biología humana

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Ana Millán Gasca – El ideal de la matematización («Arbor» 606 (1996): 79-102) 1 
 
El “ideal de la matematización”: 
la aplicación de las matemáticas 
a las ciencias biológicas, humanas y sociales 
 
 
Ana Millán Gasca 
 
Resumen 
 
El concepto contemporáneo de investigación en matemática aplicada se basa en 
un modo característico de entender la relación entre las matemáticas y la realidad 
centrado en la noción de modelo y la metodología de modelización. La idea de 
modelización matemática, cuyo origen está unido a las importantes transformaciones 
experimentadas por las mátemáticas a principios del siglo XX y a la crisis del 
determinismo de la física matemática clásica, ha producido una explosión de 
aplicaciones de las matemáticas a muy diversos campos de la ciencia y de la 
tecnología. En particular, se han desarrollado sectores autónomos de investigación en 
economía matemática, en biomatemática y en psicología y sociología matemática. Los 
primeros esfuerzos para aplicar las matemáticas más alla de las ciencias físicas se 
remontan sin embargo a los siglos XVII y XVIII; numerosas contribuciones más o 
menos sistemáticas se han sucedido desde entonces, acompañadas de una vivaz 
discusión filosófica y epistemológica. 
 
 
 Indice 
 
1. De la matemática práctica a la matemática aplicada 
2. La extensión del paradigma cuantitativo fuera de las ciencias 
físicas 
 3. El origen de la modelización matemática 
 
 
 
 
 
1. De la matemática práctica a la matemática aplicada 
 
En las antiguas culturas prehistóricas, en las grandes civilizaciones de la Antigüedad, en 
las diversas culturas más o menos avanzadas técnicamente de la historia de la 
humanidad, es posible encontrar huellas de ideas sobre la cantidad, la medida y la 
configuración espacial: ejemplos, con diferente grado de elaboración, de lo que hoy 
 
Ana Millán Gasca – El ideal de la matematización («Arbor» 606 (1996): 79-102) 2 
entendemos por ideas matemáticas. El concepto más generalizado en el mundo 
occidental de matemática como saber teórico y modelo del razonamiento exacto es sin 
embargo una herencia intelectual de la cultura griega, y constituye una parte 
fundamental de su aportación tan profundamente original. En las tradiciones culturales 
precedentes el aspecto especulativo, y más aún deductivo, de las matemáticas no 
aparecía salvo en formas poco netas. Los cálculos y procedimientos geométricos y 
aritméticos eran parte integrante de un gran conjunto de actividades, como los 
intercambios comerciales, la administración y la exacción de impuestos, las técnicas de 
construcción, la elaboración del calendario y la astronomía. Se trataba 
fundamentalmente de una matemática práctica, cuyo arte se transmitía en el seno de las 
diversas profesiones, fueran escribas, agrimensores, sacerdotes o mercantes: un caudal 
de conocimientos que — como ha mostrado la historiografía reciente —, superando las 
barreras culturales, lingüisticas y geográficas, constituyó una tradición que perduró con 
gran vitalidad antes y después del auge y decadencia de la matemática deductiva griega. 
El hombre, más allá de sus preocupaciones más inmediatas y cotidianas, se 
complace en la actividad artística como en la reflexión y en los desafíos intelectuales, 
también en la esfera matemática. Buena prueba de ello la dan, en la civilización 
mesopotámica, los escribas del periodo paleobabilónico (1900-1600 a. C.), una época 
en la que quizá una mayor importancia atribuida al papel del individuo contribuyó a 
estimular el interés por actividades que rompían la monotonía de las tareas burocráticas 
y permitían distinguirse entre los propios ‘colegas’, como la composición de textos 
literarios y los ejercicios de habilidad matemática. Los restos escritos conservan la 
huella de problemas cada vez más complicados, relacionados con los habituales 
problemas prácticos pero cada vez menos realistas; estos problemas servían además 
para permitir a los aprendices ejercitar los conocimientos en las escuelas de escribas 
creadas en la misma época, donde que se procuraba exponer en modo más evidente, 
preciso y ordenado estas nociones fundamentales que habrían de servir en la futura 
actividad. Este estudio y ejercicio de la matemática con un voluntario alejamiento del 
contexto práctico real más inmediato es un embrión de lo que se suele llamar 
 
Ana Millán Gasca – El ideal de la matematización («Arbor» 606 (1996): 79-102) 3 
matemática pura. Pero éste y otros ejemplos distan mucho del espíritu con el que, en 
Grecia, se estudiaban y se concebían las matemáticas — las cuatro mathémata, o 
doctrinas que aprendía quien se iniciaba al pitagorismo, ennumeradas por Arquitas, 
aritmética, geometría, música y astronomía —, esto es, como saber teórico de grado 
superior a los conocimientos comunes aplicados en la vida cotidiana, perseguido 
sistemáticamente con el único objeto de ampliarlo y perfeccionarlo y a la vez de 
deducirlo en un modo impecablemente riguroso (Høyrup 1994). 
El estudio de las figuras cónicas y de las propiedades de los números y muchos 
otros temas abstractos y sin inmediata aplicación práctica fueron objeto de máximo 
interés de los cultores de la matemática en época griega y helenística. No en vano 
Platón, para quien la matemática abría la vía al saber supremo, la dialéctica, 
consideraba que los objetos matemáticos residían en un mundo propio intermedio entre 
el mundo sensible y el mundo perfecto de las ideas. Aristóteles rechazó esta concepción 
y afirmó que las ideas y objetos matemáticos proceden por abstración de la realidad 
sensible. Aristóteles, sin embargo, no concedía un valor particular a las matemáticas en 
la exploración del mundo físico sublunar, opinión que tuvo una gran influencia sobre 
sus seguidores, especialmente en el aristotelismo medieval, que se mostró 
profundamente apegado a las explicaciones puramente cualitativas de los fenómenos 
recibidas de Aristóteles. Por otra parte Platón, que a diferencia de Aristóteles desdeñaba 
el interés y la posibilidad misma de obtener conocimiento fiable alguno del mundo 
físico corruptible y mutabile, heredó y consolidó la convicción pitagórica, envuelta en 
un misticismo esotérico, de que las matemáticas contenían la clave de la explicación del 
Universo. La mayor contribución a un efectivo estudio de fenómenos del mundo físico 
con la “lente matemática” fue debida a Arquímedes, en el III siglo a. C., quien 
desarrolló la Estática, la ciencia de los cuerpos en equilibrio, aplicando los principios de 
la geometría. Pero el camino emprendido por él tuvo escaso desarrollo sucesivo. De 
hecho, se puede constatar una tendencia acentuada a separar el corpus matemático 
griego (aritmética, geometría, armonía, astronomía), que en las universidades 
medievales de la Europa occidental correspondía al Quadrivium en la clasificación de 
 
