GUIA 24 INECUACIONES CUADRATICAS (1)

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUÍA 24: INECUACIONES CUADRÁTICAS 
 
Las inecuaciones cuadráticas o de segundo grado se resuelven de varias maneras. El 
método más sencillo es el llamado método del CEMENTERIO. La solución no es un 
número real, sino un subconjunto, llamado intervalo o una unión de dos intervalos. 
Resolver una inecuación consiste en hallar los valores de x que satisfacen dicha 
inecuación. El método consiste en lo siguiente: 
1. Se factoriza la ecuación. 
2. Se iguala a cero cada factor, para hallar los puntos críticos. 
3. Se ubican los puntos críticos en la recta real. 
4. Se hallan los signos (positivo o negativo) de cada factor en cada subintervalo. 
5. Se realizan las operaciones pertinentes. Si la desigualdad contiene un > o un ≥ se 
buscan dónde están los signos +. Si la desigualdad contiene un < o un ≤ se buscan 
dónde están los signos −. 
 
 
EJEMPLO 1. Resolver la siguiente desigualdad 
 
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖 > 𝟎 
SOLUCIÓN. 
 
Se factoriza el trinomio: 
 
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖 > 𝟎 → (𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟐) > 𝟎. 
 
Se buscan los puntos críticos: 
 
𝒙 − 𝟒 = 𝟎 → 𝒙 = 𝟒, 𝒚 𝒙 + 𝟐 = 𝟎 → 𝒙 = −𝟐. 
 
Se llevan a la recta real, como muestra la siguiente gráfica. En cada intervalo 
(−∞, −𝟐), (−𝟐, 𝟒) 𝒚 (𝟒, ∞), se toman valores de prueba para verificar los signos. 
Por ejemplo, en el primer intervalo, tomamos x = -3, y vemos que los dos factores son 
negativos. Se multiplican estos dos signos negativos, y por eso aparece + en la última fila. 
Y así, para cada intervalo. 
 
 
2 
Como la desigualdad original contiene >, se buscan los intervalos donde aparezcan los 
signos positivos y, además, serán intervalos abiertos: 
 
𝑺 = (−∞, −𝟐) ∪ (𝟒, +∞) 
 
 
EJEMPLO 2. Resolver la siguiente inecuación. 
 
𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟓 ≤ 𝟎 
SOLUCIÓN. 
 
Se factoriza el trinomio: 
 
𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟓 ≤ 𝟎 → (𝒙 − 𝟓)(𝒙 − 𝟏) ≤ 𝟎. 
 
Se buscan los puntos críticos: 
 
𝒙 − 𝟓 = 𝟎 → 𝒙 = 𝟓, 𝒚 𝒙 − 𝟏 = 𝟎 → 𝒙 = 𝟏. 
 
Se llevan a la recta real, como muestra la siguiente gráfica. En cada intervalo 
(−∞, 𝟏), (𝟏, 𝟓) 𝒚 (𝟓, ∞), se toman valores de prueba para verificar los signos. Por 
ejemplo, en el primer intervalo, tomamos x = 0, y vemos que los dos factores son 
negativos. Se multiplican estos dos signos negativos, y por eso aparece + en la última fila. 
Y así, para cada intervalo. 
 
 
Como la desigualdad original contiene ≤ , se buscan los intervalos donde aparezcan los 
signos negativos y, además, será un intervalo cerrado: 
 
𝑺 = [𝟏, 𝟓] 
 
EJEMPLO 3. Resolver la siguiente inecuación. 
 
𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔
𝒙 + 𝟏
≥ 𝟎 
SOLUCIÓN. 
Se factoriza el numerador de la inecuación: 
 
𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔
𝒙 + 𝟏
≥ 𝟎 →
(𝒙 − 𝟑)(𝒙 − 𝟐)
𝒙 + 𝟏
≥ 𝟎 
 
3 
 
Se buscan los puntos críticos: 
 
𝒙 − 𝟑 = 𝟎 → 𝒙 = 𝟑, 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 → 𝒙 = 𝟐 𝒚 𝒙 + 𝟏 = 𝟎 → 𝒙 = −𝟏. 
 
