GUIA 34 TRANSFORMACIONES DE GRAFICAS

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUIA 34: TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS 
 
Definición. La gráfica de una función real de variable real, es el dibujo en el plano 
cartesiano donde están descritas las características de dicha función tales como 
dominio, rango, intersecciones con los ejes coordenados, puntos máximos y 
mínimos, y puntos de inflexión entre otras. En la gráfica de una función también se 
puede visualizar si la función es par o impar, creciente o decreciente, e inyectiva, 
sobreyectiva o biyectiva. 
Formalmente, la gráfica de una función se puede definir así: 
Sea f : A ⊆ R → B ⊆ R una función con regla de correspondencia y = f(x). La gráfica 
de f, denotada con Gf, es el conjunto de parejas ordenadas (x, y) en R × R tales que 
y = f(x) para x ∈ A. Esto es, 
Gf = {(x, f(x)) ∈ R × R | x ∈ A}. 
 
Desplazamientos o traslaciones de gráficas 
Los desplazamientos o traslaciones son movimientos directos que consisten en 
deslizar figuras, sin sacarlas de su propio plano, manteniendo su forma y tamaño. 
En el trazado de funciones, las traslaciones se utilizan para obtener la gráfica de 
ciertas funciones a partir de la representación gráfica de una función conocida. 
 
EJEMPLO 1. Traslación horizontal de una gráfica 
Considere las gráficas de las funciones f y g dadas en la Gráfica, respectivamente: 
 
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En este caso, una de las dos gráficas se puede obtener a partir de la otra por 
traslación horizontal: 
 La gráfica de la función f se obtiene deslizando 6 unidades hacia la derecha la 
gráfica de la función g. 
 La gráfica de la función g se obtiene deslizando 6 unidades hacia la izquierda la 
gráfica de la función f. 
 
Además, el rango de las dos funciones es el intervalo [─4, 5], mientras que el dominio 
de la función f es el intervalo [─1, 5] y el de la función g es [─7, ─1]. 
Según lo anterior, bajo esta traslación horizontal, no hay variación en el rango de las 
funciones. Pero el dominio de f ó de g va a depender del número de unidades 
(hacia la derecha o hacia la izquierda) en que se efectué el deslizamiento. 
 
EJEMPLO 2. Traslación vertical de una gráfica 
Considere las gráficas de las funciones f y g, ver la Gráfica, donde f(x) = √𝑥 + 2. 
Exprese la función g en términos de la variable “x” e indique el dominio y rango de 
ambas funciones. 
 
 
 
La información dada sugiere que la gráfica de la función g se puede obtener por 
traslación vertical de la gráfica de la función f, además para algunos puntos de la 
gráfica de las funciones f y g se tiene la Tabla 1: 
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En la Tabla 1, los valores de la tercera columna se generan sumando ─4 unidades a 
cada valor de la segunda columna. Lo anterior indica que al deslizar 4 unidades hacia 
abajo la gráfica de f se obtiene la gráfica de g. Es decir, g(x) = f(x) + (─4). Luego, g(x) = 
√𝑥 + 2 + (─4) = √𝑥 ─ 2. 
De otro lado las gráficas de las funciones f y g también sugieren que ambas tienen 
como dominio el intervalo [0, ∞). Sin embargo, no ocurre lo mismo con el rango: el 
rango de la función f es el intervalo [2, ∞) y el de g es el intervalo [─2, ∞). 
 
Los dos ejemplos anteriores, nos permiten hacer las siguientes generalizaciones. 
 
DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL 
En este caso la representación gráfica de la función g(x) = f(x + c), a partir de la 
gráfica de la función y = f(x), se obtiene efectuando traslaciones horizontales, ver 
la siguiente gráfica. 
Cuando c > 0, la gráfica de g se obtiene desplazando c unidades hacia la izquierda 
la gráfica de g. 
Cuando c < 0, la gráfica de g se obtiene desplazando | c | unidades hacia la derecha 
la gráfica de f. 
 
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La gráfica muestra las tres funciones f(x) = x3 – 2x (en color verde); g(x) = (x + 1)3 – 
2(x + 1) = f(x + 1) en color rojo y a h(x) = (x – 2)3 – 2(x – 2) = f(x – 2) en color azul. 
 
DESPLAZAMIENTO VERTICAL 
La representación gráfica de la función g(x) = f(x) + c, a partir de la gráfica de la 
función y = f(x) se obtiene efectuando traslaciones verticales, ver Gráfica. 
Cuando c > 0, la gráfica de g se obtiene desplazando c unidades hacia arriba la 
gráfica de f. 
Cuando c < 0, la gráfica de g se obtiene desplazando | c | unidades hacia abajo la 
gráfica de f. 
 
