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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA 
 
 
CAPÍTULO 6. EL V POSTULADO DE EUCLIDES Y SUS 
CONSECUENCIAS 
 
Introducción 
 
Posiblemente ninguna proposición suscitó jamás una polémica tan grande, en la Geometría 
Euclidiana, como el conocido V Postulado de Euclides sobre las rectas paralelas. Las críticas 
surgieron desde la misma noción original que Euclides presentó sobre la definición de rectas 
paralelas. Muchos matemáticos en distintas épocas y culturas presentaron “demostraciones” de 
este Axioma y en consecuencia lo clasificaban como un teorema más de la teoría. De éstas 
muchas presentaban problemas en la estructura lógica que en su época no fue posible identificar 
y otras, con mejor suerte, resultaron ser proposiciones lógicamente equivalentes a dicho 
Postulado. Este hecho se presentó desde la misma época de Euclides entre los griegos, en los 
matemáticos de la cultura árabe, alcanzó el renacimiento y finalizó en el Siglo XVIII. 
 
Se requirió de los avances en la consolidación de las teorías formales del método axiomático, de 
la aceptación de los teoremas de existencia y de otras estructuras abstractas para resolver este 
problema hacia mediados del siglo XIX. Siendo muchos los matemáticos que en diferentes formas 
participaron en este problema, quedaron finalmente en la memoria de este evento histórico, los 
nombres y las obras de Gauss, Lobachevsky y Riemann, los cuales trabajando sobre los estudios 
de Jerónimo Saccheri y de la equivalencia probada por Playfair del V Postulado de Euclides con 
el Postulado de la existencia única de la paralela por un punto exterior a una recta, establecen la 
existencia de nuevos sistemas geométricos consistentes. 
 
La original polémica se salda con resultados invaluables en la construcción del conocimiento 
matemático como lo son entre otros: La demostración de la imposibilidad de demostrar el V 
Postulado de Euclides como un teorema más de la teoría por cuanto es realmente un Axioma de 
la misma. 
 
El establecimiento de la generación de nuevas geometrías perfectamente consistentes, 
cambiando el V Postulado, las que se conocen como Geometrías no Euclidianas o también como 
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la relatividad de éste Postulado, han permitido el desarrollo de modelos de aplicación 
fundamentales en la Física. 
Objetivos Específicos. 
 1. Presentar el V Postulado de Euclides en su versión original y demostrar su 
equivalencia con el Postulado planteado por Playfair. 
2. Destacar la importancia histórica y el alcance en la matemática generada por la 
proposición original de Euclides y el surgimiento de las Geometrías no Euclidianas. 
3. Retomar el problema planteado en el objetivo 4 del capítulo anterior y como esta 
pregunta se relaciona con el problema central de la existencia del V Postulado como un 
Axioma. 
4. Llamar la atención sobre la grandeza y el genio imperecedero de Euclides quien, con 
los elementos disponibles en su época, pudo garantizar la existencia de este Axioma y 
construir un sistema dentro de la Geometría que, posteriormente con los refinamientos 
necesarios, ha sido adoptado por la Matemática como elemento vital en su estructura. 
5. Mostrar los recíprocos del Teorema de los ángulos alternos internos y de sus corolarios 
y precisar como resultados tan conocidos como, la suma de los ángulos interiores de un 
triángulo, y otros igualmente importantes dependen del V Postulado. 
6. Señalar como el Postulado de Playfair ha pasado en la práctica a ser identificado como 
el Axioma de paralelismo en la Geometría Euclidiana por su sencillez y relación directa 
con la relación de paralelismo. 
7. Concluir que completados en su presentación todos los Axiomas en la Geometría 
Euclidiana, ya es posible obtener todos los resultados conocidos en esta teoría, los cuales 
se continuarán construyendo. 
8. En el Anexo 2 del texto presento algunos modelos de las Geometrías no Euclidianas 
para ser analizados por el estudiante. 
 
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6.1 V POSTULADO DE EUCLIDES (V.P.E.) 
 
 
 
 
Figura 94. 
 
O sea: Si , l y r se intersectan en . 
 
El quinto postulado de Euclides (V.P.E.) tiene y entre muchas proposiciones equivalentes, una 
de fundamental importancia, conocida como El Postulado de la Paralela única de Playfair. 
 
 
180  t
Si dos rectas l y r se intersectan con una secante t y determinan con ella en el semiplano 
, dos ángulos colaterales interiores cuya suma sea menor que 180º, entonces las dos 
rectas se intersectan en algún punto del semiplano . (Figura 94). 
t
t
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6.2 EL POSTULADO DE LA PARALELA ÚNICA DE PLAYFAIR. 
 
 
Por un punto exterior una recta pasa una paralela a la recta y sólo una. 
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6.3 NOTA HISTORICA 
 
El quinto postulado causó un trastorno considerable desde la época de los griegos. Muchos 
geómetras pensaron que tal vez podría deducirse como teorema a partir de los restantes 
axiomas o postulados. Euclides mismo trató de evitarlo mientras pudo, pues no lo utilizó en 
sus demostraciones sino hasta que llegó a la proposición 120. Durante más de 2.000 años 
fueron ofrecidas diferentes demostraciones del postulado, pero cada una se basaba en una 
suposición equivalente al mismo. 
 
Los esfuerzos realizados, sin embargo, condujeron a que en la primera mitad del siglo XIX, se 
inventara una geometría que difería radicalmente de la de Euclides. Antes de este hecho se 
pensaba que existía solo una geometría posible, puesto que se daba por sentado que la 
coherencia de la geometría estaba asegurada por el espacio físico al que interpretaba 
plenamente y cuyo fundamento se encontraba en el mundo tal como se percibe y en el cual se 
asumía que no pueden darse contradicciones. Fue después de Riemann que empezó a 
plantearse la posible falta de coherencia de los sistemas de verdades contenidos en la 
geometría. 
 
