AguirreEspinosa_TesisLicenciatura_2017

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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN 
 
FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS 
 
 
 
 
 
Determinación de campos de esfuerzo 
en vidrio reforzado mediante 
intercambio iónico 
 
 
POR 
 
 
JOSÉ GUADALUPE AGUIRRE ESPINOSA 
 
 
COMO REQUISITO PARA OBTENER EL GRADO 
DE LICENCIADO EN QUÍMICA INDUSTRIAL 
 
 
 
Mayo 2017 
 
 
 
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN 
 
FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS 
 
 
 
 
 
Determinación de campos de esfuerzo 
en vidrio reforzado mediante 
intercambio iónico 
 
 
POR 
 
 
JOSÉ GUADALUPE AGUIRRE ESPINOSA 
 
 
COMO REQUISITO PARA OBTENER EL GRADO 
DE LICENCIADO EN QUÍMICA INDUSTRIAL 
 
 
Mayo 2017 
 
 
 
 
iii 
Determinación de campos de esfuerzo en vidrio reforzado mediante 
 
intercambio iónico 
 
 
Los miembros del comité aprueban la tesis realizada por el alumno José 
 
Guadalupe Aguirre Espinosa, con matrícula 1381258, como opción al grado 
 
de Licenciatura en Química Industrial. 
 
 
 
 
 
Dr. Francisco Javier Garza Méndez 
Presidente 
 
 
 
 
Dr. Antonio López Reyes 
Secretario 
 
 
 
 
 M. C. Nancy Adriana Pérez Rodríguez 
Vocal 
 
 
 
 
Dra. Perla Elizondo Martínez 
Subdirectora Académica del Área de Química Industrial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iv 
Determinación de campos de esfuerzo en vidrio reforzado mediante 
 
intercambio iónico 
 
 
 
 
 
 
Dr. Francisco Javier Garza Méndez 
Director de Tesis 
 
 
 
 
 
Dr. David Torres Torres 
Co-director de Tesis 
 
 
 
 
 
M.C. Guillermo García García 
Co-director de Tesis 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v 
 
 
 
 
A quienes me dieron la vida y me guian a traves de ella. 
MIS PADRES 
 
A la memoria de 
Francisco Javier Aguirre y María Guadalupe Alejandro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
vi 
AGRADECIMIENTOS 
Quiero agradecer pricipalmente a mis padres por su inconmesurable apoyo durante 
todo este tiempo en mi desarrollo profesional, por hacerme sentir que ese apoyo 
siempre fue el mismo, desde el primer paso hasta el último día y que a pesar del 
tiempo que pasaba nunca se desesperaron y compredieron maduramente la 
situación, infinitas gracias por enseñarme los valores y darme esa educación que 
me ha hecho la persona que ahora soy. 
 
A mis abuelos que desde el inicio y gran parte de este ciclo me dieron su apoyo 
para que yo pudiera ir a estudiar, dandome un techo donde pudiera vivir y así como 
esa atención y amor que solo a ellos se les caracteriza, muchisimas gracias. 
 
Mis hermanas por supuesto, quienes me han visto crecer toda la vida y siempre han 
estado apoyandome de diferentes maneras, mostrandome ese amor fraternal entre 
hermanos, las quiero mucho. 
 
A mis familiares y amigos, que siempre estuvieron al pendiente de mi progreso en 
la facultad y quienes siempre conseguian brindarme esa palabras de apoyo para 
que siguiera adelante. 
 
A mi asesor, el Dr. F.J. Garza-Méndez en quien encontré no sólo a un ingeniero 
trasmitiendome su conocimiento y sabiduría, si no que tambien encontré a un gran 
amigo que siempre estimaré y apreciaré, muchas gracias ingeniero por aceptar 
 
 
 
vii 
dirigir esta tesis y por darme esa oportunidad de integrarme a su grupo de 
investigación y por todo el apoyo desintersado que siempre me mostró. 
 
A mis co-asesores el Dr. David Torres Torres a quien le agradesco infinitamente el 
apoyo tecnológico, así como todo el conocimiento aportado en esta área, tambien 
al M.C. Guillermo García quíen con su experiencia en la industria y conocimientos 
en metalurgia acepto ayudame cuando me encontraba en Caterpillar brindadome 
su atención en tan importante etapa. 
 
Al Dr. Antonio López por sus observaciones y sugerencias, gracias por su valiosa 
participación desinteresada en esta investigación. 
 
A mis amigos, compañeros y algunos egresados de la facultad que siempre 
estuvieron dando soporte en diferentes momentos de la carrera: Mario Martínez, 
Roger Villicaña, Eleazar Posada, Carlos Áldape, Antonio Noriega, Francisco 
Hernández y Edgar Bautista. 
 
A mis jovenes compañeros Fatima, Paola y Homero quienes fueron pieza clave en 
la experimentación y caracterización de esta investigación, muchas gracias chicos 
por el interés mostrado hacia mi proyecto. 
 
Finalmente un agradecimiento especial a mi madre, que es la fuerza que mantiene 
unida nuestra familia, nos alienta seguir en el camino y nos ayuda a lograr nuestras 
metas y propositos en la vida, te amo madre. 
 
 
 
viii 
RESUMEN 
José Guadalupe Aguirre Espinosa 30 de Mayo del 2017 
Universidad Autónoma de Nuevo León 
Facultad de Ciencias Químicas 
Título del Estudio: DETERMINACIÓN DE CAMPOS DE ESFUERZO EN VIDRIO 
REFORZADO MEDIANTE INTERCAMBIO IÓNICO 
Número de páginas: 45 Candidato para grado de 
Licenciado en Química Industrial 
Área de Estudio: Química de los Materiales 
Propósito y Método del Estudio: El propósito de este estudio es la determinación 
de los campos de esfuerzo en vidrio sódico cálcico reforzado mediante 
intercambio iónico con una sal de potasio, utilazando un análisis de 
autoafinidad y las pruebas mecánicas mediante las técnicas de 
nanoindentación y fuerza átomica. 
 
Contribuciones y Conclusiones: Se llevó a cabo un tratamiento de intercambio 
iónico con el que se logró reforzar el vidrio sódico cálcico. Como resultado de 
este reforzamiento se intrudujeron defectos puntuales que actuaron como un 
campo de esfuerzo. 
 
El análisis de autofinidad demostró que el vidrio reforzado como el que no 
fue tratado con interambio iónico presentan un exponente de rugosidad de 
0.8, mientras que la longitud de correlación fue 0.8 m y 2.78 m 
respectivamente. 
 
En el perfil de durezas obtenido de los vidrios se observó que al incrementar 
la distancia del ensayo se pierde la dureza, hasta un punto donde dicha 
dureza se presenta como una constante, dando valores muy similares si se 
sigue aumentado la distancia del ensayo. 
 
Se asegura que la longitud de correlación corresponde al tamaño del campo 
de esfuerzo de compresión que fueron inducidos por el efecto del 
reforzamiento del intercambio iónico, y se demuestra que estos defectos se 
comportan como una heterogeneidad en un material amorfo. 
 
 
 
 
FIRMA DEL DIRECTOR: ___________________________ 
 
 
 
 
ix 
TABLA DE CONTENIDO 
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN ............................................................................. 1 
1.1 Introducción ............................................................................................... 1 
1.2 Antecedentes ............................................................................................ 2 
1.3 Análisis crítico de la literatura ................................................................... 4 
1.4 Aportación científica .................................................................................. 4 
1.5 Hipótesis .................................................................................................... 4 
1.6 Objetivo general ........................................................................................ 5 
1.7 Objetivos especificos ............................................................................... 5 
CAPÍTULO 2 FUNDAMENTO TEÓRICO .............................................................. 6 
2.1 Introducción ............................................................................................... 6 
2.2 Fractales .................................................................................................... 6 
2.2.1 La geometría fractal ......................................................................... 6 
2.2.2 Dimensión Hausdorff ........................................................................ 8 
2.2.3 Dimensión Topológica...................................................................... 9 
2.2.4 Autosimilitud ..................................................................................... 9 
2.2.4.1Autoafinidad ........................................................................ 10 
2.2.5 Efecto Richardson .......................................................................... 14 
2.3 Mecánica de fractura .............................................................................. 15 
2.3.1 Fractura dúctil ................................................................................. 15 
2.3.2 Fractura frágil ................................................................................. 17 
2.3.3 Fractura en materiales no metálicos ............................................. 17 
2.3.4 Distribución de esfuerzos de Inglis ................................................ 18 
2.3.5 Criterio de Griffith ........................................................................... 19 
2.3.6 Mecánica de la fractura lineal elástica .......................................... 21 
2.3.7 Reforzamiento mecánico del vidrio ............................................... 22 
2.3.8 Tratamiento de intercambio iónico ................................................ 22 
2.3.9 Difusión ........................................................................................... 23 
2.4 Estado de la ciencia ................................................................................ 24 
CAPÍTULO 3 MATERIALES Y MÉTODOS ......................................................... 27 
3.1 Introducción ............................................................................................. 27 
3.1.1 Reactivos.............................................................................................. 27 
3.1.2 Material de laboratorio ......................................................................... 27 
3.1.3 Equipos ................................................................................................ 28 
3.2 Métodología............................................................................................. 28 
3.2.1 Tratamiento de intercambio iónico ...................................................... 28 
3.2.2 Perfil topográfico MFA ......................................................................... 30 
3.2.3 Dureza mediante nanoindentanción ................................................... 31 
CAPÍTULO 4 RESULTADOS Y DISCUSIÓN...................................................... 34 
4.1 Introducción ............................................................................................. 34 
 
