BertJanssen-RelatividadGeneral-193

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de modo que B(r) = −A(r) + c0. La constante de integración c0 no tiene significado fı́sico, ya
que se puede absorber en una redefinición de la coordenada temporal t′ = ec0t. Sin pérdida de
generalidad podemos poner c0 = 0 y la solución general de (12.6) es
A(r) = −B(r). (12.7)
Sustituyendo esta condición en la ecuación para Rθθ encontramos
0 = e2A
[
2rA′ + 1
]
− 1 =
[
re2A
]′
− 1. (12.8)
Este ecuación se puede integrar directamente
e2A = 1 − 2M
r
, (12.9)
donde −2M es una constante de integración con dimension de longitud L, elegida de esta forma
para futura conveniencia.
Vemos por lo tanto que resolviendo dos ecuaciones (la deRθθ y una combinación deRtt yRrr)
hemos determinado las funciones A(r) y B(r) por completo, salvo una constante de integración.
Estará claro de (12.5) que la ecuación para Rϕϕ está satisfecha si la de Rθθ lo está. Queda por lo
tanto sólo otra combinación de las ecuaciones para Rtt y Rrr por resolver. Lo más sencillo es la
misma ecuación paraRrr. No es difı́cil averiguar que efectivamente (12.9) satisface idénticamente
la ecuación
A′′ + 2(A′)2 + 2r−1A′ = 0, (12.10)
para cualquier valor de M .
La solución de Schwarzschild viene por lo tanto dada por
ds2 =
(
1 − 2M
r
)
dt2 −
(
1 − 2M
r
)−1
dr2 − r2dΩ22, (12.11)
donde dΩ22 = dθ
2 + sin2 θdϕ2 es el elemento de lı́nea de la dos-esfera S2.
Discutamos ahora la interpretación y algunas propiedades fı́sicas de la solución de Schwarz-
schild. Por razones que se harán claras en breve, nos limitaremos de momento a la región donde
r > 2M . En la sección 11.1 hemos visto que para soluciones estáticas y con poca curvatura la
componente gtt de la métrica es proporcional al potencial gravitatorio newtoniano. Por lo tanto
comparando (11.13) y gtt de (12.11), vemos que efectivamente podemos identificar el potencial
newtoniano Φ = −M/r. Dado que en la mecánica newtoniana el potencial gravitatorio de un
objeto esférico con masa m viene dado por Φ = −GNm/r, está claro que la solución de Schwarz-
schild describe un objeto esférico y estático en el origen y además podemos interpretar la cons-
tante de integración M como
M = GNm. (12.12)
En otra palabras, M es una medida para la masa del objeto que causa la curvatura del espacio. A
veces se denomina a M como la masa geométrica de la solución de Schwarzschild.
Aquı́ encontramos un primer ejemplo de como las constantes de integración que surgen de
las ecuaciones de movimiento distinguen entre diferentes soluciones con las mismas condiciones
de contorno. La ecuación de Einstein dice que el contenido de energı́a y materia no determina
la geometrı́a del espaciotiempo por completa, sino sólo la parte descrita por su tensor de Ricci.
Por lo tanto, diferentes métricas, con tensores de Riemann distintas, pero con el mismo tensor de
Ricci, son soluciones a la ecuacion de Einstein con el mismo tensor de energı́a-momento. Y una
manera en que se diferencian estas métricas es en el valor de las constantes de integración, como
vemos aquı́: tanto el espacio de Minkowski, como la solución de Schwarzschild son soluciones
de (12.1), pero Schwarzschild tiene un valor no-trivial para la constante de integración M que
surge al resolver (12.9), mientras Minkowski se caracteriza precisamente por tener M = 0.
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