La independencia del postulado de las paralelas quedó establecida cuando fué demostrada la 
compatibilidad de las otras geometrías donde el V Postulado se negaba o cambiaba por otro. 
Cualquier geometría cuyos axiomas contradicen alguno de los de Euclídes, es llamada no 
Euclidiana. La primera de ellas que se creó es la llamada Geometría Lobachvsquiana. Gauss 
(1777-1855) en Alemania, Bolyai (1802-1860) en Hungría y Lobachevsky (1793- 1856) en 
Rusia, plantearon independientemente la forma de Playfair (1748-1819) del postulado, 
considerando tres posibilidades: Por un punto exterior a una recta, pueden trazarse más de 
una, únicamente una, o ninguna paralela a la recta. Suponiendo la infinidad de la recta el 
tercer caso fue eliminado. Estableciendo una geometría compatible con la primera hipótesis, 
los tres matemáticos realizaron extensos desarrollos geométricos y trigonométricos. Debido a 
la prioridad de Lobachevsky en la publicación, la geometría así construida recibió su nombre. 
En 1854 Riemann (1826 - 1866) demostró que si se descarta la infinitud de la recta, entonces, 
con algunas ligeras modificaciones de los postulados restantes, se podría desarrollar una 
geometría compatible con la tercera hipótesis. Al trabajo de Riemann se debe una 
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generalización considerable del concepto de espacio, que ha encontrado aplicaciones en la 
teoría física de la relatividad. 
 
Aunque Gauss y Riemann tenían la plena convicción de que estas nuevas geometrías eran tan 
coherentes como la euclidiana, fue en el año de 1868 que el matemático italiano Eugenio 
Beltrami (1835-1900) demostró la plena consistencia de una geometríano euclidiana 
utilizando los modelos de curvatura constante, de la seudoesfera y del interior de una esfera 
unitaria n-dimensional, llamado también modelo de Beltrami-Klein. 
 
En el año 1900 David Hilbert logra reducir la coherencia lógica de la geometría euclidiana a 
la de la aritmética. Nace el formalismo y la teoría de los sistemas formales con una clara 
herencia en el procedimiento como se ha desarrollado la fundamentación de las geometrías. 
El hecho de lograr que la geometría se independizara de la física, trajo como consecuencia la 
independencia también de la matemática. Desde los griegos, en el Medioevo, pasando por 
Kant e incluyendo al mismo Gauss, el concepto de verdad de la matemática, se fundamentaba 
en el concepto de verdad del mundo real. La existencia de las geometrías no euclidianas obligó 
a explorar la coherencia interna o consistencia de las matemáticas en unos fundamentos más 
profundos y totalmente abstractos. 
 
En síntesis el descubrimiento de las geometrías no euclidianas no solo liberó a la geometría de 
su molde tradicional, sino que modificó considerablemente los conceptos de la matemática en 
general y condujo a un estudio profundo de los fundamentos de esta materia y a un desarrollo 
más amplio del método axiomático. 
 
El desarrollo de la geometría Euclidiana, con el quinto postulado suprimido, recibe el nombre 
de Geometría Absoluta, contiene las proposiciones que son comunes a las geometrías de 
Euclides y de Lobachevsky. 
 
En el anexo N°2 se describen algunos modelos de geometrías no euclidianas e invito al lector a 
profundizar en este apasionante tema. 
 
En la proposición que sigue, se demuestra la equivalencia del V.P.E. con el postulado de la 
paralela única de Playfair. 
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6.4 EQUIVALENCIA ENTRE EL V.P.E Y EL POSTULADO DE PLAYFAIR 
 
 
Demostración. 
 
Asumamos que se cumple el postulado de la paralela única de Playfair, es decir, 
que para toda recta l y todo tal que: y . 
Sean l y m dos rectas dadas y t una secante tal que: 
. 
Vamos a probar, para tener el V.P.E., que l y m se cortan en el semiplano . (Ver Figura 95). 
 
 
Figura 95 
 
Es claro que . 
Como , entonces . Luego por el axioma de 
construcción del ángulo, tal que: . Por tanto, . 
 

rlP !  rP lr //
º18021 
t
º18031 
º18021  3121   32  
BC !    2ˆ ,'ˆ'  mBBCBB BCm //
TEOREMA 31. 
El V.P.E. es equivalente al postulado de la paralela única de Playfair. 
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Ahora B está en l; y . Pero por el postulado de Playfair, por B solo pasa una 
paralela 
a m. Por tanto, toda recta r que pase por B corta a m. Como l pasa por B y es distinta a r corta a 
m. 
 
Veamos ahora que se cortan en . Supongamos que se cortan en . (Ver Figura 96). En el 
triángulo , es ángulo exterior del triángulo , luego, por T. .E., . 
Contradicción, ya que teníamos que . Por lo tanto l y m se cortan en el semiplano . 
 
 
Figura 96. 
 
Supongamos ahora que es valido el V.P.E. Sea l una recta dada y . 
Sea t la perpendicular por P a l y r la perpendicular por P a la recta t. 
 
 
Figura 97. 
rB mr //
t 1
'BBA

2 'BBA

 32  
32   t

lP
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Por el teorema de los ángulos alternos internos, ya tenemos que . Bastará con demostrar 
que toda otra recta que pase por P corta a l. 
 
Sea pues n otra recta que pasa por P, n distinta a r. Llamemos al ángulo agudo que hace n 
con t. 
 
Por tanto y por el V.P.E. n y l se cortan del lado en que se forma el 
ángulo agudo. 
 
Vamos a estudiar ahora algunas consecuencias del V.P.E. o de su equivalente, el postulado de 
la paralela única de Playfair. 
 
Demostración. 
Supongamos y que S corta a la recta l en un punto A. 
Por tanto la recta S es distinta a la recta l. Veamos que S corta a r. 
En efecto, sí S no cortara a r se tendría , con S pasando por A. En conclusión 
tendríamos dos rectas pasando por A (S y l) ambas paralelas a r. Luego, por el Postulado 
de Playfair se tendrá que . Contradicción, ya que S es distinta a l. 
 