 
 
x 
4.2 Análisis autoafin ...................................................................................... 34 
4.3 Perfil de dureza ....................................................................................... 38 
CAPÍTULO 5 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ............................... 42 
REFERENCIAS .................................................................................................... 43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xi 
LISTA DE TABLAS 
Tabla Página 
2.1 Principales diferencias entre la geometría Euclidiana y Fractal 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xii 
LISTA DE FIGURAS 
Figura Página 
2.1 Conjunto de Cantor 8 
2.2 Construcción de la curva de Von Koch 8 
2.3 Imagen de una coliflor donde se puede reconocer la autosimilitud, 
pues una sola rama tiene la forma de toda la verdura 
10 
2.4 Fractura del vidrio a diferentes escalas de observación 11 
2.5 Curva autoafin ideal que ilustra cómo se determinan el exponente de 
rugosidad y la longitud de correlación 
13 
2.6 Interacción de heterogeneidades con el frente de propagación de 
una fractura 
14 
2.7 Ensayo de tensión de un material dúctil 16 
2.8 Fractura de copa y cono observada cuando se rompe un material 
dúctil 
16 
2.9 Micrografía de la superficie de fractura del vidrio, mostrando la zona 
especular y las líneas de rayado características de una fractura 
conchoidal 
18 
2.10 Modelo de la grieta de Inglis 19 
2.11 Modelo de grieta empleado por Griffith 20 
2.12 Antes y después del tratamiento de intercambio iónico 23 
3.1 Imagen de un portaobjetos 29 
3.2 Sal de potasio en el recipiente 29 
3.3 Inicio del tratamiento 29 
3.4 Curva del tratamiento 30 
3.5 Perfil de alturas extraído de una imagen de MFA 31 
3.6 Curva de carga aplicada vs penetración 32 
4.1 Eliminación de la tendencia de un perfil de alturas 35 
4.2 Curva de autoafinidad para el vidrio sin tratamiento 36 
4.3 Imagen de MFA 30 x 30 m para el vidrio sin intercambio iónico 37 
4.4 Curva de autoafinidad para el vidrio con tratamiento 37 
4.5 Imagen de MFA 30 x 30 m para el vidrio con intercambio iónico 38 
4.6 Huella de nanoindentación 39 
4.7 Perfil de durezas del vidrio con y sin intercambio iónico 40 
 
 
 
xiii 
ABREVIATURAS 
etc. Etcetera 
𝐷 Dimensión 
𝐷𝐻−𝐵 Dimensión Hausdorff – Besicovitch 
𝐷𝑇 Dimensión Topológica 
 Exponente de rugosidad o de Hurst 
𝜉 Longitud de correlación 
𝐿𝐻 Ley de Potencia 
𝐷𝑓 Dimensión fractal 
L(λ) Longitud medida con una regla del tamaño 𝜆 
𝜎 Esfuerzo 
𝐸 Módulo de Young 
𝛾𝑠 Energía superficial 
i.i. Intercambio iónico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xiv 
NOMENCLATURA 
PIB Producto Interno Bruto 
MFA Microscopia de Fuerza Atómica 
NI Nanoindentación 
MEB Microscopia Electrónica de Barrido 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
CAPÍTULO 1 
INTRODUCCIÓN 
1.1 Introducción 
 
En los últimos años el sector industrial, en específico el de la electrónica, ha 
implementado el reforzamiento de vidrio por intercambio iónico. Empresas 
reconocidas mundialmente desarrollan vidrios con buenas propiedades mecánicas, 
ópticas y electrónicas. Por ejemplo, Corning Glass Works es la empresa encargada 
de la producción del vidrio utilizado en dispositivos de la compañía Apple Inc [1]. 
Estos vidrios son duros, ligeros y resistentes, ideales para la aplicación en 
dispositivos móviles, pantallas, equipo de cómputo, entre otros. 
 
Se realizó un estudio por el Departamento de Comercio de Estados Unidos 
en donde se demuestra que los gastos causados por los daños relacionados con 
fracturas de los vidrios le cuestan a la población aproximadamente el 4% del PIB 
[1]. Este es sólo un claro ejemplo de la importancia que tiene la investigación en las 
propiedades mecánicas de los materiales. 
 
Uno de los principales problemas y el enfoque de muchas investigaciones en 
el vidrio es la fractura que este material presenta, así como el encogimiento del 
mismo con el paso del tiempo o cuando se expone al choque térmico. Empresas 
como Corning, Crisa, Vitro, se dedican a la investigación para aportar una solución 
a estos clásicos problemas, en donde además no solo se tiene aportaciones en el 
ámbito de las tecnologías, sino que también tienen un enfoque al desarrollo de 
modelos arquitectónicos principalmente usados para la construcción de edificios y 
puentes. 
 
Industrialmente este tema es muy conocido, pero científicamente poco 
atendido, lo que quiere decir que muchos de los datos sobre el comportamiento del 
 
 
 
2 
vidrio puede que ya estén registrados en las industrias, pero al ser secretos 
industriales el acceso a esos datos es totalmente restringido. 
 
El estado de esfuerzo se define para un sólo punto en un instante. Dado que 
los cuerpos se componen de infinitos puntos, hay que introducir un nuevo concepto 
que describa la situación, en lo que a esfuerzo se refiere, para todo el cuerpo. Esto 
es el campo de esfuerzos: la distribución del estado de esfuerzo en todos los puntos 
del cuerpo. 
 
Es por eso que en este proyecto se propone determinar los campos de 
esfuerzo en vidrio reforzado por intercambio iónico para la aportación y registro de 
datos que ayuden a comprender cómo se comportan las fracturas en el vidrio. 
 
En este trabajo se obtuvieron resultados del exponentede rugosidad que fue 
0.8, mientras que la longitud de correlación fue 0.8 m y 2.78 m, por medio de 
un análsis de similitud y la técnica de MFA. En el perfil de durezas obtenido de los 
vidrios se observó que al incrementar la distancia del ensayo se pierde la dureza, 
hasta un punto donde dicha dureza se presenta como una constante, para este 
ensayo se utilizó la técnica de nanoindentación. 
 
1.2 Antecedentes 
 
En 2007, Garza Méndez elucidó los posibles efectos del tratamiento de 
intercambio iónico sobre los parámetros de similitud asociados a las superficies de 
la fractura del vidrio. En este estudio se empleó la microscopia de fuerza atómica 
(MFA) para obtener registros topométricos de la superficie de fractura y para el 
análisis del comportamiento de similitud se utilizó el método de ventana de ancho 
variable para calcular el exponente de rugosidad y la longitud de correlación en 
vidrios sometidos y no sometidos a intercambio iónico [3]. 
 
 
 
 
3 
En 2010, Chávez Guerrero determinó que la longitud de correlación 
corresponde al tamaño de partículas opacificantes. En este trabajo determinó el 
exponente de rugosidad y la longitud de correlación en las fracturas de vidrio ópalo 
con diferentes tamaños de partículas, se utilizó una prueba de flexión de tres puntos 
para romper los vidrios y la microscopia de fuerza atómica (MFA) para analizar las 
superficies de fractura y así obtener las propiedades de escalamiento mediante un 
análisis de autosimilitud por el método de ventana de ancho variable [4]. 
 
En 2004, Kese determinó el esfuerzo residual sobre módulo elástico y la 
dureza del vidrio sódico cálcico por nanoindentación (NI). En este estudio se 
destaca que usó un nanoindentador para evaluar la tensión en el módulo de 
elasticidad y la dureza en el vidrio sódico cálcico, además para la determinación de 
las áreas de contacto utilizó microscopia de fuerza atómica (MFA), encontrando que 
el módulo elástico disminuye con la tensión que fue aplicada, esto es debido a la 
influencia de dichas tensiones sobre el ángulo de los enlaces Si-O-Si [2]. 
 
En 2016, García demostró el efecto de las variaciones en la composición del 
vidrio en el índice de fragilidad por indentación tipo Vicker, así como el incremento 
de la resistencia a la flexión. En este trabajo utilizó dos métodos para cambiar la 
composición del vidrio, el proceso de templado químico y el intercambio iónico, 
evaluando el efecto del tiempo que tiene el proceso por templado químico, así como 
el estudio topométrico de la superficie de fractura del efecto con el intercambio 
iónico [5]. 
 
En 2013, Martínez Quiroz determinó el efecto del tratamiento térmico en el 
reforzamiento de vidrio sódico cálcico por el método de intercambio iónico. En este 
estudio se reporta el tiempo óptimo para el intercambio iónico que es de 28 horas 
en vidrio sódico cálcico, demostrándolo con los análisis de flexión, dureza y el 
cálculo del coeficiente de difusividad [1]. 
 
 
 
 
4 
1.3 Análisis crítico de la literatura 
 
Actualmente no se encuentran reportes sobre el estudio donde se determine 
el tamaño del campo de esfuerzos en vidrio sódico cálcico, teniendo como gran área 
de oportunidad la investigación de dicho tema. 
 
En los últimos estudios se ha demostrado que el método de ventana de ancho 
variable sirve para hacer el análisis autoafín o autosimilitud, ya que muchos autores 
hacen referencia a utilizar este método para la determinación de las propiedades de 
escalamiento. 
 