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las artes liberales, de la tradición de matemática práctica, de cuya vitalidad dan fe los 
muchos tratados de aritmética y geometría práctica y libri d'abbaco publicados en 
epoca medieval, al uso de artesanos, comerciantes y todos aquellos que se ocupaban de 
las artes mecánicas. La gran efervescencia de mejoras y descubrimientos técnicos de la 
Alta Edad Media exigía cálculos y medidas, y producía una peculiar exigencia de 
precisión que no correspondía a la idea de rigor lógico deductivo, sino a la utilidad y 
fiabilidad práctica de los resultados en cada actividad concreta. 
La curiosidad intelectual y la apertura cultural de los estudiosos del Renacimiento 
llevó a muchos de ellos, y señaladamente a Galileo, a constatar y rechazar la división 
entre ambas esferas del saber matemático. Galileo, profesor en la Universidad de Padua, 
conocía la matemática griega, y en particular los trabajos de Arquímedes, así como los 
desarrollos sucesivos, como el álgebra;pero frecuentava también asiduamente y 
conocía las artes, artificios e inventos de artesanos y técnicos. En su obra Discorsi e 
dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attinenti alla mecanica ed i 
movimenti locali (1638), escribía que cuanto se podía ver, especialmente respecto a la 
mecánica, en el arsenal de Venecia, “daba amplio campo al filosofar de las inteligencias 
especulativas”. En la nuova forma de conocimiento que él pretendía costruir, la ciencia 
nueva, afirma E. Cassirer, al igual que no existe una ruptura neta entre mundo físico y 
mundo matemático, se abaten también las barreras entre matemática práctica o aplicada 
y matemática pura (Cassirer 1967). Las matemáticas, para Galileo, eran el núcleo 
conceptual de la indagación del mundo físico, en cuanto único criterio de verdad, pues 
el pisano negaba la diferencia entre una verdad humana imperfecta y una verdad 
revelada, afirmando que Dios ha escrito el mundo — mundo unificado, que comprende 
el mundo terrerestre junto a los cuerpos celestes — en el lenguaje matemático. Al 
mismo tiempo, Galileo mostró cómo el rigor de la matemática deductiva se podía 
extender a la mecánica, abriendo así la posibilidad de descubrir con un método racional 
los secretos que hasta entonces se pretendía “arrancar” a la naturaleza con los artificios 
técnicos o con la magia. En lo sucesivo el viejo modo de trabajo del matemático 
práctico cayó en el descrédito, y, con ello la misma denominación de “matemático”, a la 
 
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cual se prefería — hasta bien entrado el siglo XIX — la de “geómetra”, para indicar el 
nuevo modo de proceder unificado y renovado (Grattan-Guinness 1994, p. 171). 
Algunos principios fundamentales, que Galileo discute en sus escritos indicando 
que eran ya aceptados por Arquímedes, le permiten “matematizar” — analizar usando 
la lente matemática — algunos fenómenos de la Dinámica, como el movimiento de un 
cuerpo en caída libre o el de un proyectil. Se trata de obtener un método general de 
medida, un método de conocimiento, dejando atrás una pura visión práctica e 
instrumental del cálculo matemático. Para examinar un tal fenómeno mecánico es 
necesario, paradójicamente, llevar a cabo una abstracción de la realidad, difalcando gli 
impedimenti, esto es, seleccionando, en la extrema complejidad y entrelazamiento de 
factores que se presentan a nuestros ojos, aquellos que son accesorios, respecto al 
núcleo del problema. En esta esfera abstracta, en la que el tiempo y el espacio son un 
continuo geométrico uniforme, es posible obtener una descripción cuantitativa de los 
fenómenos (Israel 1996). En realidad, para seguir adelante y extender este método a 
toda la mecánica fue necesario crear un nuevo conjunto de conceptos y métodos 
matemáticos, una nueva “rama” de las matemáticas, el cálculo infinitesimal. En el año 
1788, cuando Lagrange publica su Mécanique analytique, el proceso de matematización 
de la mecánica alcanza un altísimo grado. La mecánica clásica constituye, hasta la 
actualidad, quizá el modelo fundamental de ciencia, en el sentido moderno que emerge 
en la época de la Revolución científica. Durante los decenios sucesivos, en el siglo 
XIX, este modelo se extendió a la química y a otras ramas de la física, como la teoría 
del calor, la dinámica de fluidos o la teoría electromagnética, y los éxitos sucesivos 
contribuyeron a consolidar la influencia del ideal de la matematización. 
A partir de la Revolución científica, la mecánica y en general la física matemática 
se afianzaron progresivamente como paradigma del saber, como modelo de todo 
conocimiento, de toda ciencia. Hoy en día la palabra ciencia tout-court, sin más 
apelativos, indica preferentemente, en efecto, las ciencias físicas. La discusión 
metodológica y epistemológica sobre las otras disciplinas y saberes, las otras ciencias, y 
en particular las ciencias morales y políticas — las ciencias humanas y sociales, 
 
