BertJanssen-RelatividadGeneral-115

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Figura 7.5: Dos maneras distintas de definir el transporte paralelo en R2: la conexión de Levi-Civita
define la idea intuitiva de paralelo (izquierda), pero la conexión inducida en el plano por la proyección
estereográfica de una esfera implica llamar paralelos a los vectores de un campo radial (derecha), al provenir
de vectores paralelos apuntando al Polo Norte de la esfera.
Definimos por lo tanto que una variedad es plana si todas las componentes del tensor de Riemann
Rµνρ
λ son identicamente cero. Por otro lado, una variedad tiene curvatura si por lo menos una
componente de Rµνρ
λ es distinta de cero.
Merece la pena enfatisar una vez más el hecho que elecciones diferentes para la conexión
llevan a diferentes expresiones para el tensor de Riemann, y por lo tanto a diferentes nociones
de la curvatura en la misma variedad. Es un ejercicio instructivo ver que cambiando la conexión
Γρµν → Γ̃ρµν = Γρµν + Kρµν , con Kρµν un tensor arbitrario, el tensor de Riemann (y por lo tanto la
curvatura) cambia como (ejerc.)
Rµνρ
λ → R̃µνρλ = Rµνρλ + ∇µKλνρ − ∇νKλµρ + T σµνKλσρ + KλµσKσνρ − KλνσKσµρ. (7.27)
Vemos por lo tanto que una variedad que tiene curvatura con cierta conexión Γρµν , puede ser
plana con una eleción apropidada de una nueva conexión Γ̃ρµν , y vice versa.
7.4. Ejemplo concreto: distintas conexiones en R2
Ilustremos con un ejemplo concreto cómo las propiedades geométricas de una variedad pue-
den variar con las distintas elecciones de la conexión: consideremosR2 como variedad topológica,
es decir, no inducimos ninguna métrica, ya que sólo miraremos el comportamiento de vectores
bajo transporte paralelo. La noción intuitiva de lo que llamamos paralelo en R2 está definida por
la conexión de Levi-Civita. Ya hemos dicho que en coordenadas polares (r, ϕ) ésta coge la forma
(7.6)
Γϕrϕ = Γ
ϕ
ϕr = r
−1, Γrϕϕ = −r, (7.28)
y el tensor de Riemann, definida por esta conexión es idénticamente cero: Rµνρ
λ = 0 (ejerc.). Esto
coincide efectivamente con la intuición de que en el plano el resultado de transporte paralelo no
depende de la curva seguida y que las distintas componentes de los vectores transportados no
varı́an en una base cartesiana (véase Figura 7.5, izquierda).
Otra noción de paralelo, mucho menos intuitiva (pero también con cierta lógica) es la que
induce la conexión
Γ̃rrr =
−2r
R20 + r
2
, Γ̃ϕϕr = Γ
ϕ
rϕ =
R20 − r2
r(R20 + r
2)
, Γ̃rϕϕ =
−r(R20 − r2)
R20 + r
2
. (7.29)
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	II Geometría Diferencial
	Conexión afín y curvatura
	Ejemplo concreto: distintas conexiones en R2