Demostración. 
1. Reflexiva: Es claro que . 
2. Simétrica: También es claro que si , entonces . 
lr //

º180º90º90º901 
rl //
rS //
lS 
ll //
rl // lr //
TEOREMA 32. Teorema de Proclo. 
Si dos rectas distintas son paralelas, toda secante que intersecta a una de ellas 
intersecta a la otra, siempre y cuando las tres sean coplanarias. 
TEOREMA 33. 
El paralelismo entre las rectas es una relación de equivalencia, o sea que es: Reflexiva, 
simétrica y transitiva. 
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3. Transitiva: Supongamos que y con l, r y s todas distintas. Veamos 
que . 
 
Razonemos por reducción al absurdo. 
 
 
Figura 98. 
 
Si , l y s se cortarán en A (Figura 98) y por A se tendrían dos paralelas distintas l y s a r, lo 
que contradice el axioma de la paralela única. 
 
Por tanto, . 
 
 
Demostración. 
 
Figura 99. 
rl // sr //
sl //
sl //
sl //
TEOREMA 34. 
Si dos rectas distintas son paralelas, toda perpendicular a una de ellas lo es a la otra 
siempre y cuando las tres sean coplanarias. 
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Supongamos y sea en A . Es claro que n corta a l en A. 
Luego por el teorema 32, n corta a r. Llamemos B el punto donde n corta a r. (Figura 99). 
Veamos que es recto. Razonemos por reducción al absurdo, esto es, supongamos que 
 no es recto. 
 
1. Si es agudo, entonces r y l harían con la secante n una pareja de ángulos 
colaterales interiores de un mismo lado cuya suma sería menor que 180º y por el 
V.P.E. r y l se cortarían, contradicción ya que por hipótesis . 
2. Si es obtuso, entonces es agudo y las dos rectas se cortarían del lado de 
 llegándose de nuevo a una contradicción. Por lo tanto, es recto. 
 
Demostración. 
 
 
Figura 100. 
 
Sean x, y dos rectas que se cortan en O. Tomemos y . Sean por A y 
 por B. (Figura 100). Demostremos que m y n se cortan. Razonemos por reducción al 
absurdo. 
rl // ln  lA
ABC ˆ
ABC ˆ
ABC ˆ
rl //
ABC ˆ ABC ˆ'
'C ABC ˆ
OXA OYB OXn 
OYm 
COROLARIO. 
Las rectas perpendiculares a dos rectas que se intersectan, todas ellas coplanarias 
también se intersectan. 
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Si m y n no se cortaran, serían paralelas; es decir, . Pero , entonces 
(por teorema anterior). (1). 
 
Ahora, por hipótesis . (2). 
 
En (1 ) y (2) se tienen dos rectas perpendiculares a una tercera, luego se concluye que 
, lo que es una contradicción. 
 
Recuérdese que habíamos demostrado en el teorema 25 que "si dos rectas determinan con una 
secante una pareja de ángulos A.I. congruentes, las rectas son paralelas". El reciproco de este 
enunciado lo daremos en la siguiente proposición. 
 
 
nm // nOX  mOX 
mOY 
OYOX //
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6.5 TEOREMA RECÍPROCO DEL TEOREMA DE LOS ÁNGULOS ALTERNOS 
INTERNOS 
 
 
Demostración. 
 
Sean y t una secante cualquiera que corta a l en B y a r en A. (Figura 101). 
Sea O punto medio de 
 
Figura 101. 
 
Bajemos desde O, . 
Como y , entonces, . 
Así que si llamamos Q al punto de encuentro de con r, se tendrá que es recto. 
Ahora: (Hip ángulo agudo). Luego lo que demuestra el 
teorema. 
 
AB
lOH 
lOH  rl // rOH 
OH AQO ˆ
AQOHBO

 QAOHBO ˆˆ 
TEOREMA 35. Recíproco del teorema de los ángulos alternos internos. 
Dadas dos rectas distintas yparalelas, los ángulos alternos internos, que determinan 
con cualquier secante común son congruentes. 
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Presento ahora dos proposiciones cuya demostración la dejo al lector. 
 
 
COROLARIOS. 
1. Dadas dos rectas distintas y paralelas los ángulos correspondientes que 
determinan con cualquier secante común son congruentes. 
2. Dadas dos rectas distintas y paralelas los ángulos alternos externos que 
determinan con cualquier secante común son congruentes. 
TEOREMA 36. 
1. Dos ángulos que tengan sus lados respectivamente paralelos, o son congruentes o 
son suplementarios. 
2. Dos ángulos que tengan sus lados respectivamente perpendiculares, o son 
congruentes o son suplementarios. 
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6.6 CONGRUENCIA DE LOS SEGMENTOS OPUESTOS, DETERMINADOS 
POR LA INTERSECCIÓN DE DOS PARALELAS, CON OTRAS DOS 
PARALELAS. 
 
 
Figura 102 
 
Demostración. 
Determínese el segmento AC y demuéstrese que ∆ABC ≅ ADC. 
 
El valor de la constante establecida en el Corolario 1 se llama la distancia entre las 
rectas paralelas l y r y se designa por d(l,r). 
TEOREMA 37. 
Si dos rectas distintas y paralelas son intersectadas por otras dos rectas distintas y 
paralelas, los segmentos opuestos que se determinan son respectivamente 
congruentes (Figura 102). 
COROLARIO 1. 
Si entonces, para todo punto P perteneciente a l, la distancia del punto P a r es 
constante. 
rl //
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COROLARIO 2. 
Si tres o más rectas distintas y paralelas determinan segmentos congruentes en una 
secante común, determinaran segmentos congruentes en cualquier otra secante 
común. 
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6.7 SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES EN UN TRIÁNGULO 
 
Demostración. 
Sea trazada por C. 
Como y secante, entonces: . 
Como y secante, entonces: . 
 
 
Figura 103. 
 
Además es claro . Luego: . 
 