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diríamos hoy — y las modernas ciencias biológicas y biomédicas, se ha desarrollado 
con una inevitable referencia al modelo de “cientificidad” o rigor científico de la física-
matemática y a las categorías filosóficas que éste trae a colación, sobre todo el 
determinismo, el causalismo y el finalismo. El peso enorme que el paradigma de las 
ciencias físicas ha tenido y tiene todavía en el siglo XX en el resto de las disciplinas, así 
como las reacciones a su omnipresencia e influencia, han animado un largo debate 
histórico. Obviamente, en la transferencia de este modelo existen dos aspectos 
claramente distinguibles aunque interrelacionados. El método experimental, por una 
parte, fue siendo aplicado progresivamente a todas las ciencias naturales (su difusión en 
el siglo XIX distingue a la biología moderna de los estudios precedentes sobre la vida y 
la historia natural) y se ha pretendido adaptar y difundir con mayor o menor éxito a 
disciplinas como la psicología, la sociología o la antropología. Y por otra, el paradigma 
cuantitativo, esto es, la introducción del lenguaje matemático o matematización, es 
característica hoy de la economía teórica, se manifiesta en las influyentes corrientes de 
psicología y sociología cuantitiva, y se ha extendido a amplios sectores de la 
investigación biológica y médica, como la genética, la dinámica de poblaciones, la 
epidemiología o la fisiología. Estos campos son hoy en día considerados otros tantos 
sectores de la llamada matemática aplicada, esto es, de la investigación matemática 
desarrollada modernamente en conexión con las aplicaciones. 
La relación de la investigación matemática con el estudio y el “dominio” o control 
de fenómenos y situaciones reales, presente en una forma u otra a lo largo de la historia, 
ha conocido variadas formas y experimentado transformaciones en ocasiones sutiles, en 
ocasiones rupturistas. La historiografía de las matemáticas ha mostrado en el pasado 
una preferencia por la historia de las teorías y conceptos matemáticos1, y a menudo, 
específicamente por la búsqueda del origen del corpus contemporáneo de 
conocimientos matemáticos. Recientemente ha aumentado notablemente el interés por 
los temas de la relación con las aplicaciones, a la actividad práctica y organizativa, a las 
otras ciencias, a la tecnología y la ingeniería, y por la evolución de los conceptos de 
matemática práctica y de matemática aplicada: se trata de aspectos que resultan 
 
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esclarecedores de la evolución histórica de las matemáticas y que permiten comprender 
su lugar en la historia cultural y social del mundo occidental2. En lo que sigue nos 
centraremos en el tema de la aplicación de las matemáticas a la biología y las ciencias 
humanas y sociales: expondremos las grandes líneas de la evolución histórica dibujadas 
por la historiografía reciente, con el objetivo de acercarnos al estado actual y las 
perspectivas de la investigación histórica en este campo. 
 
2. La extensión del paradigma cuantitativo fuera de las ciencias físicas 
 
La difusión de la obra de Newton y su grandiosa exposición del sistema del 
mundo ejerció una gran influencia entre los ilustrados franceses, en cuanto 
demostración rotunda de la fuerza de los argumentos racionales y de la potencia del 
conocimiento científico. La ciencia moderna se asoció durante el periodo de la 
Ilustración a los ideales de reforma de las estructuras sociales y políticas del Antiguo 
Régimen, y el hombre de ciencia se convirtió en un modelo del hombre culto capaz de 
guiar este proceso de renovación. Si la razón había de sustituirse a la tradición en la 
organización y gestión social, era legítimo y necesario aspirar a elevar el nivel de la 
ciencias morales y políticas al grado de perfecciónde la mecánica, y en particular 
introducir adecuadamente el cálculo matemático, también en las esferas social y de la 
economía política. 
Los más tempranos esfuerzos para poner en práctica esta idea, coherente con el 
espíritu del prudencia en la vida práctica y las propias convicciones que debía guiar al 
“hombre razonable”, datan de hecho del siglo XVII y fueron debidos a William Petty y 
James Graunt, entre otros autores, creadores de la aritmética política (political 
arithmetics): a través de los datos recogidos en las tablas de mortalidad, se trataba de 
establecer los fundamentos de un análisis demográfico, particularmente útil para 
estimar el valor de anualidades, pólizas de seguros y otras formas de inversión, aspectos 
importantes de la actividad socioeconómica en Inglaterra. Sobre estas bases se 
desarrollaron en el siglo XVIII en Inglaterra y Francia los principios de la matemática 
actuarial, que garantizó en adelante el rigor científico y la equidad de este tipo de 
iniciativas y se convirtió en una de las principales áreas de actividad de los estudiosos 
de matemáticas (Daston 1988). El instrumento matemático aplicado en estos análisis 
era el cálculo de probabilidades, que fue objeto de gran interés por parte de los 
matemáticos de la época, en parte precisamente en razón de estos recién descubiertos 
aspectos prácticos (que iban mucho más allá de las posibles ganancias en el juego). El 
espíritu “sistemático” característico de la cultura francesa se manifestó en un programa 
de amplias miras, formulado por Condorcet, dirigido a crear una matemática social 
 
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(mathématique sociale) capaz de guiar lógica y racionalmente las decisiones 
individuales y de proporcionar soluciones a los delicados problemas inherentes a las 
nuevas formas de organización de la vida pública nacidas de la Revolución francesa, 
como por ejemplo las votaciones en asamblea o las decisiones de los jurados populares. 
Aunque Condorcet no excluía el uso de ninguna de las técnicas matemáticas 
disponibles, consideraba el cálculo de las probabilidades el instrumento más apropiado 
en este contexto. Aun gozando del interés de los matemáticos, este último era 
considerado de rango muy inferior al cálculo por excelencia, el cálculo infinitesimal, 
cuya aplicación a diversos problemas físicos por medio de la formulación de las 
correspondientes ecuaciones diferenciales progresaba velozmente en aquella época. Y 
sin embargo, precisamente este hecho convertía al cálculo de las probalidades, a ojos de 
muchos estudiosos — en particular el propio Condorcet —, en el instrumento 
apropriado para tratar con fenómenos no estrictamente físicos, en los que parecía a 
priori insensato pretender la certeza matemática y el análisis científico en el sentido 
tradicional. La libertad característica de la esfera moral no podía encajar en los rígidos 
esquemas de la mecánica, pero podía encontrar su contrapartida gnoseológica en la 
probabilidad (Dessì 1989). Sin embargo esta opinión no era compartida por todos: en 
torno a este programa se produjeron una serie de interesantes discusiones, en las que 
subyacía el problema de la admisión del cálculo de probabilidades entre las disciplinas 
matemáticas, admisión que, como es bien sabido, no se produjo en modo efectivo hasta 
las primeras décadas del siglo XX, y ello después de profundas transformaciones del 
concepto de probabilidad, que se alejaron progresivamente del concepto clásico 
subjetivista manejado en las primeras aplicaciones sociales. 
Un ejemplo representativo de los temas que interesaban a los matemáticos 
sociales es el debate sobre la eficacia de la inoculación de la viruela como medida para 
prevenirla, que tuvo amplia repercusión entre los ilustrados europeos, a cuyos ojos 
representó un ejemplo de las iniciativas de progreso guiadas por una racionalidad 
científica: la emperatriz María Teresa de Austria hizo inocular la viruela a sus hijos en 
1768. Daniel Bernoulli desarrolló un análisis del problema con técnicas probabilistas, 
que fue criticado por D'Alembert no por sus resultados, sino por su método. En las 
primeras décadas del siglo XIX, en efecto, se produjo un progresivo y rápido descrédito 
de este enfoque. Entre sus detractores se contaban quienes, en plena reacción romántica, 
negaban la legitimidad o la utilidad de aplicar las técnicas y conceptos matemáticos a 
las ciencias morales y políticas, para las que elegían el método histórico y especulativo 
tradicional: la rígida separación entre Geisteswissenschaften y Naturwissenschaften se 
afirma sobre todo en la cultura alemana. No menor aversión era mostrada por quienes, 
aun considerando apropriada y deseable la introducción de las matemáticas, 
consideraban necesaria la aplicación del análisis matemático por medio de las 
ecuaciones diferenciales, siguiendo el modelo de la mecánica. Esta opción no podía 
 