En este tipo de investigaciones sobre el vidrio aun no se tiene reportado un 
perfil de dureza con datos obtenidos por medio de un nanoindentador, es ahí en 
donde se puede empezar a investigar y evaluar diferentes composiciones en el 
vidrio y poder profundizar en la investigación de algunas de sus propiedades. 
 
1.4 Aportación científica 
 
Demostrar que la fractura del vidrio es un objeto autoafin con un 
comportamiento similar al de materiales cristalinos o semi-cristalinos. 
 
1.5 Hipótesis 
 
La longitud de correlación corresponde al tamaño promedio de los campos 
de esfuerzos inducidos por el intercambio iónico. 
 
 
 
 
 
 
5 
1.6 Objetivo general 
 
Determinación de la longitud de correlación, exponente de rugosidad y 
campo de esfuerzos en vidrio sódico cálcico reforzado por intercambio iónico. 
 
1.7 Objetivos especificos 
 
1. Obtención del vidrio reforzado por intercambio iónico 
 
2. Obtención del perfil de durezas del vidrio reforzado por nanoindentación 
 
3. Obtención del perfil topométrico del vidrio reforzado por MFA 
 
4. Determinación del exponente de rugosidad y longitud de correlación por el 
método de ventana de ancho variable 
 
5. Determinación del campo de esfuerzo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
CAPÍTULO 2 
FUNDAMENTO TEÓRICO 
2.1 Introducción 
En este capítulo se iniciará con la descripción y la definición de geometría 
fractal, posteriormente se pasará por dos parámetros los cuales son la dimensión 
Hausdorff y la dimensión topológica, para finalmente llegar a la ecuación de 
repetición, en esa ecuación veremos que los coeficientes que se definen son el 
coeficiente de rugosidad y la longitud de correlación, parámetros que nos interesan 
ya que serán utilizados en la experimentación para probar que la geometría del 
vidrio es fractal. 
 
2.2 Fractales 
2.2.1 La geometría fractal 
 
La geometría fractal es la ciencia perteneciente a las matemáticas y cuyo fin 
es la descripción de las formas que toma la materia. La expresión de fractal proviene 
del latín fractus que corresponde al verbo frangere, que significa romper, fracturado, 
irregular, roto. Este concepto se le atribuye al matemático Benoit B. Mandelbrot y 
que aparece como tal a finales de la década de los setenta y principio de los ochenta 
[6]. 
 
La geometría euclidiana es ampliamente utilizada para describir una gran 
variedad de objetos, principalmente los creado por la mano del hombre, esferas, 
pirámides, cuadrados, etc. Con el desarrollo de la geometría fractal introducida por 
Mondelbrot surgió la posibilidad de estudiar, analizar, reproducir y describir objetos 
los cuales fueron relegados por la ciencia. Las diferencias entre la geometría 
euclidiana y fractal se pueden ver en la Tabla 2.1. 
 
 
 
7 
La definición de fractal propuesta por Mandelbrot en 1975 es: un fractal es un 
conjunto de formas generadas normalmente por procesos matemáticos o naturales 
repetitivos y que se caracterizan por tener el mismo aspecto a cualquier escala de 
observación, tener longitud infinita, no ser diferenciables y tener dimensión 
fraccional. 
 
Un fractal es un objeto geométrico que está compuesto por elementos de 
tamaño y orientación variable, las características de estos objetos es que son 
rugosos, porosos e irregulares, lo que los hace interesantes, es que poseen estas 
propiedades al mismo grado en todas las escalas, esto quiere decir, que muestran 
la misma forma si son vistas desde cerca o de lejos. [7]. 
 
Geometría 
Euclidiana Fractal 
Dimensiones enteras (0,1,2,3, …) Dimensiones fraccionarias 
Adecuada para describir objetos 
hechos por el hombre 
Describe objetos naturales y 
matemáticos 
Antigüedad mayor a 2000 años Antigüedad no mayor de 45 años 
Describe mediante ecuaciones Describe mediante algoritmos 
 
Tabla 2.1 Principales diferencias entre la geometría Euclidiana y Fractal [9] 
 
 Se dice que los fractales poseen algún tipo de similitud, esta similitud puede 
ser geométricamente estricta o solamente aproximada o estadística. Los fractales 
naturales están formados por copias, a las que se le denominan ramas, que estas 
a su vez contienen copias de las mismas y son conocidas como sub-ramas. Esto se 
puede observar en el conjunto de Cantor (figura 2.1) y la curva de Von Koch (figura 
2.2). 
 
 
 
 
8 
 
 
Figura 2.1 Conjunto de Cantor 
 
 
 
Figura 2.2 Construcciónde la curva de Von Koch 
 
2.2.2 Dimensión Hausdorff 
 
Precedente a la dimensión fractal se encuentra la dimensión que fue 
desarrollada por Felix Hausdorff en 1919, que posteriormente fue perfeccionada por 
Besicovitch, la cual establece que la dimensión Hausdorff 𝐷𝐻−𝐵 de un objeto fractal 
𝑥 mide el número de conjuntos de longitud 𝐿 que hacen falta para cubrir 𝑥 por 𝐿, 
pero ¿cuántos segmentos de longitud son necesarios para cubrir una superficie?, 
𝐷𝐻−𝐵 es el parámetro adecuado para la medición. 𝐷𝐻−𝐵 es la dimensión para la cual 
un conjunto cambia de cero a infinito 𝑀𝑑 y se expresa de la siguiente manera: 
 
 
 
9 
𝑀𝑑 =∑𝛾(𝑑)𝛿
𝑑 = 𝛾(𝑑)𝑁(𝛿)𝛿𝑑
𝛿→0
→ {
0, 𝑑 > 𝐷𝐻−𝐵
∞, 𝑑 < 𝐷𝐻−𝐵
 (2.1) 
 
Donde 𝛾(𝑑) es un factor geométrico, para cuadros y cubos es 𝛾(𝑑) = 1, para 
los círculos toma un valor de 𝛾(𝑑) = 𝜋 4⁄ y para las esferas es de 𝛾(𝑑) =
𝜋
6⁄ , 
mientas que 𝑑 es la dimensión de los segmentos que cubren el objeto en cuestión 
y 𝑁(𝛿) es el número de segmentos [9]. 
 
2.2.3 Dimensión Topológica 
 
La topología es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de 
invariancia que presentan los objetos cuando son sujetos a ciertas transformaciones 
conocidas como homeomorfismos. En esta rama un objeto tiene dimensión 𝑛 si dos 
de sus puntos se pueden separar completamente subtrayendo un subconjunto de 
dimensión 𝑛 − 1. Por ejemplo, un cuadrado de dimensión 2, 𝐷 = 2, puede dividirse 
en dos partes al sustraerle una linea recta 𝐷 = 1. 
 
2.2.4 Autosimilitud 
 
Los objetos naturales o matemáticos, tales como las superficies de los 
objetos (Figura 2.3) y los perfiles generados por el movimiento browniano, 
mantienen su aspecto durante el escalamiento, solo si este se hace diferente en al 
menos una de las direcciones, esto quiere decir que son fractales anisotrópicos, a 
los cuales se le conoce como objetos autoafines. 
 
 
 
 
10 
 
 
Figura 2.3 Imagen de una coliflor donde se puede reconocer la autosimilitud, pues 
una sola rama tiene la forma de toda la verdura. 
 
2.2.4.1 Autoafinidad 
 
Esta propiedad obedece las transformaciones o escalamientos como las que 
se describen en la siguiente ecuación: 
 
(𝑋, 𝑌, 𝑍) → (𝜆𝑥𝑋, 𝜆𝑦𝑌, 𝜆𝑧
 
𝑍) (2.2) 
 
Donde 𝜆𝑥 = 𝜆𝑦 ≠ 𝜆𝑧
 
. Al exponente  se le conoce como el exponente de 
autoafinidad, exponente de rugosidad o simplemente exponente de Hurst. 
 
Las superficies autoafines se observan como variaciones perpendiculares 
con respecto a un plano de referencia. En la ecuación 2.2 estas variaciones de 
alturas 𝜆𝑧
 
𝑍, sobre una determinada longitud de escala (𝑟) y cuya dirección es 
paralela al plano de referencia 𝜆𝑥𝑋, 𝜆𝑦𝑌, presenta propiedades de escalamiento 
caracterizadas por el exponente de rugosidad ( ), este exponente puede presentar 
una magnitud entre 0 y 1. Cuando se presenta  = 1 se dice que la superficie es 
completamente lisa, si  disminuye entonces la rugosidad aumenta. Este 
comportamiento autoafín se presenta hasta una determinada longitud en la escala, 
 
 
 
11 
denominada longitud de correlación, por encima de este parámetro la superficie se 
considera un objeto plano. 
 
Las superficies de fractura son objetos autoafines (Figura 2.4). En los 
materiales como los cerámicos y los metales estas superficies presentan un 
exponente de rugosidad  ≈ 0.8, lo cual permitió establecer la universalidad para 
dicho exponente, esto independientemente del material y del modo de fractura. Esta 
autoafinidad se encuentra bajo condiciones de propagación de las grietas muy 
elevada y/o a longitudes en la escala del orden de micrómetros. 
 
 
 
Figura 2.4 Fractura del vidrio a diferentes escalas de observación 
 
En la actualidad se tiene bien establecido que las superficies de fractura son 
objetos fractales naturales anisotrópicos, objetos autoafines que son caracterizados 
por el exponente de rugosidad . 
 
