BertJanssen-RelatividadGeneral-70

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lo que efectivamente es un elemento de R.
Lo que nos interesa en este momento es saber cómo cambian las componentes yi del vector
covariante bajo el cambio de coordenadas (4.4). Dado que por la definición del producto escalar
(4.12) las componentes yi en la base {|ei〉} vienen dadas por yi = 〈y|ei〉, tenemos que las compo-
nentes y′i en la base {|e′i〉} toman la forma
y′j = 〈y|e′j〉 = 〈y|(M−1)ij |ei〉 = (M−1)ij〈y|ei〉 = (M−1)ijyi, (4.15)
o, resumiendo
y′j = (M
−1)ijyi. (4.16)
En otras palabras, las componentes de un vector covariante tranforman de la misma manera que
los vectores de base, pero de manera opuesta a las componentes de un vector contravariante.3
También aquı́ podemos tomar esta propiedad como la definición práctica de un vector co-
variante: Cualquier objeto con N componentes yi que bajo un cambio de base (4.4) transforma
como (4.16) se le llama un vector covariante. Nótese que, debido al hecho de que anotamos el vec-
tor contravariante xi con ı́ndice arriba y el vector covariante xi con ı́ndice abajo, las reglas de
transformación son (ligeramente) diferentes para cada caso.
De la regla de transformación de los vectores covariantes (4.16) podemos deducir las reglas
de transformación de los vectores de la base dual. Con un argumento parecido (pero inverso) que
en el caso de los vectores contravariantes vemos que la relación entre los vectores de la base dual
viene dada por
〈e′i| = M ij〈ej |. (4.17)
Una consecuencia directa de las reglas de transformación de la base y la base dual es que el
producto escalar (4.12) entre vectores de base se conserva,
〈e′i|e′j〉 = M ik(M−1)lj〈ek|el〉 = M ik(M−1)ljδkl = M ik(M−1)kj = δij . (4.18)
Y gracias a la linealidad del producto escalar, también se conserva el producto escalar entre dos
vectores 〈y| y |x〉, independientemente de la base en que se calcula. Efectivamente en componen-
tes vemos que
〈y|x〉 = y′ix′i = (M−1)ki yk M il xl = δkl ykxl = ykxk. (4.19)
Esto es lo que uno esperarı́a, puesto que el producto escalar es un número real, cuyo valor no
depende de la elección de base.
4.3. La métrica y las transformaciones ortogonales
En la sección anterior hemos introducido RN como un espacio vectorial, con los vectores
contravariantes como elementos y hemos definido el espacio dual con los vectores covariantes.
Hemos visto cómo transforma cada uno bajo cambios de base y definido un producto escalar
entre vectores covariantes y contravariantes que es independiente de la elección de base.
Sin embargo, esta estructura todavı́a es bastante pobre. No podemos dar una interpretación
(fı́sica) al producto escalar, aparte de una aplicación lineal resultando en un número real. Tam-
poco podemos calcular la norma de un vector, o el ángulo entre dos vectores en RN . Para saber
por ejemplo si una base {|ei〉} es ortogonal y normalizada, tenemos que calcular el producto
escalar entre dos vectores de la base |ei〉 y |ej〉, mientras el producto escalar (4.12) y (4.14) sólo
está definido entre un vector covariante y uno contravariante.
3De hecho, los nombre covariante y contravariante vienen de allı́. En 1853, en su estudio de invariantes algebráicas, el
matematico inglés James Joseph Sylvester (1814 - 1897) denominó las aplicaciones lineales y los vectores de RN respec-
tivamente vectores covariantes y contravariantes, por su propiedad de transformar junto con o en dirección opuesta a la
base.
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	I El Principio de la Relatividad y la Relatividad Especial
	Álgebra de tensores y transformaciones ortogonales
	La métrica y las transformaciones ortogonales