GUIA 5 PROBLEMAS CON RACIONALES

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUÍA 5: PROBLEMAS CON RACIONALES 
 
No es fácil resolver problemas, sobre todo si son matemáticos. El matemático 
húngaro George Pólya (1887-1985) presentó en su libro Cómo plantear y resolver 
problemas (en inglés, How to solve it) un método de 4 pasos para resolver 
problemas matemáticos. 
 
Método de Pólya para resolver problemas matemáticos 
Para resolver un problema se necesita: 
Paso 1: Entender el problema 
 ¿Cuál es la incógnita?, ¿Cuáles son los datos? 
 ¿Cuál es la condición? ¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita? 
¿Es insuficiente? ¿Redundante? ¿Contradictoria? 
 
Paso 2: Configurar un plan 
 ¿Te has encontrado con un problema semejante? ¿O has visto el mismo 
problema planteado en forma ligeramente diferente? 
 ¿Conoces algún problema relacionado con éste? ¿Conoces algún teorema que te 
pueda ser útil? 
 ¿Puedes enunciar al problema de otra forma? ¿Puedes plantearlo en forma 
diferente nuevamente? Recurre a las definiciones. 
 ¿Has empleado todos los datos? ¿Has empleado toda la condición? ¿Has 
considerado todas las nociones esenciales concernientes al problema? 
 
Paso 3: Ejecutar el plan 
 Al ejecutar tu plan de la solución, comprueba cada uno de los pasos 
 ¿Puedes ver claramente que el paso es correcto? ¿Puedes demostrarlo? 
 
Paso 4: Examinar la solución obtenida 
 ¿Puedes verificar el resultado? ¿Puedes el razonamiento? 
 ¿Puedes obtener el resultado en forma diferente? ¿Puedes verlo de golpe? 
¿Puedes emplear el resultado o el método en algún otro problema? 
 
Veamos cómo aplicar esto en la solución de los siguientes problemas. La condición 
nos la dan: trabajaremos con los números fraccionarios. 
 
 
2 
 
EJEMPLO 1. Venta de Hectáreas de tierra 
Un hacendado tenía una finca de 200 hectáreas y vendió 1/6 de 48 hectáreas. ¿Qué 
parte de la finca le queda? 
 
Solución. Primero calculamos cuántas hectáreas vendió: 
1
6
× 48 =
48
6
= 8 𝐻𝑎. 
Pero lo que preguntan es: ¿cuántas Ha le quedaron? 
200 Ha – 8 Ha = 192 Ha. 
 
EJEMPLO 2. Un reparto 
Un padre reparte 100€ entre sus tres hijos. A uno da 50€, a otro 40€ y a otro el resto. 
¿Qué parte del dinero ha dado a cada uno de los hijos? 
 
Solución. Primero calculamos cuánto le tocó a cada uno: al primero 50€, al segundo 
40€ y al tercero 10€. Pero lo que preguntan es qué parte le tocó a cada uno: 
Primero: 50/100 = ½. 
Segundo: 40/100 = 2/5. 
Tercero: 10/100 = 1/10. 
Al examinar la solución, vemos que la suma de las tres partes es igual a la unidad. 
 
EJEMPLO 3. Ganancia o pérdida 
¿Gano o pierdo y cuánto, cuando vendo por los 3/5 de los 7/2 del costo lo que me 
ha costado $40.000? 
 
Solución. Se averigua primero en cuanto vendió lo que le costó $ 40.000. 
 