Se llevan a la recta real, como muestra la siguiente gráfica. En cada intervalo 
(−∞, −𝟏), (−𝟏, 𝟐), (𝟐, 𝟑) 𝒚 (𝟑, +∞), se toman valores de prueba para verificar los 
signos. Por ejemplo, en el primer intervalo, tomamos x = -3, y vemos que los tres términos 
son negativos. Se multiplican estos tres signos negativos, y por eso aparece un menos en 
la última fila. Y así, para cada intervalo. 
 
 
Como la desigualdad original contiene ≥ , se buscan los intervalos donde aparezcan los 
signos positivos: 
𝑺 = (−𝟏, 𝟐] ∪ [𝟑, +∞) 
 
NOTA.- En el -1 no puede ir un intervalo cerrado, porque entonces se 
incluiría este valor, y el denominador sería cero y la división entre cero no 
está permitida en matemáticas. 
 
EJEMPLO 4. Resolver la siguiente inecuación. 
 
𝒙 + 𝟓
𝒙 − 𝟐
>
𝟑𝒙 − 𝟓
𝟑𝒙 − 𝟏𝟐
 
 
SOLUCIÓN. 
𝒙 + 𝟓
𝒙 − 𝟐
−
𝟑𝒙 − 𝟓
𝟑𝒙 − 𝟏𝟐
> 𝟎 
 
(𝒙 + 𝟓)(𝟑𝒙 − 𝟏𝟐) − (𝒙 − 𝟐)(𝟑𝒙 − 𝟓)
(𝒙 − 𝟐)(𝟑𝒙 − 𝟏𝟐)
> 𝟎 
 
𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟓𝒙 − 𝟔𝟎 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔𝒙 − 𝟏𝟎
(𝒙 − 𝟐)(𝟑𝒙 − 𝟏𝟐)
> 𝟎 
 
4 
𝟏𝟒𝒙 − 𝟕𝟎
(𝒙 − 𝟐)(𝟑𝒙 − 𝟏𝟐)
> 𝟎 
Se buscan los puntos críticos: 
𝟏𝟒𝒙 − 𝟕𝟎 = 𝟎 → 𝒙 = 𝟓, 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 → 𝒙 = 𝟐 𝒚 𝟑𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎 → 𝒙 = 𝟒. 
 
Se llevan a la recta real, como muestra la siguiente gráfica. En cada intervalo 
(−∞, 𝟐), (𝟐, 𝟒), (𝟒, 𝟓) 𝒚 (𝟓, +∞), se toman valores de prueba para verificar los 
signos. 
 
 
Como la desigualdad original contiene > , se buscan los intervalos donde aparezcan los 
signos positivos: 
𝑺 = (𝟐, 𝟒) ∪ (𝟓, +∞) 
 
 
EJERCICIOS 
 
Resolver las siguientes desigualdades. 
 
(𝟏) 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟐 > 𝟎 (𝟔) 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟑𝟐 < 𝟎 
(𝟐) 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟒 ≥ 𝟎 (𝟕) 𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟏𝟖 ≤ 𝟎 
(𝟑) 
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝟒
𝒙 − 𝟏
< 𝟎 (𝟖) 
𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟖
𝒙 + 𝟑
≤ 𝟎 
(𝟒) 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 − 𝟐𝟒 ≤ 𝟎 (𝟗) 𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟐𝟎 ≥ 𝟎 
(𝟓) 
𝒙 + 𝟓
𝒙 − 𝟏
≥
𝒙 + 𝟐
𝒙 − 𝟐
 (𝟏𝟎) 
𝒙 + 𝟏𝟕
𝒙 + 𝟑
<
𝒙 + 𝟓
𝒙 − 𝟐