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En general en tensor de Ricci no es simétrico, puesto que la parte antisimétrica toma la forma (ejerc.) Rµν − Rνµ = Rµνρρ −∇ρT ρµν −∇µT ρνρ + ∇νT ρµρ − T λµνT ρλρ (7.38) Veremosmás adelante que las fórmulas (7.34), (7.35) y (7.38) se simplicifarán mucho si trabajamos con la conexión de Levi-Civita. Contrayendo los dos ı́ndices del tensor de Ricci, se obtiene el escalar de Ricci o el escalar de curvatura: R = gµνRµν . (7.39) Como dice el nombre, el escalar de Ricci es un escalar y por lo tanto un invariante bajo cambios generales de coordenadas. Finalmente, un tensor que juega un papel importante en la relatividad general es el tensor de Einstein, construido del tensor de Ricci, el escalar de Ricci y la métrica como Gµν = Rµν − 1 2 gµνR. (7.40) Igual que el tensor de Ricci, el tensor de Einstein en general no es simétrico. Por otro lado contra- yendo la segunda identidad de Bianchi (7.35) con δρλg µσ obtenemos la identidad 2∇µGνµ + 2T ρµν Rρµ + T λµρ Rνλµρ − ∇ρgµλ [ δρµ Rνλ + δ ρ ν Rµλ + Rµνλ ρ ] = 0. (7.41) También esta identidad simplifica mucho con la elección de Levi-Civita y jugará un papel impor- tante a la hora de construir las ecuaciones del campo gravitatorio. 7.6. Geodésicas afines y métricas En RN las rectas son curvas especiales por dos razones distintas. La primera razón es que una recta es la curva más corta entre dos puntos p y q. La segunda es que es la única curva donde el vector tangente está transportado paralelamente a si mismo a lo largo de la curva. En esta sección veremos cómo podemos generalizar cada uno de estos conceptos a variedades más generales. Una primera observación es que en principio las dos propiedades de las rectas en RN no tienen nada que ver el uno con el otro. Una habla de la distancia entre dos puntos, mientras que la otra de paralelismo, y necesitamos dos conceptos matemáticas distintos para definirlos: la métrica para distancias y ángulos y la conexión afı́n para definir lo que entendemos por paralelo. No es de extrañar entonces que podemos generalizar el concepto de la recta en RN de dos ma- neras distintas a espacios arbitrarios: una, a través de la métrica, como la curva que minimiza la distancia entre dos puntos y la otra, a través de la conexión, como la curva cuyo vector tangente es (covariantemente) constante. En general, para conexiones arbitrarias estas dos generalizaciones resultarán en curvas distintas. Consideramos primero la generalización de la segunda caracterı́stica: una geodésica afı́n es aquella curva xµ(τ), cuyo vector tangente uµ = ẋµ(τ) = dxµ/dτ esté transportado paralela- mente a si mismo a lo largo de la curva. En otras palabras, las geodésicas afines son las curvas más “rectas” que podemos definir en una variedad arbitraria. Con (7.21) vemos entonces que las geodésicas afines están definidas por la ecuación uν∇νuµ = 0 (7.42) Usando que uν∂ν = d/dτ es la derivada (parcial) direccional en la dirección de la curva, podemos escribir esta ecuación como una ecuación diferencial para xµ(τ): ẍµ + Γµνρẋ ν ẋρ = 0. (7.43) 117 II Geometría Diferencial Conexión afín y curvatura Geodésicas afines y métricas
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