BertJanssen-RelatividadGeneral-103

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reduzcan a la métrica plana en todo la variedad. Parece por lo tanto que S2 y H2 tienen propieda-
des intrı́nsecas (i.e. que no dependen del sistema de coordenadas usado) distintas de RN . En el
Capı́tulo 7 estudiaremos estas propiedades en detalle, pero primero tenemos que mirar cómo se
comportan vectores y tensores bajo cambios generales de coordenadas en variedades arbitrarias,
o sea en espacios que no son necesariamente RN . En realidad, en la sección anterior no hemos
utilizado en ningún momento el hecho de que la métrica sea reducible o no a la cartesiana, de mo-
do que todas las propiedades derivadas en la sección 6.2 (salvo precisamente la ecuación (6.10))
serán directamente generalizables aMN .
Supongamos por lo tanto que en una variedad N -dimensional MN tenemos dos sistemas de
coordenadas xµ y yα (donde utilizamos los ı́ndices griegos del principio del alfabeto para unos y
los del medio del alfabeto para otros), que están relacionadas a través de un cambio general de
coordenadas del tipo (6.3):
yα = yα(xµ) ⇐⇒ xµ = xµ(yα). (6.22)
En contraste con el caso de una transformación global, las coordenadas xµ e yα no transforman
como vectores bajo una transformación local. Efectivamente, el cambio de coordenadas (6.22) no
es de la forma (4.5). Sin embargo, sus diferenciales
dyα =
∂yα
∂xµ
dxµ, dxµ =
∂xµ
∂yα
dyα (6.23)
sı́ transforman como vectores, si identificamos lasmatrices de la transformación con las derivadas
parciales
Mαµ =
∂yα
∂xµ
. (6.24)
Observa que las entradas de la matriz Mαµ no son constantes, sino funciones de x
µ, por el
carácter local de la transformación. En general llamaremos un vector contravariante a cualquier
objeto V µ, que bajo un cambio de coordenadas (6.3) transforma como
V α =
∂yα
∂xµ
V µ. (6.25)
Nótese que las transformaciones ortogonales (4.5) y (5.10) son casos especiales de este definición.
Matemáticamente un vector contravariante localizado en un punto p de la variedad no es un
objeto que vive en la variedad, sino en el espacio tangente Tp(M) del punto p. Estamos acostum-
brados a pensar en vectores como objectos que conectan dos puntos del espacio. Esta idea es
correcta para RN , pero no para una variedad arbitraria, por el hecho de que no es posible defi-
nir curvas preferidas entre dos puntos de una variedad sin suponer ciertas condiciones sobre las
propiedades geométricas.7
En analogı́a con (4.16) y (6.25), un vector covariante es un objeto Wµ que transforma bajo (6.3)
como
Wα =
∂xµ
∂yα
Wµ, (6.26)
o sea, que transforma con la matriz inversa (M−1)µα = ∂xµ/∂yα. Matemáticamente un vector
covariante es una uno-forma, un operador que actúa sobre vectores (contravariantes) para dar un
escalar. Dicho de otra manera: el producto escalar de un vector covariante y uno contravariante
es un escalar. Los vectores covariantes son elementos del espacio cotangente T ∗p (M) o el espacio
dual.
Sabiendo como transforman los vectores co- y contravariantes bajo cambios generales de coor-
denadas, es obvio generalizar las definiciones a tensores de rango (m, n). Un tensor de rango
7La razón por qué la idea sı́ es correcta en RN es porque en cada punto su espacio tangente es el mismo RN , de modo
que podemos identificar los distintos espacios tangentes y la variedad misma.
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