BertJanssen-RelatividadGeneral-163

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mientras los sı́mbolos de Christoffel a su vez son cuadráticos y de primer orden en la métrica
Γρµν =
1
2
gρλ
(
∂µgλν + ∂νgµλ − ∂λgµν
)
, (10.34)
de modo que (10.32) es de tercer orden en gµν . La variación de S lleva por lo tanto a una ecuación
de Euler-Lagrange modificada, de cuarto orden:
∂ρ∂λ
( δL
δ(∂ρ∂λgµν)
)
− ∂ρ
( δL
δ(∂ρgµν)
)
+
δL
δgµν
= 0, (10.35)
donde L es el lagrangiano de la acción de Einstein-Hilbert (10.32). Estará claro que calcular
explı́citamente todos las componentes de (10.35), aunque posible, no es en la práctica un método
viable.
Afortunadamente existe un truco, llamado el formalismo de Palatini, que nos permite obtener
las ecuaciones de Einstein de manera más directa. El truco consiste en suponer por un momento
que la conexión en el escalar de Ricci (10.33) es una conexión arbitraria, no necesariamente la co-
nexión de Levi-Civita (10.34). En este caso no hay una relación entre la conexión y la métrica y se
considera por lo tanto los Γρµν como un campo independiente. La acción de Einstein-Hilbert tiene
por lo tanto sólo dos sitios donde aparece la métrica: en el determinante
√
|g| y en la contracción
del tensor de Ricci R(Γ) = gµνRµν(Γ). La variación con respecto a g
µν es entonces muy sencillo
0 ≡ δL
δgµν
=
√
|g|
[
Rµν(Γ) −
1
2
gµνg
ρλRρλ(Γ)
]
, (10.36)
donde el primer término viene de la variación deR y el segundo de la variación del determinante.
Dividiendo esta igualdad por
√
|g| se tiene directamente las ecuaciones de Einstein (10.20) para el
caso de Tµν = 0. Sin embargo, hay otros grados de libertad más, dado que hemos considerado la
conexión como un campo independiente. Tenemos por lo tanto que calcular todavı́a la variación
de la acción δS bajo variaciones de la conexión Γρµν → Γρµν + δΓρµν . No es difı́cil de averiguar que
la variación de la acción viene dada por
δS =
1
2κ
∫
d4x
√
|g| gµν
[
∇µ(δΓλλν) −∇λ(δΓλµν) + T σµλ(δΓλσν)
]
(10.37)
gracias a la Identidad de Palatini
δRµν = ∂µ(δΓ
λ
λν) − ∂λ(δΓλµν) + (δΓλµσ)Γσλν + Γλµσ(δΓσλν) − (δΓλµν)Γσλσ − Γλµν(δΓσλσ)
= ∇µ(δΓλλν) −∇λ(δΓλµν) + T σµλ(δΓλσν), (10.38)
donde T σµλ = Γ
σ
µλ − Γσλµ es el tensor de torsión (7.24) (Nótese que de momento tratamos la co-
nexión como arbitraria, y por lo tanto no necesariamente simétrica). Integrando por partes los
primeros dos términos, podemos reescribir (10.37) como (ejerc.)
δS =
1
2κ
∫
d4x
√
|g|
{
gµνT σµλ(δΓ
λ
σν) −
[
∇µgµν +
1
2
gµνgστ∇µgστ + gµνT σµσ
]
(δΓλλν)
+
[
∇λgµν +
1
2
gµνgστ∇λgστ + gµνT σλσ
]
(δΓλµν)
}
, (10.39)
donde hemos utilizado la generalización a conexiónes arbitrarias de (A.22) (ejerc.),
∂ρ
√
|g| = 1
2
√
|g|gµν∂ρgµν =
1
2
√
|g|gµν∇ρgµν +
√
|g|Γλρλ. (10.40)
Por lo tanto, la variación de la acción se puede escribir como
0 ≡ δS = 1
2κ
∫
d4x
√
|g| (δΓλµν)
{
−
[
∇ρgρν + gρνgστ∇ρgστ + gρνT σρσ
]
δµλ
+∇λgµν + gµνgστ∇λgστ + gµνT σλσ + gρνT µρλ
}
. (10.41)
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