BertJanssen-RelatividadGeneral-113

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7.3. Curvatura y el tensor de Riemann
Intuitivamente tenemos una idea más o menos vaga de lo que es curvatura. Nos podemos
imaginar una superficie bidimensional curva, pero un espacio tridimensional con curvatura ya es
muchomás difı́cil. Intuitivamente estamos acostumbrados de pensar en (hiper)superficies curvos
como embebidas en un espacio plano de dimensión más grande, pero en esta sección veremos
que el concepto de variedades con curvatura existe independientemente de una inmersión en
un espacio más grande. En otras palabras, una hormiga bidimensional puede distinguir si la
superficie que recorre tiene curvatura o no, estudiando la geometrı́a de la variedad, sin tener ni
idea si esta superficie está embebida en R3.
Ya hemos dicho antes que en general el resultado del transporte paralelo de un vector de
un punto p a un punto q depende de la trayectoria entre p y q. Por ejemplo, en una 2-esfera S2,
podemos trasladar un vector ~V de un punto p en el ecuador al punto q en el polo norte, o bien
primero un tramo al oeste hasta un punto s1 y luego hacia el norte, o bien primero hacia el este
hasta un punto s2 y luego hacia el norte (véase Figura 7.2). Los vectores resultantes, ~V1 y ~V2,
difieren con un ángulo α, igual al ángulo entre las dos trayectorias dirigidas hacia el polo norte.
El hecho de que los vectores no coincidan es una manifestación de la curvatura de la variedad
encerrada por las curvas. Básicamente es la definición de curvatura: diremos que una variedad es
curva si el transporte paralelo de un vector a través de una curva cerrada resulta en un vector diferente al
volver en el punto de salida. Con esta definición está claro que la curvatura de una variedad tiene
todo que ver con la manera cómo hacemos el transporte paralelo en la variedad y por lo tanto
con la conexión Γρµν que hemos elegido.
Para definir bien, es decir de manera cuántitativa, la curvatura de una variedad considera-
mos el transporte paralelo de un vector a lo largo de un paralelogramo infinitesimal cuyos lados
consisten de los vectores dxµ y dxν , un desplazamiento infinitesimal en las direcciones xµ y xν
respectivamente. En particular, calculamos la diferencia entre trasladar el vector V λ primero a lo
largo de dxµ y luego a lo largo de dxν y transladarlo primero dxν y después dxµ. En otras pala-
bras, tenemos que calcular el conmutador de las derivadas covariantes [∇µ,∇ν ] = ∇µ∇ν −∇ν∇µ
actuando sobre el vector V λ.
En un primer paso calculamos
∇µ∇νV λ = ∂µ∂νV λ + ∂µΓλνρV ρ + Γλνρ∂µV ρ
−Γρµν∂ρV λ − ΓρµνΓλρσV σ + Γλµρ∂νV ρ + ΓλµρΓρνσV σ, (7.22)
de modo que el conmutador viene dado por (ejerc.)
[∇µ,∇ν ]V λ = RµνρλV ρ − T ρµν∇ρV λ, (7.23)
donde
Rµνρ
λ = ∂µΓ
λ
νρ − ∂νΓλµρ + ΓλµσΓσνρ − ΓλνσΓσµρ,
T ρµν = Γ
ρ
µν − Γρνµ. (7.24)
Vemos que, en contraste con las derivadas parciales, el conmutador de dos derivadas covariantes
no es cero, sino que consiste de dos partes. Una parte es proporcional a vector V ρ, donde el
factor de proporcionalidad Rµνρ
λ es el tensor de Riemann. Esta parte mide la diferencia entre el
transporte paralelo de V ρ por una trayectoria y por otra y es por lo tanto una medida de la
curvatura del espacio encerrado en el paralelogramo (véase Figura 7.4).
La segunda parte es proporcional a la derivada covariante de V λ y el factor de proporcionali-
dad Tµν
ρ es la parte antisimétrica de la conexión, llamado el tensor de torsión. El tensor de torsión
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	II Geometría Diferencial
	Conexión afín y curvatura
	Curvatura y el tensor de Riemann