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ciertamente basarse en la crítica de los resultados obtenidos por la matemática social, 
que eran notables, y sin duda muy superiores a las tentativas de transferir el ejemplo de 
la mecánica; sólo los presupuestos filosóficos y epistemológicos, y especialmente la 
convicción de que una verdadera ciencia debía ser construida según el modelo de la 
física matemática justificaron de hecho una tal postura (Ingrao, Israel 1990; Israel 
1993). 
Este debate, que se reflejó directamente en el contexto institucional, 
especialmente en Francia, trajo consigo varias consecuencias. Por una parte, la 
probabilidad dejó de interesar a los principales matemáticos — con la importantísima 
excepción de los matemáticos rusos —, aunque siguió siendo aplicada y desarrollada en 
el análisis de los datos de la observación (cálculo de errores), en astronomía, geodesia, 
meteorología y otros sectores de las ciencias naturales. Por otra parte, de la aritmética 
política y la matemática social persistió la convicción de que era necesario dotar a las 
sociedades modernas de un servicio y de un grupo de técnicos capaces de tratar los 
datos numéricos relativos, en primer lugar, al censo, el reclutamiento militar, la 
hacienda pública, y además al comercio, la salud pública, la justicia y la educación; y de 
que las iniciativas de reforma y mejora social debían apoyarse en tal información. La 
estadística se constituye así en sus orígenes, a principios del siglo XIX, como una 
ciencia numérica de los problemas sociales y de gobierno, por lo que, como ha puesto 
en evidencia T. Porter, a lo largo de este siglo la disciplina es en realidad una 
estadística social, desarrollada fuera del ámbito universitario, por funcionarios de la 
administración pública y reformadores inspirados por principios liberales3 (Porter 
1986). Un ejemplo muy representativo de este proceso lo ofrece la trayectoria 
profesional de Emmanuel-Etienne Duvillard de Durand, discípulo de Condorcet y 
propugnador del programa de la matemática social, que intentó vanamente ser admitido 
en la sección de ciencias físicas y matemáticas del Institut de France: el inicial apoyo de 
eminentes matemáticos como Laplace se transformó progresivamente en una completa 
oposición, justificada no por los méritos, por todos reconocidos, de Duvillard, sino por 
el alejamiento institucional y conceptual de este tipo de estudios de la comunidad 
matemática (Israel 1991). Hoy Duvillard es recordado por sus logros en la 
administración del estado y la hacienda pública en Francia, mientras que sus escritos 
matemáticos han caído en el olvido. 
Los defensores de la opción mecanicista en la matematización de las ciencias 
morales y políticas, por su parte, no obtuvieron resultados que pudieran despertar el 
interés y el respeto de los matemáticos. En el campo de la demografía, Pierre-François 
Verhulst, un discípulo de AdolpheQuetelet, propuso una ecuación diferencial de 
crecimiento de las poblaciones humanas, la ecuación logística, publicada en 1838 y que 
cayó en el olvido durante decenios. En la economía política, primero Augustin Cournot, 
y en las últimas décadas de siglo Léon Walras y Vilfredo Pareto establecieron las bases 
 
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de una teoría matemática del funcionamento del libre mercado, cuyo concepto 
fundamental era el equilibrio económico, formulado por analogía con la mecánica, y 
entendido como un estado ideal de armonía entre los agentes económicos que compiten 
entre sí. Se trata de la teoría del equilibrio económico general, que, como en el caso 
anterior, sólo en el siglo XX ha conocido un desarrollo significativo, especialmente 
desde el punto de vista de su estructura matemática. Walras, en efecto, estuvo toda su 
vida bajo el fuego cruzado de los matemáticos y de los economistas. La debilidad 
matemática de sus trabajos los exponía sin duda a la crítica, aun de quien, como Henri 
Poincaré, no consideraba sin sentido tales tentativas. 
Entre los cultivadores de las disciplinas humanísticas, por su parte, la discusión 
iniciada en época romántica sobre la relación-separación entre las ciencias de la 
naturaleza y las ciencias del espíritu seguía abierta y en plena evolución entre finales 
del siglo XIX e inicios del siglo XX. En el clima intelectual del positivismo — o 
genéricamente, del optimismo cientifista — se impone en todos los campos del saber 
un modelo encarnado por la física-matemática y un status de “cientificidad” ligado al 
método experimental y cuantitativo: en un retorno de los ideales de la Ilustración, los 
grandes éxitos de la “ciencia” por excelencia parecen la perfecta demostración de que 
sólo el conocimiento objetivo puede encauzar la impetuosa corriente de la 
modernización de las costumbres, la estructura social, la economía y la industria del 
cambio de siglo. En la articulación del concepto moderno de las otras ciencias, las 
ciencias humanas y sociales (economía, sociología, psicología, antropología), sin 
embargo, interviene también la reivindicación de una originalidad epistemológica y 
metodológica, en la que se percibe el eco de las tendencias filósoficas vitalistas y las 
vanguardias artísticas de la época (Ross 1994). 
En este mismo periodo otro gran grupo de disciplinas consolidan progresivamente 
su propio método científico, y elaboran su carácter experimental y cuantitativo. La 
elaboración y el análisis de la creciente cantidad de datos recogida por médicos, 
zooólogos, botánicos exige instrumentos apropriados; la teoría de la evolución ha 
abierto las puertas, conceptualmente, en la investigación del mundo viviente, a los 
números y al estudio dinámico de las poblaciones. La principal contribución a la 
creación de una biologia cuantitativa fue debida a Francis Galton y Karl Pearson, 
fundadores de la escuela londinense de biometría: su idea fundamental consistió en 
aplicar las técnicas matemáticas de la estadística social y la teoría del error. El ámbito 
inicial de aplicación fue el estudio de la herencia darwinista. Sin embargo, los 
biométricos ingleses pusieron a punto los conceptos básicos (inferencia, muestreo, 
estimación del error) de una estadística matemática, entendida como conjunto de 
métodos cuantitativos, basados sobre el cálculo de probabilidades, disponibles para su 
aplicación transversal a cualquier disciplina. La elección del cálculo de probabilidades 
como herramienta conceptual es una elección consciente, que constituye un retorno al 
 
