BertJanssen-RelatividadGeneral-22

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Podemos derivar la expresión para la energı́a del campo electromagnético de las propias leyes
de Maxwell. Si tomamos el producto escalar de (1.24) con ~E y de (1.22) con ~B tenemos
~E · (~∇× ~B) = 1
c
~ · ~E + 1
c
~E · ∂t ~E,
~B · (~∇× ~E) = −1
c
~B · ∂t ~B (1.37)
Restando estas dos expresiones y utilizando que ~∇ · ( ~A × ~B) = ~B · ~∇ × ~A − ~A · ~∇ × ~B para
cualesquiera dos vectores ~A y ~B, vemos que
c ~∇ · ( ~E × ~B) = −1
2
∂t(E
2 + B2) − ~ · ~E
= −1
2
∂t(E
2 + B2) −
∑
a
qa~va · ~E
= −1
2
∂t
(
E2 + B2) − d
dt
Ecin, (1.38)
donde en la segunda igualdad hemos escrito la corriente ~ como el conjunto de cargas en movi-
miento y en la última igualdad hemos utilizado (1.34). La expresión tiene la forma de una ley de
conservación: si identificamos las cantidades
Eem =
1
2
(E2 + B2), ~S = c ( ~E × ~B), (1.39)
con la energı́a del campo electromagnético y con el flujo de energı́a respectivamente, vemos que
la ley de conservación de energı́a dice que el cambio de energı́a cinética de las partı́culas cargadas
más el cambio de energı́a de campo electromagnético en un volumen es igual al flujo de energı́a
a través de la superficie:
d
dt
Ecin + ∂tEem + ~∇ · ~S = 0. (1.40)
El vector ~S = c( ~E × ~B) se llama el vector de Poynting, llamado por John H. Poynting (1852 - 1914),
un estudiante de Maxwell, que derivó esta ley de conservación de energı́a en 1884.
Para obtener una expresión para el momento podemos hacer una derivación parecida. Lo
más cómodo es hacer la derivación en componentes. Tomando en cuenta que en componentes el
producto vectorial de dos vectores ~A y ~B se escribe como
( ~A × ~B)i =
3
∑
j,k=1
ǫijkAjBk, (1.41)
donde ǫijk es el sı́mbolo de Levi-Civita
ǫijk =



1 cuando (ijk) es una permutación par de (123),
−1 cuando (ijk) es una permutación impar de (123),
0 en todos los demás casos,
(1.42)
entonces vemos que la derivada parcial de la componente i del vector de Poynting con respecto
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