 
ABl //
ABl // BC
2 
ABl // AC 1 
A B
C



 2
l
 18021  º180 
TEOREMA 38. 
La suma de los ángulos interiores de todo triángulo vale 180º. 
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6.8 TEOREMA DEL ÁNGULO EXTERIOR (SEGUNDA VERSIÓN) 
 
 
Demostración. 
 (1) 
 (2) 
 
 
Figura 104. 
De (1) y (2) se tiene que: . 
 
 
 
 
 
 
º180
º180 
B
CA


 
 
COROLARIO 1. 
Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no 
adyacentes a el. 
COROLARIO 2. 
En todo triángulo rectángulo los ángulos agudos suman 90º 
COROLARIO 4. 
Si dos triángulos tienen dos pares, de ángulos respectivamente congruentes entonces 
los otros dos ángulos son respectivamente congruentes. 
COROLARIO 3. 
En un triángulo equilátero cada ángulo mide 60°. Ma
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6.9 TEOREMA DE LA PARALELA MEDIA EN UN TRIÁNGULO 
 
Demostración. 
 
 
Figura 105. 
 
i) Sean M y N puntos medios de y respectivamente. 
Demostremos que: y que . 
Prolonguemos tal que: . 
Los triángulos y son congruentes por L-A-L. 
 
Luego los ángulos: 
 (1) 
 (2) 
 (3) 
 
AC CB
ABMN // ABMN
2
1

MN NTMN 
CNM

BNT

1 
1 
BTCM 
TEOREMA 39. Paralela media de un triángulo. 
i) El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es 
paralelo al tercer lado y tiene por medida su mitad. 
ii) Si por el punto medio de un lado de un triángulo se traza una paralela a un 
lado, dicha paralela biseca al tercer lado. 
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Pero de (1), las rectas y son paralelos por hacer ángulos alternos congruentes con 
la secante . 
 
Determinemos , entonces por el teorema recíprocos de los ángulos alternos 
internos; y por lo tanto . 
 
En consecuencia: 
 (4) 
 (5) 
Y así como N es un punto medio de MT entonces de (4) se concluye que y de 
(5) por el T. A. I. se concluye que . 
 
ii) Sea el triángulo , M punto medio de . , por N tracemos una paralela a 
. Tenemos: ya que: , (por 
correspondientes) y . Entonces, . 
 
 
Figura 106. 
 
 
 
Demostración. 
 mediana del triángulo rectángulo , con ángulo recto . 
TB CA
MT
AT 'ˆˆ  
TABAMT 
ABMT 
BATATM ˆˆ 
ABMN
2
1

 ABMN //
CBA

AC ABMN //
AC NBTCNM

 BTNNMC ˆˆ  TNBBCA ˆˆ 
MCNTAM  NBCN 
AM CAB

BAC ˆ
COROLARIO. 
En todo triángulo rectángulo la mediana relativa a la hipotenusa es la mitad de la 
hipotenusa. 
 
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Sea D el punto medio de AB, entonces por teorema anterior y por lo tanto 
 es recto. 
 
Figura 107. 
 
Luego el triángulo es isósceles. . De aquí concluimos que: y 
como M es punto medio de se tiene que: . 
 
 
 
Figura 108. 
 
Demostración. 
Sea la mediana relativa a y además . Demostremos que el ángulo 
A es recto. 
 
Como , es isósceles y por lo tanto: . 
CAMD //
BDM ˆ
BMA

ABMBAM ˆˆ  MBAM 
BC MCBMAM 
AM BC AMMCBM 
AMBM  BMA

1 
TEOREMA 40. 
Si el pie de una mediana de un triángulo equidista de los vértices, el triángulo es 
rectángulo. 
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Como , es isósceles y por lo tanto: . 
 
Luego: . Pero . 
 
Por tanto: . 
 
 y . 
 
 
Demostración 
Sea con recto y . Ver figura 109. 
Designemos por M el punto medio de la hipotenusa BC y determinemos la mediana , luego 
 por el corolario del teorema de la Paralela Media y en el triángulo isósceles ABC, 
. 
Luego por la suma de los ángulos interiores en el , se tiene que , esto 
equivale a afirmar que este triángulo es equilátero y en consecuencia , 
concluyéndose que . 
 
Figura 109. 
AMMC  CMA

 2
 Am ˆ18021     21ˆ  Am
   AmAm ˆ180ˆ 
  º1802  Am   º90ˆ Am
CBA

BAC ˆ    60ˆBCAm
AM
MCAM 
     60ˆˆ BCAmCAMm
AMC    60ˆCMAm
ACMCAM 
BCAC
2
1

A
C
M
B
TEOREMA 41. Relación 30°-60°-90° en un triángulo rectángulo. 
Un triángulo rectángulo tiene un ángulo con medida 60° (respectivamente 30°) sí y 
sólo si uno de los catetos es igual a la mitad de la hipotenusa. 
Ma
ter
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uc
ati
vo
 
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6.10 PROPIEDADES DE LOS PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO. 
 
 
Demostración de 1 
Sean , bisectriz de , bisectriz de . (Ver figura 110). 
 
Figura 110. 
 intersecta al en el punto T, 
por el Teorema de la barra transversal. 
(1). 
 intersecta al en el punto P, 
por el Teorema de la barra transversal. 
(2). 
 Determinemos , , 
 Teorema perpendicular única 
ABC AK CAB ˆ BS CBA ˆ
AK  BCInt
AS  ATInt
ACPH 1 ABPH 2
BCPH 3
TEOREMA 42. Puntos notables del triángulo. 
En todo triángulo se cumple: 
1. Las bisectrices se intersectan en un punto interior del triángulo que se denomina 
Incentro, este punto equidista de los lados del triángulo. (Incentro: Centro de la 
circunferencia inscrita en el triángulo). 
2. Las medianas se intersectan en un punto interior del triángulo que se denomina 
Baricentro (o centroide); este punto se encuentra sobre cada mediana a una 
distancia de del vértice y a sobre el extremo de ésta sobre el lado 
respectivo. 
3. Las mediatrices se intersectan en un punto (no necesariamente al interior del 
triángulo) que se denomina Circuncentro; este punto equidista de los vértices del 
triángulo. (Circuncentro: centro de la circunferencia circunscritaen el triángulo). 
4. Las rectas que contienen las alturas de un triángulo se intersectan en un punto (no 
necesariamente al interior del triángulo) que se denomina Ortocentro. 
(Posteriormente se estudiarán las propiedades asociadas a este punto como lugar 
geométrico y respecto a la proporcionalidad). 
 
