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pequeño entorno alrededor de un punto p podemos expandirla como gµν(x) ≈ gµν(p) + ∂ρgµν(p)xρ + 1 2 ∂ρ∂λgµν(p)x ρ xλ + . . . (8.41) donde por simplicidad (pero sin pérdida de generalidad) hemos elegido xµ(p) = 0. Del mismo modo en las coordenadas localmente inerciales yi tenemos que gij(y) ≈ gij(p) + ∂kgij(p) yk + 1 2 ∂k∂lgij(p) y k yl + . . . (8.42) Las dos expresiones de la métrica obviamente están relacionadas a través de un cambio de coor- denadas (6.29), gij(y) = ∂xµ ∂yi ∂xν ∂yj gµν(x), (8.43) donde a su vez podemos expandir el cambio de coordenadas xµ = xµ(y) en una serie de Taylor como xµ ≈ ∂x µ ∂yi (p) yi + ∂2xµ ∂yi∂yj (p) yi yj + ∂3xµ ∂yi∂yj∂yk (p) yi yj yk + . . . (8.44) Sustituyendo (8.41) , (8.42) y (8.44) en (8.43) obtenemos (esquemáticamente) que (ejerc.) g′(p) + ∂g′(p) y + ∂∂g′(p) y2 ≈ [∂x ∂y ∂x ∂y g ] (p) + [∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂g + ∂x ∂y ∂2x ∂y∂y g ] (p) y (8.45) + [∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂∂g + ∂x ∂y ∂x ∂y ∂2x ∂y∂y ∂g + (∂x ∂y ∂3x ∂y∂y∂y + ∂2x ∂y∂y ∂2x ∂y∂y ) g ] (p) y y + ... donde el acento sólo indica que escribimos la métrica en coordenadas yi. Comparando el lado izquierdo con el lado derecho de esta ecuación tenemos entonces que g′(p) = [∂x ∂y ∂x ∂y g ] (p), (8.46) ∂g′(p) = [∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂g + ∂x ∂y ∂2x ∂y∂y g ] (p), ∂∂g′(p) = [∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂∂g + ∂x ∂y ∂x ∂y ∂2x ∂y∂y ∂g + (∂x ∂y ∂3x ∂y∂y∂y + ∂2x ∂y∂y ∂2x ∂y∂y ) g ] (p). El resto es combinatoria: g′ij(p) es un tensor simétrico, de modo que en una variedad N - dimensional tiene 12N(N + 1) componentes independientes. Por otro lado, la matriz ∂x µ/∂yi tiene N2 entradas independientes, asi que, sea lo que sea el valor de gµν(p), siempre podemos elegir los ∂xµ/∂yi tal que gij(p) = δij . 4 Una vez elegidas las ∂xµ/∂yi, las primeras derivadas de la métrica ∂kgij(p) están determina- das por las segundas derivadas del cambio de coordenadas ∂2xµ/∂yi∂yj . No es difı́cil ver que hay 1 2N 2(N + 1) componentes ∂kgij(p) y exactamente la misma cantidad de entradas ∂ 2xµ/∂yi∂yj , de modo que siempre hay suficiente libertad para elegir los xµ(yi) tal que ∂kgij(p) = 0. Sin embargo, los números ya no cuadran cuandomiramos las segundas derivadas de lamétri- ca: dado que ∂k∂lgij es simétrico en tanto en i y j, como en k y l, tenemos 1 4N 2(N + 1)2 se- gundas derivadas independientes de gij , mientras sólo hay 1 6N 2(N + 1)(N + 2) componentes ∂3xµ/∂yi∂yj∂yk. Podemos por lo tanto igualar a cero una parte de las entradas de ∂k∂lgij , pero siempre quedarán 112N 2(N2 − 1) componentes que no podemos elegir. Veremos en breve que no 4Se puede demostrar que los restante 1 2 N(N − 1) componentes de ∂xµ/∂yi son exactamente las componentes de las transformaciones ortogonales SO(N) que preservan la forma de la métrica δij (ηµν ). 127
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