BertJanssen-RelatividadGeneral-77

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Insistimos otra vez que no se deberı́a confundir la delta de Kronecker con la matriz identidad
(4.7): la matriz identidad es una transformación (trivial), mientras la delta es un tensor que trans-
forma bajo transformaciones en RN .
Por construcción, el tensor de Levi-Civita es completamente antisimétrico en todos sus ı́ndi-
ces. Eso hace que estrictamente hablando no sea un tensor, puesto que en sus reglas de transfor-
mación aparecen el signo y el valor absoluto del determinante (det M−1) del cambio de coorde-
nadas (M−1)ij :
ε′i1...iN = sgn(detM−1) | detM−1| M i1j1 ...M iN jN εj1...jN . (4.61)
Objetos que transforman con el signo del determinante de la transformación se llaman pseudo-
tensores y objetos que transforman con el valor absoluto del determinante de la transformación
(a la potencia p) se llaman densidades tensoriales (de peso p). Estrictamente hablando el tensor de
Levi-Civita es por lo tanto una pseudo-tensor densidad de peso 1.5
Como la delta Kronecker, también el tensor de Levi-Civita es un tensor fundamental. De la
regla de transformación (4.61) deducimos que
ε′i1...iN = sgn(detM−1) | detM−1| M i1 j1 ...M iN jN εj1...jN
= detM−1 detM εi1...iN = εi1...iN , (4.62)
donde en la segunda igualdad hemos utilizado la identidad
detM εi1...iN = M i1j1 ...M
iN
jN ε
j1...jN , (4.63)
que se demuestra fácilmente de la propia definición del determinante
det M = 1N ! M
i1
j1 ...M
iN
jN εi1...iN ε
j1...jN . (4.64)
4.6. Operaciones con tensores
Una primera propiedad de los tensores es una generalización directa de una propiedad co-
nocida de vectores (tensores): de las reglas de transformación (4.51) ((4.57)) está claro que si una
componente de un vector (tensor) es cero en una base, en general no lo será en otra base. Sin
embargo, también está claro que si todas las componentes de un vector (tensor) son cero en una
base, lo serán en todas las bases.
De la regla de transformación (4.57) también está claro que si Ai...j... y B
i...
j... son dos tensores
de rango (m, n), la combinación lineal
Ci1...imj1...jn = αA
i1...im
j1...jn + βB
i1...im
j1...jn (4.65)
también es un tensor de rango (m, n).
Si un tensor tiene la propiedad que T ij...... = T
ji...
..., decimos que T es un tensor simétrico en i
y j. Si tiene la propiedad que T ij...... = −T ji......, decimos que es un tensor anti-simétrico en i y j.
Utilizando (4.65) se deriva directamente que si un tensor es (anti-)simétrico en una base, lo es en
todas.
De la forma en que hemos introducido los tensores también está claro que el producto tenso-
rial de un tensor de (m, n) con uno de rango (p, q)
Ci1...imj1...jn
k1...kp
l1...lq = A
i1...im
j1...jnB
k1...kp
l1...lq (4.66)
5El estudiante atento habrá observado que al ser (M−1)ij una transformación ortogonal, tenemos que |det M−1| =
1. Sin embargo preferimos poner el factor | det M−1| explı́citamente por razones pedagógicas, para demostrar que el
tensor de Levi-Civita es un pseudo-tensor bajo las transformaciones ortogonales, pero una densidad pseudo-tensorial
bajo transformaciones más generales.
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	I El Principio de la Relatividad y la Relatividad Especial
	Álgebra de tensores y transformaciones ortogonales
	Operaciones con tensores