BertJanssen-RelatividadGeneral-35

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Ahora, aunque los electrones no notan en ningún momento el campo magnético, está claro
que la probabilidad P será distinta para Φ = 0 que para Φ 6= 0. En general tenemos que
P ∼
∣
∣
∣exp
(
− icq
~
∫
γ1
~A(~r ′) · d~r ′
)
Ψ(0)γ1 (~r) + exp
(
− icq
~
∫
γ2
~A(~r ′) · d~r ′
)
Ψ(0)γ2 (~r)
∣
∣
∣
2
=
∣
∣
∣exp
(
− icq
~
∫
γ2
~A(~r ′) · d~r ′
)∣
∣
∣
2
·
∣
∣
∣exp
(
− icq
~
∫
γ1−γ2
~A(~r ′) · d~r ′
)
Ψ(0)γ1 (~r) + Ψ
(0)
γ2 (~r)
∣
∣
∣
2
=
∣
∣
∣e−icqΦ/~Ψ(0)γ1 (~r) + Ψ
(0)
γ2 (~r)
∣
∣
∣
2
, (1.93)
donde hemos utilizado que la integral de contorno de ~A a lo largo de una trayectoria cerrada
γ = γ1 − γ2 alrededor del solenoide es igual a Φ:
∮
γ
~A · d~r =
∫∫
(~∇× ~A) · ~n d2x =
∫∫
~B · ~n d2x = Φ. (1.94)
De (1.93) está claro que la medición en la pantalla será diferente para Φ = 0 y Φ 6= 0. El factor de
fase extra, en el caso de que el flujo magnético sea distinto de cero, causa que el patrón de inter-
ferencias generado se desplace con respecto al caso sin flujo. Esto es francamente sorprendente,
puesto que el desplazamiento del patrón de interferencias es un efecto fı́sico, mientras que los
electrones sólo han podido interaccionar con ~A, puesto que ~B = 0 fuera del solenoide. ¿Significa
esto que el potencial ~A sı́ tiene significado fı́sico en la mecánica cuántica? Analicemos la situación
en más detalle.
Aunque el campo magnético fuera del solenoide es cero, hay claramente un efecto fı́sico de-
bido a la presencia de ~A. Sin embargo, como se puede ver en (1.94), este efecto es proporcional a
Φ, el flujo de ~B a través del solenoide, que claramente es una cantidad que es invariante gauge.
Mirando bien la fórmula (1.94), hay algo raro que nos deberı́a llamar la atención: dado que ~B = 0,
el potencial ~A tiene que ser un gauge puro,8 es decir ~A = −c~∇Λ, puesto que sólo ası́ ~∇ × ~A = 0.
Efectivamente, a partir de (1.89) y la fórmula para el gradiente en coordenadas cilı́ndricas
~∇Λ = ∂rΛ~er + r−1∂ϕΛ~eϕ + ∂zΛ~ez, (1.95)
sacamos que el potencial (1.89) es el gradiente de una función
Λ(ϕ) = − 1
2πc
Φ ϕ, (1.96)
en todo el espacio salvo en r = 0. Sin embargo, por el teorema de Stokes (1.25) la integral sobre
una curva cerrada de un gradiente (o equivalentemente, el rotacional de un gradiente) es cero,
mientras que la contribución en (1.94) nos da un resultado finito Φ, justo el efecto fı́sico.
La razón por la que la integral (1.94) no es cero, a pesar de que ~A es un gradiente, es porque
la curva γ es topológicamente no-trivial. En un espacio topológicamente trivial la integral de un
gradiente sobre una curva cerrada es cero, porque se puede contraer la curva a un solo punto.
Sin embargo en este caso, el potencial ~A diverge en r = 0, donde está colocado el solenoide, lo
que nos impide contraer la curva γ a un punto sin que pase por la singularidad. El espacio de
configuraciones en que estamos trabajando es por lo tanto R2\{0}, el plano quitando el origen, y
este espacio no es simplemente conexo: las curvas que pasan alrededor del origen no son contraı́bles
a un solo punto. Es justo debido a esta estructura topológica que la integral (1.94) (y por lo tanto
el efecto fı́sico Φ) no es cero.
8Se dice de unos potenciales φ y ~A que son puro gauge si los campos eléctricos y magnéticos generados por ellos son
identicamente cero, es decir, si φ = ∂tΛ y ~A = −c~∇Λ.
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