3
2
3
1
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“bajada” desde un punto exterior. (3). 
 
 propiedad de la bisectriz 
. (4). 
 propiedad de la bisectriz 
. (5). 
 transitividad de (4) y (5). 
(6). 
 es bisectriz de , de (6) 
propiedad de la bisectriz. 
 Figura 111. 
En consecuencia , corresponde a la intersección de las tres bisectrices y 
equidistan de los tres lados. 
 
Demostración de 3. 
Sean , mediatriz de , mediatriz de (Ver figura 112). 
 intercepta a en un punto P. corolario del Teorema 34. 
 
Figura 112. 
 
Determinemos los segmentos , y . (Ver figura 113). 
 propiedad de la bisectriz . (1). 
 propiedad de la bisectriz . (2). 
21 PHPH 
AT
32 PHPH 
BS
31 PHPH 
CP BCA ˆ
 ABCIntP 
ABC MK AB NS BC
MK NS
PA PB PC
PBPA PM
PCPB  PN
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 transitividad de (1) y (2). (3). 
P está sobre la mediatriz de de (3) propiedad de la mediatriz. 
 
Figura 113. 
 
En consecuencia P corresponde a la intersección de las tres mediatrices y equidista de los tres 
vértices. 
 
 
PCPA 
AC
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6.11 EJERCICIOS PROPUESTOS 
 
Temas: Consecuencias del V.P.E.. 
 Problemas generales. 
 
 
1. En la figura t es secante a y a respectivamente. 
Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. 
En el caso de que una afirmación sea falsa, construya un contraejemplo adecuado. 
1.1 Si y son suplementarios entonces . 
1.2 Si entonces . 
1.3 Si entonces . 
1.4 Si entonces . 
 
1.5 Si entonces . 
1.6 Si entonces . 
1.7 Si y entonces . 
1.8 Si y entonces . 
 
2. En cada una de las figuras siguientes determinar el valor de x, si es posible en función 
de las hipótesis dadas. Tenga presente la coherencia y consistencia de sus 
argumentaciones. 
1l 2l
̂ ̂ 21 // ll
 180
21 // ll
21 // ll 
ˆˆ 
 ˆˆ 
21 // ll
21 // ll  ˆ
ˆ 
21 // ll 
ˆˆ 
21 // ll 
ˆˆ   
21 // ll ''   tl 1
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2.1 
 
2.2 
 
 
2.3 
 
 
2.4 C está entre B y D. AD=AC=BC. 
 
2.5 
 
2.6 C está entre B y D. BC=AC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BCPQ //
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2.7 AB=AC, AE=AD, D está entre B y C. 
 E está entre A y C. 
 
2.8 D es punto medio de 
 
 
3. En el , D está entre B y C, E está entre B y D; los ángulos así definidos. 
 
 
 
De acuerdo con esto, la única relación verdadera es: 
3.1 . 
3.2 . 
3.3 . 
3.4 . 
3.5 . 
 
4. Demuestre que si dos rectas y una transversal forman ángulos colaterales interiores 
suplementarios, dichas rectas son paralelas. Demuestre el recíproco. 
 
BC
ABC
A
CDEB

  
    
 
 
 
 
 M
ate
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l e
du
ca
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5. Sobre los lados de un ángulo agudo se toman segmentos . Desde A se 
baja una perpendicular sobre en P, desde B se traza en Q. Esas 
rectas se cortan en l. Demostrar: 
5.1 . 
5.2 . 
5.3 Compara los segmentos , , y . 
5.4 Demostrar que el punto l está sobre la bisectriz del ángulo y que 
 en su punto medio. 
 
6. Demuestre que si las mediatrices de los lados de un triángulo, se intersectan en un 
punto del tercer lado, el triángulo es rectángulo. Demuestre además, el recíproco de 
esta proposición. 
 
7. Demostrar que las alturas correspondientes a los lados congruentes de un triángulo 
isósceles, son congruentes y que el segmento que une los pies de dichas alturas es 
paralelo a la base. 
 
8. Demuestre que las medianas de un triángulo concurren en un punto que divide cada 
mediana en dos segmentos, uno de los cuales mide el doble del otro. 
 
9. Demuestre que las rectas que contienen las alturas de un triángulo, se interceptan en 
un punto. 
 
10. Si un triángulo tiene dos medianas congruentes, entonces es isósceles. 
 
11. Demostrar que el segmento que une los pies de las medianas correspondientes a los 
lados congruentes de un triángulo isósceles, es paralelo a la base. 
 
12. Hipótesis: A, B, C, D son colineales. 
; ; . 
YOX ˆ OBOA 
AP OB OABQ 
BQAP 
OQOP 
lA lB lQ lP
YOX ˆ
ABOl 
BNAM  DNCM  CDAB 
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. 
 
Tesis: 
a. . 
b. ; . 
 
13. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un 
triángulo, determinan cuatro triángulos congruentes. 
 
14. Demostrar que si uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo mide 30°, el 
cateto opuesto a este ángulo tiene por medida la mitad de la medida de la hipotenusa. 
Demuestre además el recíproco de este enunciado. 
 
15. Se tiene que: OA=OB; , ; ; 
 . 
 
Demuestre que: . 
 
Sugerencia: Trace por P la recta paralela a . 
 
16. Demostrar que en todo triángulo equilátero, la suma de las distancias de un punto 
interior a los tres lados del triángulo, es constante. Sugerencia: Utilice el problema 
anterior. 
 
17. Las bisectrices de los ángulos de la base de un triángulo isósceles forman al 
intersectarse un ángulo cuya medida es tres veces la medida del ángulo del vértice. 
Calcular la medida de cada ángulo del triángulo. 
 
