GUIA 14 FACTORIZACION 1

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUÍA 14: FACTORIZACIÓN 1 
 
¿Qué es factorización? 
Factorizar o factorar un polinomio es el procedimiento que permite escribirlo 
como multiplicación de dos o más factores. 
Es bueno saber que no todos los polinomios se pueden factorizar, ya que, al 
igual que en los números primos que sólo son divisibles por ellos mismos y por 
1, hay expresiones algebraicas que también solo son divisibles por ellas mismas 
y por 1. 
Al factorizar un polinomio, se pueden presentar varios casos, que aquí veremos 
uno a uno. 
 
Factor Común 
Factor común de una expresión algebraica es el máximo común divisor (m.c.d.) de 
los términos que la componen. ¿Cómo se halla? 
 El factor común de los coeficientes es su MCD. 
 El factor común de las variables son las letras comunes tomadas con 
su menor exponente. 
La factorización de un polinomio por factor común permite descomponerlo 
en dos factores: 
 Primer factor: El factor común. 
 Segundo factor: Se obtiene de dividir cada término del polinomio 
entre el factor común. 
 
Ejemplo 1 
Factorizar los siguientes polinomios por factor común. 
(𝟏) 𝒙𝟐𝒚 + 𝒙𝟐𝒛 
Los coeficientes son 1 y de las variables, la común es x tomada con su menor 
exponente, 2: 
𝒙𝟐𝒚 + 𝒙𝟐𝒛 = 𝒙𝟐(𝒚 + 𝒛) 
 
(𝟐) 𝟔𝒂𝟐𝒃𝟓 − 𝟏𝟖𝒂𝟑𝒃𝟒 + 𝟏𝟐𝒂𝟒𝒃𝟑 
El MCD de los coeficientes es 6 y de las variables, las comunes son a y b tomadas 
con sus menores exponentes: 
 
2 
 
𝟔𝒂𝟐𝒃𝟓 − 𝟏𝟖𝒂𝟑𝒃𝟒 + 𝟏𝟐𝒂𝟒𝒃𝟑 = 𝟔𝒂𝟐𝒃𝟑(𝒃𝟐 − 𝟑𝒂𝒃 + 𝟐𝒂𝟐) 
 
(𝟑) 𝟑𝟒𝒂𝒙𝟐 + 𝟓𝟏𝒂𝟐𝒚 − 𝟔𝟖𝒂𝒚𝟐 
El MCD de los coeficientes es 17 y de las variables, la común es a tomada con su 
menor exponente, el 1: 
𝟑𝟒𝒂𝒙𝟐 + 𝟓𝟏𝒂𝟐𝒚 − 𝟔𝟖𝒂𝒚𝟐 = 𝟏𝟕𝒂(𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒂𝒚 − 𝟒𝒚𝟐) 
(𝟒) 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟔𝒂𝒃 − 𝟓𝒂𝟑𝒃𝟐 + 𝟖𝒂𝟐𝒃𝒙 + 𝟒𝒂𝒃𝟐𝒎. 
El MCD de los coeficientes es 1 ya que aparecen dos primos 3 y 5 y de las variables, 
las comunes son a y b tomadas con sus menores exponentes: 
𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟔𝒂𝒃 − 𝟓𝒂𝟑𝒃𝟐 + 𝟖𝒂𝟐𝒃𝒙 + 𝟒𝒂𝒃𝟐𝒎 = 𝒂𝒃(𝟑𝒂 + 𝟔 − 𝟓𝒂𝟐𝒃 + 𝟖𝒂𝒙 + 𝟒𝒃𝒎) 
 
Factor Común por Agrupación 
A veces aparecen polinomios que tienen un número par de términos que no tienen 
factor común, pero en los que es posible formar dos o más grupos de términos que 
sí tienen factor común. 
 
