BertJanssen-RelatividadGeneral-81

Vista previa del material en texto

vector cuadrimensional
xµ =




x0
x1
x2
x3




=




t
x
y
z




. (5.1)
Hemos visto en el Capı́tulo 3 que la norma ||xµ|| de los vectores se define en el espacio de Min-
kowski como
||xµ||2 = (x0)2 − (x1)2 − (x2)2 − (x3)2. (5.2)
Del Capı́tulo 4 sabemos que con esta definición de la norma, hemos introducido implı́citamente
una métrica. Efectivamente, se puede escribir (5.2) como
||xµ||2 = xµxµ = ηµνxµxν , (5.3)
donde ηµν se llama la métrica de Minkowski y es de la forma
2
ηµν =




1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1




= diag (1,−1,−1,−1). (5.4)
El elemento de lı́nea, que resume las propiedades geométricas del espaciotiempo viene por lo
tanto dado por
ds2 = ηµνdx
µdxν = (dx0)2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2. (5.5)
La métrica y su inversa nos permiten subir y bajar los ı́ndices y convertir vectores covariantes en
contravariantes y vice versa,
xµ = ηµνx
ν , xµ = ηµνxν (5.6)
de modo que el producto escalar se puede escribir como
xµy
µ = ηµνx
µyν = ηµνxµyν = x
µyµ, (5.7)
o, explı́citamente en componentes
xµy
µ = x0y
0 + x1y
1 + x2y
2 + x3y
3 = x0y0 − x1y1 − x2y2 − x3y3. (5.8)
Como vemos, hay que tener un particular cuidado al subir y bajar ı́ndices con los signos que
aparecen por la métrica (5.4). Esto es una gran diferencia entre la geometrı́a euclı́dea y la del
espacio de Minkowski: las componentes de un vector cambian al pasar el vector de covariante a
contravariante o vice versa. En particular, debido a los signos en la métrica (5.4), las componentes
espaciales adquieren un signo. Si un vector contravariante tiene componentes
aµ =




1
2
3
4




, (5.9)
el vector covariante correspondiente tiene componentes aµ = (1,−2,−3,−4). Si la métrica gµν
tiene una forma más general,3 la relación entre las componentes de vectores co- y contravariantes
será más complicada.
2A veces la métrica se presenta con los signos opuestos (es decir ηµν = diag (−1, 1, 1, 1)). El signo de la métrica es
puro convenio y, aunque algunas fórmulas pueden tener signos diferentes, la fı́sica es por supuesto independiente del
convenio utilizado. Para un resumen de los convenios que utilizamos en este curso, referimos a Apéndice A.
3Aquı́ referimos tanto a la métrica del espacio de Minkowski en coordenadas no-cartesianas, como a métricas de
espacios más complejos.
81