
En un triángulo se conocen los lados 2a cm , 2 3c cm y el ángulo  60ºC  . 
Calcula el ángulo A y el lado b: 
Una primera dificultad es construir el triángulo que se 
indica. 
Teorema del seno: 
sen sen 60º
2 2 3
A
cm
 
 2sen sen 60º
2 3
cmA
cm
 ;  30ºA  
 180º 60º 30º ; 90ºB B    ; Se trata de un triángulo rectángulo. 
2 2cos 60º ; ; 4
cos 60º
cm cmb b cm
b
   
 
Ejercicio 13 
Uno de los lados de un triángulo es el doble que el otro, y el ángulo comprendido es de 
60º. Calcula los otros dos ángulos: (Pista: piensa en un objeto de uso común que tiene esas 
características) 
 
Por construcción, observamos que el triángulo debe ser rectángulo, pero 
necesitamos realizar otras demostraciones para estar seguros. Como no 
sabemos a ciencia cierta que se trate de un triángulo rectángulo, aplicaremos el 
Teorema de coseno, siendo x el otro cateto: 
 22 22 2 2 cos 60ºx l l l l      ; teniendo en cuenta que el coseno de 60º es 
1/5, tenemos: 2 2 2 2 24 2 3x l l l l    ; por tanto 3x l . Ahora aplicamos 
el Teorema del Seno para averiguar el ángulo opuesto al lado mayor, que llamaremos  : 
60º
2 3
sen sen
l l

 ; se despeja sen ; 
3 22
2
3
l
sen
l


 
3l 
2
3l
1 ; es decir, 90º  
 
Se trata de un cartabón: el ángulo que falta es el de 30º 
 
Ejercicio 14 
En un triángulo ABC, calcula el valor de la proyección del lado 4b cm sobre el lado 
8c cm . El tercer lado mide 6a cm . Dibújalo a escala 1:1. 
 
Teorema generalizado de Pitágoras: 
2 2 2 2a b c cm   ; 
2 2 2
2
b c am
c
 
 
2'75m cm 
Ejercicio 15 
Calcula el radio (r) y la apotema (ap) de un octógono regular de lado 10 cm: 
(Pista: ¿conoces algún ángulo?) 
 
Nos fijamos en el ángulo central: 
360º 45º
8
   ; 
 22'5º2
   ; ahora podemos usar las razones 
trigonométricas: 
5tg
ap
cm  ; 
5ap
tg 22 '5º
cm
 ; ap 12'07 cm 
 
5sen
r
cm  ; 
5r
sen 22 '5º
cm
 ; r 13'07 cm 
 
 
Ejercicio 16 
Calcula el área del triángulo siguiente sabiendo que 10a cm ,  30ºB  y  45ºC  . 
Recuerda la definición de altura. 
 
El área de un triángulo se calcula como 
(base x altura)/2. Cada uno de sus tres 
lados puede actuar de base. La elección 
de una u otra altura será lo que determine 
la dificultad del ejercicio. 
El lado a es conocido, por tanto parece 
lógico escoger su altura correspondiente, 
h. Para calcularla necesitamos el valor 
del lado b y utilizar el seno de 45º 
(también hubiera valido obtener c y el sen 
de 30º). Para obtener b calculamos previamente el tercer ángulo desconocido y aplicamos 
el Teorema del seno. 
 
 180 45 30 ; 105ºA A     ; sen 30º sen105º
b a
 ; 
sen 30º 10
sen105º
b m 
Al tratarse de un resultado no exacto, se reserva en la calculadora. 
Aplicando la razón trigonométrica del seno: sen 45º
h
b
 ; por tanto, sen 45ºh b  ; 
Calculamos el área del triángulo: 
sen 30º10 10 sen 45º
sen105º
2 2
Base hÁrea
 
       
sen 30º sen 45º 50
sen105º
Área  ; 218'3Área cm 
Ejercicio 17 
En el ejercicio 10 hemos dicho que, con sólo tres datos y con los teoremas del seno y el 
coseno, se puede averiguar el resto de elementos de cualquier triángulo. ¿Cuántos datos 
se necesitarán para el caso de los triángulos rectángulos? 
 
2 datos: un ángulo agudo y un lado, o bien, dos lados. 
 