La aplicación de los conceptos de la geometría fractal a el análisis de perfiles 
rugosos nos permite demostrar que en los diferentes momentos estadísticos de la 
distribución de alturas los perfiles dependen del tamaño de muestras 𝐿 y siguen un 
comportamiento proporcional a 𝐿𝐻 (Ley de Potencia). El exponente de Hurst está 
relacionado a la dimensión fractal y caracteriza o cuantifica la irregularidad del perfil. 
Estos perfiles que cumplen con tal relación se dice que son autoafines [6]. 
 
 
 
 
12 
El cálculo del exponente Hurst está relacionado a la dimensión fractal 
mediante la siguiente relación: 
 
 = 2 − 𝐷𝑓 (2.3) 
 
Donde 𝜍 es el exponente de rugosidad y 𝐷𝑓 es la dimensión fractal del perfil. 
Una superficie plana tiene 𝐷𝑓 = 2 por lo que 𝜍 = 0, otro ejemplo, una superficie de 
fractura de un material 𝑥 muestra 𝐷𝑓 = 1.2 por lo tanto  = 0.8. 
 
Uno de los métodos más confiables para calcular  es el método de ventana 
de ancho variable, en el cual el perfil se divide en franjas o ventanas de tamaño 𝑟, 
para cada ventana se calcula la cantidad de 𝑍𝑚𝑎𝑥, que es la diferencia entre la 
máxima y la mínima altura. Con la variación del tamaño de las ventanas se obtiene 
la distribución 𝑍𝑚𝑎𝑥(𝑟). Para los perfiles autoafín se cumple la siguiente ley de 
potencia: 
 
𝑍𝑚𝑎𝑥(𝑟) ∝ 𝑟 (2.4) 
 
A partir de un gráfico de 𝑙𝑜𝑔 − 𝑙𝑜𝑔 de 𝑍𝑚𝑎𝑥(𝑟) 𝑣𝑠 𝑟 se puede verificar la 
validez de esta ley, el valor del exponente  esta dado por la pendiente de la línea 
recta de este régimen autoafinidad. 
 
Las superficies de fractura son objetos autoafines para longitudes de escalas 
menores a la llamada longitud de correlación, esto se puede observar en la Figura 
2.5 en donde la longitud de correlación es de 10 𝜇𝑚, por debajo de esta unidad de 
medida el objeto de estudio se considera un objeto autoafin o similar así mismo, en 
la cual más allá de esta longitud la superficie se puede considerar un objeto 
euclidiano plano. Esta longitud de correlación también se puede determinar por 
medio del gráfico de 𝑍𝑚𝑎𝑥(𝑟) 𝑣𝑠 𝑟. 
 
 
 
 
13 
 
 
Figura 2.5 Curva autoafín ideal que ilustra cómo se determinan el exponente de 
rugosidad y la longitud de correlación 
 
Se encuentra abundante evidencia en los últimos años que apoya la 
existencia de un régimen de autoafinidad común en muchos materiales, con un valor 
universal  = 0.8 que es válido para la propagación de las grietas altas y longitudes 
de escala de análisis relativamente grandes. En cuanto a las velocidades de 
propagación lentas y escalas pequeñas de observación se obtiene otro régimen de 
autoafinidad con  = 0.5. 
 
Se piensa que longitud de correlación se encuentra ligada directamente con 
el tamaño de las heterogeneidades, estas heterogeneidades pueden ser granos, 
poros, esferulitas, dendritas por mencionar algunas, ya que estas heterogeneidades 
al interactuar con el frente de propagación de la grieta (Figura 2.6) hacen que la 
superficie que se genera presente un carácter de rugosidad [7]. 
 
1E-4 1E-3 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000
1E-5
1E-4
1E-3
0.01
0.1
1
 Longitud de
 correlación
 = 0.8
 Z
m
á
x
 (

m
) 
 
 Tamaño de ventana (m) 
 
 
 
14 
 
 
Figura 2.6 Interacción de heterogeneidades con el frente de propagación de 
una fractura 
2.2.5 Efecto Richardson 
 
La longitud de una delimitación de la frontera de cualquier material depende 
la resolución de la regla empleada para medirla. Este hecho ya corroborado 
experimentalmente fue cuantificado por primera vez por Lewis Fry Richardson, en 
el cual obtuvo la relación empírica: 
 
L(λ) = Mλ1−D (2.5) 
 
En donde L(λ) es la longitud medida con una regla del tamaño λ, D es una 
constante que Mandelbrot determinó como la dimensión fractal de la delimitación de 
la frontera de los materiales. Este efecto puede ser corroborado en microestructuras 
y en cualquier curva irregular natural. 
 
Para obterner el gráficode Richardson es necesario graficar el 
log(𝜆) 𝑣𝑠 log𝐿(𝜆) de la ecuación 2.5, despejando 1 − 𝐷 obteniendo así los logaritmos 
de 𝐿(𝜆) y 𝜆, además que la pendiente del gráfico tiene un valor de 1 − 𝐷, así se 
puede calcular 𝐷 de la siguiente forma [8]: 
 
 
 
 
15 
𝐷 = 1 − 𝑚 (2.6) 
 
En cuanto a las mediciones en escalas micrometricas y nanometricas para 
que este efecto se cumpla se requiere de dos aspectos importantes el primero es 
una técnica matemática que sea independiente de la longitud de barrido y la 
segunda es una técnica experimental con resolución tan pequeña que el valor de la 
superficie se acerque al límite real. 
 
2.3 Mecánica de fractura 
 
La separación o fragmentación de un cuerpo sólido en dos o más partes bajo 
la acción de esfuerzo es llamada fractura. Para este proceso se consideran dos 
componentes básicos que son la nucleación y propagación de la grieta. 
 
La mecánica de la fractura estudia el comportamiento de los materiales con 
fisuras y otros pequeños defectos. Esta ciencia se constituye de diversas teorías y 
técnicas experimentales, que tiene como objetivo principal establecer los criterios 
de falla para los cuerpos sólidos y que además sean independientes de la geometría 
del material, así como también de las condiciones de ensayo [10]. 
 
En la actualidad se tiene mucha información sobre el comportamiento de los 
materiales, a pesar de todo eso, frecuentemente los materiales siguen presentando 
fallas. Para la determinación de las causas de las fallas es importante la 
comprensión del mecanismo de fractura. 
 
2.3.1 Fractura dúctil 
 
Este tipo de fractura es caracterizada por una deformación plástica 
apreciable. Estas fracturas ocurren de manera transgranular, además de que esta 
ocurre sin nucleación de microgrietas. Antes de la fractura final aparece una 
 
 
 
16 
deformación, dicha deformación se puede apreciar en un ensayo de tensión a un 
material dúctil (Figura 2.7), en donde el material es esforzado formando hueco en el 
centro, esto debido a las inclusiones o bordes de grano, continuando con la 
deformación se forma un labio de corte produciendo una fractura final en copa y 
cono (Figura 2.8). Los materiales que experimentan fracturas dúctiles son 
principalmente metales de buena conducción de calor y electricidad (ductilidad) y 
una buena capacidad para absorber o acumular energía antes de alcanzar la 
fractura (tenacidad) [7]. 
 
 
 
Figura 2.7 Ensayo de tensión de un material dúctil 
 
 
 
Figura 2.8 Fractura de copa y cono observada cuando se rompe un material dúctil 
 
 
 
17 
2.3.2 Fractura frágil 
 
Esta fractura se presenta en los materiales de baja ductilidad y tenacidad. La 
fractura ocurre a lo lago de los planos cristalográficos particulares en los granos de 
un material. En el cual existe muy poca o ninguna deformación plástica. La fisura 
inicial ocurre en un pequeño defecto que actúa como concentrador de esfuerzos. 
Las grietas de propagan frecuentemente en los planos cristalográficos [100] en una 
estructura cubica centrada en la cara, aunque también se puede observarse una 
propagación intergranular. 
 
Uno de los problemas de este tipo de fractura es que en diversos materiales 
se intensifica por la presencia de imperfecciones como porosidad, inclusiones, 
tamaño de grano grande, estos defectos varían en tamaño, forma y orientación [7]. 
 
2.3.3 Fractura en materiales no metálicos 
 
En los materiales no metálicos como los cerámicos las fallas que se 
presentan son resultado de una fractura frágil por agrietamiento en los planos 
espaciado o compactos, además muestran una superficie de fractura lisa. Los 
vidrios se fracturan igual que los cerámicos, de una manera frágil, en ellos se 
observa una fractura tipo concha, donde las líneas de falla apuntan hacia atrás, la 
zona especular y al origen de la grieta, esto de manera similar a patrón de Chevron 
que se presenta en los métales. 
 
 
 
 
18 
 
 
Figura 2.9 Micrografía de la superficie de fractura del vidrio, mostrando la zona 
especular y las lineas de ragado características de una fractura conchoidal 
 
2.3.4 Distribución de esfuerzos de Inglis 
 
La fractura de un cristal perfecto se puede manipular teóricamente con 
facilidad y es posible calcular la fuerza necesaria para la falla del material; sin 
embargo, los cálculos en los materiales están sobrestimados por varios ordenes de 
magnitud. La respuesta a esta discrepancia se encuentra en el desorden del 
material. A nivel microscópico el desorden significa: inclusiones, vacancias, 
fronteras de grano o componentes estructurales, estas heterogeneidades a gran 
escala reducen la variabilidad de las propiedades de los materiales. Este argumento 
da entrada a la compresión del fenómeno de la fractura y las teorías básicas de la 
mecánica de la fractura, que se basa en el crecimiento de que la existencia de 
grietas en el material se promueven las fallas por el efecto de la concentración de 
esfuerzos en la punta de la grieta. 
 