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programa de la matemática social. Galton rechazaba la idea de que la investigación de 
la vida y la conducta humana debiera ser guiada por el determinismo matemático, que 
recurre al lenguaje de las ecuaciones diferenciales para expresar un principio de 
causalidad que sustituye la metafísica causalista; según él era oportuno recurrir a un 
principio más general que el de causa, el de correlación (del cual la causa sería el 
límite), que permitiría introducir en gran parte de la psicología, la antropología, la 
medicina y la sociología el tratamiento matemático (Provine 1971; Porter 1986). 
En las primeras décadas del siglo XX la escuela biométrica elaboró la “caja de 
herramientas” de la estadística, recopiladas en manuales como el libro Statistical 
methods for the research worker (1925) de Ronald Aymer Fisher. Este tipo de 
metodología matemática se convirtió, especialmente en los países de habla inglesa, en 
el ideal cuantitativo de las ciencias humanas, biológicas y sociales, en cuanto lenguaje 
de expresión y elaboración del trabajo experimental. En muchas de estas disciplinas se 
produjo en los años cuarenta y cincuenta lo que Porter ha llamado una ola de 
“entusiasmo estadístico”. En esta pasión desempeña todavía un papel importante el 
deseo de legitimación metodológica, pero también interviene un factor nuevo, esto es, 
la exigencia de resultados aplicables, que se presentó en modo muy concreto durante la 
participación de psicólogos y otros estudiosos de ciencias sociales en la organización 
bélica estadounidense durante la Segunda Guerra Mundial, y se afianzó en la posguerra 
con la difusión de los análisis econométricos, sociológicos, psicológicos, etc., en ámbito 
público y privado. Ambos factores garantizarán la institucionalización académica, en 
autonomía respecto a la investigación histórica y filosófica, de estas disciplinas. 
El enfoque biométrico, encarnado por el trabajo de Fisher, que alcanzó sus más 
notables resultados en el campo de la genética de poblaciones, no fue sin embargo la 
única vía emprendida para “matematizar” la biología, o al menos algunos amplios 
sectores de ésta. En 1917 D'Arcy Wentworth Thompson publica su libro On Growth 
and Form, que consituye un intento de aplicar consideraciones de tipo geométrico, y, 
diríamos actualmente, topológico, a la morfogénesis. En 1925 Alfred J. Lotka publica 
Elements of Physical Biology (reeditado más adelante con el título Elements of 
Mathematical Biology), en el que se abordan una serie de problemas biológicos de vario 
tipo utilizando un abanico de herramientas físicas y matemáticas, incluyendo conceptos 
termódinamicos y la formulación de ecuaciones diferenciales. En 1926 Vito Volterra 
inicia la publicación de una serie de trabajos de lo que él denomina la teoría matemática 
de la lucha por la existencia4. La intervención de Volterra en este campo está ligada a su 
defensa del reduccionismo clásico: su interés principal era mostrar que, aplicándolo con 
una cierta flexibilidad, el modelo de la física matemática clásica podía ser aplicado a la 
biología como a la economía, y convencer de que esta vía permitiría elaborar una 
biología y una economía teóricas comparables en cuanto a su rigor científico a la propia 
mecánica. Volterra se inspiraba en precedentes investigaciones en el campo de la 
 
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fisiología relativas a los sentidos, la circulación de la sangre o el movimiento de los 
animales, que, afirmaba, podía considerarse capítulos de la óptica, la acústica, la 
hidrodinámica o la mecánica de sólidos; pero pretendía desarrollar nuevos métodos 
matemáticos adecuados al problema de la interacción entre las especies, que interesaba 
a los biológos (entomólogos, zoólogos, ictiólogos) que comenzaban entonces a 
ocuparse de ecología y tocaba también el debate sobre el evolucionismo. Usando la 
analogía mecánica, como lo habían hecho los economistas matemáticos del siglo XIX, 
representó el conjunto de individuos de poblaciones en competición como partículas de 
una gas perfecto, que se mueven en todas las direcciones y “chocan”, según un 
principio de los encuentros que regula elsistema y dicta el resultado de la competición 
entre especies. 
El primero y más famoso esquema matemático propuesto por Volterra fue un 
sistema de dos ecuaciones diferenciales (no lineales) que describía la interacción entre 
una especie predadora y la especie de la que se alimenta en un ambiente natural 
idealizado, estable y con adecuadas condiciones de espacio, temperatura, etc. Lotka 
había introducido un sistema análogo para describir el parasitismo entre dos especies de 
insectos, motivo por el cual se habla de ecuaciones de Volterra-Lotka. A partir de este 
esquema básico se introdujeron numerosas modificaciones y variaciones: estos trabajos 
pioneros constituyen la base de la investigación biomatemática moderna (Israel 1993b; 
Kingsland 1985). Volterra desarrolló sucesivamente una “mecánica racional” y una 
“mecánica analítica” de las asociaciones biológicas, interesándose al mismo tiempo por 
la verificación en laboratorio y por medio de observaciones de la vida libre en la 
naturaleza de los resultados y leyes obtenidas matemáticamente. Este enfoque 
rígidamente determinista fue acogido con gran interés tanto entre los matemáticos como 
entre algunos de los pioneros de la ecología de diversos países; en Moscú, por ejemplo, 
encontró eco tanto entre los zoólogos como entre los matemáticos rusos que se 
ocupaban del análisis cualitativo de las ecuaciones diferenciales no lineales. Para 
Volterra, como para el geofísico ruso Vladimir Kostitzin, se trataba de una vía 
alternativa a la propuesta por la biometría inglesa y norteamericana, que evitava lo que 
consideraban la idea “descabellada” de comparar un proceso orgánico a una sucesión de 
pruebas del tipo de barajar y descubrir cartas (Israel, Millán 1993; Millán 1996). 
En 1930 el matemático ruso Andrej Kolmogorov publicó una formulación 
axiomática de la teoría de la probabilidad, conclusión excelsa de una larga tradición de 
investigación en su país, que garantizó finalmente la admision de este sector entre las 
disciplinas matematicas. Como consecuencia inmediata, también la estadística 
matemática pasó a ser considerada parte de las matemáticas y a ser cultivada en 
departamentos universitarios de matemáticas por matemáticos profesionales. La 
tradición de investigación de la estadística social y de la escuela biométrica, que se 
había expresado en la constitución de comunidades científicas e instituciones 
 