18. En el problema anterior considere las alturas correspondientes a los lados 
congruentes del triángulo, en vez de las bisectrices. 
 
 0 BNCM
NOMOMA ˆˆ 
BNAM // ADMN //
ABP OAPC  OBPD 
OBAM 
AMPDPC 
OB
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19. Considere: ; . M y N son 
puntos medios de y respectivamente. 
; ; ; . 
Demuestre que: 
; ; . 
 
 
20. Dado un triángulo equilátero ABC, sobre los lados , y se toman los puntos 
A’, B’, C’ respectivamente, de tal manera que: . Demuestre que el 
triángulo A’B’C’ es equilátero y que los lados de este triángulo son perpendiculares a 
los lados del triángulo ABC. 
 
21. Dado el triángulo ABC cualquiera, se construyen los triángulos equiláteros ABC’, ACB’, 
BCA’, estando los puntos A’, B’, C’ en el exterior del triángulo ABC. Demostrar que 
. 
 
22. En un triángulo se une al punto medio M de con los pies de las alturas H y 
H’ bajadas desde B y desde C, respectivamente. Demostrar: 
22.1 Si es isósceles. 
22.2 Calcular sus ángulos en función de los ángulos del triángulo ABC. 
22.3 y . 
22.4 Considerando el triángulo demuestre que el segmento que une los 
pies de las alturas bajadas desde H y H’ es paralela a . 
 
23. En un triángulo ABC rectángulo en A se traza la altura relativa a la hipotenusa y 
desde H se llevan y . Se une D con E y se llama M el punto medio 
de la hipotenusa. 
23.1 Demostrar que . 
ACAB  BCP
BP PC
BPDM  PCEN  ABD ACE
ACDP // ABPE // EPDPAD ˆˆ 
AB BC CA
ABCCBBAA
3
1
''' 
''' CCBBAA 
ABC BC
'MHH
CHHA ˆ'ˆ  BHHA ˆ'ˆ 
'AHH
BC
AH
ABHD  ACHE 
AMDE 
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23.2 Sea P el punto medio de . Demostrar que y la paralela a por B se 
cortan sobre la recta . 
 
24. Las bisectrices exteriores del triángulo ABC se cortan formando el triángulo EFG. 
24.1 Calcule los ángulos del triángulo EFG en términos de losángulos del triángulo 
ABC. 
24.2 Demostrar que las bisectrices interiores del triángulo ABC pasan por E, F y G 
respectivamente. 
24.3 Demostrar que las bisectrices interiores del triángulo ABC son las alturas del 
triángulo EFG. 
 
25. En la figura se tiene y son exteriores al . y son sus 
bisectrices respectivas. ; . Demostrar: 
 
25.1 . 
25.2 . 
25.3 N está sobre la bisectriz de . 
 
26. Problema general de aplicación. 
En el diagrama se muestra la ubicación de dos predios (1) y (2) demarcados por dos 
líneas de fronteras y respectivamente. Estas líneas se cortan en un punto O 
situado sobre la laguna. Los propietarios de estos predios se disputan la propiedad del 
predio (3), situado entre ambas líneas. Después de largas discusiones han acordado 
como línea demarcadora o limítrofe sobre el predio (3), aquella formada por los 
puntos que equidistan de y . 
 
AB PM DE
AH
XBC ˆ YCB ˆ ABC BN CN
AXNH  AYNP 
 
2
90ˆ

CNBm
CPACBHAB 
CAB ˆ
CA DB
CA DB
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Un estudiante de geometría propone la siguiente construcción para determinar la línea de 
demarcación acordada entre los propietarios. 
i. . 
ii. . 
iii. y se determina . 
iv. . 
v. : Mediatriz de . 
 
El estudiante afirma que satisface las condiciones pactadas por los propietarios para la 
línea de demarcación. 
 
 
Pregunta: Justifique si esta construcción propuesta por el estudiante es o no adecuada. 
 
 
DBT 
CATK //
'TSTS  'SS
 PCASS '
LM PS
LM
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6.12 EJERCICIOS RESUELTOS 
 
Ilustración N° 1 
En cada una de las dos figuras siguientes determinar el valor de 𝑋, en función de los términos 
dados: 
 
 
a) Uno de los procedimientos a seguir es: 
 
1. Determinemos 𝐶𝐵 y designemos 
 𝐶𝐵 ∩ 𝐴𝐷 = {𝑘} 
2. 𝑋 = 𝛼 + 𝑚 ; Teorema 
 desigualdad triangular (2° versión) 
 en ∆𝐴𝐵𝑘 
3. 𝑚 = 𝜃 + 𝛺; ¿por qué? 
4. 𝑋 = 𝛼 + 𝛽 + 𝛺; sustitución de 3 en 2. 
 
b) Información dada: 
 
i. ∆𝐴𝐵𝐶, 
ii. 𝐶 está entre 𝐵 y 𝐷 
iii. 𝐴 está entre 𝑇 y 𝐵 
iv. 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ 
v. 𝑚 =50° 
Calcular 𝑚 
 
1. 𝑚 =50°; de iv. consecuencia del triángulo isósceles. 
2. ≅ ; de iv. consecuencia del triángulo isósceles. 

)(AkB

)(AkB

)(B

)(TAD

)(CAB

ACD

D
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3. 𝑚 =100°; Teorema suma ángulos interiores en ∆𝐴𝐵𝐶, de v. y 1. 
4. 𝑚 =100°; de 2 y 3 propiedad de la medida. 
5. 𝑋 = 150°; Teorema suma ángulos interiores en ∆𝐴𝐵𝐷, de v. y 4. 
 
Observación: 
Aunque se tiene “aparentemente la solución para la 𝑚 ”; este problema con la 
información suministrada conlleva a una contradicción; esto es, en su estructura hay una 
inconsistencia. Obsérvese que a pesar de que el procedimiento aplicado es coherente, si se 
suman las medias de los ángulos interiores en el ∆𝐴𝐶𝐷, sin , ésta es mayor que 180° y en 
consecuencia esto es absurdo. 
 