En 1913 Inglis analizó la modificación de esfuerzos en un sólido 
bidimensional debido a la presencia de defectos. Consideró una placa de 
dimensiones infinitas, con una grieta de forma elíptica con longitud 2𝑎 y ancho 𝑏, a 
 
 
 
19 
la que se la aplica un esfuerzo uniforme perpendicular 𝜎 al eje mayor de la elipse y 
esfuerzo 𝐴 a la punta de la grieta. Inglis asumió que el agujero no está influenciado 
por las condiciones de entorno de la placa y determinó que el esfuerzo efectivo en 
la punta de la grieta era mayor y que además este esfuerzo crecía cuando la relación 
2𝑎 𝑏⁄ aumentaba. El trabajo determinó que el esfuerzo en la punta de la grieta es: 
 
𝜎𝐴 = 𝜎 (1 +
2𝑎
𝑏
) (2.7) 
 
Donde el término 
2𝑎
𝑏
 muestra que el esfuerzo en la punta es altamente 
dependiente de la forma de la grieta [11]. 
 
 
 
Figura 2.10 Modelo de la grieta de Inglis 
 
2.3.5 Criterio de Griffith 
 
Griffith basándose en el teorema de mínima energía propuso el criterio para 
la propagación de una grieta: una grieta se propagará cuando el decremento en la 
energía de la deformación elástica es por lo menos igual a la energía requerida para 
crear una nueva grieta. Este criterio se utiliza para el cálculo de la magnitud del 
esfuerzo tensil requerido para provocar que una fisura de determinado tamaño se 
propague hasta provocar una fractura. Aplicándose sólo para materiales frágiles. 
 
 
 
 
20 
 
 
Figura 2.11 Modelo de grieta empleado por Griffith 
 
Según el criterio de Griffith el decremento en la energía de deformación es 
resultado de la formación de una grieta. La energía de deformación elástica por 
unidad de espesor de la placa está dada por la ecuación: 
 
𝑈𝐸 = −
𝜋𝑐2𝜎2
𝐸
 (2.8) 
 
En donde 𝜎 es el esfuerzo tensil sobre la fisura de longitud 2𝑐 y 𝐸 es el módulo 
de Young, el signo negativo es como consecuencia de que el aumento en el tamaño 
de la fisura disminuye la energía de deformación. 
 
La energía superficial debido a la presencia de la fisura está dada por: 
 
𝑈𝑆 = 4𝑐𝛾𝑆 (2.9) 
 
Donde 𝑐 es un medio de la longitud de la grieta y 𝛾𝑆 la energía superficial en 
𝐽𝑚−1. El cambio total en la energía potencial que es resultado de la creación de la 
fisura es: 
 
∆𝑈 = 𝑈𝑆 +𝑈𝐸 (2.10) 
 
 
 
21 
 
De acuerdo con el criterio de Griffith, la fisura se propagará si el incremento 
en la energía superficial es compensado con un decremento en la energía de 
deformación. 
 
𝑑ΔU
𝑑𝑐
= 0 (2.11) 
 
𝑑∆𝑈
𝑑𝑐
=
𝑑 (4𝑐𝛾𝑆 −
𝜋𝑐2𝜎2
𝐸 )
𝑑𝑐
 (2.12) 
 
4𝛾𝑆 −
2𝜋𝑐𝜎2
𝐸
= 0 (2.13) 
 
𝜎 = √
2𝐸𝛾𝑆
𝜋𝑐
 (2.14) 
 
La ecuación 2.14 nos sirve para calcular el esfuerzo de ruptura como una 
función del tamaño de una microgrieta dentro de un material frágil [12]. 
 
2.3.6 Mecánica de la fractura lineal elástica 
 
En esta disciplinapermite obtener una medida cuantitativa de la resistencia 
del material contra la propagación de las grietas, esta teoría se fundamenta en las 
siguientes suposiciones: 
o Las grietas son defectos microestructurales inherentes al material. 
o Una grieta se considera como una superficie libre interna y plana presente en un 
campo de esfuerzos elástico. 
 
 
 
 
 
22 
Con lo planteado anteriormente se calcula el esfuerzo en la punta como: 
 
𝜎𝑟𝜃 =
𝐾
√2𝑟𝜋
𝑓(𝜃) (2.15) 
 
Donde 𝑟𝜃 y 𝜃 son coordenadas polares, 𝐾 es el factor de intensidad de 
esfuerzos y 𝑓(θ) es una función geométrica. El crecimiento de la grieta predecida 
en términos del esfuerzo en la punta de la grieta, y la magnitud de este esfuerzo 
pude definirse mediante 𝐾 y considetando la teória de elasticida se establece la 
relación 𝐾 =∝ 𝜎√𝜋𝑎, donde 𝜎 es el esfuerzo aplicado, a es la mitad del tamaño de 
la grieta y ∝ es una constante que depende de la geometría del sistema [13]. 
 
2.3.7 Reforzamiento mecánico del vidrio 
 
Estos métodos se clasifican en dos categorías generales: métodos 
superficiales y métodos volumétricos. Los métodos superficiales incrementan la 
resistencia mecánica del vidrio alterando el estado de esfuerzos de la superficie, 
mientras que, los métodos volumétricos incrementan la resistencia mecánica 
alterando la composición y estructura del material, por ejemplo, el reforzamiento por 
transformación martensítica. En este trabajo se emplea un método superficial 
conocido como templado químico. 
 
2.3.8 Tratamiento de intercambio iónico 
 
El tratamiento de intercambio iónico (i.i.) es un templado químico que posee 
gran ventaja con respecto al templado físico ya que cualquier geometría puede ser 
empleada, además se pueden tratar materiales con espesores menores a 2 mm. 
 
El tratamiento térmico en el templado químico se lleva a cabo a temperaturas 
menores a la temperatura de transición vítrea; por lo tanto, los problemas 
 
 
 
23 
relacionados con la deformación del cuerpo no se manifiestan en este proceso. El 
intercambio iónico consiste en sustituir en la superficie iones de radio iónico 𝑟1 por 
iones de radio 𝑟2 siendo 𝑟2 > 𝑟1. Este intercambio iónico tiende a expandir la 
estructura del vidrio, esta expansión se encuentra limitada por el interior del vidrio, 
consecuentemente, la superficie del vidrio se encuentra en un estado de 
compresión. De esta manera se incrementa la resistencia a la propagación de las 
grietas y, por lo tanto, ocurre el reforzamiento mecánico del vidrio. 
 
En la Figura 2.12 se muestra cómo ocurre el intercambio iónico, siendo 
sustituido el ion sodio (Na+) que se encuentra en el material por el ion potasio (K+) 
que proviene de la sal fundida [1]. 
 
 
 
Figura 2.12 Antes y después del tratamiento de intercambio iónico 
 
2.3.9 Difusión 
 
La difusión es el movimiento de los átomos en un material. Los átomos se 
mueven de una manera predecible, tratando de eliminar las diferencias de 
concentración y de producir una composición homogénea y uniforme. El movimiento 
de los átomos es importante para muchos de los tratamientos que se llevan a cabo 
 
 
 
24 
sobres los materiales. La difusión es necesaria para el tratamiento térmico de los 
metales, la manufactura de cerámicos, la solidificación de los materiales, fabricación 
de celdas solares y transistores, entre otros. 
 
La difusión por vacancia es el movimiento de átomos cuando un átomo deja 
una posición normal en la red, para llenar una vacancia en el cristal [14]. El número 
de vacancias se incrementa al aumentar la temperatura, ahí es cuando se da el 
fenómeno de intercambio de iones que tiene como resultado la modificación en 
algunas de las propiedades de los materiales. 
 
2.4 Estado de la ciencia 
 
En 2015 Yadav et al estudiaron las características fractales de superficies de 
BaF2 nanoestructurada por medio de inducción de iones pesados, dicha superficie 
se depositó sobre silicio cristalino en el plano [111], se irradiaron las superficies con 
iones Ag9+ entre 80 y 120 𝑚𝑒𝑉 para modificar la morfología a escala nanométrica. 
Por medio de MFA en la modalidad intermitente, se obtuvieron topologías de las 
superficies nanoestructuradas. Por medio de la ventana de ancho variable se 
analizaron las superficies tratadas. Ellos demostraron que el exponente de 
rugosidad aumenta conforme aumenta la energía de radiación, siendo el mayor 
valor para dicho exponente 0.2 para 80 𝑚𝑒𝑉 y 0.6 para 120 𝑚𝑒𝑉 [15]. 
 
En 2015 Bohumír et al estudiaron la superficie de fractura de especímenes 
de acero X70, específicamente tubos que fallan súbitamente, ellos emplearon 
análisis autoafin ya que la rugosidad variaba según el tamaño de barrido usando un 
rogosímetro, aunque no reportan la longitud de correlación sí obtuvieron un 
exponente de rugosidad de 0.8, lo cual concuerda con lo esperado [16]. 
 