Ana Millán Gasca – El ideal de la matematización («Arbor» 606 (1996): 79-102) 13 
independientes, con una particular posición en el mundo académico y en el contexto 
social, ha condicionado en cualquier caso el mantenimiento de una cierta autonomía de 
la estadística. Como hemos visto, todavía en el periodo anterior a la Segunda Guerra 
Mundial, más alla de las barreras institucionales o de “legitimidad” matemática, eran 
detectables diferencias profundas entre dos modos de concebir la relación de las 
matemáticas con la realidad, que tenían una larga historia a sus espaldas. Y sin 
embargo, en breve esta última barrera iba a saltar, dando paso a un modo radicalmente 
nuevo de concebir este problema y a un nuevo tipo de investigación matemática. 
 
3. El origen de la modelización matemática 
 
Durante el siglo XIX emerge la figura del profesional de las matemáticas (para el que se 
recupera el término oxidado “matemático”) y se crean y consolidan en los diversos 
países y en ámbito internacional diversas iniciativas institucionales (revistas, 
sociedades, reuniones científicas) que vertebran la comunidad matemática. Las 
disciplinas matemáticas son cultivadas intensamente y desarrolladas en direcciones 
radicalmente nuevas; progresivamente, crece la convicción de la necesidad de ordenar e 
interrelacionar las teorías matemáticas, de aclarar los fundamentos lógicos de la 
disciplina y establecer criterios unánimente aceptados del rigor deductivo. El intenso 
debate sobre la fundamentación de las matemáticas entre las posiciones rivales de 
logicistas, intuicionistas y formalistas perdió rápidamente vitalidad entre los 
matemáticos — quedando reservado a los lógicos y filósofos de las matemáticas — 
después del famoso teorema de Gödel, publicado en 1931. 
Una influencia mucho más duradera para la praxis matemática tuvo el enfoque 
axiomático preconizado por David Hilbert, el cual, sin renunciar a los tradicionales 
caminos de la investigación y la creación matemática, propuso un sistema de exposición 
formal de las teorías matemáticas basado sobre objetos matemáticos completamente 
abstractos, esto es, separados de cualquier interpretación o realización intuitiva 
concreta, y rígidamente limitado en su estructura lógico-deductiva. La axiomatización, 
ejemplificada por los Fundamentos de la geometría (1899) de Hilbert y los 
Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica (1932) de su discípulo John von 
Neumann, transformó el modo de transmisión de las matemáticas, en la comunicación 
profesional y en la enseñanza; y tuvo también sus efectos en la orientación de los temas 
de investigación, y en particular en el declinar del enfoque geométrico intuitivo en favor 
de estudio de las estructuras algebraicas abstractas. La formulación axiomática mostró 
particularmente su utilidad para exorcizar los fantamas que se presentaban en la 
investigación matemática en las primeras décadas del siglo: en primer lugar, las 
paradojas de la teoría de conjuntos de Cantor, que fueron expulsadas de la teoría 
axiomática de conjuntos, lo que permitió dejar de lado, como problema exquisitamente 
 
Ana Millán Gasca – El ideal de la matematización («Arbor» 606 (1996): 79-102) 14 
lógico, las cuestiones de fundamentos; y, en segundo lugar, los aspectos de 
indeterminación introducidos en la mecánica con la teoría cuántica, y que sometidos a 
la formulación axiomática evitaban la ruptura con la mecánica clásica. En ambas 
operaciones, y especialmente en la segunda, von Neumann desempeñó un papel de gran 
importancia: la motivación de una tal estrategia era la opinión, compartida por la mayor 
parte de los matemáticos del siglo XX, de que, aún habiéndose esfumado la esperanza 
de justificar lógicamente la matemática clásica, era absurdo renunciar a ella, y a los 
útiles y elegantes resultado que había producido. 
Para von Neumann, como para Hilbert, la relación de las matemáticas con la 
física y en general con la ciencia era de fundamental importancia. Sin embargo, la crisis 
de la física matemática clásica y la introduccion de la axiomatización había modificado 
inevitablemente esta relación. En su formulación axiomática de la mecánica cuántica 
von Neumann había utilizado algunas herramientas matemáticas de una nueva rama de 
las matemáticas con un fuerte grado de abstracción, el análisis funcional. En 1944 von 
Neumann, en colaboración con el economista Oskar Morgenstern, publicó la obra 
Theory of games and economic behaviour, en la que se daba una presentación 
axiomática de algunos problemas de economía matemática basada en un nuevo 
instrumento, la teoría de juegos, que formalizaba la idea de estrategia racional 
individual. Con esta libro, que ha tenido una gran influencia en la economía matemática 
moderna, von Neumann se alejaba de la vieja fórmula de la analogía mecánica y 
mostraba la utilidad del enfoque axiomático abstracto, en el que la teoría economica se 
alejaba rápidamente de los problemas reales de partida y procedía en modo puramente 
matemático. 
En realidad, la posibilidad de usar este tipo de enfoque para superar el 
estancamiento de la teoría clásica del equilibrio económico general se había comenzado 
a explorar ya en los años Trenta. En esa misma época el ingeniero holandés Balthasar 
van der Pol, que había introducido la ecuación diferencial no lineal que hoy lleva su 
nombre para describir un dispositivo radiotécnico, defendía la utilidad de aislar y 
estudiar ésta y otras descripciones matemáticas abstractas, no necesariamentemecánicas, que podían ser aplicadas a fenómenos muy diversos entre sí, de tipo físico, 
químico, biológico o económico. Este tipo de investigaciones tendían a debilitar la 
relación ontológica entre las matemáticas y la realidad, en favor de una descripción por 
medio de un modelo matemático, es decir, un “esquema abstracto de realidades 
posibles”; la misión del matemático no era por tanto descifrar la clave matemática de la 
Naturaleza, como había preconizado Galileo, sino explorar el interior de su disciplina, 
concebida como “una reserva de formas abstractas — las estructuras matemáticas”. Las 
expresiones citadas están tomadas de Nicolas Bourbaki, nombre bajo el que firmaba sus 
escritos un grupo de matemáticos franceses, cuya influencia en los años cincuenta y 
sesenta contribuyó notablemente a difundir el nuevo enfoque algebrizante y axiomático 
 