Quiero con este tipo de problema en particular, llamar la atención en el sentido de que el 
hecho de obtener una “solución” no es condición suficiente para considerar que un problema 
ha sido resuelto; es necesario además garantizar que la coherencia de los argumentos de 
soporte está a la par con la consistencia de todos los resultados parciales, y en consecuencia 
con el resultado final que se generan durante el proceso demostrativo. 
 
Ilustración N° 2 
 
Demuestre el siguiente teorema: 
 
Procedo a demostrar la implicación de izquierda a derecha. 
 
 
 
 

)(ACD

)(D

)(TAD

CAD
Una recta secante determina con las dos rectas intersectadas ángulos colaterales 
interiores suplementarios si y solo si las rectas intersectadas son paralelas. 
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i. 𝑡 secante a 1 y a 2 
ii. y colaterales 
interiores. 
iii. 𝛼 + 𝛽 = 180° 
 
 
Tesis: 1 // 2 . 
 
 
Demostración 
 
1. Determinemos , tal que y son alternos internos, definición de ángulos alternos 
internos. 
2. 𝜃 + 𝛽 = 180° ; medida de ángulos suplementarios. 
3. 𝛼 + 𝛽 = 𝜃 + 𝛽 ; transitividad de iii. y 2. 
4. 𝛼 = 𝜃; ley cancelativa en la suma, en 3. 
5. 1 // 2; de 4 y 1, Teorema  A.I. 
 
Nota: 
Este resultado que corresponde a un corolario del teorema de los ángulos alternos internos, 
tiene múltiples aplicaciones, en particular en el Capitulo 8, específicamente en las 
propiedades por equivalencia de los cuadriláteros convexos especiales. 
 
 
Ilustración N° 3 
 
Demuestre el siguiente teorema. 
 
 




 






 
Hipótesis 
En todo triángulo las mediatrices se intersectan en un punto, no necesariamente en el 
interior al triángulo. Este punto equidista de los vértices del triángulo y se denomina 
circuncentro. 
. 
 
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i. ∆𝐴𝐵𝐶 
ii. 𝑀1𝐾 ⃡ mediatriz de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . 
iii. 𝑀2𝑊 ⃡ mediatriz de 
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . 
 
 
 
 
Nota: 
Demostraré inicialmente que las dos mediatrices se intersectan posteriormente que la tercera 
mediatriz pasa por el punto de intersección de las dos primeras. 
 
Demostración 
 
1. 𝑀1𝑘 ⃡ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ; punto medio de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , con 𝑀1𝑘 ⃡  𝜋𝐴,𝐵,𝐶 ; de ii. definición mediatriz. 
2. 𝑀1𝑘 ⃡ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ; punto medio de 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , con 𝑀2𝑤 ⃡  𝜋𝐴,𝐵,𝐶; de iii. definición mediatriz. 
3. 𝑀1𝑘 ⃡ ∩ 𝑀2𝑤 ⃡ = {0}; de i. 1 y 2 Corolario Si dos rectas se intersectan y cada una de ellas 
es perpendicular a otra recta, todas ellas coplanarias, entonces las dos últimas 
también se intersectan. 
4. Determinemos 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ , 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ y 𝑂𝐶̅̅ ̅̅ ; definición segmentos. 
5. 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ ≅ 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ ; de ii. propiedad de la 
mediatriz. 
6. 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝑂𝐶̅̅ ̅̅ ; de iii. propiedad de la 
mediatriz. 
7. 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ ≅ 𝑂𝐶̅̅ ̅̅ ; de 5 y 6 transitividad. 
8. ∆𝑂𝐴𝐶 es isósceles; de 7, definición 
triángulo isósceles. 
Hipótesis 
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9. Existe 𝑂𝑍 ⃡ única, 𝑂𝑍 ⃡ 𝐴𝐶 ⃡ ; Teorema perpendicular única “bajada”. 
10. 𝑂𝑍 ⃡ ∩ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = {𝑀3}; de 9, designación. 
11. 𝑂𝑀3 ⃡ es altura en ∆𝐴𝑂𝐶 ; de 10 definición de altura. 
12. 𝑂𝑀3 ⃡ es mediatriz de 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ; de 11 y 8; propiedades de los segmentos notables en el 
triángulo isósceles. 
13. Las tres mediatrices se intersectan en un mismo punto; de 3 y 12. 
14. 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶; de 5 y 6 propiedad de la medida. 
Ilustración N°4 
En un triángulo isósceles, la suma de las distancias desde un punto cualquiera del tercer lado, 
a los lados congruentes, es igual a la medida de la altura asociada a uno cualquiera de los lados 
congruentes. 
 
i) ∆ 𝐴𝐵𝐶 isósceles 
ii) 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 
 iii) 𝑃𝜖 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 
Hipótesis iv) 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ ⊥ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 
v) 𝑃𝑆̅̅̅̅ ⊥ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 
vi) 𝐵𝐻̅̅ ̅̅ ⊥ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 
vii) 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ ∩ 𝐵𝐻̅̅ ̅̅ = {𝑇} 
 
Tesis: 𝐵𝐻̅̅ ̅̅ = 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ + 𝑃𝑆̅̅̅̅ 
 
Demostración. 
1. Tracemos 𝑃𝐾 ⃡ ∥ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ . V P.E. 
2. 𝑃𝐾 ⃡ intercepta a 𝐵𝐻 ⃡ en un punto único. ¿Por qué? 
3. Designemos el punto anterior por 𝐹. 
4. 𝐵𝐻̅̅ ̅̅ ∥ 𝑃𝑆̅̅̅̅ , teorema de los ángulos alternos internos de las hipótesis v) y vi). 
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Hipótesis 
Hipótesis 
5. 𝑃𝐾 ⃡ ⊥ 𝑃𝑆̅̅̅̅ y 𝑃𝐾 ⃡ ⊥ 𝐵𝐻̅̅ ̅̅ . Teorema: toda perpendicular a una de dos paralelas, es 
perpendicular a la otra, de 1) y las hipótesis v) y vi). 
6. 𝐹𝐻̅̅ ̅̅ = 𝑃𝑆̅̅̅̅ Teorema: segmentos de paralelas entre paralelas.7. Teorema: Recíproco de los ángulos alternos internos; (ángulos 
correspondientes entre paralelas). 
8. Propiedad de triángulo isósceles, de la hipótesis ii). 
9. transitividad entre 7 y 8. 
10. ∆ 𝑄𝐵𝑃 ≅ ∆ 𝐹𝑃𝐵¿Por qué? 
10' 𝐵𝐹̅̅ ̅̅ ≅ 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ de 10. ¿Por qué? 
11. 𝐵𝐻 = 𝐵𝐹 + 𝐹𝐻 Postulado de adición en la medida de segmentos. 
12. 𝐵𝐻 = 𝑃𝑄 + 𝑃𝑆 Sustitución de 6 y 10' en 11. 
 