𝟑
𝟓
×
𝟕
𝟐
× 𝟒𝟎. 𝟎𝟎𝟎 =
𝟑 × 𝟕 × 𝟒𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟓 × 𝟐
=
𝟖𝟒𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎
= 𝟖𝟒. 𝟎𝟎𝟎 
 
Es decir, vendió en $ 84.000 lo que le había costado $ 40.000, por lo tanto ganó: 
 
$ 𝟖𝟒. 𝟎𝟎𝟎 − $ 𝟒𝟎. 𝟎𝟎𝟎 = $ 𝟒𝟒. 𝟎𝟎𝟎 
 
EJEMPLO 4. Venta de tela 
Se han vendido 1/3, 1/6 y 2/7 de una pieza de tela de la que quedan 9 metros. ¿Cuál 
era la longitud de la pieza? 
Solución. Se calcula primero cuánta tela se ha vendido: 
 
𝟏
𝟑
+
𝟏
𝟔
+
𝟐
𝟕
=
𝟏𝟒 + 𝟕 + 𝟏𝟐
𝟒𝟐
=
𝟑𝟑
𝟒𝟐
=
𝟏𝟏
𝟏𝟒
. 
 
3 
 
Se han vendido 11/14 de la tela, de modo que quedan 3/14 de la tela (para completar 
la unidad), que equivale a los 9 metros que quedaron. Si la longitud original era x 
metros, entonces se tiene que: 
𝟑
𝟏𝟒
𝒙 = 𝟗 → 𝒙 =
𝟏𝟒 × 𝟗
𝟑
=
𝟏𝟐𝟔
𝟑
= 𝟒𝟐 𝒎 
 
La longitud de la pieza de tela era de 42 m. Examinemos la solución. Ya calculamos 
que se vendieron 11/14 de tela, entonces se vendieron: 
𝟏𝟏
𝟏𝟒
× 𝟒𝟐 =
𝟏𝟏 × 𝟒𝟐
𝟏𝟒
=
𝟒𝟔𝟐
𝟏𝟒
= 𝟑𝟑 𝒎 
Se han vendido 33m de 42m, por lo tanto quedan 9m, lo que comprueba que el 
problema está bien resuelto. 
 
EJEMPLO 5. Cultivos diversos 
De una finca de 400 hectáreas se cultivan los 3/5 de maíz, ¼ de banano y el resto se 
dedica al cultivo de piña. Calcule cuántas hectáreas se dedican a cada cultivo. 
 
Solución. Se calcula primero cuántas hectáreas se dedican al maíz y al banano: 
 
Maíz 3
5
× 400 =
3 × 400
5
=
1200
5
= 240 𝐻𝑎 
Banano 1
4
× 400 =
1 × 400
4
=
400
4
= 100 𝐻𝑎 
 
Por lo tanto en los dos cultivos hay 240 Ha + 100 Ha = 340 Ha, por lo que quedan 
400 Ha – 340 Ha = 60 Ha para el cultivo de piña. 
Examinemos la solución. Si sumamos las hectáreas para cada cultivo, tenemos: 
240 Ha + 100 Ha + 60 Ha = 400 Ha. 
Lo que comprueba que el problema está bien resuelto. 
 
EJERCICIOS 
 
Resolver los siguientes problemas sobre números racionales. 
1. De una ciudad a otra hay 210 Km. Un día ando los 3/7 de esa distancia, otro día 
los 2/21 y un tercer día los 7/30. ¿A qué distancia estoy entonces del punto de 
llegada? 
 
2. Una botella llena de líquido pesa 3 Kg. y el peso de la botella es 7/8 Kg. ¿Qué 
parte del peso total es el peso del líquido? 
 
 
4 
 
3. ¿Qué parte de un cargamento de arroz que vale $45.000 podré comprar si tengo 
$35.000? 
 
4. De una finca de 4200 hectáreas se venden los 2/3 de 1/7 y se alquilan los 3/4 de 
los 4/5 de la finca. ¿Cuántas hectáreas quedan? 
 
5. Una epidemia mató los 5/8 de las reses de un ganadero y después él vendió los 
2/3 de las que le quedaban. Si aún tiene 16 reses, ¿cuántas tenía al principio, cuántas 
murieron y cuántas vendió? 
 
6. Un jugador pierde en la ruleta 1/5 de su dinero, en el keno 1/8 y en apuestas una 
parte igual a los 2/3 de lo que perdió en el keno. Si aún le quedan $213, ¿cuánto 
tenía al principio y cuánto perdió en cada ocasión?