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puramente en términos de derivadas parciales, ya que la contracción de la conexión simétrica y el tensor de Levi-Civita antisimétrico es idénticamente cero: (~∇× ~A)µ = εµνρ ( ∂νAρ − ΓλνρAλ) = εµνρ ∂νAρ. (8.29) También las expresiones para la divergencia y el laplaciano son más sencillas. De la misma defi- nición (8.7) de la conexión de Levi-Civita se puede demostrar con el uso de (A.23) que el sı́mbolo de Christoffel con dos ı́ndices contraı́dos se puede escribir como (ejerc.) Γνµν = 1 √ |g| ∂µ √ |g|. (8.30) Usando esta propiedad, la divergencia de un vector y el laplaciano de un escalar toman la forma ~∇ · ~A = 1√ |g| ∂µ [ √ |g|Aµ ] , ∇2φ = 1√ |g| ∂µ [ √ |g| ∂µφ ] . (8.31) No es difı́cil ver que esta expresión para la divergencia es incluso válida para tensores antisimétri- cos: si T µ1...µm es un tensor completamente antisimétrico, entonces (ejerc.) ∇µT µν1...νm−1 = 1 √ |g| ∂µ [ √ |g|T µν1...νm−1 ] . (8.32) Es instructivo ver hasta qué punto las conocidas identidades de las diferentes operadores dife- renciales actuando unos sobre otros generalizan de RN (R3 en caso de rotacionales) a variedades arbitrarias. Claramente, la divergencia de un gradiente sigue siendo el laplaciano, ~∇ · (~∇φ) = ∇µ∂µφ = ∇2φ, (8.33) básicamente por la misma definición de los operadores. El caso del rotacional de un gradiente también es bastante directo:2 (~∇× ~∇φ)µ = εµνρ ∇ν∇ρφ = 1 2 εµνρ [∇ν ,∇ρ]φ = 0, (8.34) El caso de la divergencia de un rotacional es un poco más sútil. El conocido resultado de RN generaliza a variedades curvas, pero gracias a la identidad de Bianchi (8.9): ~∇ · (~∇× ~A) = εµνρ ∇µ∇νAρ = 1 2 εµνρ [∇µ,∇ν ]Aρ = 1 2 εµνρ Rµνρ λAλ = 0. (8.35) Finalmente el rotacional de un rotacional sı́ da un resultado distinto cuando hay curvatura: (~∇× ~∇× ~A)µ = εµνρερλσ∇ν∇λAσ = ∇ν∇µAν − ∇ν∇νAµ = gµλ [ ∇λ∇νAν + RνλσνAσ ] − ∇2Aµ = ∇µ∇νAν − ∇2Aµ − RµσAσ, (8.36) donde en la segunda igualdad hemos usado la identidad para la contracción de dos tensores de Levi-Civita, εµνρελσρ = δ µ λδ ν σ − δνλδµσ . (8.37) 2Por lo menos en el caso de que la conexión sea Levi-Civita, al que nos limitaremos aquı́. Dejamos como ejercicio derivar el equivalente para conexiones arbitrarias. 125
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