Problema derivado: 
Utilice el resultado anterior para demostrar el teorema siguiente que establece una propiedad 
importante del triángulo equilátero. "En todo triángulo equilátero, la suma de las distancia de 
un punto interior a los tres lados del triángulo es constante." 
 
Ilustración N°5 
 
En el ∆ 𝐴𝐵𝐶 de la figura se tiene: 
 i) 𝑀 punto medio de 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . 
ii) 𝐵𝐻̅̅ ̅̅ ⊥ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐻′̅̅ ̅̅ ̅ ⊥ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ (Alturas). 
 
Demuestre: 
1. ∆ 𝑀𝐻𝐻′ es isósceles. 
2. Calcule los ángulos interiores del ∆ 𝑀𝐻′𝐻 en función de los ángulos interiores 
del ∆ 𝐴𝐵𝐶. 

FPB

 C

C

 ABP

FPB

 ABP
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3. Demuestre que y . 
4. Considerando el ∆ 𝐴𝐻𝐻′ demuestre que el segmento que une los pies de las alturas 
bajadas desde 𝐻 y 𝐻′ es paralela a 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . 
 
Demostración. 
 
1. ∆ 𝐵𝐻′𝐶 es rectángulo, de la hipótesis ii). 
2. 𝐻′𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ ≅ 𝐵𝑀̅̅ ̅̅̅ ≅ 𝑀𝐶̅̅̅̅̅ ; de 1) y la hipótesis i). Corolario, propiedad de la mediana asociada 
a la hipotenusa. 
3. ∆ 𝐵𝐻𝐶 es rectángulo, de la hipótesis ii). 
4. 𝐻𝑀̅̅ ̅̅ ̅ ≅ 𝐵𝑀̅̅̅̅̅ ≅ 𝑀𝐶̅̅̅̅̅ de 3) y la hipótesis i). (Razones análogas a 2). 
5. 𝐻′𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ ≅ 𝐻𝑀̅̅ ̅̅ ̅ transitividad de 2) a 4) y en consecuencia, ∆ 𝑀𝐻𝐻es isósceles. 
6. , propiedad del triángulo isósceles de 5) 
7. Designemos: , , 
8. Por la suma de los ángulos interiores en el ∆ 𝐻𝑀𝐻′ y de 6) se tiene: 
𝑚 ( ) = 180° − 𝑚 ( ) − 𝑚 ( ) = 2𝛽 + 2𝛾 − 180° 
 = 2𝛽 + 2𝛾 − 180° 
 = 2𝛽 + 2𝛾 − (𝛼 + 𝛽 + 𝛾) ¿Por qué? 
 𝑚 ( ) = 𝛽 + 𝛾 − 𝛼 

HAH '

 BCA

'AHH

 ABC

'MHH

 HMH'

BAC



ABC



ACB



'HMH

MBH '

CMH

'HMH
Ma
ter
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 ed
uc
ati
vo
 
Us
o n
o c
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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA 
 
 
9. 𝑚 ( ) = 𝑚 ( ) de 6) 
10. 2𝑚 ( ) + 𝑚 ( ) = 180° suma de ángulos interiores en el ∆ 𝐻𝑀𝐻′ 
11. 𝑚 ( ) = 𝑚 ( ) =
𝛼+𝛽+𝛾−(𝛽+𝛾−𝛼)
𝛼2
= 𝛼 ¿Por qué? 
Esto es: 𝑚 ( ) = 𝑚 ( ) = 𝑚 ( ) 
12. 𝑚 ( ) = 180° − 𝑚 ( ) − 𝛽 = 180° − 𝛼 − 𝛽 = 𝛾 ¿Por qué? 
13. 𝑚 ( ) = 180° − (𝛼 + 𝛾) = 𝛽 ¿Por qué? 
Esto es: 𝑚 ( ) = 𝛾 y 𝑚 ( ) = 𝛽 . 
Es importante observar cómo se expresan estos ángulos, en términos de los ángulos 
interiores del ∆ 𝐴𝐵𝐶 y su distribución relativa porque podemos utilizar el problema 
resuelto hasta este punto, para dar solución a la cuarta tesis. Es una forma recursiva que 
hace muy interesante este problema. Centremos la atención en el ∆ 𝐴𝐻𝐻′. 
 
14. Sean: 𝐻′𝑇̅̅ ̅̅ ̅ y 𝐻𝑇′̅̅ ̅̅ ̅ alturas en el ∆ 𝐴𝐻𝐻′, Si tomamos a 𝑀′ como el punto medio de 
𝐻𝐻′̅̅ ̅̅ ̅ , puede observarse que se tienen las condiciones del problema inicial en el ∆ 𝐴𝐵𝐶 

'MHH

HMH'

'MHH

'HMH

'MHH

HMH'

'MHH

HMH'

BAC

HAH '

HMH'

HAH '

HAH '

'AHH
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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA 
 
 
y podemos, en consecuencia, utilizar los resultados ya probados, lo que nos permite 
concluir: 
15. ¿Por qué? 
16. ¿Por qué? 
17. 𝑇′𝑇̅̅̅̅̅ ∥ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ Corolario teorema de los ángulos alternos internos de 16. 

TAT'

'AHH

TAT'


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