BertJanssen-RelatividadGeneral-129

Vista previa del material en texto

de Christoffel. Nótese que el número de componentes independientes del tensor de Riemann es
igual al número de segundas derivadas ∂k∂lgij que no podemos anular.
Finalmente, nótese qué esta propiedad no funcionarı́a en presencia de torsión: el cambio de
coordenadas (8.48) es simétrico en los ı́ndices µ y ν, de modo que en (8.49) el cambio de coorde-
nadas sólo podrá deshacer la parte simétrica de Γρµν . Pero también hay otra manera de verlo: si la
conexión no fuera simétrica, la torsión T ρµν = Γ
ρ
µν − Γρνµ serı́a diferente de cero en un sistema de
coordenadas arbitrario. Pero el caracter tensorial de la torsión impide que en este caso exista un
sistema de coordenadas especı́fico donde la torsión (y por lo tanto la conexión) sea cero, aunque
sea en un punto. La única posibilidad para poder igualar a cero las conexiónes es que la torsión
sea cero, es decir, cuando la conexión sea simétrica.
Las coordenadas localmente inerciales juegan un papel importante en la relatividad general.
En la sección 5.4 dijimos que, gracias el Principio de Equivalencia, un observador en caı́da libre
en un campo gravitatorio se puede creer un observador inercial en ausencia de gravedad, por
lo menos en una región pequeña. Efectivamente, en este caso el observador no es capaz de ver
la diferencia entre la variedad curva y el espacio tangente en el punto donde está. Además las
coordenadas localmente inerciales son localmente idénticas a las coordenadas cartesianas, de
modo que se creerá un observador inercial en el espacio de Minkowski.
8.6. Geodésicas con Levi-Civita
Otro sitio donde se nota la ventaja de usar la conexión de Levi-Civita es en el estudio de las
geodésicas. En el Capı́tulo 7 hemos visto que en una variedad curva se pueden definir dos tipos
de geodésicas: las afines y las métricas. Las geodésicas afines, definidas por la ecuación (7.42)
ẍρ + Γρµν ẋ
µ ẋν = 0, (8.51)
eran aquellas curvas donde el vector tangente se mantenı́a paralelo a si mismo bajo transporte
paralelo a lo largo de la curva. Por otro lado, las geodésicas métricas, las curvas más cortas entre
dos puntos, estaban definidas por
ẍρ +
{
ρ
µν
}
ẋµ ẋν = 0. (8.52)
Ahora, la expresión (8.7) para la conexión de Levi-Civita en función de la métrica coincide
exactamente con la expresión de los sı́mbolos de Christoffel (7.49) que aparece en la fórmula de
las geodésicas métricas,
Γρµν =
1
2
gρλ
(
∂µgλν + ∂νgµλ − ∂λgµν
)
=
{
ρ
µν
}
(8.53)
de modo que en variedades equipadas con la conexión de Levi-Civita, las dos ecuaciones (8.51)
y (8.52) coinciden y ya no hay diferencia entre las geodésicas afines y las geodésicas métricas.
Desde el punto de vista fı́sico, esta simplificación tiene mucho sentido. Dado que el vector
tangente a una curva ẋµ es la velocidad de la partı́cula que sigue dicha curva, las geodésicas afi-
nes son trayectorias de partı́culas no-aceleradas, ya que su la velocidad es constante a lo largo de
la curva: ẋµ∇µẋρ = 0. Por otro lado, las geodésicas métricas, al venir de un principio variacional,
están ı́ntimamente ligadas con las ecuaciones demovimiento en el formalismo lagrangiano. Efec-
tivamente, la ecuación de la geodésica (8.52) se puede obtener equivalentemente5 tras aplicar la
ecuación de Euler-Lagrange a la funcional
S =
∫
dτ gµν(x) ẋ
µ(τ) ẋν (τ). (8.54)
5En la práctica, al multiplicar (7.46) por 2L para obtener la ecuación (7.47), estamos haciendo la variación de la funcio-
nal (8.54).
129
	II Geometría Diferencial
	Cálculo tensorial con la conexión de Levi-Civita
	Geodésicas con Levi-Civita