BertJanssen-RelatividadGeneral-122

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8.2. Las simetrı́as de los tensores de curvatura
Estará claro que las dos condiciones que determinan la conexión de Levi-Civita simplifican
mucho las propiedades geométricas del espacio: La simetrı́a de la conexión hace que la torsión
T ρµν desaparece de todas las expresiones y la compatibilidad con la métrica) permite subir y bajar
ı́ndices detrás de derivadas covariantes con mucha facilidad.
Además, la conexión de Levi-Civita hace que los tensores de curvatura tienen más simetrı́as
que en el caso general y satisfacen relaciones más sencillas. Ya hemos visto en (7.32) que el ten-
sor de Riemann es antisimétrico en los primeros dos ı́ndices, pero resulta que Rµνρλ también es
antisimétrico en las últimas dos ı́ndices, si la conexión es compatible con la métrica
Rµνρλ = −Rµνλρ. (8.8)
Esta última propiedad se demuestra fácilmente, exigiendo que el conmutador de dos derivadas
covariantes actuando sobre la métrica sea cero, [∇µ,∇ν ]gρλ = 0 (ejerc.). Por otro lado, las identi-
dades de Bianchi (7.34) y (7.35) se reducen con la conexión de Levi-Civita a
Rµνρλ + Rνρµλ + Rρµνλ = 0,
∇µRνρσλ + ∇νRρµσλ + ∇ρRµνσλ = 0. (8.9)
Finalmente, las reglas de antisimetrı́a (7.32) y (8.8), en combinación con la primera identidad de
Bianchi (8.9), implican que el tensor de Riemann es simétrico bajo el intercambio del primer par
de ı́ndices con el segundo par (ejerc.),
Rµνρλ = Rρλµν . (8.10)
Estas condiciones reducen el número de grados de libertad del tensor de Riemann, es decir
el número de componentes independientes. Un pequeño cálculo combinatorio muestra que el
tensor de Riemann en N dimensiones tiene 112N
2(N2 − 1) grados de libertad, lo que en N = 4
corresponde a 20.
Otra ventaja de la conexión de Levi-Civita es el tensor de Ricci Rµν es ahora la única contrac-
ción independiente de Riemann. Donde con una conexión arbitraria los tensores
Rµν = Rµλν
λ, R̃µν = g
ρλRµρλν , R̄µν = Rµνλ
λ, (8.11)
son en principio contracciones independientes, las simetrı́as del tensor de Riemann hacen ahora
que estas contracciones sean o bien idénticamente cero, o bien proporcionales al tensor de Ricci.
También está claro de (7.38) que con Levi-Civita tanto el tensor de Ricci Rµν como el tensor
de Einstein Gµν son simétricos en los dos ı́ndices. Fı́jese que los términos de torsión son cero por
la simetrı́a de la conexión, mientras el término Rµνρ
ρ es cero debido a la propiedad (8.8), es decir,
debido a la compatibilidad de la conexión con al métrica. Finalmente, una de las propiedades
importantes del tensor de Einstein para la relatividad general es que su divergencia es cero,
∇µGµν = 0, (8.12)
como se ve fácilmente aplicando las condiciones de la conexión de Levi-Civita a la ecuación (7.41).
Esto impone la siguiente relación entre las derivadas del tensor y el escalar de Ricci:
∇µRνµ =
1
2
∂νR. (8.13)
La propiedad (8.12) jugará en importante papel en la construcción de las ecuaciones del campo
gravitacional, como veremos en el Capı́tulo 10.
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	II Geometría Diferencial
	Cálculo tensorial con la conexión de Levi-Civita
	Las simetrías de los tensores de curvatura