BertJanssen-RelatividadGeneral-71

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Lo que necesitamos claramente es una estructura matemática nueva que nos permita relacio-
nar un vector contravariante |x〉 unı́vocamente con su correspondiente vector covariante 〈x|. Esto
es lo que va hacer la métrica y gracias a ella podremos definir normas, ángulos y distancias en
R
N .
La métrica gij se puede ver como una operación que, actuando sobre un vector covariante, da
un vector contravariante. En los vectores de base actúa como
|ei〉 = gij〈ej |. (4.20)
Inversamente la métrica inversa gij transforma un vector covariante en uno contravariante
〈ei| = gij |ej〉. (4.21)
Nótese que la unicidad de la descomposición de vectores en una base implica que gij y g
ij están
relacionados a través de la relación gijg
jk = δki (ejerc.). De allı́ que g
ij se llame la métrica inversa.
En general podemos relacionar las componentes del vector contravariante |x〉 con las compo-
nentes del vector covariante 〈x| a través de la métrica de la siguiente manera: en la base {|ei〉}, la
descomposición del vector |x〉 es
xi|ei〉 = xigij〈ej|, (4.22)
donde hemos utilizado la relación (4.21) entre las dos bases. Ahora, también podemos pensar en
el lado derecho de (4.22) como la descomposición de 〈x| en la base {〈ei|}, lo que implica que las
componentes xi de 〈x| se pueden escribir en función de las xi como
xi = gijx
j . (4.23)
Con un argumento similar podemos también invertir esta relación, escribiendo las componentes
xi en función de las x
i (ejerc.)
xi = gijxj . (4.24)
Por lo tanto vemos que la métrica y la inversa “suben y bajan ı́ndices”, convirtiendo vectores co-
variantes en contravariantes y vice versa. Una vez introducida la métrica, se puede por lo tanto
pensar en los vectores covariantes como un “truco matemático” para poder definir bien el pro-
ducto escalar entre dos vectores contravariantes, puesto que en el fondo (4.23) y (4.24) están
diciendo que un vector contravariante y su correspondiente vector covariante tienen la misma
información fı́sica.
Para que las relaciones (4.23)-(4.24) sean consistentes con las reglas de transformación (4.5) y
(4.16) de los vectores covariantes y contravariantes (o, equivalentemente, para que (4.21) y (4.20)
sean consistentes con las reglas de transformación de los vectores de base), la métrica y su inversa
tienen que transformar bajo un cambio de coordenadas M como
g′ij = (M
−1)ki(M
−1)ljgkl, g
′ij = M ikM
j
l g
kl, (4.25)
donde g′ij y g
′ij son la métrica y su inversa en las bases {|e′i〉} y {〈e′i|}. En general un cambio de
coordenadas M puede hacer que la forma explı́cita de g′ij sea muy diferente que la forma de gij .
Sin embargo no hay que olvidar que las dos expresiones representan la misma métrica, la de RN ,
sólo en diferentes coordenadas. En la sección 4.4 veremos un ejemplo concreto.
La introducción de la métrica permite ampliar la definición del producto escalar (4.14), tal que
también incluye el producto escalar entre dos vectores contravariantes. Utilizando la definición
(4.21), tenemos que
|x〉 · |y〉 = xiykgij〈ej |ek〉 = gijxiykδjk = gijxiyj = xiyj . (4.26)
Con este producto escalar podemos entonces definir la norma |||x〉|| de un vector |x〉 como
|||x〉||2 ≡ 〈x|x〉 = xixi = gijxixj , (4.27)
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