BertJanssen-RelatividadGeneral-194

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Llegado este punto es útil dedicar unas palabras a cómo compaginar el hecho de que por un
lado la solución de Schwarzschild es una solución del vacı́o, en ausencia de masas y energı́a,
y por otra lado su interpretación es la de un espaciotiempo con una masa m en el origen. La
solución de Schwarzschild (12.11), por lo menos la parte con r > R0, corresponde a la parte
exterior del campo gravitatorio causado por un objeto esférico con masa m y radio R0 > 2M y
por esto su nombre más correcto es la solución exterior de Schwarzschild. Claramente el exterior de
ese objeto masivo es vacı́o y la solución correspondiente es una solución del vacı́o. Existe también
otra solución (también encontrada por Karl Schwarzschild en 1916) que describe la parte interior
r < R0 donde se encuentra la estrella o el planeta, llamada la solución interior de Schwarzschild.
El tensor de energı́a-momento de la solución interior es un fluido perfecto, mientras la solución
exterior, como ya hemos visto, es una solución de vacı́o. Para el caso de un planeta o una estrella
con radio R0 > 2M , las dos soluciones enlazan suavemente en r = R0. En la siguiente sección
discutiremos lo que pasa si el radio R0 del objeto en el centro es menor que 2M .
Otra propiedad de la solución de Schwarzschild (12.11), es que para grandes valores de la
coordenada radial r, el factor M/r ≪ 1 y la métrica se aproxima cada vez más a Minkowski en
coordenadas esféricas. En realidad, esto es de esperar a la luz de la interpretación de la solución
como un objeto masivo en el origen. De la ley de Newton sabemos que la fuerza gravitatoria de
un objeto masivo decae como 1/r2, es decir, a grandes distancias la influencia de la presencia del
objeto es despreciable y el espacio se reduce a Minkowski. Soluciones que tienen esta propiedad
se llaman asintóticamente planas y se las puede ver como objetos aislados.
Finalmente, existe un teorema de unicidad para la solución de Schwarzschild, llamado el teore-
ma de Birkhoff. Este teorema dice que la solución exterior (12.11) es la única solución esféricamente
simétrica de las ecuaciones del vacı́o. En particular, no existen soluciones de vacı́o con simetrı́a
esférica que no sean estáticas y si una solución de esta clase es estática, es Schwarzschild. En
otras palabras una bola de materia puede contraerse o una estrella puede explotar conservando
su simetrı́a esférica, la solución exterior siempre será la misma métrica estática (12.11).
Aunque la demostración del teorema no es demasiado difı́cil, no entraremos en detalles, ya
que nos llevarı́a fuera del alcance de estas notas. La demostración consiste básicamente en de-
mostrar que el Ansatz más general con simetrı́a esférica es el Ansatz (12.3), sustituyendo las
funciones A(r) y B(r) por A(t, r) y B(t, r). Las ecuaciones de Einstein en seguida restringen la
dependencia de A y B a ser funciones únicamente de r y el resto de la demostración es la mis-
ma que la que hemos hecho antes. El teorema de Birkhoff es un caso especial del teorema de
“no-hair” (no tiene pelo) para agujeros negros en general, que discutiremos en más detalle en el
Capitulo ??. Este teorema dice que cualquier agujero negro clásico (no cuántico) está caracteriza-
do por sólo tres cantidades fı́sicas: la masa, la carga eléctrica y el momento angular. En el caso
de soluciones esféricas del vacı́o, tanto la carga como el momento angular son cero y por lo tanto
sólo el valor de M caracteriza la solución.
12.2. Estructura causal de la solución de Schwarzschild
Miramos ahora a la solución (12.11) entera, incluido la parte de r < 2M para estudiar las
singularidades. No es difı́cil ver que el elemento de linea (12.11)
ds2 =
(
1 − 2M
r
)
dt2 −
(
1 − 2M
r
)−1
dr2 − r2
(
dθ2 + sin2 θdϕ2
)
, (12.13)
es degenerado o divergente para varios valores de las coordenadas. Un primer ejemplo es cuando
θ = 0 y θ = π, porque entonces gϕϕ = 0. Sin embargo, esta degeneración es obviamente un arte-
facto del uso de las coordenadas esféricas. Cualquier rotación SO(3) moverı́a esta singularidad a
otro sitio que antes era perfectamente regular y dejarı́a regular a los puntos conflictivos iniciales.
Es más, un cambio a coordenadas cartesianas desharı́a por completo esta singularidad. La apa-
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	IV Soluciones de las Ecuaciones de Einstein
	La solución de Schwarzschild
	Estructura causal de la solución de Schwarzschild