Ese mismo año Cambonie et al analizaron el efecto de la porosidad en la 
rugosidad de materiales sinterizados empleando autoafinidad, con el fin de 
desentrañar cómo la microestructura afecta la rugosidad de la superficie de la 
 
 
 
25 
fractura en sólidos frágiles heterogéneos como rocas o cerámicos, caracterizaron 
las estadísticas de rugosidad de las superficies de fractura postmortem en 
materiales caseros a escala de longitud de microestructura, y midieron la porosidad 
obtenida al sinterizar pequeños pellets de poliestireno monodisperso y baquelita de 
uso casero. Ellos demostraron que en el caso en el que los poros son mayores a 
las heterogeneidades (granos, esferulitas) la longitud de correlación es del orden de 
dichos poros, en los materiales con poros más pequeños dicha longitud es del orden 
de los granos sinterizados; ellos reportan un exponente de rugosidad de 0.7 el cual 
es independiente de la porosidad [17]. 
 
En 2016 Ponson et al presentaron los resultados de una investigación de la 
rugosidad de grietas intergranulares en los sólidos bidimensionales. Caracterizaron 
las propiedades estadísticas de una serie de grietas quebradizas en situaciones 
donde la escala característica de daño es mucho menor que el tamaño del grano. 
Demostraron que las trayectorias de las fisuras presentan propiedades de 
escalamiento autoafin caracterizadas por un exponente de rugosidad  = 0.50 ± 
0.05, sus hallazgos apoyan la descripción del proceso de rugosidad en los sólidos 
desordenados quebradizos bidimensionales por una grieta aleatoria y arroja luz 
sobre el origen de los exponentes anormalmente grandes  = 0.6, 0.7 medidos 
previamente en especímenes fracturados en 2D, ya que ellos suponen que las 
muestras analizadas presentan deformación bidimensional [18]. 
 
En 2014 Takuya et al simularon los cambios de flujo de corrientes de agua 
en el proceso de fractura de rocas con distribución heterogénea de apertura, luego 
compararon esos resultados con los resultados experimentales. Para corroborar si 
sus modelos eran o no predictivos, estudiaron las fracturas obtenidas por los flujos 
de agua y las fracturas reales, obteniendo un exponente de rugosidad de 0.5 para 
las fracturas reales y de 0.7 para las fracturas sintéticas, los perfiles de fractura los 
extrajeron por medio de microscopia electrónica de barrido (MEB) y análisis de 
imágenes [19]. 
 
 
 
 
26 
Yi Jin et al en 2016 proponen el concepto de flujo de fractura, en donde la 
facilidad de la propagación de fractura viene dada por algo que ellos denominan 
permeabilidad, de acuerdo a su modelo, la rugosidad de una superficie de fractura 
viene dada por tres efectos combinados que ellos denominan tortuosidad de la 
superficie, tortuosidad hidráulica y factor de rugosidad estacionario. La suma de 
estos tres efectos siempre da como resultado 4(-1) [20]. 
 
En 2017 Jean-Benoit Kopp y Jean Schmittbuhl propusieron un modelo 
dinámico basado en autoafinidad, emplearon perfilometría de superficies defractura 
de caucho a dos resoluciones distintas, a gran escala utilizando un perfilómetro 
opto-mecánico de 10 𝜇𝑚 hasta 25 𝑚𝑚, y a baja escala utilizando un microscopio 
óptico interferométrico desde 0.195 micras hasta 0.48 𝑚𝑚. Ellos obtuvieron un 
modelo que incluye el exponente de rugosidad y un factor que ellos denominan 
topothesy, el modelo dinámico simula superficies de fractura con perfiles que 
concuerdan con los experimentales, ya que se introduce en la ecuación el valor del 
exponente de rugosidad deseado [21]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
CAPÍTULO 3 
MATERIALES Y MÉTODOS 
3.1 Introducción 
En esta sección se presentan los materiales y reactivos usados, las técnicas 
empleadas para la determinación de campos de esfuerzo en vidrio sódico cálcico, 
además, las condiciones experimentales para realizar el intercambio iónico que 
reforzó el vidrio para su estudio en este proyecto. 
 
La técnica utilizada para lograr la determinación de los campos de esfuerzo 
fue dada por microscopía de fuerza atómica (MFA), que de la mano con el análisis 
de ventana de ancho variable se determinó la longitud de correlación y el perfil de 
durezas fue obtenido por medio de nanoindentación (NI). 
 
3.1.1 Reactivos 
 
Se utilizó nitrato de potasio (KNO3) como reactivo para el tratamiento de 
intercambio iónico. Este reactivo se compró a la compañía Sigma-Aldrich. 
 
3.1.2 Material de laboratorio 
 
Se utilizó vidrio sódico cálcico el cual se emplea como portaobjetos en 
laboratorios industriales y de investigación científica [22]. Cubeta de tratamiento, 
pinzas para vaso, vaso de precipitado de 500 mL, vaso de precipitado de 1 L, vidrios 
de 25 mm x 75 mm y espesor de 1 mm, cortadora de vidrio con punta de diamante. 
 
 
 
 
 
28 
3.1.3 Equipos 
 
Horno tipo mufla Thermolyne F1500, nanoindentador TI 950 TriboIndenter. 
 
Este equipo de nanoindentación tiene la versatildiad de funcionar como MFA 
y nanoindentador, por lo que veremos que el procedimiento de la preparación de las 
muestra es el mismo para los ensayos. 
 
3.2 Métodología 
 
 
 
3.2.1 Tratamiento de intercambio iónico 
 
Para el experimento se siguieron una serie de pasos que se detallan a 
continuación. 
 
Se limpiaron los vidrios a tratar con agua tibia y jabón para eliminar los aceites 
de corte y la suciedad que traen adheridos. 
 
 
Reforzamiento
del vidrio (i.i.)
Obtención del 
perfil topográfico 
(MFA)
Obtención del 
perfil de durezas
(NI)
Cálculo del 𝜁, 𝜉 y 
𝜎
 
 
 
29 
 
 
Figura 3.1 Imagen de un portaobjetos 
 
Los vidrios se introdujeron en el recipiente metálico porcelanizado que 
contenía sal de nitrato de potasio (KNO3) hasta 2 cm de la base del vidrio, siempre 
dejando un vidrio dentro de la mufla para ser utilizado como referencia sin el proceso 
de intercambio iónico. 
 
 
 
Figura 3.2 Sal de potasio en el recipienete Figura 3.3 Inicio del tratamiento 
 
Se programó el horno tipo mufla Thermolyne F1500 con una rampa de 
calentamiento de 1 °C/min, la cual consistió en tres etapas. La primera etapa, 
calentamiento gradual hasta la temperatura de tratamiento. La segunda etapa 
consistió en mantener la temperatura de permanencia que fue de 400 °C durante el 
tiempo del experimento. Finalmente, una tercera etapa que fue sacar el vidrio del 
baño con sal y dejarlo enfriar dentro de la mufla hasta 40 ºC, programando la mufla 
para alcanzará esa temperatura. 
 
 
 
30 
 
 
Figura 3.4 Curva del tratamiento 
 
Una vez tratado y enfriado el vidrio se procedió a lavarlo con agua tibia para 
eliminar los restos de sal adheridos a su superficie. Después del lavado y secado 
se procedió a su análisis. 
 
3.2.2 Perfil topográfico MFA 
 
La microscopia de fuerza atómica es una técnica utilizada en el análisis de 
superficies [22], con la ventaja de que puede ser utilizado para analizar diferentes 
tipos de materiales, ademas de ser una técnica no destructiva, siendo así una de 
las técnicas mas utilizadas en el estudio de los materiales. 
 
El principio de esta ténica se basa en las fuerzas de atracción o repulción 
entre una punta y una muestra, punta la cual sondea la superficie de la muestra que 
se quiere analizar provocando una deflexión, que es registrada por un detector. Las 
deflexiones permiten a una computadora con ayuda de un software a construir un 
mapa topográfico de la superficie [23]. 
 
El estudio fractométrico consiste en la extracción de los datos numéricos de 
la topografía de la superficie de fractura, esto es, la extracción de perfiles de alturas. 
0 10 20 30 40 50
50
100
150
200
250
300
350
400
enfriamiento
tiempo de permanencia
T
e
m
p
e
ra
tu
ra
 (
ºC
)
Tiempo (hr)
 
 
 
31 
 
 
Figura 3.5 Perfil de alturas extraído de una imagen de MFA 
 
Para la obtención del mapa topográfico se montó la muestra con un 
pegamento comercial sobre un portamuestras metálico circular, esto con la finalidad 
de que la muestra estuviera en una posición totalmente alineada y que no se 
presentaran diferencias de alturas que el equipo puediera registrar pudiendo no 
llevarse acabo la medición, el área que se midió fue una de las caras del vidrio. 
 
Una vez que la muestra fue montada y que no se observaran burbujas 
creadas por el pegamento en el portamuetras, con ayuda de un experto en la 
operación del equipo de nanoindentación TI 950 TriboIndenter, la muetra se ingresó 
para buscar la zona especular de fractura donde se pleneó hacer el barrido de la 
topográfia de la muestra. 
 
3.2.3 Dureza mediante nanoindentanción 
 
La nanoindentación o indentación instrumentada consiste en medir el 
desplazamiento que es la profundida de penetración del indentador en función de la 
carga aplicada durante el ensayo. Esta ténica nos permite medir la deformación 
plástica y elástica del material que se quiere analizar, además la curva generada 
por la carga y la profundidad nos permite determinar directamente la dureza y 
módulo elástico de la superficie. 
 
