BertJanssen-RelatividadGeneral-118

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Obsérvese que en esta ecuación τ es simplemente el parámetro afı́n que parametriza la curva
xµ(τ) y no (necesariamente) el tiempo propio en el caso de curvas temporales. Es más, hasta que
no introduzcamos la métrica, no tenemos manera de calcular la longitud de las geodésicas afines.
Obsérvese también que en el último término de (7.43) ẋν y ẋρ aparecen de manera simétri-
ca, de modo que sólo la parte simétrica de la conexión contribuye a la determinación de las
geodésicas afines. En otras palabras, dos conexiónes Γρµν y Γ̃
ρ
µν que difieren por su torsión, Γ̃
ρ
µν =
Γρµν + T
ρ
µν , tienen las mismas geodésicas afines.
La ecuación (7.43) no deberı́a ser del todo desconocida: para RN equipada con la conexión
de Levi-Civita (la noción intuitiva de lo que llamamos paralelo), los coeficientes de conexión son
cero en coordenadas cartesianas, Γkij = 0, y la ecuación (7.43) se reduce a la conocida ecuación
de la recta, ẍi(τ) = 0. Además, es ilustrativo comprobar que al aplicar un cambio general de
coordenadas xi = xi(yµ) a la ecuación de la recta y usando la regla de transformación de la
conexión (7.15), se obtiene precisamente la forma general (7.43) de la ecuación de la geodésica
(ejerc.).
La otra generalización de una recta en variedades arbitrarios es buscando la curva más corta
entre dos puntos.2 Las geodésicas de este tipo se llaman geodésicas métricas y, como hemos dicho,
para conexiones arbitrarias no coinciden con las geodésicas afines.
La mejor manera de definir la distancia más corta entre dos puntos es a través de cálculo
variacional: una geodésica métrica es la curva xµ(τ) entre dos puntos p y q cuya longitud
s =
∫ q
p
dτ
√
gµν(x(τ)) ẋµ(τ) ẋν (τ) (7.44)
es estacionaria bajo pequeñas variaciones de la curva y de la métrica,
xµ(τ) → x µ(τ) + δxµ(τ), gµν(x) → gµν(x) + ∂ρgµν(x) δxρ. (7.45)
La geodésica corresponde por lo tanto a la curva para la cual δs = 0 y ésta viene dada por la
ecuación de Euler-Lagrange,
d
dτ
( δL
δẋµ
)
− δL
δxµ
= 0, (7.46)
donde L = ds/dτ =
√
gµν ẋµ ẋν es la funcional que aparece en (7.44).
La manera más fácil de proceder es multiplicar (7.46) con un factor 2L, para eliminar la raiz
cuadrada. La ecuación de Euler-Lagrange se escribe entonces como
d
dτ
(δL2
δẋµ
)
− δL
2
δxµ
= 2
δL
δẋµ
dL
dτ
, (7.47)
y rellenando la expresión para L obtenemos para el lado izquierdo
d
dτ
(δL2
δẋµ
)
− δL
2
δxµ
=
d
dτ
(
2gµν ẋ
ν
)
− ∂µgνρ ẋν ẋρ
= 2gµν ẍ
ν + 2∂ρgµν ẋ
ν ẋρ − ∂µgνρ ẋν ẋρ
= 2gµν ẍ
ν +
[
∂νgµρ + ∂ρgνµ − ∂µgνρ
]
ẋν ẋρ
= 2gµλ ẍ
λ + 2gµλ {λνρ} ẋν ẋρ, (7.48)
2La definición de la geodésica como la distancia más corta entre dos punto es solamente válida en espacios rieman-
nianos y en espacios lorentzianos en el caso de geodésicas espaciales. Geodésicas temporalesmaximizan el tiempo propio,
debido al signo relativo entre las coordenadas.
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