BertJanssen-RelatividadGeneral-132

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Aquı́ hemos derivado el resultado para una familia de geodésicas, parametrizado por un solo
parámetro, pero se puede considerar también en caso de una congruencia de geodéscias. Si ẋµ es
el vector tangente a las geodésicas y δxµ el vector de desplazamiento, en general la fórmula de la
desviación geodésica viene dada por
∇2δxλ
dτ2
= −Rµνρλ δxµ ẋν ẋρ. (8.61)
Vemos por lo tanto que las geodésicas que inicialmente tienen direcciones paralelas, experi-
mentan aceleraciones relativas debido a la curvatura del espacio, que hacen que las geodésicas
convergen o divergen. Sólo en el espacio plano, Rµνρ
λ = 0, la desviación geodésica es cero y las
geodésicas se mantienen paralelas. En cierto modo, esto es la formulación en lenguaje de geo-
metrı́a diferencial de la versión de John Playfair del Quinto Postulado de Euclides, que hemos
visto en la sección 6.1.
Desde el punto de vista fı́sico, la desviación geodésica describe los efectos de marea. En el
Capı́tulo 10 veremos que las ecuaciones de Einstein implican que el espaciotiempo se curva en
presencia de materia y la desviación geodésica dice que dos geodésicas notarán una aceleración
relativa entre ellos debido a la curvatura del espaciotiempo. Las distintas partı́culas de una confi-
guración de partı́culas de prueba seguirán trayectorias distintas y la configuración se deformará,
lo que un observador externo interpretará como fuerzas de marea. Los efectos de marea son más
grandes, cuanto más grande la curvatura, por eso tı́picamente aparecen donde el gradiente del
campo gravitatorio en muy grande, como cerca del centro de agujeros negros.
8.8. Ejemplo concreto: geodésicas en la S2
Ilustremos estos conceptos con el ejemplo concreto de la esfera bidimensional S2 en coorde-
nadas azimutales,
ds2 = R20
(
dθ2 + sin2 θdϕ2
)
. (8.62)
En (8.15) hemos visto que los sı́mbolos de Christoffel no-triviales son
Γϕθϕ = Γ
ϕ
ϕθ = cotg θ, Γ
θ
ϕϕ = − sin θ cos θ, (8.63)
de modo que las distintas componentes de la ecuación de la geodésica (8.51) vienen dadas por
θ̈ − sin θ cos θ ϕ̇2 = 0, ϕ̈ + 2 cotg θ θ̇ ϕ̇ = 0. (8.64)
Además podemos añadir la condición (7.53)
R20 θ̇
2 + R20 sin
2 θ ϕ̇2 = 1, (8.65)
para geodésicas espaciales. En realidad, en una variedad riemanniana, donde todas las geodési-
cas con espaciales, esta condición es superflua, pero nos dice que la parametrización de la geodési-
ca es tal que la norma de la velocidad a lo largo de la curva siempre es la unidad. Veremos que
parametrizar la geodésica de esta manera nos ayudará a resolver el sistema de ecuaciones (8.64).
Una primera observación es que se puede integrar la segunda ecuación de (8.64) a
ϕ̇ = ℓ sin−2 θ, (8.66)
donde ℓ es una constante de integración, que representa el momento angular. Sustituyendo esto
en la condición (8.65) tenemos que
θ̇2 = R−20
[
1 − ℓ2 R20 sin−2 θ
]
. (8.67)
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	II Geometría Diferencial
	Cálculo tensorial con la conexión de Levi-Civita
	Ejemplo concreto: geodésicas en la S2