Ejemplo 2 
Factorizar los siguientes polinomios por agrupación de términos. 
(𝟏) 𝟔𝒙𝟑 + 𝟗𝒙𝒚 + 𝟒𝒙𝟐𝒚 + 𝟔𝒚𝟐 
No hay factor común ni en los coeficientes ni en las variables, pero podemos formar 
dos grupos: 
𝟔𝒙𝟑 + 𝟗𝒙𝒚 + 𝟒𝒙𝟐𝒚 + 𝟔𝒚 𝟐 = (𝟔𝒙𝟑 + 𝟗𝒙𝒚) + (𝟒𝒙𝟐𝒚 + 𝟔𝒚𝟐)
= 𝟑𝒙(𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒚) + 𝟐𝒚(𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒚 ) = (𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒚 )(𝟑𝒙 + 𝟐𝒚) 
 
No es la única manera de agruparlos ya que se pueden agrupar de otra forma: 
𝟔𝒙𝟑 + 𝟗𝒙𝒚 + 𝟒𝒙𝟐𝒚 + 𝟔𝒚 𝟐 = (𝟔𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐𝒚) + (𝟗𝒙𝒚 + 𝟔𝒚𝟐) 
= 𝟐𝒙𝟐(𝟑𝒙 + 𝟐𝒚) + 𝟑𝒚(𝟑𝒙 + 𝟐𝒚) = (𝟑𝒙 + 𝟐𝒚)(𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒚) 
 
(𝟐) 𝒂𝒙 + 𝒃𝒙 + 𝒂𝒛 + 𝒃𝒛 
No hay factor común en las variables, pero podemos formar dos grupos: con las que 
tienen a y las que tienen b: 
𝒂𝒙 + 𝒃𝒙 + 𝒂𝒛 + 𝒃𝒛 = (𝒂𝒙 + 𝒂𝒛) + (𝒃𝒙 + 𝒃𝒛) = 𝒂(𝒙 + 𝒛) + 𝒃(𝒙 + 𝒛)
= (𝒙 + 𝒛)(𝒂 + 𝒃) 
 
También podemos agrupar las que tienen x y las que tienen z y llegar al mismo 
resultado: 
𝒂𝒙 + 𝒃𝒙 + 𝒂𝒛 + 𝒃𝒛 = (𝒂𝒙 + 𝒃𝒙) + (𝒂𝒛 + 𝒃𝒛) = 𝒙(𝒂 + 𝒃) + 𝒛(𝒂 + 𝒃)
= (𝒂 + 𝒃)(𝒙 + 𝒛) 
 
 
 
 
 
3 
 
EJERCICIOS 
Factorizar los polinomios siguientes, por factor común. 
𝒂) 𝟏𝟎𝒎𝟐𝒏 + 𝟏𝟓𝒎𝟑𝒏𝟐 − 𝟓𝒎𝟒𝒏𝟑 
𝒃) 𝟏𝟔𝒂𝟒𝒃 − 𝟏𝟐𝒂𝟑𝒄 + 𝟐𝟎𝒂𝟐𝒄𝟐 
𝒄) 𝟏𝟐𝒛𝟓𝒚𝟐𝒎 − 𝟗𝒛𝟒𝒚𝟑𝒎 + 𝟔𝒛𝟑𝒚𝟒𝒎 
𝒅) 𝟐𝟖𝒂𝟐 + 𝟏𝟒𝒂𝟑 − 𝟑𝟓𝒂𝟒 − 𝟒𝟐𝒂𝟓 
𝒆) 𝟑𝒎𝒏𝒙 − 𝟓𝒎𝟐𝒏𝒙 + 𝟕𝒎𝟑𝒏𝒙𝟐 − 𝟒𝒎𝟐𝒏𝒙𝟐 
 
Factorizar los polinomios siguientes, por agrupación de términos. 
𝒂) 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝒂𝒙 − 𝟐𝒂 
𝒃) 𝟔𝒂𝟑 + 𝟗𝒂𝒃 + 𝟒𝒂𝟐𝒃 + 𝟔𝒃𝟐 
𝒄) 𝟑𝒎𝒏 − 𝟑𝒎𝒙 + 𝟒𝒃𝒏 − 𝟒𝒃𝒙 
𝒅) 𝟑𝒂𝒙 − 𝟑𝒂𝒚 − 𝟐𝒃𝒙 + 𝟐𝒃𝒚 
𝒆) 𝟐𝒂𝟐𝒙 + 𝟐𝒂𝒙 + 𝟐𝒙 − 𝒂𝟐 − 𝒂 − 𝟏