 
Ejercicio 18 
En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusamiden 8 
cm y 4’5 cm. Calcula la medida de los catetos y el área del triángulo (no utilices el 
teorema de Pitágoras): 
 
12'5c m n cm   ; 
 
Teorema del cateto: 2 256'25a m c cm   
7 '5a cm 
 
 
2 2100b n c cm   ; 10b cm ; para el cálculo del área, utilizaremos los catetos 
calculados: 
7 '5 10
2 2 2
Base h a bÁrea      ; 237 '5Área cm 
 
 
Ejercicio 19 
En un triángulo isósceles, el ángulo desigual es de 32º y el perímetro es 100 cm. Halla 
sus tres lados. 
 
 
La suma de los ángulos de un triángulo es 180º: 
 
180º 2 32º  ; 72º  
Sistema de ecuaciones: 
2 100 100 2
2cos 74º cos74º
2
x y y x
y y
x x
    
 
 
   
 
 
100 2 2 cos 74ºx x   ;  100 2 cos 74º 2 2 cos 74º 1x x x     ; 
 
100
2 cos 74º 1
x 
 ; 
39'2x cm ; 21'61y cm 
 
 
Ejercicio 20 
Calcula el área de un trapecio isósceles sabiendo que sus lados iguales miden 30 cm 
cada uno, que la base mayor mide 70 cm y que el ángulo que forma dicha base con cada 
uno de los lados iguales es de 33º. (Sin Pitágoras). 
 
(área del trapecio: hbBA
2
)( 
 ) Usamos razones trigonométricas: 
sen 33º
30
h
 ; 30 sen 33ºh   
cos33º
30
x
 ; 30 cos33ºx   
70 2b x  ; 70 2 70 2 30 cos33ºb x      
Área del trapecio:       70 70 2 30 cos33º 30 sen 33º 140 60 cos33º 15 sen 33º
2
A
   
      
2732 '65A cm 
 
Ejercicio 21 
Calcula x: 
 
La incógnita está situada en un triángulo con 
pocos datos. Tan solo con un ángulo y un lado 
conocidos, en un triángulo no rectángulo, no es 
suficiente para averiguar la incógnita. Debemos 
apoyarnos en el triángulo inferior para conseguir 
disponer de más información. 
 
Conocidos los tres lados del triángulo no 
rectángulo inferior, y utilizando el Teorema del coseno, podemos obtener el ángulo α , que 
por semejanza, coincide con el ángulo superior perteneciente al triángulo donde está la 
incógnita 
 
2 2 268 35 42 2 35 42 cos      α ; 
2 2 235 42 68cos
2 35 42
 

 
α ; 
109arccos
196
   
 
α 
 
No nos debe sorprender que de un resultado negativo; los cosenos de ángulos 
comprendidos entre 90º y 270º son negativos, y a la vista del dibujo, alfa es claramente 
obtuso. 
 
Ya en el triángulo superior, conocidos α y el ángulo de 22º, obtenemos  : 
 
109180º 22º arccos
196
      
 
; Y por último, por el Teorema del seno se calcula x: 
96 sen; 96
sen sen sen
x x 

  
α α 
64'95x m 
Ejercicio 22 
Un edificio y un árbol tienen 12 y 4 m de altura respectivamente y sus pies están situados 
a 20 m de distancia. ¿En qué punto situado entre los pies del árbol y del edificio se debe 
colocar un recipiente con comida para que los pájaros que están en la copa del árbol y los 
que están en la cima del edificio lo tengan a igual distancia? (Puedes utilizar cualquier 
teorema) 
 
 
 
Disponemos de dos triángulos rectángulos y dos incógnitas, x y H. Las distancias que 
deben recorrer los pájaros, H, deben ser iguales. Se establece una ecuación para cada 
triángulo (Teorema de Pitágoras) y se igualan las hipotenusas, es decir, se resuelve el 
sistema por el método de Igualación: 
 
 
 
2 2 2
22 2 2
22 2
12
12 4 20
4 20
H x
x x
H x
      
   
 2 2144 16 400 40x x x     ; 
 
40 416 144 272x    , para que se cumplan las condiciones del problema, hay que 
situar el recipiente a 6'8x m del edificio.