Ana Millán Gasca – El ideal de la matematización («Arbor» 606 (1996): 79-102) 15 
en las matemáticas, centrado en torno a las estructuras matemáticas abstractas. La 
seguridad de que el matemático moderno podía recluirse en el interior de sus teorías sin 
tener que conocer o mantenerse en contacto efectivo con las aplicaciones — como 
había sido habitual entre sus antecesores — era reforzada por dos convicciones 
explícitamente descritas por Bourbaki: la primera, que, “sin que se sepa bien por qué”, 
como admitían sin temor a acusaciones de irracionalismo, como si de una preadaptación 
se tratara, ciertos aspectos de la realidad experimental encajaban en el molde de las 
formas matemáticas abstractas; y la segunda, que, aunque históricamente muchas 
teorías matemáticas tuvieran un contenido intuitivo, concreto, su eficancia potencial se 
amplificaba y se realizaba despojándolas de este contenido particular, de modo que 
pudieran recibir muchas otras interpretaciones (Israel 1996). 
El punto de vista de Bourbaki, siendo muy representativo del punto de vista de la 
comunidad matemática internacional de la segunda mitad del siglo XX, muestra que la 
idea que había sido propuesta por van der Pol, el desplazamiento de la analogía 
mecánica a la analogía matemática, acabó ganando terreno a quienes, como Volterra, 
seguían en aquellos mismos años fieles al enfoque clásico à la Fourier, es decir, 
defendían una metodología de formulación matemática de leyes de los fenómenos caso 
por caso, procediendo, todo lo más, por analogía mecánica y con una continua 
comparación con los datos de la experiencia. El zoólogo Charles Elton, el entomólogo 
Royal N. Chapman y el microbiólogo Jean Régnier compartían el punto de vista de 
Volterra. Pero el joven ictiólogo Umberto D'Ancona, yerno y colaborador de Volterra 
en sus estudios de biomatemática, escribía a éste último que, aun cuando fuera 
interesante citar las posibles confirmaciones experimentales de su teoría, ésta tenía un 
valor matemático y teórico en sí y más allá de cualquier verificación (Millán 1996). 
Aun cuando la posición de Volterra perdió adeptos rápidamente, no sería correcto 
afirmar que la posición de Bourbaki era compartida unánimemente. La escuela 
matemática rusa, por ejemplo, ha continuado en el siglo XX la tradición de interés e 
interacción entre la investigación matemática y los contextos aplicados. Esta 
circunstancia ayuda a explicar, por ejemplo, porque en Moscú se continuó a desarrollar 
el análisis de ecuaciones no lineales y a profundizar importantes problemas, como el 
caos determinista, que había sido ya considerado por Poincaré a principios de siglo pero 
fue completamente dejado de lado por los matemáticos norteamericanos y de la Europa 
occidental. Otro ejemplo importante es el de von Neumann, cuya formación e intereses 
personales, así como circunstancias como su participación en la investigación científica 
dirigida a la actividad bélica durante la Segunda guerra mundial, le mantuvieron 
siempre en estrecho contacto con las aplicaciones, físico-matemáticas en primer lugar, 
pero también, como hemos visto, en el ámbito de las ciencias sociales. Para von 
Neumann la centralidad de las matemáticas, entendidas como lenguaje abstracto, como 
esquema lógico-deductivo, constituía una salvaguardia, en una forma nueva, del 
 
Ana Millán Gasca – El ideal de la matematización («Arbor» 606 (1996): 79-102) 16 
reduccionismo, que permitía recuperar la unidad de la ciencia, incluyendo no sólo ya las 
ciencias físico matemáticas sino en general las ciencias naturales y las ciencias humanas 
y sociales. 
La distinción entre causalismo y finalismo, por ejemplo, relevante para las 
ciencias biológicas pero que desempeñó un cierto papel en la elaboración de la 
mecánica clásica, se disuelve si analizamos las dos formulaciones matemáticas 
correspondientes (la formulación newtoniana original y la llamada formulación 
variacional, presente en la citada Mécanique analitique de Lagrange), escribía von 
Neumann. Este hecho, según él, mostraba que es precisamente el substrato matemático 
el que revela la esencia de cada problema: de acuerdo con ello, el grado de 
matematización de una ciencia era el indicador de su estado de desarrollo. La 
persistencia de conceptos “metafísicos” en biología, así como el carácter elemental de 
los resultados de la economía matemática, eran para von Neumann simplemente 
consecuencia del retraso de su nivel matemático: la mecánica conservava de este modo, 
por una vía diversa, su clásico papel de modelo de la ciencia y de eje de la unificación 
de las disciplinas científicas. La distancia respecto a la visión clásica, marcada por el 
énfasis en el lenguaje formal y analítico, se manifiesta en la definición de modelo 
matemático de von Neumann: “las ciencias no intentan explicar, a duras penas intentan 
interpretar, principalmente construyen modelos. Por modelo se entiende un constructo 
matemático que, con el añadido de algunas interpretaciones verbales, describe los 
fenómenos observados. La justificación de un tal constructo matemático es sola y 
exclusivamente que se espera que funcione, esto es, que describa correctamente los 
fenómenos de un área razonablemente amplia. Además, debe satisfacer algunos 
criterios estéticos, esto es, en relación con lo que alcanza a describir, debe ser bastante 
simple” (von Neumann 1961-63, vol. 6, p. 492). 
Von Neumann, quizá el más importante matemático de este siglo, fue uno de los 
artífices de la transición del punto de vista de la física matemática clásica a la moderna 
concepción de la modelización matemática. Los campos en los que trabajó se extienden 
de la lógica y el análisis funcional a la hidrodinámica, el análisis numérico y la 
computación; mantuvo siempre la opinión de que en la investigación matemática la 
tensión entre criterios internos y “estéticos” por una parte y la relación con la realidad 
empírica por otra era fuente de creatividad y garantía del progreso de la disciplina. La 
tendencia que se fue imponiendo a mediados de siglo, sin embargo, fue hacia la escisión 
de ambos tipos de intereses, favorecida por la creciente especialización y el gran 
aumento del número de científicos profesionales. Por un parte, un gran número de 
matemáticos se concentró en la investigación “pura”, con un alejamiento voluntario de 
las aplicaciones cuya filosofía hemos visto expresada en la posición de Bourbaki. Por 
otra parte, se fue constituyendo una comunidad científica autónoma de matemática 
aplicada, con sus propias estructuras organizativas y canales de comunicación, muchos 
 
