BertJanssen-RelatividadGeneral-198

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O’
O
r
02M r
t
A
Figura 12.2: Trayectoria de un observadorO′ en caı́da libre visto por un observador lejano O: un observa-
dor en caı́da libreO′ alcanza la singularidad después de un tiempo propio finito. Los señales de luz emitido
por el observador en caı́da libre (lı́neas puntuales) siguen geodésicas radiales nulas y tardan cada vez más
en llegar al observador lejano O, que cree erróneamente queO′ sigue la trayectoria A y que nunca cruza el
radio de Schwarzschild. Una vez pasado el radio de Schwarzschild O′ ya no tiene manera de comunicarse
con O para convencerle de lo contrario.
La Figura 12.1 refleja por lo tanto no lo que realmente ocurre con O′ cerca del radio de Schwarz-
schild, sino más bien lo que pasa con el observador O′ según el punto de vista del observador
O. Y lo único que tiene éste para enterarse son las señales que emite O′ periódicamente. Pero ya
hemos visto que estas señales siguen las geodésicas nulas radiales (12.18) y llegan por lo tanto
a O con intervalos cada vez mayores, como consecuencia de sufrir un corrimiento hacia el rojo
cada vez mayor. O ve aO′ acercarse asintóticamente al radio de Schwarzschild, pero nunca lo ve
cruzarlo, ya que la señal emitida por O′ en r = 2M llega a O en el momento t = ∞. Las señales
queO′ emite después de cruzar el radio de Schwarzschild no salen hacia el exterior y no llegarán
nunca a O, ni siquiera después de una cantidad infinita de tiempo t (véase Figura 12.2).
12.3. Las coordenadas de Eddington-Finkelstein
Ya hemos visto algunas caracterı́sticas de la fı́sica que ocurre cerca del radio de Schwarz-
schild e incluso hemos deducido algunas propiedades de geodésicas temporales y nulas para
r < 2M , aunque siempre en el sistema de coordenadas (t, r, θ, ϕ), que no es muy fiable cerca
del radio de Schwarzschild. Para entender cómo conectan las regiones dentro y fuera del radio
de Schwarzschild y para entender mejor la estructura causal de la solución, es necesario utilizar
unas coordenadas que no sean singulares en el radio de Schwarzschild y que describan bien el
comportamiento de objetos fı́sicos (masivos o sin masa) en r = 2M .
Insprirados por la expresión (12.18) para las geodesicas radiales nulas entrantes (con signo
menos), consideramos la siguiente redefinición de la coordenada temporal
t̃ = t + 2M log(r − 2M). (12.26)
Nótese que el cambio de coordenadas es tal que lejos del radio de Schwarzschild, el término lo-
garı́tmico es despreciable con repecto al término lineal y t̃ ≈ t. Sin embargo cuando r ∼ 2M , la
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	IV Soluciones de las Ecuaciones de Einstein
	La solución de Schwarzschild
	Las coordenadas de Eddington-Finkelstein