 
 
La gráfica muestra las tres funciones f(x) = Cos x (en color naranja); g(x) = cos x + 2 
= f(x) + 2 en color verde y a h(x) = Cos x – 3 = f(x) – 3 en color azul. 
 
COMBINACIÓN DE DESPLAZAMIENTOS VERTICALES Y HORIZONTALES 
Corresponde a los casos donde la representación gráfica de una función de la 
forma g(x) = f(x + a) + b se obtiene, a partir de la gráfica de la función y = f(x), bien 
sea efectuando traslaciones verticales seguidas de traslaciones horizontales o 
viceversa, ver la Gráfica siguiente. En ella se muestra la gráfica de y = f(x) de un 
segmento desplazado nueve unidades hacia la derecha, de forma que g(x) = f(x – 
9) (el de la línea punteada) y luego desplazado 3 unidades hacia arriba, de forma 
que su ecuación es h(x) = f(x – 9) + 3. 
𝒉(𝒙) = 𝒇(𝒙) − 𝟑 
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EJEMPLO 3. Trazado de una gráfica 
Trace la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 3 + 4. 
 
Solución: 
En primer lugar la fórmula que define a la función f sugiere que su gráfica, en el 
plano cartesiano, se puede obtener a partir de la gráfica de la función g(x) = √𝑥. 
Luego desplace 3 unidades hacia la derecha, la gráfica de g(x) = √𝑥 y trace en el 
plano la gráfica de la función √𝑥 − 3. Por último, deslice 4 unidades hacia arriba, la 
gráfica de √𝑥 − 3, y trace la gráfica de la función√𝑥 − 3 + 4, ver Gráfica siguiente. 
 
 
𝒉(𝒙) = 𝒇(𝒙 − 𝟗) + 𝟑 
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Por último, se puede establecer lo qué ocurre con el dominio y el rango de las 3 
funciones una vez efectuada esta combinación de movimientos: 
Como el dominio de la función g(x) = √𝑥 es el intervalo [0, ∞), una vez desplazada 
3 unidades hacia la derecha la gráfica de g se genera la gráfica de la función 
auxiliar ℎ(𝑥) = √𝑥 − 3, la cual tiene como dominio el intervalo [3, ∞). Y debido a que 
la gráfica de 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 3 + 4 se obtiene desplazando verticalmente la gráfica 
de ℎ(𝑥) = √𝑥 − 3, su dominio es el intervalo [3, ∞). 
En el caso de la función g(x) = √𝑥 el rango es el intervalo [0, ∞) el cual no cambia 
para la función auxiliar √𝑥 − 3. Sin embargo, una vez efectuado el desplazamiento 
de 4 unidades hacia arriba de la gráfica de la función auxiliar se genera la gráfica de 
la función 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 3 + 4 , la cual tiene como rango el intervalo [4, ∞). 
 
 
EJERCICIOS 
En los ejercicios 1 a 4 describa verbalmente lo que ocurre cuando se trasladan las 
funciones dadas. 
 
1. 𝒚 = 𝒇(𝒙) 𝒂 𝒈(𝒙) = 𝒇(𝒙 + 𝟓) 2. 𝒚 = 𝒇(𝒙) 𝒂 𝒈(𝒙) = 𝒇(𝒙 − 𝟑) + 𝟑 
3. 𝒚 = 𝒇(𝒙) 𝒂 𝒈(𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝟖 4. 𝒚 = 𝒇(𝒙) 𝒂 𝒈(𝒙) = 𝒇(𝒙 + 𝟓) − 𝟏 
 
En los ejercicios 5 y 6, determine el dominio y el rango de las funciones. 
 
5. 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 , 𝒈(𝒙) = 𝟑(𝒙 − 𝟓)𝟐 6. 𝒇(𝒙) = √𝒙, 𝒈(𝒙) = √𝒙 + 𝟒 
 
En los ejercicios 7 a 10, describa cómo haría la gráfica de cada función y utilice un 
graficador (como Geogebra) para elaborar las respectivas gráficas. 
 
7. 𝒇(𝒙) = √𝒙 − 𝟓 + 𝟑 8. 𝒇(𝒙) = (𝒙 − 𝟐)𝟐 − 𝟑 
9. 𝒇(𝒙) = (𝒙 + 𝟑)𝟑 10. 𝒇(𝒙) = √𝒙 + 𝟐