 
 
 
32 
 
 
3.6 Curva de carga aplicada vs penetración 
 
El cálculo de la dureza es determinada por la siguiente ecuación: 
 
H =
Fm
Ap
 (3.1) 
 
Donde la carga máxima aplicada, Fm, es obtenida apartir de la curva carga 
vs penetración y el área de contacto proyectada, Ap, es determinada a partir de la 
profundidad del contacto cuando se da la carga máxima aplicada. 
 
El cálculo del módulo elástico reducido es obtenido a partir de la rigidez del 
contacto, S, que es la pendiente de la curva de descarga y el área de contacto 
proyectada, Ap, y de una contante β que dependen de la geometría del indentador 
[24]: 
 
Er = (
√π
2β
)(
S
Ap
) (3.2) 
 
 Esta ténica presenta ventajas muy importantes en comparación con otras 
técnicas utilizadas para medir la dureza, entre las que destacan la aplicación de 
cargas bajas, la obtención de la profundidad de penetración, la gran resolución que 
muestra para el posicionamiento del área a medir, la determinación de la dureza 
apartir de la curva de carga vs penetración descrita con la ecuación 3.1, así como 
 
 
 
33 
la combinación con la MFA que ayuda a estudiar la topografía del material en 
estudio. 
 
Para la obtención de los datos de dureza se montó la muestra con un 
pegamento comercial sobre un portamuestras metálico circular, esto con la finalidad 
de que la muestra estuviera en una posición totalmente alineada y que no se 
presentaran diferencias de alturas que el equipo puediera registrar pudiendo no 
llevarse acabo la medición. 
 
Una vez que la muestra fue montada y que no se observaran burbujas 
creadas por el pegamento en el portamuetras, con ayuda de un experto en la 
operación del equipo de nanoindentación TI 950 TriboIndenter, la muetra se ingresó 
para buscar la zona donde se pleneó hacer las nanoindentaciones. 
 
El realizaron nanoindentaciones en unárea de 30 m x 30 m, una carga 
máxima de 2 mN y se utilizó una punta de tamaño nanométrico y de geometría 
piramidal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
CAPÍTULO 4 
RESULTADOS Y DISCUSIÓN 
4.1 Introducción 
 
El presente capítulo describe el análisis realizado para la determinación de 
los campos de esfuerzo en vidrio sódico cálcico, dividido en dos principales estapas: 
En primer lugar, apartir de los mapas topométricos de MFA el análisis autoafin por 
medio del metodo de ventana de ancho variable para el cálculo del exponente de 
rugosidad y la longitud de correlación; segundo, los resultados obtenidos por la 
técnica de nanoindentación para la determinación de los campos de esfuerzo. 
 
4.2 Análisis autoafin 
 
Una vez obtenido el perfil de alturas y antes de ser analizado 
estadísticamente debe ser tratado matemáticamente. En términos matemáticos el 
tratamiento del perfil consiste en lo que se denomina "aplanar" el perfil. Para aplanar 
el perfil se elimina la tendencia de éste, para lograr lo anterior se le extrae una línea 
recta del perfil, esta línea se calcula estadísticamente mediante el método de 
mínimos cuadrados, posteriormente se elimina la pendiente de esta línea y el 
resultado es un perfil sin tendencia, la Figura 4.1 ilustra este proceso, en donde la 
curva en color rojo (superior) y su correspondiente línea recta pertenecen a un perfil 
con tendencia, mientras que el perfil en color negro (inferior) corresponde a un perfil 
aplanado sobre el cual se realiza el análisis autoafin, este análisis se realizó 
mediante el método de ventana de ancho variable el cual ha sido probado con éxito 
por Schmittbul [25] y otros científicos. 
 
 
 
 
35 
 
 
Figura 4.1 Eliminación de la tendencia de un perfil de alturas 
 
Experimentalmente el análisis se realizó alimentando los datos del perfil con 
el software MatLab, que calcula el momento estadístico de orden infinito de 𝑍𝑚𝑎𝑥 
para cada tamaño de ventana, los datos de salida de este programa se introducen 
en un gráfico tipo 𝑙𝑜𝑔 − 𝑙𝑜𝑔 como el mostrado en la Figura 2.4, en esa figura se 
aprecian los parámetros autoafínes  y . 
 
Posteriormente se procedió a realizar el análisis estadístico mediante el 
método de ventana de ancho variable, esto con el fin de elucidar el papel del 
intercambio iónico sobre los parámetros autoafines de la superficie de fractura, 
exponente de rugosidad  y longitud de correlación . 
 
En investigaciones precedentes se reporta que la longitud de correlación es 
igual en magnitud al tamaño de las mayores heterogeneidades presentes en la 
microestructura del material. Ya que el vidrio carece de microestructura, en esta 
investigación se propone que para estos materiales la longitud de correlación  está 
relacionada con el estado de esfuerzos del material, lo anterior se logró demostrar 
mediante el análisis autoafin realizado sobre la superficie de fractura en el vidrio con 
y sin tratamiento de intercambio iónico. 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
 
 
 Perfil original
 Línea de ajuste
 Perfil corregido
 (sin tendencia)
 Línea de ajuste
A
lt
u
ra
 (
m
ic
ró
m
e
tr
o
s
)
Longitud en X (micrómetros)
 
 
 
36 
Al graficar logarítmicamente 𝑍𝑚𝑎𝑥 𝑣𝑠 𝑟 se cuantificó el exponente de 
rugosidad  y el límite superior de la conducta autoafin, es decir, la longitud de 
correlación . Los resultados de este análisis demuestran que este tratamiento no 
afecta el valor del exponente de rugosidad, se obtuvo un valor 0.8 para ambos 
vidrios, este comportamiento universal es reportado en diferentes materiales. Como 
se esperaba la longitud de correlación  presentó una variación en relación directa 
con el tratamiento de intercambio iónico, siendo en el vidrio sin reforzamiento un 
valor aproximado a 2.8, mientras que en el vidrio reforzado fue de 0.8. 
 
La Figura 4.2 presenta una curva autoafín para vidrio sin tratamiento de 
intercambio iónico, mientras que la Figura 4.4 presenta la curva característica de 
vidrio reforzado mediante intercambio iónico. El efecto colectivo de los defectos 
puntuales introducidos en el material debido al tratamiento de intercambio iónico 
alteró el estado de esfuerzos de compresión que interactúan con el campo de 
esfuerzos de tensión existente en la punta de las microgrietas superficiales del vidrio 
alterando entonces la longitud de correlación. 
 
 
Figura 4.2 Curva de autoafinidad para el vidrio sin tratamiento 
 
0,1 1 10
100
1000
sin tratamiento
0.81
Z
m
a
x
(r
),
 u
.a
.
r(m)
2.78 
 
 
 
37 
 
 
Figura 4.3 Imagen de MFA 30 x 30 m para el vidrio sin intercambio iónico 
 
 
Figura 4.4 Curva de autoafinidad para el vidrio con tratamiento 
 
0,01 0,1 1 10
100
1000
10000
con intercambio iónico
0.79
Z
m
a
x
(r
),
 u
.a
.
r (m)
0.80 
 
 
 
38 
 
 
Figura 4.5 Imagen de MFA 30 x 30 m para el vidrio con intercambio iónico 
 
Cada una de las curvas de las figuras 4.2 y 4.4 son curvas promedio de 256 
perfiles de superficie de fractura. Los resultados de este análisis concuerdan con 
los de otros investigadores referentes a la descripción cuantitativa del fenómeno de 
fractura en materiales heterogéneos [26,27,28]. 
 
4.3 Perfil de dureza 
 
Para la obtención del perfil de durezas se realizaron nanoindentaciones en 
un área de 30 m x 30 m, una carga máxima de 2 mN y se utilizó una punta de 
tamaño nanométrico y de geometría piramidal. 
 
 
 
 
39 
 
 
Figura 4.6 Huella de nanoindentación 
 
En el perfíl de durezas (Figura 4.7) se puede observar como se tiene una 
mayor dureza en el vidrio con intercambio iónico, cuando las pruebas de 
nanoindentación se hacen cerca de la orilla del vidrio, conforme se van 
incrementado la distancia a la cual se hace el ensayo, se aprecia una notable 
dismunución de la dureza, esto ocurre en los dos vidros. 
 
Lo mas importante en este ensayo es cuando la dureza empieza a mostrar 
una tendencia a ser constante, el vidrio con intercambio iónico se observa que 
aproximadante a 0.8 m la dureza empieza a ser constante, mientras que en el 
vidrio sin intercambio se puede apreciar que es al rededor de 2.75 m cuando se 
registra esa constancia. 
 
 
 
40 
 
Figura 4.7 Perfil de dureza del vidrio con y sin intercambio iónico 
 
 
En la Figura 4.7 se pueden observar las curvas teóricas de dureza en dos 
diferentes procesos de reforzamiento de vidrio, en ella se puede apreciar el campo 
de esfuerzos obtenido por templado físico, en la otra, el campo de esfuerzos 
obtenido por medio de intercambio iónico. 
 
La pérdida de dureza se debe a que la difusión de los iones no se da de 
manera homogénea; es decir, hay una distribución y la concentración no es lineal, 
esto es corroborado con el cálculo del coeficiente difusión para este sistema [1]. 
 