Ana Millán Gasca – El ideal de la matematización («Arbor» 606 (1996): 79-102) 17 
de cuyos miembros trabajan en las escuelas técnicas, las industrias de alta tecnología o 
las grandes agencias de investigación estatales. Todavía en 1929 Oswald Veblen, 
personalidad clave de la organización de la comunidad matemática norteamericana y de 
su lanzamiento al liderazgo mundial, se había opuesto a la creación de un revista de 
matemática aplicada,discutida por la American Mathematical Society, porque no creía 
que la matemática aplicada existiera como tal. Pero inmediatamente después del fin de 
la Segunda Guerra Mundial la AMS se ocupó de coordinar la actividad separada en este 
campo, cuyo crecimiento desde entonces ha sido vertiginoso. La investigación 
matemática aplicada se extiende en el seno de un número creciente de disciplinas, 
incluyendo sectores de la medicina y la biología y de las ciencias humanas y sociales 
(que en la segunda mitad de siglo, especialmente en Estados Unidos, han mostrado una 
acentuada preferencia por los métodos cuantitativos) y muchos otros sectores de 
actividad (del control de calidad industrial, a los problemas de la defensa militar y la 
investigación operativa). El enfásis en la matemática como lenguaje formal ha abierto el 
paso a un gran número de enfoques e instrumentos matemáticos, algunos radicalmente 
nuevos, como la teoría de juegos, la teoría de la información, la teoría de la decisión, la 
teoría de sistemas, y a una actitud ecléctica en la que los procedimientos de tipo 
estocástico o las ecuaciones diferenciales se adoptan según criterios de oportunidad y 
eficacia5. El desarrollo de los ordenadores electronicos a puesto a disposición de los 
investigadores un instrumento transversal de excepcional eficacia en el cálculo y la 
elaboración de datos. 
El trasfondo social y cultural de este proceso es lo que T. Porter ha llamado 
“confianza en los números” (trust in numbers), esto es, una convicción firmemente 
asentada, a pesar de la crisis experimentada por la ciencia — y por las matemáticas — a 
principios de siglo, de que el método científico y en particular los métodos cuantitativos 
garantizan la objetividad y son la mejor guía en la investigación y el control no sólo del 
mundo natural, sino también de la vida social (Porter 1995). No faltan, por supuesto, 
quienes critican una actitud que encierra sin duda el peligro de blindarse en su 
seguridad y avanzar en modo casi ciego. E. Mayr, en su reciente libro sobre la 
evolución del pensamiento biológico ha subrayado la autonomía epistemológica de 
estas disciplinas, insistiendo en el modesto papel de las matemáticas en los 
fundamentos teóricos de la biología y en particular en la teoría de la evolución. Las 
tendencias posmodernas han reaccionado a su vez al cientismo exacerbado: refiriéndose 
al conocimiento del mundo interior, del ser humano, D. Joravsky habla de “una fractura 
inevitable entre los enfoques que se centran en las personas que se expresan y su 
interacción, como en la conversación normal o en la literatura, y los que dejan de lado a 
la persona, como en la neurología o las tablas de mortalidad. (…) Los artistas de la 
literatura intenta combinar precisamente lo que los científicos sociales pretenden 
mantener separado: el análisis objetivo de los seres vivos y los constructos subjetivos de 
 
Ana Millán Gasca – El ideal de la matematización («Arbor» 606 (1996): 79-102) 18 
su conciencia, incluyendo propósitos y valores conscientes y esfuerzos de justificación, 
tanto en quien conduce el análisis como en los personajes que está analizando” (Ross 
ed. 1994, pp. 94-95). El debate continúa. 
 
Notas 
 
1 La mayor parte de los sectores ennumerados y las monografías citadas por J. 
Hernández (1995, pp. 26 ss.) corresponden a este ámbito. 
2 Muestra de ello es el espíritu y la estructura de una obra enciclopédica reciente, 
Grattan-Guinness 1994, en la que han participado muchos de los autores cuyos trabajos 
citamos. De Mora (1995) ha hecho referencia a algunos de estos aspectos en relación 
con la probabilidad. 
3 Sobre el desarrollo en España, cfr. SÁNCHEZ LAFUENTE, J. (1975): Historia de 
la Estadística como ciencia en España (1500-1900). Madrid, Instituto Nacional de 
Estadística. 
4 Una de las primeras sedes en las que Volterra expuso su teoría fue la Facultad de 
Ciencias de la Universidad de Madrid, en un ciclo de conferencias en 1932. Volterra 
cita en sus trabajos los estudios sobre poblacione de peces de Fernando de Buen. 
5 Véase la reciente exposición de la gran variedad de instrumentos en la 
construcción de modelos adaptados a distintos fenómenos de S. Ríos (Ríos 1995). 
 
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