BertJanssen-RelatividadGeneral-123

Vista previa del material en texto

8.3. Ejemplo concreto: tensores de curvatura de la S2
Como ejemplo concreto, repasaremos la esfera bidimensional que hemos encontrado en el
Capı́tulo 6. La métrica en coordenadas azimutales era
ds2 = R20
(
dθ2 + sin2 θdϕ2
)
, (8.14)
donde R0 era el radio de la esfera. A través de la fórmula (8.7) no es difı́cil ver que los sı́mbolos
de Christoffel no nulos son (ejerc.)
Γϕθϕ = Γ
ϕ
ϕθ = cotg θ, Γ
θ
ϕϕ = − sin θ cos θ, (8.15)
y por lo tanto las componentes no-triviales del tensor de Riemann vienen dadas por (ejerc.)
Rθϕθ
ϕ = −Rϕθθϕ = −1, Rθϕϕθ = −Rϕθϕθ = sin2 θ. (8.16)
Según la fórmula de la sección 8.1, el tensor de Riemann completamente covariante tiene en dos
dimensiones sólo una componente independiente. Efectivamente, de (8.16) se ve fácilmente que
(ejerc.)
Rθϕθϕ = −R20 sin2 θ, (8.17)
y que todas las demás componentes o son cero, o están relacionadas con esta a través de las
fórmulas (7.32), (8.8) y (8.10). El tensor de Ricci se puede obtener o bien a través de la contracción
del tensor de Riemann, o bien a través de la fórmula (7.37). Las componentes no-triviales son
(ejerc.)
Rθθ = −1, Rϕϕ = − sin2 θ, (8.18)
y por lo tanto el escalar de Ricci viene dado por
R = −2R−20 . (8.19)
La esfera bidimensional (igual que las demás esferas en otras dimensiones) es un espacio con
mucha simetrı́a y esto se refleja en sus tensores de curvatura. Obsérvese que las componentes del
tensor de Riemann satisfacen la expresión
Rµνρλ = R
−2
0
(
gµλgνρ − gµρgνλ
)
. (8.20)
En el Capı́tulo 13 veremos que esta es la definición de los espacios con curvatura constante,
o, equivalentemente, los espacios máximamente simétricos. Contrayendo (8.20) se obtiene una
expresión parecida para el tensor de Ricci,
Rµν = −R−20 gµν , (8.21)
que efectivamente es una condición que satisfacen las componentes encontrados en (8.18).
Es instructivo hacer el mismo cálculo utilizando en la esfera las coordenadas estereográficas
(6.45),
ds2 =
4R40
(R20 + r
2)2
[
dr2 + r2dϕ2
]
. (8.22)
En estas coordenadas los sı́mbolos de Christoffel vienen dados por (ejerc.)
Γrrr =
−2r
R20 + r
2
, Γϕϕr = Γ
ϕ
rϕ =
R20 − r2
r(R20 + r
2)
, Γrϕϕ =
−r(R20 − r2)
R20 + r
2
. (8.23)
Obsérvese que estas expresiones son muy diferentes tanto de las expresiones (7.6) para R2 en
coordenadas polares, como (8.15 para la S2 en coordenadas estándar respectivamente. En parti-
cular vemos que en estas coordenadas hay una componente no-trivial más que en los otros dos
casos, debido a que los sı́mbolos de Christoffel no transforman como un tensor.
123
	II Geometría Diferencial
	Cálculo tensorial con la conexión de Levi-Civita
	Ejemplo concreto: tensores de curvatura de la S2