Los resultados obtenidos los análisis de autoafinidad como de dureza, 
demuestran que el valor de la longitud de correlación tanto del vidrio reforzado, 
como la del no reforzado, coinciden con la distancia en la que la dureza muestra 
una contante conforme se va aumentado dicha distancia. Es en esta parte donde 
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
64
66
68
70
72
74
76
 Con intercambio iónico
 Sin intercambio iónico
D
u
re
z
a
 (
G
P
a
)
Distancia (m)
 
 
 
41 
podemos asegurar que el campo de esfuerzos de compresión generados por el 
reforzamiento de intercambio iónico coincide con la longitud de correlación de los 
dos sistemas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
CAPÍTULO 5 
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 
El análisis de autoafinidad para el vidrio reforzado mediante intercambio 
iónico muestra una exponente de rugosidad de 0.79 y una longitud de correlación 
de 0.80 m, mientras que para el vidrio sin reforzamiento se obtuvo un exponente 
de rugosidad de 0.81 y una longitud decorrelación 2.78 m. 
 
Los exponentes de rugosidad obtenido de los dos vidrios concuerdan con el 
valor universal reportado para la propagación de grietas, bajo condiciones de 
propagación muy elevada y/o a longitudes en la escala del orden de micrómetros. 
 
Los valores de la longitud de correlación de 0.8 m y 2.78 m, para los 
vidrios con intercambio iónico y sin intercambio iónico respectivamente, coinciden 
con los valores de la distancia en la curva experimental del perfil de dureza del 
vidrio, lo cual nos asegura que los campos de esfuezo de compresión que fueron 
generados por el reforzamiento de intercambio iónico corresponde a estas 
longitudes de correlación, y demostra que estos defectos puntuales se comportan 
como una heterogeneidad en la propagación de la fractura en un material amorfo. 
 
La hipotesis se cumple aunque se sugiere seguir trabajando para aportar 
datos que ayuden a comprender de una mejor manera el comportamiento de las 
fracturas en el vidrio, los estudios que se sugieren son: 
• Cuantificar la concentración de K+ conforme avanza la difusión hacia el interior 
del material 
• Medir la emisión acustica de la fractura del vidrio con distintos tratamientos y sin 
tratamiento 
• Medir la tensión superficial del vidrio con dififerentes tratamientos y relacionarla 
con diferentes parametros como la emisión acustica, la longitud de correlación y 
la dureza en la superficie 
 
 
 
 
43 
REFERENCIAS 
 
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vidrio sódico-cálcico por intercambio iónico” (Tesis de licenciatura). Facultad de 
Ciencias Químicas UANL, San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México (2013) 
[2] K.O. Kese, Z.C. Li, B. Bergman, “Influence of residual stress on elastic modulus 
and hardness of soda-lime glass measured by nanoindentation”, Journal Materials 
Reserach, 19, 3109-3119 (2004) 
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properties of fracture surfaces on glass strengthened by ionic exchange”, Applied 
Surface Science, 5, 1471-1474 (2007) 
[4] L. Chavez Guerrero, F.J. Garza, M. Hinojosa, “Scaling exponents for fracture 
surfaces in opal glass”, Materials Science and Engineering, 24, 6474-6477 (2010) 
[5] L.D. García, F.J. Garza Méndez, S.M. de la Parra Arciniega, “Strength 
enhancement of soda-lime silica glass using ion exchange process”, Revista 
Mexicana de Ingeniería Química, 15, 633-642 (2016) 
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de materiales” Revista Ingenierías, 1, 15-21 (1998) 
[7] D.A. Martínez Hernández, “Propiedades de escalamiento de las superficies de 
fractura del concreto” (Tesis de ingeniería). Facultad de Ingeniería Mecánica y 
Eléctrica UANL, San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México (2005) 
[8] B.B. Mandelbrot, “How long is the coast of Britain?” Statistical Self-Similarity and 
Fractional Dimension, 156, 636 (1967) 
[9] F.J. Garza Méndez, “Modelación geométrica de nucleación y crecimiento de 
polímeros” (Tesis de doctorado). Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica UANL, 
San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México (2005) 
 
 
 
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[10] D.R. Askeland, P.P. Phulé, “Ciencia e ingeniería de los materiales” International 
Thomson Editores, 4ta Edición, Capítulo 6: Propiedades y Componentes 
Mecánicos, 231-304 (2004) 
[11] C.E Inglis, Transactions of the Institution of Naval Architects, 55 (1913) 
[12] S. Sarment Moreno, “Obtención y medición de la resistencia mecánica de vidrio 
ópalo reforzado con circonia” (Tesis de licenciatura). Facultad de Ciencias Químicas 
UANL, San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México (2011) 
[13] D.D. Aguirre Morales, “Estudio del crecimiento subcrítico de grietas en papel: 
análisis estadístico y correlación por emisión acústica” (Tesis de maestría). Facultad 
de Ingeniería Mecánica y Eléctrica UANL, San Nicolás de los Garza, Nuevo León, 
México (2011) 
[14] D.R. Askeland, P.P. Phulé, “Ciencia e ingeniería de los materiales” International 
Thomson Editores, 3ra Edición, Capítulo 5: Movimiento de los átomos en los 
materiales, 105-125 (1998) 
[15] R. P. Yadav, “Fractal and multifractal characteristics of swift heavy ion induced 
self-affine nanostructured BaF2 thin film surfaces”, Chaos, 25, 1054-1060 (2015) 
[16] S. Bohumír, H. Kunio, S. Pavel, “Evaluation of cracking behavior of pipeline X70 
steel from broken specimens, Metal, 3, 125-131 (2015) 
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of the porosity on the fracture surface roughness of sintered materials: From 
anisotropic to isotropic self-affine scaling”, Physical Review E, 91, 1-10 (2015) 
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fracture of two-dimensional disordered solids as a random walk”, APS, 123, 10-16, 
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with heterogeneous aperture distributions revealed by laboratory evaluation” Journal 
of Geophysical Research, 1- 19 (2014) 
 
 
 
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through self-affine rough fractures”, International Journal of Heat and Mass Transfer, 
443-451 (2016) 
[21] J.B. Kopp, J. Schmittbuhl, “A self-affine geometrical model of dynamic RT-
PMMA fractures: implications for fracture energy measurements”, Int. J. of Fracture, 
(2017) 
[22] H. Arribart, D. Abriou, “Ten years of atomic microscopy in glass research”, 
Ceramics Silikaty, 44, 121-128 (2000) 
[23] L. Ortiz Rivera, “Autoafinidad de superficies en termoplásticos cristalizados 
isotérmicamente” (Tesis de doctorado). Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica 
UANL, San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México (2007) 
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módulo de elasticidad en materiales de ingeniería utilizando la técnica de 
indentación instrumentada y de ultrasonido”, Revista de Metalurgia, 44, 52–65 
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Rev., 51, 131-144 (1995) 
[26] M. Hinojosa, E. Bouchaud, B. Nghiem, “Long distance roughness of fracture 
surfaces in heterogeneous materials”, MRS Symp. Proc., 539, 203-208 (1999) 
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on the fracture surface of plastic materials by afm”, Mat. Res. Soc. Symp. Proc., 578, 
357-361 (2000) 
[28] J. Aldaco, F.J. Garza, M. Hinojosa, “Long distance surface roughness of fracture 
surfaces on a dendritic aluminum alloy”, MRS Symp. Proc. Vol., 578, 351-356 (1999) 
	AGRADECIMIENTOS
	RESUMEN
	LISTA DE TABLAS
	LISTA DE FIGURAS
	abreviaturas
	NOMENCLATURA
	CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
	1.1 Introducción
	1.2 Antecedentes
	1.3 Análisis crítico de la literatura
	1.4 Aportación científica
	1.5 Hipótesis
	1.6 Objetivo general
	1.7 Objetivos especificos
	CAPÍTULO 2 FUNDAMENTO TEÓRICO
	2.1 Introducción
	2.2 Fractales
	2.2.1 La geometría fractal
	2.2.2 Dimensión Hausdorff
	2.2.3 Dimensión Topológica
	2.2.4 Autosimilitud
	2.2.4.1 Autoafinidad
	2.2.5 Efecto Richardson
	2.3 Mecánica de fractura
	2.3.1 Fractura dúctil
	2.3.2 Fractura frágil
	2.3.3 Fractura en materiales no metálicos
	2.3.4 Distribución de esfuerzos de Inglis
	2.3.5 Criterio de Griffith
	2.3.6 Mecánica de la fractura lineal elástica
	2.3.7 Reforzamiento mecánico del vidrio
	2.3.8 Tratamiento de intercambio iónico
	2.3.9 Difusión
	2.4 Estado de la ciencia
	CAPÍTULO 3 MATERIALES Y MÉTODOS
	3.1 Introducción
	3.1.1 Reactivos
	3.1.2 Material de laboratorio
	3.1.3 Equipos
	3.2 Métodología
	3.2.1 Tratamiento de intercambio iónico
	3.2.2 Perfil topográfico MFA
	3.2.3 Dureza mediante nanoindentanción
	CAPÍTULO 4 RESULTADOS Y DISCUSIÓN
	4.1 Introducción
	4.2 Análisisautoafin
	4.3 Perfil de dureza
	CAPÍTULO 5 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
	REFERENCIAS